贵州省2019届高三月考数学(理)试卷

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________． 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．专题13 平面向量CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r|．（1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义备注零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的． 单位向量长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=||aa ． 平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ．说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||a a ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差） 已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）． 数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r=（x 2–x 1，y 2–y 1）．说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零． （2）向量数量积的性质设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |．特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a ④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b ． （3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ． （4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）． 【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． （1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12（AC u u u r +AB u u u r）；②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r=0；③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB AC u u u r u u u r共线．（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC u u u r（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a ，b 为非零向量，且a ∥b ，则a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． （2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b，<a，b>∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7D ．82．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为A ．12-B ．12C ．3-D ．33．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2C D ．04．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．4 B ．–3C D ．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ= A ．2 B ．-2 C ．12 D ．1-26．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u ur u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r ，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A ．3 B ．C D ．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m = A ．4 B ．1 C ．1-D ．4-9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b ,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BC D 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x =A ．32- B ．–1 C ．23 D ．3212．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56π B ．23π C ．π3D ．6π13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r ，AN CN =+0u u u r u u u r，则A ．2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．2376MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u rD ．7263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v ，则||OP uuu v ＝__________．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AB u u u r =______．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r ，则实数m =__________．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r__________．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r __________． 31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，a b，则x __________．若∥。

高三数学考试（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0}A x x x=+-<，{1,0,1,2}B=-，则A B =（）A．{0,1} B．{1,0,1}- C．{0,1,2} D．{1,0,1,2}-2.复数112ii+-的共轭复数是（）A．135i+B．135i-+C．135i-D．135i--3.若2tan3α=，则2sin3sin cossin2αααα+=（）A．23B．116C．43D． 24.设,x y满足约束条件2632x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则yzx=的最大值是（）A． -1 B．0 C. 12D．25.）A．13B．3C.．36.函数cos(1)()1xxx ef xe-=+的部分图像大致为（）A ．B ．C. D ．7.函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 在[1,2]上的单调递减区间为（ ）A ．11[1,]6B ．11[,2]6 C. 5[,2]3 D ．5[1,]38.如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点E 为1BB 上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是（ ）A ．平面1AC E ⊥平面1A BDB ．//AE 平面11CDD CC. 当E 为1BB 的中点时，1AEC ∆的周长取得最小值D ．三棱锥11A AEC -的体积不是定值。

三山区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 下列关系式中，正确的是（ ） A ．∅∈{0} B ．0⊆{0}C ．0∈{0}D ．∅={0}2． 1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆ ）C. 1D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．3． 如图，三行三列的方阵中有9个数a ij （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．20152B ．20153C ．201523D ．2015225． 已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面积为（ ）A ．4﹣B ．4﹣C ．D ． +6． 复数z=（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数=（ ）A ．﹣iB ．﹣﹣iC ． +iD ．﹣ +i7． 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．08． 圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．9． 下列命题中错误的是（ ）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形1010y -+=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．60D ．30二、填空题11．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则= ．12．等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，则S 6= ．13．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 是圆心为C 的圆（x ﹣1）2+y 2=16上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点M ，则动点M 的轨迹方程为 ．14．设函数 则______；若，，则的大小关系是______．15．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ． 16．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．三、解答题17．十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）（1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值； （2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 过点P （1，0）， 斜率为，曲线C ：ρ=ρcos2θ+8cos θ．（Ⅰ）写出直线l 的一个参数方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|•|PB|的值．19． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线⊥AF 平面ABCD ，AB EF //，12,2====EF AF AB AD ，点P 在棱DF 上.（1）求证：BF AD ⊥；（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （3）若FD FP 31=，求二面角C AP D --的余弦值.20．已知f （x ）=|﹣x|﹣|+x|（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2﹣3a 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若f （m ）+f （n ）=4，且m ＜n ，求m+n 的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数2()1cos f x ax bx x =++-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（其中a ，b R ∈）.（1）若0a =，12b =-，求()f x 的单调区间； （2）若0b =，讨论函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上零点的个数.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.22．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，2ABD π∠=，AD =22AB DC ==，F为PA 的中点．（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若PA PB PD ===P BDF -的体积．ACDPF三山区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：对于A ∅⊆{0}，用“∈”不对，对于B 和C ，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C 正确； 对于D ，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．2． 【答案】D【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PFPF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-， 2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =.12c c =，整理，得2()4ca=+1e =，故选D. 3． 【答案】D【解析】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C 93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为=故选D ．【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单． 4． 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数22()32f x x ax a =+-，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，所以()()1010f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得3a ≥或1a ≤-，又因为(0,3]a ∈，所以3a =，在和两数间插入122015,...a a a 共2015个数，使之与，构成等比数列，T 122015...a a a =，201521...T a a a =，两式相乘，根据等比数列的性质得()()2015201521201513T a a ==⨯，T =201523，故选C.考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 5． 【答案】 A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB ， 若存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立，则（cos θ+sin θ）=﹣1，令sin α=，则cos θ=，则方程等价为sin （α+θ）=﹣1，即sin （α+θ）=﹣，∵存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立，∴|﹣|≤1，即x 2+y 2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B （2，2），A （4，0），则三角形OAB 的面积S=×=4，直线y=x 的倾斜角为，则∠AOB=，即扇形的面积为，则P （x ，y ）构成的区域面积为S=4﹣，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．6．【答案】C【解析】解：∵z==，∴=．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．7．【答案】B【解析】排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）那么安全存放的不同方法种数为2A44=48．故选B．【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．8．【答案】C9．【答案】B【解析】解：对于A ，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a ，则截面面积S=ah ≤2rh ．∴当a=2r 时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A 正确．对于B ，设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a ，则O 到AB 的距离为，∴截面三角形SAB 的高为，∴截面面积S==≤=．故截面的最大面积为．故B 错误．对于C ，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C 正确．对于D ，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D 正确．故选：B ．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．10．【答案】C 【解析】10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角.二、填空题11．【答案】 ．【解析】解：∵函数f （x ）=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣），则=sin （﹣）=﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．12．【答案】 ﹣21 ．【解析】解：∵等比数列{a n}的公比q=﹣，a6=1，∴a1（﹣）5=1，解得a1=﹣32，∴S6==﹣21故答案为：﹣2113．【答案】=1【解析】解：由题意得，圆心C（1，0），半径等于4，连接MA，则|MA|=|MB|，∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为=1．故答案为：=1．【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．14．【答案】，【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】，因为，所以又若，结合图像知：所以：。

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ．专题14 等差数列【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力,以及考生对函数与方程思想的应用.要求： 1．熟练掌握等差的通项公式、前n 项和公式． 2．掌握与等差数列有关的数列的求和的常见方法． 3．了解等差数列与一次函数的关系．【命题规律】等差数列是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等差数列通项形如关于n 的一次函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【知识总结】1．等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n =a m +（n –m ）d （n ，m ∈N *）．（2）若{a n }是等差数列，且k+l=m+n （k ，l ，m ，n ∈N *），则a k +a l =a m +a n ；反之，不一定成立． （3）若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． （4）若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n +qb n }（p ，q ∈N *）也是等差数列．（5）若{a n }是等差数列，则a k ，a k+m ，a k+2m ，…（k ，m ∈N *）组成公差为md 的等差数列． 2．与等差数列各项的和有关的性质（1）若S m =n ，S n =m ，则S m+n =–（m+n ）；若S m =S n ，则S m+n =0． （2）若{a n }是等差数列，则{n S n}也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12．（3）若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m –S m ，S 3m –S 2m 成等差数列．（4）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶–S 奇=nd ，S S 奇偶=1nn a a +； ②若项数为2n –1，则S 偶=（n –1）a n ，S 奇=na n ，S 奇–S 偶=a n ，S S 奇偶=-1nn ．（5）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为2-12-1n n S T =nna b ． 【方法总结】 （一）等差数列1．等差数列的判定与证明方法有以下四种：（1）定义法：a n+1–a n =d （常数）（n ∈N *）或a n –a n –1=d （n ∈N *，n ≥2）⇔{a n }为等差数列． （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2（n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （3）通项公式法：a n =an+b （a ，b 是常数，n ∈N *）⇔{a n }为等差数列． （4）前n 项和公式法：S n =an 2+bn （a ，b 为常数）⇔{a n }为等差数列．若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n+1，a n+2，使得这三项不满足2a n+1=a n +a n+2即可．判断一个数列是否为等差数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般优先考虑定义法，即先表示出a n +1–a n ，然后验证其是否为一个与n 无关的常数．也可根据已知条件求出一些项，根据求解过程寻找具体的解题思路．