【教育资料】1.1.3导数的几何意义 学案学习专用

题目：§1.1.3导数的几何意义清远市第二中学 林哲星【学习目标】1.理解导数的几何意义2.掌握过某点的切线方程的步骤3.通过导数的几何意义了解导数与函数的关系【重点、难点】重点:导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法. 难点:1、发现和理解导数的几何意义；2、运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。

关键：由割线AB 趋向切线动态变化效果，由割线“逼近”成切线的理解．【使用说明、学法指导】1.先通读教材勾画出本节内容的基本知识，再完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，然后再读教材或查阅资料，解决问题。

2.独立完成，限时15分钟。

导数的几何意义【课前预习案】一、复习回顾：求函数()y f x =在0x 处的导数的三步骤:①求自变量的增量=y ②求平均变化率y x = ③取极限，得导数0()=f x '0lim x y x →= 二、自学提纲1.切线的概念：课本7P 图1.1-2中,当n P 趋近于点P 时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT 称为______________________2.导数的几何意义：（1）函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的_______________，即__________________（2）以直代曲是指__________________________3. 导函数的概念：当x 变化时, 便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数（简称导数）.()y f x =的导函数有时也记作y ',即()=f x ' = .4. 求曲线上某点处切线方程的三个步骤：（1）求斜率→求出曲线在点00(,)x y 处切线的斜率0()k f x '=（2）写方程→用点斜式00()y y k x x -=-（3）变形式→将点斜式方程变为一般式方程.（切点在切线上，又在曲线上）导数的几何意义【课堂探究案】题型一：求导函数1、已知函数2()1f x x =- ，求()f x '及(1)f '-题型二：求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例1：求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.归纳总结求曲线的切线的步骤：1.______________________________________;2._______________________________________.【当堂训练】1、求函数23x y =在点(1,3)处的导数.2、求曲线2()33y f x x x ==-+在点(1,1)P 处的切线方程.题型三：导数的几何意义的应用例3：如图，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(t 的单位：min ，c 的单位：mg/ml)随时间t 变化的函数图象。

§1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.了解平均变化率与割线之间，瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图像理解导数的几何意义； 2了解导函数的概念，会求导函数；3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习过程一、课前准备复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率y k x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆ 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆三、典型例题例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点A (1,3)处的导数.并求曲线在点A 处的切线方程。

例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.例3 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)四．课堂练习1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；2．求曲线y=在点(4,2)处的切线．五．回顾总结1.导数的几何意义：2.求曲线上某点处切线方程的步骤：课后作业1．已知曲线y＝12x2－2上一点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()．A．30°B．45°C．135°D．165°2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()．A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．63．设y＝f(x)存在导函数，且满足limΔx→0f(1)－f(1－2Δx)2Δx＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率()．A．2 B．－1 C．1 D．－24．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为________．5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(1)－f(1－x)2x＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．7．设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)()．A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在C．在点x0处不连续D．在x＝x0处极限不存在8．函数y＝－1x在⎪⎭⎫⎝⎛-2,21处的切线方程是()．A．y＝4x B．y＝4x－4C．y＝4x＋4 D．y＝2x－49．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．10．已知曲线y＝1x－1上两点⎪⎭⎫⎝⎛-21,2A，B(2＋Δx，－12＋Δy)，当Δx＝1时割线AB的斜率为________．11．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．。

