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绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式:样本数据1x ,2x ,L ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A I Z 的元素的个数 ▲ ．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．7.算法与统计的题目 8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ．9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： （ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．12.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ．13．若BC ，则ABC S ∆的最大值 ▲ ．14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为225,105． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点， 求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．19.（Ⅰ）设12,,,n a a a L L 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去CBPOAD某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L L ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．20.若()113x p f x -=，()2223x p f x -=g ，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）； （Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p (),a b ,若()()f a f b = 求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）．卷221．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分． A ．选修4—1 几何证明选讲如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2ED EB EC =g ．B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵A=⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．B C ED AD ．选修4—5 不等式证明选讲 设a ，b ，c为正实数，求证：333111abc a b c+++≥必做题22．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．23．请先阅读：在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-，由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-g g ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ．（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x ）n ＝0122C C C C n n n n n n x x x ++++L （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：1[(1)1]n n x -+-＝11C nk k nk k x -=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证： （i ）1(1)C nkk n k k =-∑＝0；（ii ）21(1)C nkk n k k =-∑＝0；（iii ）11121C 11n nkn k k n +=-=++∑．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1. 【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=2．【答案】112【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 3. 【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4. 【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A I Z 的元素不存在． 5. 【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+r r r rr r r r g=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=r r 76. 【答案】16π 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯7.算法与统计的题目 8. 【答案】ln2－1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1． 9【答案】11b c-【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．【答案】262n n -+【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11. 【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12.【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP是等腰直角三角形，故2a c=，解得2c e a ==．13．【答案】【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B =g 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==g 244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值14. 【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由条件的cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=105β= 因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF I CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ． 17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用． 解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ，所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<<（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==g令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km 处。
2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)1. ()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = 。
【解析】本小题考查三角函数的周期公式。
2105T w w ππ==⇒=。
答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 。
【解析】本小题考查古典概型。
基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。
答案112 3.11i i-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b += 。
【解析】本小题考查复数的除法运算， 1,0,11ii a b i-=∴==+ ，因此a b +=1。
答案14. {}2(1)37,A x x x =-<-则A Z 的元素个数为 。
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。
由2(1)37x x -<-得2580x x -+<因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ= ，元素的个数为0。
答案05.,a b 的夹角为0120，1,3a b == ，则5a b -= 。
【解析】本小题考查向量的线形运算。
因为1313()22a b ⋅=⨯⨯-=-，所以22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-⋅ =49。
因此5a b -=7。
答案76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
【解析】本小题考查古典概型。
如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯。
答案16π7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 。
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差其中x 为样本平均数 柱体体积公式其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=▲． 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率▲． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +==▲． 4.A={()}2137x x x -<-，则AZ 的元素的个数▲．5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b =则5a b -=▲．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是▲．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。
锥体体积公式其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=其中R 为球的半径在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值是▲。