注意常数列{a n }的通项公式为a n =a （a 为常数），它是一个首项为a ，公差为0的等差数列．2．等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n ．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解，或利用等差中项间接求解． 3．求数列前n 项和的最值的方法：（1）通项法：①若a 1>0，d<0，则S n 必有最大值，其n 可用不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，来确定；②若a 1<0，d>0，则S n 必有最小值，其n 可用不等式组100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，来确定．（2）二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n =na 1+–12n n （）d=2d n 2+（a 1–2d）n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值． （3）不等式组法：借助S n 最大时，有–11n n nn S S S S +≥⎧⎨≥⎩，（n ≥2，n ∈N *），解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值（即S n 的最值）． （二）其他数列1．求数列前n 项和的常用方法 （1）分组求和法分组转化法求和的常见类型①若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．②通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项． 如：是公差为的等差数列，求解：由∴ （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．{}n a d 111nk k k a a =+∑()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭相加2．数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 3．数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法（作差作商）、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解； 5．以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在数列{}n a 中，35a =，()120n n a a n ++--=∈N ，若25n S =，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()120n n a a n ++--=∈N ，所以1=2n n a a +-=d ，所以数列{}n a 是等差数列，121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……所以()11145 ,1,512252a a n n n na +=⎧⎪∴==⎨-+⋅=⎪⎩．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的判定，考查等差数列的通项和前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，则4a = A ．11 B ．13 C ．15 D ．17【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，62423744,a a d d d =+⇒=+⇒= 根据等差数列的通项公式得到42215.a a d =+=故选C ．【名师点睛】这个题目考查了等差数列的概念以及通项公式的应用属于基础题． 3．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】等差数列{}n a 中，若46131520a a a a +++=，则101215a a -的值是A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A【解析】∵()461315415220a a a a a a +++=+=，∴41510a a +=， ∴()1012101211555a a a a -=-()891011121215a a a a a a =++++- ()89101115a a a a =+++()41525a a =+4=．故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列中下标和性质的应用，解题的关键是进行适当的变形，以得到能运用性质的形式．本题也可转化为等差数列的首项和公差后进行求解，属于基础题．4．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若21016a a +=，714S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．3C ．6D ．2【答案】B【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1777()142a a S +==，得174a a +=①， 因为21016a a +=，所以11116a a +=②，②–①得，11712a a -=，即412d =，所以3d =，故选B ．方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21016a a +=，714S =，所以112101672114a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得173a d =-⎧⎨=⎩，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列基本量求解，属于基础题．等差数列基本量求解的通法是方程组法，利用等差数列的通项公式、求和公式将条件转化为关于1a 和d 的方程组，进而求解；另外也可以运用性质法，即利用等差数列的相关性质公式以及通项公式、求和公式直接求出基本量．5．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132 C ．–66 D ．–132【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D ．【名师点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题．6．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且728S =，则4a = A ．4 B ．7 C ．8 D ．14【答案】A 【解析】()177477282a a S a +===，故44a =，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基础题． 7．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且86a =，828S =，则其公差为A ．47 B ．57 C ．47-D ．57-【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由86a =，828S =，则1176878282a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得57d =，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】已知等差数列{}n a ，12018a =-，其前n 项和为n S ，20192018120192018S S -=，则2019S = A ．0 B ．1 C ．2018 D ．2019【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n S na d -=+， 所以2019110092019S a d =+，20181201720182S a d =+，代入20192018120192018S S -=，得2d =． 所以()20192019201820192018202S ⨯=⨯-+⨯=．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于中档题．9．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学】等差数列{}n a 的前7项和为28，108a =，则7a = A ．6B ．7【答案】A【解析】由题得11717672822,2,,26623398a d a d a a d ⨯⎧+⨯=⎪∴==∴=+⨯=⎨⎪+=⎩．故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n 项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．10．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一）数学】已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，则公差d = A ．6 B ．6- C ．2- D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=–8，∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5<a 6，∴a 5=–2，a 6=4，∴d =a 6–a 5=6，故选A ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的构造及解法，是基础的计算题． 11．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于A ．9B ．7C ．6D ．5【答案】B【解析】因为35791155a a a a a ++++=，所以5a 7=55，所以711a =， 因为33S =，所以21a =，所以公差7225a a d -＝＝，所以5237a a d =+=．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．12．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，若357911355,3a a a a a s ++++==，则5a 等于A ．5B ．6【答案】C【解析】在等差数列{}n a 中，因为35791155a a a a a ++++=，所以7755511a a =⇒=， 又33S =，123223331a a a a a ∴++=⇒=⇒=，又因为7252a a d d =+⇒=，5237a a d ∴=+=，故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质．13．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在数列{}n a 中，已知121n n n n a a a a +++-=-，10101a =，则该数列前2019项的和2019S =A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040【答案】A 【解析】121n n n n a a a a +++-=-，122n n n a a a ++∴=+，{}n a ∴为等差数列，10101a =，()1201910102019201920192201922a a a S +⨯∴===．