1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义(重、难点).3.会求曲线在某点处的切线方程(重、难点).4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点1 曲线的切线如图所示，当点P n 沿着曲线y ＝f (x )无限趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线. (1)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个. 【预习评价】有同学认为曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )只有一个交点，你认为正确吗？提示 不正确.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点2 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ，即k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝f ′(x 0).【预习评价】 (正确的打√，错误的打×)1.若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数不存在，则切线不存在.(×) 提示 切线存在，且切线与x 轴垂直.2.若f ′(x 0)>0，则切线的倾斜角为锐角；若f ′(x 0)<0，则切线的倾斜角为钝角；若f ′(x 0)＝0，则切线与x 轴平行.(√) 知识点3 导函数的概念对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，这样，当x 变化时，f ′(x )便是关于x 的一个函数，称它为函数y ＝f (x )的导函数，简称导数，也可记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数y ′|x ＝x 0就是函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )(x ∈(a ，b ))上的导数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，即y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)，所以函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数也记作f ′(x 0). 【预习评价】如何正确理解“函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？提示 “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关.方向1 求曲线在某点处的切线方程【例1－1】 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程.解 因为点(1，3)在曲线上，曲线在点(1，3)处的切线的斜率为f ′(1)＝0lim x ∆→（1＋Δx ）3－（1＋Δx ）＋3－（1－1＋3）Δx＝0lim x ∆→ （Δx ）3＋3（Δx ）2＋2ΔxΔx＝0lim x ∆→[(Δx )2＋3Δx ＋2]＝2，故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 方向2 求曲线过某点的切线方程【例1－2】 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 2（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx＝0lim x ∆→[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.设切点的坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线的斜率k ＝2－3x 20， ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38.当切点为(0，0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0. 方向3 求切点的坐标【例1－3】 曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.解 设点P 的坐标为(x 0，x 30)，则有k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ 3x 20Δx ＋3x 0（Δx ）2＋（Δx ）3Δx＝0lim x ∆→[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1，1)或(－1，－1).规律方法 (1)求曲线上某点(x 0，y 0)处切线方程的步骤(2)求切点坐标可以按以下步骤进行 ①设出切点坐标；②利用导数或斜率公式求出斜率；③利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； ④把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 题型二 求导函数【例2】 求函数f (x )＝x 2＋1的导函数. 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝（x ＋Δx ）2＋1－x 2＋1 ＝2x Δx ＋（Δx ）2（x ＋Δx ）2＋1＋x 2＋1，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx（x ＋Δx ）2＋1＋x 2＋1， ∴f ′(x )＝0lim x ∆→ ΔyΔx＝0lim x ∆→2x ＋Δx（x ＋Δx ）2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 规律方法 求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )，然后，再求解Δy Δx ，最后得到f ′(x )＝0lim x ∆→ Δy Δx .【训练1】 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1). 解 因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1) ＝2Δx ·x ＋(Δx )2，故0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 2Δx ·x ＋（Δx ）2Δx ＝2x ，得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2. 题型三 导数几何意义的综合应用【例3】 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1)＝(3x 2＋2ax －9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴ΔyΔx ＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2，∴f ′(x )＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23.由题意知f ′(x )最小值是－12， ∴－9－a 23＝－12，a 2＝9. ∵a ＜0，∴a ＝－3.规律方法 综合应用导数几何意义时的注意点(1)导数的几何意义是曲线的切线斜率，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点；(2)导数几何意义的综合应用题目的解题关键是求函数在某点处的导数，即切线的斜率，注意结合相关知识(如函数、方程、不等式等)求解.【训练2】 (1)已知函数f (x )在区间[0，3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为______________(请用“＞”连接).(2)曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________.解析 (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为曲线在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，故交点坐标为(1，1).曲线y ＝1x 在点(1，1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0， 曲线y ＝x 2在点(1，1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0. 从而得S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12×1＝34.答案 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34课堂达标1.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝0lim x ∆→ （0＋Δx ）2＋a （0＋Δx ）＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A. 答案 A2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A.f ′(x A )>f ′(x B )B.f ′(x A )<f ′(x B )C.f ′(x A )＝f ′(x B )D.不能确定解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ). 答案 B3.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于________.解析 ∵点P (5，y )在直线y ＝－x ＋8上，∴f (5)＝3， 又由导数的几何意义可知，f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案 24.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.