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——培根2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11i i+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ． 4.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．7.算法与统计的题目8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ． 9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： （ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.10．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz 的最小值 ▲ ． 12.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ．13．若BC ，则S 的最大值 ▲ ．14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km,CBP O A DCB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．19.（Ⅰ）设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．20.若()113x p f x -=，()2223x p f x -=，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）；（Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p (),a b ,若()()f a f b =求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a -（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）． 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1. 【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒= 2．【答案】112【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 3. 【答案】1 【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4. 【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A Z 的元素不存在．5. 【答案】7 【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+ =22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=7 6. 【答案】16π 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯7.算法与统计的题目【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．9【答案】11b c- 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b -．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．【答案】262n n -+ 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+． 11. 【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz 得 229666344x z xz xz xz xz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12. 【答案】2【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c=，解得c e a ==．13．【答案】【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC ，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值14. 【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由条件的cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=105β= 因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)= tan tan 31tan tan αβαβ+=-- （Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π 16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．（Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD.∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π， 当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km 处。
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式： 样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式(n s x x =++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω ▲ 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲3．),(11R b a bi a ii∈+-+表示为的形式，则b a += ▲ 4．{}73)1(2-<-=x x x A ，则集合A Z 中有 ▲ 个元素5．b a ,的夹角为120，1,3a b ==，则5a b -= ▲6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ． 8．直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ▲9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y a p x 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学本试卷分第I 卷填空题和第II 卷解答题两部分．考生作答时;将答案答在答题卡上;在本试卷上答题无效．考试结束后;将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前;考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;认真核对条形码上的准考证号、姓名;并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂;如需改动;用橡皮擦干净后;再选涂其他答案标号；非选择 题答案使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写;字体工整;笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域黑色线框内作答;超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁;不折叠;不破损．5.作选考题时;考生按照题目要求作答;并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式:样本数据1x ;2x ;;n x 的标准差 其中x 为样本平均数 柱体体积公式 其中S 为底面积;h 为高一、填空题：本大题共1小题;每小题5分;共70分．锥体体积公式 其中S 为底面积;h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=;343V R π=其中R 为球的半径1.()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π;其中0ω>;则ω=▲． 2．一个骰子连续投2次;点数和为4的概率▲． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈;则a b +==▲． 4.A={()}2137x x x -<-;则A Z 的元素的个数▲． 5.a ;b 的夹角为120︒;1a =;3b =则5a b -=▲．6.在平面直角坐标系xoy 中;设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域;E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域;向D 中随机投一点;则所投的点落入E 中的概率是▲．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间单位：h;随即选择了50为老人进行调查;下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表..在上述统计数据的分析中;一部分计算见算法流程图;则输出的S 的值是▲.. 8.设直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线;则实数b ＝▲．9在平面直角坐标系xOy 中;设三角形ABC 的顶点分别为A0;a;Bb;0;Cc;0;点P0;p 在线段AO 上的一点异于端点;设a;b;c;p 均为非零实数;直线BP;CP 分别与边AC;AB 交于点E 、F;某同学已正确求得OE 的方程：11110x y b c p a⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;请你完成直线OF 的方程：▲110x y p a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 23 456 78910 ．．．．．．．按照以上排列的规律;数阵中第n 行n ≥3从左向右的第3个数为▲．11.已知,,x y z R +∈;满足230x y z -+=;则2y xz的最小值是▲．12.在平面直角坐标系xOy 中;设椭圆2222x y a b+=1a b >>0的焦距为2c ;以点O 为圆心;a为半径作圆M ;若过点P 2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直;则该椭圆的离心率为e =▲．13．满足条件AB=2;AC=2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是▲．14.设函数()331f x ax x =-+x ∈R;若对于任意[]1,1x ∈-;都有()f x ≥0成立;则实数a =▲．二、解答题：本大题共6小题;共计90分..请在答题卡指定区域内作答;解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图;在平面直角坐标系xOy 中;以Ox 轴为始边做两个锐点;已知A 、角α;β;它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两B 的横坐标分别为225,105． Ⅰ求tan αβ+的值； Ⅱ求2αβ+的值．16．如图;在四面体ABCD 中;CB=CD;AD ⊥BD;点E 、F 分别是AB 、BD 的中点; 求证：Ⅰ直线EF ∥平面ACD ；Ⅱ平面EFC ⊥平面BCD ．17．如图;某地有三家工厂;分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处;已知AB=20km;CB=10km;为了处理三家工厂的污水;现要在该矩形ABCD 的区域上含边界;且与A 、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂;并铺设三条排污管道AO;BO;OP;设排污管道的总长为y km ． Ⅰ按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θrad;将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =km;将y 表示成x 的函数关系式．Ⅱ请你选用Ⅰ中的一个函数关系;确定污水处理厂的位置;使三条排污管道总长度最短．18．设平面直角坐标系xoy 中;设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点;经过这三个交点的圆记为C ． Ⅰ求实数b 的取值范围； Ⅱ求圆C 的方程；Ⅲ问圆C 是否经过某定点其坐标与b 无关 请证明你的结论． 19.Ⅰ设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列4n ≥;且公差0d ≠;若将此数列删去某一项得到的数列按原来的顺序是等比数列： ①当n=4时;求1a d的数值；②求n 的所有可能值； Ⅱ求证：对于一个给定的正整数nn ≥4;存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b ;其中任意三项按原来顺序都不能组成等比数列．20.若()113x p f x -=;()2223x p f x -=•;12,,x R p p ∈为常数;函数fx 定义为：对每个给定的实数x ;()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩Ⅰ求()()1f x f x =对所有实数x 成立的充要条件用12,p p 表示；Ⅱ设,a b 为两实数;满足a b <;且12,p p ∈(),a b ;若()()f a f b =;求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-闭区间[],m n 的长度定义为n m -．2008年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学参考答案一、填空题：本大题共1小题;每小题5分;共70分． 1.答案10解析本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=2．答案112解析本小题考查古典概型．基本事件共6×6个;点数和为4的有1;3、2;2、3;1共3个;故316612P ==⨯ 3.答案1解析本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==-;∴a ＝0;b ＝1;因此1a b += 4.答案0解析本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37x x -<-得2580x x -+<;∵Δ＜0;∴集合A 为∅;因此A Z 的元素不存在． 5.答案7解析本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a b a a b b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭;5a b -=76.答案16π解析本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4的正方形的内部含边界;区域E 表示单位圆及其内部;因此．214416P ππ⨯==⨯7.答案6.42 8.答案ln2－1解析本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x=;令112x=得2x =;故切点2;ln2;代入直线方程;得;所以b ＝ln2－1．9答案11c b-解析本小题考查直线方程的求法．画草图;由对称性可猜想填11c b-．事实上;由截距式可得直线AB ：1x y ba+=;直线CP ：1x y cp +=;两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程;又原点O 也满足此方程;故为所求直线OF 的方程．10．答案262n n -+解析本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1行共有正整数1＋2＋…＋n－1个;即22n n -个;因此第n 行第3个数是全体正整数中第22n n-＋3个;即为262n n -+． 11.答案3解析本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x zy +=;代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=;当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12. 解析设切线PA 、PB 互相垂直;又半径OA 垂直于PA;所以△OAP 是等腰直角三角形;故2a c=;解得c e a ==．13．答案解析本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ;则AC ;根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B =根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=;代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<;故当x =ABC S ∆最大值14.答案4解析本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0;则不论a 取何值;()f x ≥0显然成立；当x ＞0即[]1,1x ∈-时;()331f x ax x =-+≥0可化为;2331a x x≥- 设()2331g x x x =-;则()()'4312x g x x -=;所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增;在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减;因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭;从而a ≥4；当x ＜0即[)1,0-时;()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-;()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增;因此()()ma 14n g x g =-=;从而a ≤4;综上a ＝4二、解答题：解答应写出文字说明;证明过程或演算步骤．15．解析本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式． 解：由已知条件及三角函数的定义可知;cos αβ==; 因为α;β为锐角;所以sin α=105β= 因此1tan 7,tan 2αβ== Ⅰtan αβ+=tan tan 31tan tan αβαβ+=--Ⅱ22tan 4tan 21tan 3βββ==-;所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角;∴3022παβ<+<;∴2αβ+=34π16．解析本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． 解：Ⅰ∵E;F 分别是AB;BD 的中点; ∴EF 是△ABD 的中位线;∴EF ∥AD;∵EF ⊄面ACD;AD ⊂面ACD;∴直线EF ∥面ACD ． Ⅱ∵AD ⊥BD;EF ∥AD;∴EF ⊥BD. ∵CB=CD;F 是BD 的中点;∴CF ⊥BD.又EF CF=F;∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD;∴面EFC ⊥面BCD ． 17．解析本小题主要考查函数最值的应用．解：Ⅰ①延长PO 交AB 于点Q;由条件知PQ 垂直平分AB;若∠BAO=θrad;则10cos cos AQ OA θθ==;故 10cos OB θ=;又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ;所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-;所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x km;则OQ ＝10－x ;所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< Ⅱ选择函数模型①;()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0得sin 12θ=;因为04πθ<<;所以θ=6π;当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时;'0y <;y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时;'0y >;y 是θ的增函数;所以当θ=6π时;min 10y =+这时点P 位于线段AB 的中垂线上;且距离AB 边km 处.. 18．解析本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． 解：Ⅰ令x ＝0;得抛物线与y 轴交点是0;b ；令()220f x x x b =++=;由题意b ≠0且Δ＞0;解得b ＜1且b ≠0． Ⅱ设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0是同一个方程;故D ＝2;F ＝b ．令x ＝0得2y Ey +＝0;此方程有一个根为b;代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=. Ⅲ圆C 必过定点0;1和－2;1．证明如下：将0;1代入圆C 的方程;得左边＝02＋12＋2×0－b ＋1＋b ＝0;右边＝0; 所以圆C 必过定点0;1． 同理可证圆C 必过定点－2;1．19.解析本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识;考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力;满分16分.. 