解析 设点P (x 0，2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ 2（Δx ）2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3，30). 答案 (3，30) 5.已知曲线y ＝x 2，(1)求曲线在点P (1，1)处的切线方程； (2)求曲线过点P (3，5)的切线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2－x 2Δx＝0lim x ∆→ x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，(1)曲线在点P (1，1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. ∴曲线在点P (1，1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)点P (3，5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)，则曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0，∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 由P (3，5)在所求直线上得 5－y 0＝2x 0(3－x 0)，①再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得，x 0＝1或x 0＝5. 从而切点A 的坐标为(1，1)或(5，25). 当切点为(1，1)时， 切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0，当切点为(5，25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)， 即10x －y －25＝0.综上所述，过点P (3，5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.课堂小结1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.基础过关1.下列说法正确的是( )A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0. 答案 C2.在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A.(0，0)B.(2，4)C.(14，116)D.(12，14)解析 ∵y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx )＝2x ，∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案 D3.已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在P 点处切线的斜率为( ) A.4B.2C.－4D.8解析 因y ＝13x 3，得y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 13（x ＋Δx ）3－13x 3Δx＝130lim x ∆→[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝x 2，故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4. 答案 A4.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2， 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 答案 35.过点P (－1，2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线平行的直线方程是__________.解析 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝0lim x ∆→ 3（1＋Δx ）2－4（1＋Δx ）＋2－3＋4－2Δx＝0lim x ∆→ (3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1，2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.∴所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 答案 2x －y ＋4＝06.求曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 解 由导数定义可得y ′|x ＝1＝2，∴曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，则它与两坐标轴的交点分别为A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴S △AOB ＝12|OA ||OB |＝14，即曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为14.7.已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标.解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx ＝3x 2－4x ，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0.由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3). 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， 解得a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； 当a ＝－5时，切点坐标为(2，3).能力提升8.若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A.4x －y －4＝0B.x ＋4y －5＝0C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0解析 由题意知，l 的斜率为4，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→ （x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝0lim x ∆→ (2x 0＋Δx )＝2x 0＝4. ∴x 0＝2，则y 0＝x 20＝4，∴l 的方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.答案 A9.设f (x )为可导函数，且满足 f （1）－f （1－x ）2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A.2B.－1C.1D.－2解析0lim x → 12f （1）－f （1－x ）x ＝120lim x → f （1）－f （1－x ）x ＝12f ′(1)＝－1，∴f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2.答案 D10.若曲线y ＝2x 2－4x ＋m 与直线y ＝1相切，则m ＝________.解析 设切点坐标为(x 0，1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点坐标为(1，1).∴2－4＋m ＝1，即m ＝3.答案 311.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________. 解析 ∵f ′(x )＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2＋2（x ＋Δx ）＋3－（x 2＋2x ＋3）Δx ＝0lim x ∆→ （2x ＋2）·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→ (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2， ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 12.已知抛物线y ＝x 2和直线x －y －2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离. 解 法一 设P (x ，x 2)为抛物线上任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|x －x 2－2|2＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎪⎫x －122－74＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋728，所以当x ＝12时，d 最小，最小值为728.法二 由题意设直线x －y ＋b ＝0与抛物线y ＝x 2相切，则x 2－x －b ＝0，由Δ＝0得b ＝－14，所以直线x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＋22＝742＝728，所以抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.法三 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝0lim x ∆→ （x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积.解 (1)∵y ′＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2＋（x ＋Δx ）－2－（x 2＋x －2）Δx ＝2x ＋1， ∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0).∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.又直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。