解：首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中;若有连续三项成等比数列;则这个数列的公差d 0=0 事实上;设这个数列中的连续三项a-d 0;a;d+d 0成等比数列;则 a 2=d-d 0a+d 0 由此得d 0=01i 当n =4时;由于数列的公差d ≠0;故由“基本事实”推知;删去的项只可能为a 2或a 3①若删去2a ;则由a 1;a 3;a 4成等比数列;得a 1+2d 2=a 1a 1+3d 因d ≠0;故由上式得a 1=－4d;即da 1=－4;此时数列为－4d;－3d;－2d;－d;满足题设..②若删去a 3;则由a 1;a 2;a 4成等比数列;得a 1+d 2=a 1a 1+3d 因d ≠0;故由上式得a 1=d;即da 1=1;此时数列为d;2d;3d;4d;满足题设.. 综上可知;da 1的值为－4或1.. ii 若n ≥6;则从满足题设的数列a 1;a 2;……;a n 中删去一项后得到的数列;必有原数列中的连续三项;从而这三项既成等差数列又成等比数列;故由“基本事实”知;数列a 1;a 2;……;a n 的公差必为0;这与题设矛盾;所以满足题设的数列的项数n ≤5;又因题设n ≥4;故n=4或5.当n=4时;由i 中的讨论知存在满足题设的数列..当n=5时;若存在满足题设的数列a 1;a 2;a 3;a 4;a 5;则由“基本事实”知;删去的项只能是a 3;从而a 1;a 2;a 4;a 5成等比数列;故a 1+d 2=a 1a 1+3d及a 1+3d 2=a 1+da 1+4d分别化简上述两个等式;得a 1d=d 2及a 1d=－5d;故d=0;矛盾..因此;不存在满足题设的项数为5的等差数列.. 综上可知;n 只能为4.2假设对于某个正整数n;存在一个公差为d ′的n 项等差数列b 1;b 1+d ′;……;b 1+n-1d ′b 1d ′≠0;其中三项b 1+m 1d ′;b 1+m 2d ′;b 1+m 3d ′成等比数列;这里0≤m 1<m 2<m 3≤n-1;则有b 1+m 2d ′2=b 1+m 1d ′b 1+m 3d ′化简得m 1+m 3-2m 2b 1d ′=22m -m 1m 3d ′2*由b 1d ′≠0知;m 1+m 3-2m 2与22m -m 1m 3或同时为零;或均不为零.. 若m 1+m 3-2m 2=0且22m -m 1m 3=0;则有231)2(m m +-m 1m 3=0; 即m 1-m 32=0;得m 1=m 3;从而m 1=m 2=m 3;矛盾.. 因此;m 1+m 3-2m 2与22m -m 1m 3都不为零;故由*得因为m 1;m 2;m 3均为非负整数;所以上式右边为有理数;从而'1db 是一个有理数.. 于是;对于任意的正整数n ≥4;只要取'1d b 为无理数;则相应的数列b 1;b 2;……;b n 就是满足要求的数列;例如;取b 1=1;d ′=2;那么;n 项数列1;1+2;1+22;……;1(n +-满足要求..20.解析本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用． Ⅰ()()1f x f x =恒成立⇔()()12f x f x ≤⇔12323x p x p --≤⇔123log 233x p x p ---≤⇔1232x p x p log ---≤*因为()()121212x p x p x p x p p p ---≤---=- 所以;故只需12p p -32log ≤*恒成立综上所述;()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件是：12p p -32log ≤Ⅱ1°如果12p p -32log ≤;则的图像关于直线1x p =对称．因为()()f a f b =;所以区间[],a b 关于直线1x p =对称．因为减区间为[]1,a p ;增区间为[]1,p b ;所以单调增区间的长度和为2b a- 2°如果12p p -32log >.1当12p p -32log >时.()[][]111113,,3,,x pp x x p b f x x a p --⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩;()[][]2323log 222log 223,,3,,x p p x x p b f x x a p -+-+⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当[]1,x p b ∈;()()213log 2102331,p p f x f x --=<=因为()()120,0f x f x >>;所以()()12f x f x <;故()()1f x f x ==13x p -当[]2,x a p ∈;()()123log 2102331,p p f x f x --=>=因为()()120,0f x f x >>;所以()()12f x f x > 故()()2f x f x ==23log 23p x -+因为()()f a f b =;所以231log 233p a b p -+-=;所以123log 2,b p p a -=-+即当[]21,x p p ∈时;令()()12f x f x =;则231log 233x p p x -+-=;所以123log 22p p x +-=;当1232log 2,2p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时;()()12f x f x ≥;所以()()2f x f x ==23log 23x p -+ 1231log 2,2p p x p +-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时;()()12f x f x ≤;所以()()1f x f x ==13p x -()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12312log 22p p b p p +--+- =123log 2222p p a b b ab b +++--=-=2当21p p -32log >时.()[][]111113,,3,,x pp x x p b f x x a p --⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩;()[][]2323log 222log 223,,3,,x p p x x p b f x x a p -+-+⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当[]2,x p b ∈;()()213log 2102331,p p f x f x --=>=因为()()120,0f x f x >>;所以()()12f x f x >;故()()2f x f x ==23log 23x p -+当[]1,x a p ∈;()()123log 2102331,p p f x f x --=<=因为()()120,0f x f x >>;所以()()12f x f x < 故()()1f x f x ==13p x -因为()()f a f b =;所以231log 233b p p a -+-=;所以123log 2a b p p +=+-当[]12,x p p ∈时;令()()12f x f x =;则231log 233p x x p -+-=;所以123log 22p p x ++=;当1231log 2,2p p x p ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时;()()12f x f x ≤;所以()()1f x f x ==13x p - 1231log 2,2p p x p ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时;()()12f x f x ≥;所以()()2f x f x ==23log 23p x -+()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和12321log 22p p b p p ++-+- =123log 2222p p a b b ab b +-+--=-=综上得()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a- 2009江苏高考数学试题及参考答案参考公式：锥体的体积公式：Sh V 31=锥体;其中S 是锥体的底面面积;h 是高.一、填空题：本大题共14小题;每小题5分;共计70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．的位置上．．．．.1.设集合{}3,1,1-=A ;{}4,22++=a a B ;{}3=⋂B A ;则实数a 的值为▲.2.设复数z 满足i i z 46)32(+=-其中i 为虚数单位;则z 的模为▲.3.盒子中有大小相同的3只白球;1只黑球;若从中随机地摸出两只球;两只球颜色不同的概率是▲.4.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量;从中随机抽取了100根棉花纤维的长度棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标;所得数据都在区间5;40中;其频率分布直方图如图所示;则其抽样的100根中;有▲根在棉花纤维的长度小于20mm.5.设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数;则实数a =▲.6.平面直角坐标系xOy 中;双曲线112422=-y x 上一点M;点M 的横坐标是3;则M 到双曲线右焦点的距离是▲.7.右图是一个算法的流程图;则输出S 的值是▲.8.函数)0(2>=x x y 的图像在点a k ;a k 2处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1;k 为正整数;a 1=16;则a 1+a 3+a 5=▲.9.在平面直角坐标系xOy 中;已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线0512=+-c y x 的距离为1;则实数c 的取值范围是▲.10.定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P;过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1;直线PP 1与x sin =的图像交于点P 2;则线段P 1P 2的 长为▲. 11.已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩;则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是▲. 12.设实数y x ,满足94,8322≤≤≤≤y x xy ;则43yx 的最大值是▲.13.在锐角三角形ABC;A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ;6cos ba C ab +=;则tan tan tan tan C CA B+=▲.14.将边长为m 1正三角形薄片;沿一条平行于底边的直线剪成两块;其中一块是梯形;记2(S =梯形的周长）梯形的面积;则S 的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题;共计90分;请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答;解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.