学习目标：理解导数的概念并会运用概念求导数。

学习重点：导数的概念以及求导数 学习难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。

虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。

由此我们引出下面导数的概念。

二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。

4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。

5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。

1．1.3 导数的几何意义1.理解曲线的切线的含义．2.理解导数的几何意义．3.会求曲线在某点处的切线方程．4．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数．1．导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.1．此处切线定义与以前所学过的切线定义的比较(1)初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线．但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线．如图中的曲线C ，直线l 1与曲线C 有唯一的公共点M ，但l 1不是曲线C 的切线；l 2虽然与曲线C 有不止一个公共点，但l 2是曲线C 在点N 处的切线．(2)此处是通过逼近方法，将割线趋近于确定的位置的直线定义为切线，适用于各种曲线．所以这种定义才真正反映了切线的本质．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)、导函数f ′(x )之间的区别与联系区别：(1)f ′(x 0)是在x ＝x 0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量．(2)f ′(x )是函数f (x )的导数，是对某一区间内任意x 而言的，即如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ′(x )，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x )．联系：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．这也是求函数在x ＝x 0处的导数的方法之一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( )(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．( )(3)函数f (x )＝0没有导数．( )(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( ) A. 12 B ．3 C ．4D ．5解析：选A.根据导数的几何意义知f ′(4)是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线的斜率k ，注意到k ＝5－34－0＝12，所以f ′(4)＝12.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B.由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选 B.曲线y ＝－2x 2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是________． 解析：因为Δy ＝－2(Δx )2，所以Δy Δx ＝－2Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(－2Δx )＝0，由导数的几何意义知切线的斜率为0.答案：0探究点1 求曲线在定点处的切线方程求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线方程． 【解】 因为y ′＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.所以y ′|x ＝－1＝2－3(－1)2＝2－3＝－1.所以切线方程为y －(－1)＝－[x －(－1)]， 即x ＋y ＋2＝0.求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．解：y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx ＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)． 因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)·(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝－32.所以切点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0，0)时，切线斜率k ＝－2－0－1－0＝2，切线方程为y ＝2x ；当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率k ＝38－（－2）－32－（－1）＝－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.解决曲线的切线问题的思路(1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程，即点P 的坐标既满足曲线方程，又满足切线方程时，若点P 处的切线斜率存在，则点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)；若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线斜率不存在(此时切线平行于y 轴)，则点P 处的切线方程为x ＝x 0.(2)若切点未知，则需设出切点坐标，再根据题意列出关于切点横坐标的方程，最后求出切点纵坐标及切线的方程，此时求出的切线方程往往不止一个．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1，1)． Δy Δx ＝（1＋Δx ）3－13Δx ＝3Δx ＋3（Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1，1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1，1)外，还有点(－2，－8)． 探究点2 求切点坐标在曲线y ＝x 2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．【解】 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为点P 处的切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2，4)．(2)因为点P 处的切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94. (3)因为点P 处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．1.已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝12x ＝12， 所以x ＝1，所以切点的横坐标为 1.2．已知曲线f (x )＝x 2＋6在点P 处的切线平行于直线4x －y －3＝0，求点P 的坐标． 解：设切点P 坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋6－（x 2＋6）Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .所以点P 在(x 0，y 0)处的切线的斜率为2x 0. 因为切线与直线4x －y －3＝0平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10，即切点为(2，10)． 探究点3 导数几何意义的应用我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )【解析】 从函数图象上看，要求图象在[0，T ]上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中的切线斜率在不断增大，也即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．【答案】 B(1)曲线f (x )在x 0附近的变化情况可通过x 0处的切线刻画．f ′(x 0)>0说明曲线在x 0处的切线的斜率为正值，从而得出在x 0附近曲线是上升的；f ′(x 0)<0说明在x 0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．1.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选B.从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，过此两点的割线的斜率f （3）－f （2）3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.2．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图象可能是( )解析：选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 中的图象符合题意.1．下列说法中正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线解析：选C.f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，切线斜率不存在，但其切线方程可以为x ＝x 0，所以A ，B ，D 错误．2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B.由题意可知，f ′(x 0)＝－12.3．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于________．解析：易得切点P (5，3)， 所以f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.所以f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 4．