第4题图第7题图15.本小题满分14分在平面直角坐标系xOy 中;点A －1;－2、B2;3、C －2;－1. 1求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； 2设实数t 满足OC t AB -·OC =0;求t 的值. 16.本小题满分14分如图;在四棱锥P-ABCD 中;PD ⊥平面ABCD;PD=DC=BC=1;AB=2;AB ∥DC;∠BCD=900. 1求证：PC ⊥BC ；2求点A 到平面PBC 的距离. 17.本小题满分14分某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H 单位：m ;如示意图;垂直放置的标杆BC 的高度m h 4=;仰角∠ABE=α;∠ADE=β.1该小组已经测得一组α、β的值;tan α=1.24;tan β=1.20;请据此算出H 的值； 2该小组分析若干测得的数据后;认为适当调整标杆到电视塔的距离d 单位：m ;使α与β之差较大;可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m ;试问d 为多少时;α-β最大18.本小题满分16分在平面直角坐标系xoy 中;如图;已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为A;B;右顶点为F;设过点T m t ,的直线TB TA ,与椭圆分别交于点M ),(11y x ;),(22y x N ;其中0>m ;0,021<>y y .1设动点P 满足422=-PB PF ;求点P 的轨迹； 2设31,221==x x ;求点T 的坐标；3设9=t ;求证：直线MN 必过x 轴上的一定点.其坐标与m 无关第17题图19.本小题满分16分设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ;已知3122a a a +=;数列{}n S 是公差为d 的等差数列.1求数列{}n a 的通项公式用d n ,表示2设c 为实数;对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,;不等式k n m cS S S >+都成立;求证：c 的最大值为29.20.本小题满分16分设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数;其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ;其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0;使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ;则称函数)(x f 具有性质)(a P .1设函数)(x f )1(12)(>+++=x x b x h ;其中b 为实数 ⅰ求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； ⅱ求函数)(x f 的单调区间； 2已知函数)(x g 具有性质)2(P ;给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α;21)1(mx x m +-=β;且1,1>>βα;若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|;求m 的取值范围.2011江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页;均为非选择题第1题-第20题;共20题..本卷满分为160分..考试时间为120分钟..考试结束后;请将本试卷和答题卡一并交回..2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置..第18题图3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符..4.作答试题;必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答;在其他位置作答一律无效..5.如需作图;须用2B 铅笔绘;写清楚;线条;符号等须加黑加粗.. 参考公式：（1）样本数据x 1;x 2;…;x n 的方差s 2=n i=11n ∑x i -x 2;其中n i i=11x n ∑.（2）2直棱柱的侧面积S=ch;其中c 为底面积;h 为高. 3棱柱的体积V=Sh;其中S 为底面积;h 为高.一.填空题：本大题共14小题;每小题5分;共计70分;请把答案填写在答题卡的相．．．．．应位置上．．．．..．．1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+i 是虚数单位;则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码;当输入b a ,分别为2;3时;最后输出的m 的值是________ Read a;b If a >b Then m ←a Else m ←b EndIf Printm5、从1;2;3;4这四个数中一次随机取两个数;则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10;6;8;5;6;则该组数据的方差___2=s7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________ 8、在平面直角坐标系xOy 中;过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点;则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数;)0,0>>w A 的部分图象如图所示;则____)0(=f10、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量;,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ;则k 的值为11、已知实数0≠a ;函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ;若)1()1(a f a f +=-;则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中;已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点;该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M;过点P 作l 的垂线交y 轴于点N;设线段MN 的中点的纵坐标为t;则t 的最大值是_____________13、设7211a a a ≤≤≤≤ ;其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列;642,,a a a 成公差为1的等差数列;则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=; },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=;若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题;共计90分;请在答题卡指定区域内作答;解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤..15、在△ABC 中;角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, 1若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；2若c b A 3,31cos ==;求C sin 的值.16、如图;在四棱锥ABCD P -中;平面PAD ⊥平面AAB=AD;∠BAD=60°;E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：1直线EF ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD17、请你设计一个包装盒;如图所示;ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片;切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形;再沿虚线折起;使得ABCD 四个点重合于图中的点P;正好形成一个正四棱柱形状的包装盒;E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点;设AE=FB=xcm1若广告商要求包装盒侧面积Scm 2最大;试问x 应取何值2若广告商要求包装盒容积Vcm 3最大;试问x 应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值..P18、如图;在平面直角坐标系xOy 中;M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点;过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点;其中P连接AC;并延长交椭圆于点B;设直线PA 1当直线PA 平分线段MN;求k 的值； 2当k=2时;求点P 到直线AB 的距离d 3对任意k>0;求证：PA ⊥PB19、已知a ;b 是实数;函数)(3ax x x f +=)的导函数;若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立;则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致 1设0>a ;若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致;求实数b 的取值范围； 2设,0<a 且b a ≠;若函数)(x f 和)(x g 在以a ;b 为端点的开区间上单调性一致;求|a -b |的最大值20、设M 为部分正整数组成的集合;数列}{n a 的首项11=a ;前n 项和为n S ;已知对任意整数k 属于M;当n>k 时;)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立1设M=｛1｝;22 a ;求5a 的值；2设M=｛3;4｝;求数列}{n a 的通项公式2012年江苏高考2013年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页;均为非选择题第1题～第20题;共20题.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后;请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前;请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答;在其它位置作答一律无效.5．如需作图;须用2B 铅笔绘、写清楚;线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题;每小题5分;共70分．请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．.1.函数42sin(3π-=x y 的最小正周期为▲.解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=i 为虚数单位;则复数z 的模为▲. 解析：34,Z i Z =-=3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为▲.解析：3y=4x ±则成绩较为稳定方差较小的那位运动员成绩的方差为▲. 解析：易知均值都是90;乙方差较小;7.现有某类病毒记作n m Y X ;其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取;则n m ,都取到奇数的概率为▲.解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图;在三棱柱ABC C B A -111中;F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点;设三棱锥ADE F -的体积为1V ;三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ;则=21:V V ▲. 解析： 所以121:24V V =9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D 包含三角形内部和边界.若点),(y x P 是区域D 内的任意一点;则y x 2+的取值范围是▲. 解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-;过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点;AB AD 21=;BC BE 32=;若AC AB DE 21λλ+=21,λλ为实数;则21λλ+的值为▲. 解析：易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时;x x x f 4)(2-=;则不等式x x f >)(的解集用区间表示为▲.解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数;所以易知0x ≤时;2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞12.在平面直角坐标系xOy 中;椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ;右焦点为F ;右准线为l ;短轴的一个端点为B ;设原点到直线BF 的距离为1d ;F 到l 的距离为2d .若126d d =;则椭圆的离心率为▲. 解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-=所以有2b c =2246a b c =;即42246a a c c -=两边同除以4a 得到2416e e -=;解得213e =;即3e =13.平面直角坐标系xOy 中;设定点),(a a A ;P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点;若点A P ,之间最短距离为22;则满足条件的实数a 的所有值为▲. 解析： 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥;对称轴t a = 1.2a ≤时;22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =-;3a =舍去2.2a >时;22min 2()228PA f a a a ==-∴-=a =a =综上1a =-或a =14.在正项等比数列{}n a 中;215=a ;376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为▲. 解析：又12n =时符合题意;所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题;共计90分..请在答题卡指定区域内作答;解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.. 15.本小题满分14分已知()cos sin a αα=，;()cos sin b ββ=，;0βαπ<<<. 1若2a b -=;求证：a b ⊥； 2设()01c ,=;若a b c +=;求α;β的值.解：1()()cos ,sin ,cos ,sin ,0a b ααβββαπ==<<< 222+①②得：()2+2cos 1αβ-=又cos cos 05,66αβαβπππαβ+=∴+=∴== 16.本小题满分14分如图;在三棱锥S ABC -中;平面SAB ⊥平面SBC ;AB BC ⊥;AS AB =.过A 作AF SB ⊥;垂足为F ;点E ;G 分别是侧棱SA ;SC 的中点. 求证：1平面EFG //平面ABC ; 2BC SA ⊥.解：1,E G 分别是侧棱,SA SC 的中点AC 在平面ABC 中;EG 在平面外 EG ∴∥平面ABCF ∴为SB 中点AB 在平面ABC 中;EF 在平面外EF ∴∥平面ABC EF 与EG 相交于E,EF EG 在平面EFG 中 ∴平面EFG //平面ABC2平面SAB ⊥平面SBCSB 为交线AF 在SAB 中;AF SB ⊥AF ∴⊥平面SBC AF 与AB 相交于A,AF AB 在平面SAB 中BC ∴⊥平面SAB17.本小题满分14分如图;在平面直角坐标系xOy 中;点()03A ,;直线24l y x =-：.设圆的半径为1;圆心在l 上. 1若圆心C 也在直线1y x =-上;过点A 作圆C 的切线;求切线的方程； 2若圆C 上存在点M ;使2MA MO =;求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 解：1241y x y x =-=-①②①与②联立得到圆心坐标()3,2C∴圆方程为()()22321x y -+-=切线斜率不存在时;不合题意∴设切线方程为3y kx =+解得0k =或34k =-∴切线方程为3y =或334y x =-+2设(),24C a a -;则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 设00(,)M x y由题意()()2200241x a y a -+-+= 即()220014x y ++=M 存在;∴圆()()22241x a y a -+-+=与圆()2214x y ++=有交点即两圆相交或相切即()()221024(1)9a a ≤-+---≤ 18.本小题满分16分如图;游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径.一种是从沿A 直线步行到C ;另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ;然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山;甲沿AC 匀速步行;速度为50m/min.在甲出发2min 后;乙从A 乘缆车到B ;在B 处停留1min 后;再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min;山路AC 长为1260m;经测量;12cos 13A =;3cos 5C =. 1求索道AB 的长；2问乙出发多少分钟后;乙在缆车上与甲的距离最短 3为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟;乙步行的速度应控制在什么范围内 解：12设乙出发()t 8t ≤分钟后;甲到了D 处;乙到了E 处 则有=50t+100AD 130AE t =根据余弦定理2222cos DE AE AD AE AD A =+-⋅⋅ 即2274001400010000DE t t =-+∴当14000352740037t ==⋅时;2DE 有最小值 (3)设甲所用时间为t 甲;乙所用时间为t 乙;乙步行速度为V 乙由题意1260126==min 505t 甲 解不等式得12506254314V ≤≤乙 19.本小题满分16分设{}n a 是首项为a ;公差为d 的等差数列()0d ≠;n S 是其前n 项和.记2nn nS b n c=+;N n *∈;其中c 为实数.1若0c =;且1b ;2b ;4b 成等比数列;证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； 2若{}n b 是等差数列;证明：0c =. 解：1()()10n a a n d d =+-≠0c =时;nn S b n=124,,b b b 成等比2由已知23222222n n nS n a n d n db nc n c +-==++ n b 是等差数列 ∴设n b kn b =+k;b为常数∴有()()32222220k d n b d a n ckn bc -++-++=对任意n N +∈恒成立此时222d k a d b =-=命题得证 20.本小题满分16分设函数()ln f x x ax =-;()x g x e ax =-;其中a 为实数.1若()f x 在()1,+∞上是单调减函数;且()g x 在()1,+∞上有最小值;求a 的范围； 2若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数;试求()f x 的零点个数;并证明你的结论. 解：1由题意：'()0f x ≤对()1,x ∈+∞恒成立 即1a x -≥对()1,x ∈+∞恒成立()g x 在()1,+∞上有最小值0a ≤时;'()0g x >恒成立;()g x 在()1,+∞无最值 0a >时;由题意ln 1a >综上：a 的范围是：a e > 2()g x 在()1,-+∞上是单调增函数∴'()0g x ≥对()1,x ∈-+∞恒成立即x a e ≤对()1,x ∈-+∞恒成立 令()0f x =;则ln xa x=则有()f x 的零点个数即为y a =与ln xy x=图像交点的个数 令()ln ()0xh x x x => 则'21ln ()xh x x-=易知()h x 在()0,e 上单调递增;在(),e +∞上单调递减 在x e =时取到最大值1()0h e e=>当0x →时;ln ()xh x x =→-∞ 当x →+∞时;ln ()0xh x x=→∴()h x 图像如下所以由图可知：0a ≤时;()f x 有1个零点10a e<<时;()f x 有2个零点 1a e=时;()f x 有1个零点 综上所述：0a ≤或1a e=时;()f x 有1个零点10a e<<时;()f x 有2个零点2014年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷答案解析数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题;每小题5分;共70分．请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1、已知集合}4,3,1,2{A --=;}3,2,1{B -=;则B A =▲． 答案}3,1{-解析根据集合的交集运算;两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合;从所给的两个集合的元素可知;公共的元素为-1和3;所以答案为}3,1{-点评本题重点考查的是集合的运算;容易出错的地方是审错题目;把交集运算看成并集运算..属于基础题;难度系数较小..2、已知复数2)25(i z -=i 为虚数单位;则z 的实部为▲． 答案21解析根据复数的乘法运算公式;i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=;实部为21;虚部为-20..点评本题重点考查的是复数的乘法运算公式;容易出错的地方是计算粗心;把12-=i 算为1..属于基础题;难度系数较小..3、右图是一个算法流程图;则输出的n 的值是▲． 答案5第3题。