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. (1)求曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)求曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解：将点P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，所以y ＝11－x.y ′＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →011－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝limΔx →0Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝limΔx →01（1－x －Δx ）（1－x ）＝1（1－x ）2，(1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝2＝1（1－2）2＝1；曲线在点Q 处的切线斜率为y ′|x ＝－1＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2， 即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.知识结构深化拓展导数与函数图象的关系在x ＝x 0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f ′(x 0)反映函数在x ＝x 0附近的增减情况，而在x ＝x 0处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f (x )在x ＝x 0附近切线的斜率k切线的倾斜角 f ′(x 0)>0上升k >0 锐角f ′(x 0)<0下降k <0 钝角 f ′(x 0)＝0k ＝0零角(切线与x 轴平行)[注意] 导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢.[A 基础达标]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选B.因为二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于x 轴，即切线的斜率为0，所以f ′(1)＝0，选B.2．曲线f (x )＝9x在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析：选C.f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝9lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝－9limΔx →01（x ＋Δx ）x＝－9x2，所以f ′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0°，180°)，所以所求倾斜角为135°.3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B. 12 C ．－12D ．－1解析：选A.因为y ′|x ＝1＝lim Δx →0a （1＋Δx ）2－a ×12Δx＝lim Δx →02a Δx ＋a （Δx ）2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2， 所以a ＝1.4．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.因为点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，所以b ＝1.又y ′＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a ，所以过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________．解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3. 答案：37．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.答案：28．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为________．解析：limΔx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx＝lim Δx →0f （1－2Δx ）－f （1）－2Δx＝f ′(x )＝－1. 答案：－19．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求： (1)曲线在点P 处的切线方程； (2)过点P 的曲线的切线方程．解：(1)因为函数y ＝13x 3的导函数为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →013（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝13lim Δx →03x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， 所以y ′|x ＝2＝22＝4.所以曲线在点P 处的切线的斜率等于4.故曲线在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，由(1)知y ′＝x 2，则点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝x 20，切线方程为y －y 0＝x 20(x －x 0)．又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，且(x 0，y 0)在曲线y ＝13x 3上，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－y 0＝x 2（2－x 0），y 0＝13x 30，整理得x 30－3x 20＋4＝0，即(x 0－2)2(x 0＋1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝－1.当x 0＝2时，y 0＝83，切线斜率k ＝4，切线方程为12x －3y －16＝0；当x 0＝－1时，y 0＝－13，切线斜率k ＝1，切线方程为3x －3y ＋2＝0.故过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.10．已知曲线f (x )＝ax－x 在x ＝4处的切线方程为5x ＋16y ＋b ＝0，求实数a 与b 的值．解：因为直线5x ＋16y ＋b ＝0的斜率k ＝－516，所以f ′(4)＝－516.而f ′(4)＝lim Δx →0（a 4＋Δx －4＋Δx ）－（a4－4）Δx＝limΔx →0（a 4＋Δx －a4）－（4＋Δx －2）Δx＝lim Δx →0[－a 4（4＋Δx ）－14＋Δx ＋2]＝－a ＋416，所以－a ＋416＝－516，解得a ＝1. 所以f (x )＝1x －x ，所以f (4)＝14－4＝－74，即切点为(4，－74)．因为(4，－74)在切线5x ＋16y ＋b ＝0上，所以5×4＋16×(－74)＋b ＝0，即b ＝8，从而a ＝1，b ＝8.[B 能力提升]11．曲线y ＝x ＋1x上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.y ＝x ＋1x上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0（x 0＋Δx ）＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1.即k <1.12．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．解析：y ′＝limΔx →0ΔyΔx ＝2x －1，在点P 处切线的斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P 的横坐标是－2，所以点P 的纵坐标是6＋c ，故直线OP 的斜率为－6＋c 2，根据题意有－6＋c2＝－5，解得c ＝4.答案：413．已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx＝3x 2－4x ， 由题意可知k ＝4， 即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，所以切点的坐标为(－23，4927)或(2，3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.所以当a ＝12127时，切点为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点为(2，3)．14．(选做题)已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，试分别求出这两条平行的切线方程．解：对于曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[（x 0＋Δx ）2－1]－（x 20－1）Δx＝lim Δx →02x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0.对于曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[1－（x 0＋Δx ）3]－（1－x 30）Δx＝lim Δx →0－3x 20Δx －3x 0（Δx ）2－（Δx ）3Δx＝lim Δx →0[－3x 20－3x 0·Δx －(Δx )2]＝－3x 20，又y ＝1－x 3与y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线互相平行， 所以2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或x 0＝－23.(1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0， 曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)， 切线方程为y ＝－1，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. 但直线y ＝1并不是曲线的切线，不符合题意． (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x ＋9y＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x ＋27y－11＝0.综上，两曲线的切线方程分别是12x＋9y＋13＝0，36x＋27y－11＝0.。