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ ． 【解析】2105T ππωω==⇒=2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3个，故316612P ==⨯ 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】因()21112i i i i ++==-，故a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z I 中有 ▲ 个元素【解析】由2(1)37x x -<+得2560x x --<，(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z =I ，共有6个元素．5．已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b ==r r ，则|5|a b -=r r ▲ ． 【解析】22222|5|(5)25||10||251a b a b a a b b -=-=-⋅+=⨯-r r r r r r r r 211013()3492⨯⨯⨯-+=，故|5|7a b -=r r ．6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统序号i 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率（i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.510 0.20 3 [6,7) 6.520 0.40 4 [7,8) 7.510 0.20 5 [8,9] 8.54 0.08 开始 S ←0 输入G i ，F ii ←1 S ← S ＋G i ·F ii ≥5 i ← i ＋1NY计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ 【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲【解析】'1y x =，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，故b ＝ln2－1．9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为1111()()0x y b c p a -+-=，请你完成直线OF 的方程：( ▲ )11()0x y p a+-=． 【解析】画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x yb a+=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得1111()()0x y b c p a -+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲【解析】前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ▲【解析】由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xz xz xz +++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2(0)a P c，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ▲【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，故△OAP 是等腰直角三角形，故22a a c=，解得22c e a ==．13．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式， 得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x .②将②代入①，得 S △ABC ＝x1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝128－x 2－12216.由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.14．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]，总有f (x )≥0成立，则a ＝【解】若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3．设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4．当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，且g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4．二如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点．已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255． ⑴．求tan(α＋β)的值； ⑵．求α＋2β的值．【解】⑴．由已知条件即三角函数的定义可知225cos ,cos αβ==，因α为锐角，故ABC DEF Bsin 0α>，从而sin 10α==，同理可得sin 5β==，故1tan 7,tan 2αβ==．故tan()αβ+=17tan tan 2311tan tan 172αβαβ++==---⨯g ； ⑵．132tan(2)tan[()]111(3)2αβαββ-++=++==---⨯，又0,022ππαβ<<<<，故3022παβ<+<，从而由 tan(2)1αβ+=-得，324παβ+=． 16．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： ⑴．直线//EF 面ACD ； ⑵．平面EFC ⊥面BCD ．【标准答案】证明：⑴．因E ，F 分别是AB BD ，的中点．故EF 是△ABD的中位线，故EF ∥AD ，因EF ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，故直线EF ∥面ACD ；⑵．因AD ⊥BD ，EF ∥AD ，故EF ⊥BD ，因CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，故CF ⊥BD ，又EF∩CF=F ，故BD ⊥面EFC ，因BD ⊂面BCD ，故面EFC ⊥面BCD 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． ⑴．按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；⑵．请你选用⑴中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短． 【解】⑴．①．由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad)，则10cos cos AQ OA θθ==， 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-，故10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤；②．若OP=x (km)，则OQ ＝10－x，故OA OB ===数关系式为10)y x x =+≤≤．⑵．选择函数模型①，'2210cos cos (2010)(sin )10(2sin 1)cos cos sin y θθθθθθθ-⋅----==，令'y =0 得sin 12θ=，因04πθ<<，故θ=6π，当(0,)6πθ∈时，'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时，'0y >，y 是θ的增函数，故当θ=6π时，min 10y =+．这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离ABkm 处． 18．在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ．⑴．求实数b 的取值范围； ⑵．求圆C 的方程；⑶．问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．【解】⑴．令0x =，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令2()20f x x x b =++=，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．⑵．设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0得，20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．故圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=． ⑶．圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为22000002(1)0x y x y b y ++-+-=(*)，为使(*)式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有010y -=，结合(*)式得，2200020x y x y ++-=，解得000002 11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，－，或，，，经 检验知，点(0,1),(2,1)-均在圆C 上，因此圆C 过定点．19．⑴．设12,,,n a a a L 是各项均不为零的等差数列(4n ≥)，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列： ①．当4n =时，求1a d的数值；②．求n 的所有可能值； ⑵．求证：对于一个给定的正整数(4)n n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L ，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列．【解】⑴．①．当4n =时， 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出0d =．若删去2a ，则2314a a a =⋅，即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=，得14a d=-； 若删去3a ，则2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=，得11a d=； 综上，得14a d =-或11ad=．②．当5n =时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项．若删去3a ，则1524a a a a ⋅=⋅，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得230d =，因0≠d ，故3a 不能删去；当6n ≥时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --L 中，由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -L 中任意一个，则必有121n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾．(或者说：当n ≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，4n =．⑵假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列12,,...,n b b b ，其中111,,x y z b b b +++(01x y z n ≤<<≤-)为任意三项成等比数列，则2111yx z b b b +++=⋅，即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+，化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+-(*)，由10b d ≠知，2y xz-与2x z y +-同时为0或同时不为0；当2y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾．故2y xz -与2x z y +-同时不为0，故由(*)得212b y xz d x z y-=+-，因01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z为整数，故上式右边为有理数，从而1b d 为有理数．于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要1bd为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n 项数列1，11+……，1(n +-满足要求．20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若⑴．求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；⑵．设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 【解】⑴．由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于12()()f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于12||||323x p x p --≤⋅，即312log 2||||332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立．（*）由于121212|||||()()|||()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12||p p -，故（*）等价于12||32p p -≤，即123||log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件⑵．分两种情形讨论（i ）当123||log 2p p -≤时，由⑴知，1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）则由()()f a f b =及1a p b <<易知12a bp +=，再111113,()3,p x x px p f x x p --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b ab +--=（参见示意图1） （ii ）123||log 2p p ->时，不妨设12,p p <，是当1x p ≤时，有1212()33()p xp x f x f x --=<<，从1()()f x f x =；当2x p ≥时，312122122log 212()333333(x p p p x p p p x p x p f x f --+----===>=g g 2当12p x p <<时，11()3x p f x -=，及22()23p xf x -=⋅，由方程12323x p p x --=⋅，解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为12031log 222p p x +=+⑴，显然10221321[()log 2]2p x p p p p <=---<，这表明0x 在1p 与2p 之间．由⑴知，101022(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩综上可知，在区间[,]a b 上，0102(),()(),a x x f x f x x x bf x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （参见示意图2），故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为012()()x p b p -+-，由于()()f a f b =，即12323p a b p --=⋅，得123log 2p p a b +=++⑵，故由⑴、⑵得0121231()()[log 2]22b ax p b p b p p --+-=-+-=综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2ab -．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F的方程．解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点，'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=，故曲线F 的方程是 221x y +=C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 解：因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<，故1sin 2(cos sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+，故当6πφ=时，S 取最大值222．【必做题】记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．解：由题设可知，以DA u u u r 、DC u u ur 、1DD u u u u r 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，由1(1,1,1)D B =-u u u u r，得11(,,)D P D B λλλλ==-u u u u r u u u u r ，故11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r ，显然APC ∠不是平角，故APC ∠为钝角等价于cos cos ,0||||PA PCAPC PA PC PA PC ∠=<>=<⋅u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ，则等价于0PA PC <u u u r u u u r g ，即2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113λ<<，故λ的取值范围是1(,1)323．在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则，得(sin 2)24cos (sin )x x x -=-g g ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ．⑴．利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1)C C C C n n n n n n n x x x x +=++++L （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x --=+-=∑．⑵．对于正整数3n ≥，求证：①．1(1)C 0nkknk k =-=∑； ②．21(1)C 0nkk nk k =-=∑； ③．11121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【解】⑴．在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边对x 求导得112121(1)2(1)n n n n n n n nnn x C C x n Cx nC x----+=+++-+L 移项得112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑（*）⑵．①．在（*）式中，令1x =-，整理得，11(1)0nk knk kC -=-=∑故1(1)0nk kn k kC =-=∑ ②．由⑴知，112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥L 两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x---+=+++-g L 在上式中，令1x =-23220232(1)(1)(1)n n n nC C n n C -=+-++--g L 即22(1)(1)0nkk nk k k C-=--=∑，亦即22(1)()0nkknk k k C =--=∑（1）又由（i ）知1(1)0nkknk kC =-=∑（2）由（1）+（2）得21(1)C 0nk kn k k =-=∑ ③．将等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边在[0,1]上对x 积分1101220(1)(C C C C )n n nn n n n x dx x x x dx+=++++⎰⎰L 由微积分基本定理，得11110011(1)()11nn k k n k x C x n k ++=+=++∑，故1012111n nk n k C k n +=-=++∑。
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω ▲ 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲3．),(11R b a bi a ii∈+-+表示为的形式，则b a += ▲ 4．{}73)1(2-<-=x x x A ，则集合A Z 中有 ▲ 个元素5．b a ,的夹角为120，1,3a b == ，则5a b -= ▲6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ． 8．直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ▲9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。