1.1.3 导数的几何意义课堂导学三点剖析一、求切线方程例1 求曲线y =x 1-x 上一点P （4，47 ）处的切线方程.温馨提示f (x )对x 的导数即为在该点处的切线的斜率，应明确导数的几何意义.二、求切点坐标例2 在曲线y =x 2上过点P 的切线，（1）平行于直线y =4x -5；（2）与x 轴成135°的倾斜角分别求点P 的坐标.温馨提示注意利用解析几何中有关两直线平行垂直的条件.三、综合应用例3 已知点M （0，-1），F （0，1），过点M 的直线l 与曲线y =31x 3-4x +4在x =2处的切线平行.（1）求直线l 的方程；（2）求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程温馨提示 本题以导数为工具，主要考查了直线方程，抛物线的焦点、准线等基础知识. 各个击破类题演练 1已知曲线C ：y =x 3-3x 2+2x ，直线l :y =kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）(x 0≠0). 求直线l 的方程及切点坐标.变式提示 1已知曲线y =x 2+x 1+5上的一点P （2，219），求P 处的切线方程.类题演练 2 在曲线y =x 2上过P 点的切线垂直于直线2x -6y +5=0，求点P 的坐标.变式提升 2 如果曲线y =x 3+x -10的某一切线与直线y =4x +3平行，求切点坐标与切线方程.类题演练 3 已知函数f (x )=ln x ，g (x )=21x 2+a (a 为常数)，直线l 与函数f (x ）、g (x )的图象都相切，且l 与函数f (x )图象的切点的横坐标为1，求直线l 的方程及a 的值.变式提升 3 已知曲线C 1：y =x 2与C 2：y =-(x -2)2，若直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.参考答案例1 解：要求过点P （4，47 ）的切线方程，只需求出切线的斜率，由导数的几何意义知，其斜率为f ′(4)，为此需求出曲线在点P （4，47-）处的导数. ∵y ′=-21x x21-x ， ∴f ′(4)=165-， ∴所求切线的斜率为165- 所求切线方程为5x +16y +8=0.例2 解：f ′(x )=lim 0→∆xx x f x x f ∆-∆+)()( =lim 0→∆xx x x x x 2)(22=∆-∆+， 设P （x 0，y 0）是满足条件的点.（1）因为切线与直线y =4x -5平行，所以2x 0=4，x 0=2，y 0=4，即P （2，4）（2）因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为-1即2x 0=-1，得x 0=21-，y 0=41，即P （21-，41）. 例3 解：（1）因为f ′（2）=lim 0→∆x0)424231(4)2(4)2(3133=∆+⨯-⨯-+∆+-∆+x x x ， 所以直线l 的斜率为0，其直线方程为y =-1.(2)因为抛物线以点F （0，1）为焦点，y =-1为准线，设抛物线方程为x 2=2py ，则2p =1，p =2. 故抛物线C 的方程为x 2=4y .类题演练 1解：∵直线l 过原点，则k =00x y (x 0≠0). 由点（x 0，y 0）在曲线C 上的y 0=x 30-3x 20+2x 0， ∴00x y =x 20-3x 0+2， ∵y ′=3x 2-6x +2，∴k =3x 20-6x 0+2.又k =00x y ，∴3x 20-6x 0+2=00x y =x 20-3x 0+2， 整理得2x 20-3x 0=0，∵x 0≠0，∴x 0=23，此时y 0=83-，k =-41， 因此直线l 的方程为y =-41x ， 切点坐标为（23，83-） 变式提示 1 解：因为k =f ′(2)= lim 0→∆xx f x f ∆-∆+)2()2( =lim 0→∆x xx x ∆++-+∆+++∆+)5214(5212)2(2=415. 所以在P 点处的切线方程为y -219=415(x -2)， 即15x -4y +8=0.类题演练 2 解：∵切线与直线y =4x +3平行，∴斜率为4又切线在x 0点的斜率为y ′|x 0=(x 3+x -10)′|x 0=3x 20+1，∴3x 20+1=4，x 0＝±1，⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==.121,,81,0000y x y x ∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为y =4x -12或y =4x -8.变式提升 2 解：f ′(x )= lim 0→∆xx x f x x f ∆-∆+)()( =lim 0→∆xx x x x ∆-∆+22)(=2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点，因为切线与直线2x -6y +5=0垂直，所以2x 0·31=-1， 得x 0=23-，y 0=49， 即P (23-，49). 类题演练 3 解：设直线l 与两曲线的切点的坐标分别为A （a ，a 2），B （b ，-(b -2)2）. 因为两曲线对应函数的导函数分别为y 1′=2x ，y 2′=-2(x -2).所以在A 、B 两点处直线的斜率分别为y 1′|x =a =2a ，y 2′|x =b =-2(b -2). 由题意22+(-2)-a b a b=2a =-2b +4， 即⎩⎨⎧=+---=442,222b ab b a b a解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,00,2b a b a 或 所以A （2，4）或（0，0），切线的斜率k =4或0，从而切线方程为y =4x -4或y =0. 变式提升 3 解：由f ′(x )|x =1=1，知直线l 的斜率为1，切点为（1，f (1)），即（1，0）， 所以l 的方程为y =x -1.又直线l 与y =g (x )的图象相切，即方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a x y x y 221,1只有一解. 即方程21x 2-x +(1+a )=0有两个相等的实数根， ∴Δ=1-4×21（1+a ）=0.∴a =21-=.。

1.1.3 导数的几何意义学习目标:1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图象直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题 重点: 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.难点: 导数的几何意义新知讲解:1.曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ 3.导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个 确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 记作: ()f x '或y ',即0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆. 合作探究 展示点评探究一：导数的应用例1： (1)求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程. (2)求函数23x y =在点(1,3)处的导数.探究二：导数的实际应用例2 ：如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图象,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况.当堂检测1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在3．抛物线y ＝2x 2在点P (1,2)处的切线l 的斜率为____．4．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2.求f (1)与f ′(1)的值．参考答案合作探究 展示点评探究一：导数的应用例1：解: (1)222100[(1)1](11)2|lim lim 2x x x x x x y x x =∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆所以,所求切线的斜率为2因此,所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=(2)因为222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=探究二：导数的实际应用例2：解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴,所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<,所以,在1t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减.(3)当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<,所以,在2t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度,这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.当堂检测1．B2．【解析】由x ＋2y －3＝0知斜率k ＝－12， ∴f ′(x 0)＝－12＜0. 【答案】B3．【解析】k ＝f ′(1)＝4【答案】44．解：由题意f (1)＝12×1＋2＝52.由导数的几何意义得f ′(1)＝k ＝12.。

1.1.3导数的几何意义【学习目标】1.理解导数的几何意义2.会求曲线的切线方程【学习重点】导数的几何意义及曲线的切线方程【学习难点】求曲线在某点处的切线方程【使用说明及学法指导】1.用15分钟左右的时间，阅读探究课96p p -的内容，熟记基础知识.自主高效预习，提升自己的阅读理解能力.2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题.3.将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处.自主学习一、教材助读（问题形式）1. 平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线？能否将它推广为一般的曲线的切线定义？2.观察课本P7图1.1-2 当点,...)4,3,2,1))((,(=n x f x P n n n 沿着曲线)(x f 趋近于点))(,(00x f x P 时，割线n PP 的变化趋势是什么？尝试给出曲线在一点处的切线概念。

二、自学检测1、函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '的几何意义： ；相应地，曲线()y f x =在点()00()P x f x ，处的切线方程合作探究基础知识梳理（以填空形式呈现）1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图课本P7图1.1-2当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x趋近于点00(,())P x f x 时,即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为 . （2）割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时, n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k == 说明: (1)当0→∆x时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.2.导数的几何意义 函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '=3. 曲线在一点处的切线的方程________________探究一1.已知曲线331x y =上一点)38,2(P 求(1)点P 处的切线的斜率(2)点P 处的切线方程反馈练习一、选择题 1、曲线122+-=x y 在点（0，1）处的切线的斜率是（ ） A.-4 B.0 C.4 D.不存在 2、曲线3x y=在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为（ ）A.(-2，-8)B.(1,1), (-1，-1)C.(2,8)D.)8121(--， 3、12+=ax y 的图象与直线y=x 相切，则a=（ ） 81.A 41.B C.21D. 1。

1.1.3 导数的几何意义教学目标1.知识与技能理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．2．过程与方法培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力．3．情感、态度与价值观经过Flash动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．教学重点、难点重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程．难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．教学方案设计教学建议为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结．(2)学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．(3)教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主．课前自主学习：自主导学：知识点1：导数的几何意义问题导思1．我们知道，导数f′(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x＝x0附近的变化情况，那么，导数f′(x0)是否有一定的几何意义呢？答：f′(x0)有几何意义．2．如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n的变化趋势是什么？答：点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT .3．第2题图中割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，此斜率与切线PT 的斜率有何大小关系？答：k n 无限趋近于切线PT 的斜率．1．设点P (x 0，f (x 0))，P n (x n ，f (x n ))是曲线y ＝f (x )上不同的点，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为过点P 的切线，且PT 的斜率k ＝lim Δx →0f (x n )－f (x 0)x n －x 0＝f ′(x 0)． 2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率，在点P 的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．知识点2：导函数的概念从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程看到，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数；当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称为f (x )的导函数，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 问题导思导函数f (x )与函数在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)相同吗？它们有什么区别与联系？答：不相同．(1)两者的区别：由导数的定义知，f ′(x 0)是一个具体的值，f ′(x )是由于f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义在I 上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数．(2)两者的联系：在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.例题讲解：类型1：导数几何意义的理解例1：若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()思路探究：(1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？【解析】因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．【答案】A规律方法：1．f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y ＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．变式训练：已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)＞f′(x B)B．f′(x A)＝f′(x B)C．f′(x A)＜f′(x B)D．f′(x A)与f′(x B)大小不能确定【解析】由y＝f(x)的图象可知，k A＞k B，根据导数的几何意义有：f′(x A)＞f′(x B)．【答案】A类型2：求曲线的切线方程例2：(1)求曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程．(2)求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．【解析】(1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？解： (1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx ＋1)－(x 2＋x ＋1)Δx＝2x ＋1，∵(1,3)在曲线上，∴切线斜率k ＝y ′|x =1＝2×1＋1＝3.∴所求切线方程为y －3＝3(x －1)，即3x －y ＝0.(2)y ′＝2x ＋1，∵点(－1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝2x 0＋1＝y 0x 0＋1. ∵y 0＝x 20＋x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0， 当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0，故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.规律方法：1．如果所给点P (x 0，y 0)就是切点，一般叙述为“在点P 处的切线”，此时只要求函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)，即得切线的斜率k ＝f ′(x 0)，再根据点斜式得出切线方程．2．如果所给点P 不是切点，应先设出切点M (x 0，y 0)，再求切线方程．要特别注意“过点P 的切线”这一叙述，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上．变式训练：求曲线y ＝1x 在点A (12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程． 解：∵Δy ＝f (12＋Δx )－f (12) ＝21＋2Δx －2＝－4Δx 1＋2Δx ， ∴Δy Δx ＝－41＋2Δx， ∴切线的斜率k ＝12x y ='＝lim Δx →0 －41＋2Δx ＝－4. ∴切线方程为y －2＝－4(x －12)，即4x ＋y －4＝0.类型3：导数几何意义的综合应用例3：抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线4x －y ＋2＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . ∴0x x y ='＝2x 0，又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行，∴2x 0＝4，∴x 0＝2，∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上，∴y 0＝4，∴点P 的坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.规律方法：1．导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点．2．导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题．变式训练：已知曲线C ：y ＝x 3.求：(1)曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程，得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2， ∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)．说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点(－2，－8)．错题警示：错把所给点当作切点致误典例：已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．错解：f′(3)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2(3＋Δx)2－7]－(2×32－7)Δx＝limΔx→0(12＋2Δx)＝12.故切线斜率为12.由直线的点斜式方程，得切线方程为y－9＝12(x－3)，即12x－y－27＝0.错因分析：点P不是切点，故切线斜率不是在x＝3处的导数．防范措施：求曲线的切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，否则极易出错．正解：f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2(x0＋Δx)2－7]－(2×x20－7)Δx＝limΔx→0(4x0＋2Δx)＝4x0.由于2×32－7＝11≠9，故点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2，或x0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0，或16x－y－39＝0.课堂小结：1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数f′(x)，是针对某一区间内任意点x而言的，函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．。