【名师点睛】本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题．14．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】在等差数列{}n a 中，已知10101a =，则该数列前2019项的和2019S = A ．2018 B ．2019 C ．4036 D ．4038【答案】B【解析】由题得2019S =1201910102019)201920192a a a +==（．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】等差数列{}n a 中，2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，则12345a a a a a ++++=A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【解析】∵2a 与4a 是方程2430x x -+=的两根，∴2a +4a ＝4＝1a +532a a =， 则1234510a a a a a ++++=．故选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题． 16．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】若等差数列{}n a 的前n 项和为258,2,8n S a a S +=-=，则n S =A ．22n n -B ．27n n -C ．251n n ++D ．27n n -+【答案】B【解析】令()11n a a n d =+-，则1114287882a d a d a d +++=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩162a d =-⎧⇒⎨=⎩ 所以()216272n n n S n n n ⨯-=-⨯+⨯=-，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列基本量的计算，关键在于能够将已知条件转化为关于基本量的方程，属于基础题．17．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（一）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，912162a a =+，24a =，若数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和为1011，则k =A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11118116,24,a d a d a d ⎧+=++⎪⎨⎪+=⎩解得12a d ==．()21222n n n S n n n-∴=+⨯=+，()111111nS n n n n ∴==-++， 1211111111110112231111k S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10k =．故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查裂项相消法，考查计算能力与推理能力，属于中档题．18．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a = A ．0 B ．2 C ．3 D ．6【答案】C【解析】因为{}n a 是等差数列，所以1717744217)2(6263S a a a a a a ++=⇒=⇒=⇒==，故本题选C ．【名师点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差数列的性质．考查了运算能力． 19．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知等差数列{}n a 满足711a =，2810a a +=，则11=SA ．176B ．88C ．44D ．22【答案】B【解析】因为数列{}n a 是等差数列，由2810a a +=，得55a =，又711a =， 则()()111571*********a a a a S ++===，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．20．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，34222S a S =+，则8a =A ．8B ．9C ．16D ．15【答案】D【解析】由题意，因为11a =，34222S a S =+， 即111322(3)2(3)22a d a d a d ⨯⨯+=+++，解得2d =， 所以81717215a a d =+=+⨯=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和2n S n bn c =++，等比数列{}n b 的前n 项和3nn T d =+，则向量(,)c d =a 的模为A ．1 BCD ．无法确定【答案】A【解析】等差数列{}n a 前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即常数项为0的二次式， 而根据已知2n S n bn c =++，故可得0c =，等比数列{}n b 的前n 项()1111111n n n b q b bT q qq q-==----， 而根据已知3nn T d =+，可得11111b d q b q⎧=⎪-⎪⎨⎪-=⎪-⎩，即1d =-，因此向量()0,1=-a ，则1=a ，故选A ．【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列求和公式的性质，属于中档题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．31-【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，1516a a +=，()51555164022S a a ∴=+=⨯=，故选B ． 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．23．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，8566S S -=，则33a =A ．82B ．97C ．100D ．115【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且859a a -=，所以39d =，解得3d =， 又由8566S S -=，所以11875483536622a a ⨯⨯+⨯--⨯=，解得14a =， 所以331324323100a a d =+=+⨯=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．24．【四川省凉山州2019届高中毕业班第二次诊断性检测数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =，11a =（2m ≥，且m ∈N ），则m 的值是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，116m S -=，25m S =， ∴19m m m a S S -=-=，又25m S =，11a =，∴()15252m m a a m S m +===，∴5m =，故选B ．【名师点睛】本题考查等差数列前n 项和公式，考查前n 项和与通项的关系，考查计算能力．25．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试数学】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =，621S =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．–1 C ．2 D ．–2【答案】A【解析】∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝3，S 6＝21，∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得a 1＝1，d ＝1．∴数列{a n }的公差为1．故选A ． 【名师点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．【四川省成都市2019届高三毕业班第一次诊断性检测数学】设n S 为等差数列的前n 项和，且3652a a a +=+，则7S =A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B【解析】因为563542a a a a a +=+=+，所以42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于中档题．求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系．27．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，则9S =__________． 【答案】63【解析】因为57a =，所以()199599632a a S a +===．故答案为：63． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型． 28．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211n n n n a a a a +++-=-，12a =，38a =，则4S =__________．【答案】26【解析】因为211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则8232d -==，所以443423262S ⨯=⨯+⨯=．故答案为：26． 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题．29．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】设等差数列{}n a 满足：127a a +=，136a a -=-，则5a =__________．【答案】14【解析】∵等差数列{a n }满足：a 1+a 2＝7，a 1–a 3＝–6．∴1111726a a d a a d ++=⎧⎨--=-⎩，解得a 1＝2，d ＝3，∴5a ＝a 1+4d ＝2+4×3＝14．故答案为：14． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质等基础知识，属于基础题． 30．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为__________． 【答案】120【解析】由题意，男子每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，前n 项和为n S ．根据题意可知，91471260,390S a a a =++=，法一：()199********,1402a a S a a +===∴=，147443390,130a a a a a ++==∴=， 5410d a a ∴=-=，34120a a d ∴=-=．故答案为：120．法二：91471260390S a a a =⎧⎨++=⎩，11119891260236390a d a a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩， 所以312120a a d =+=．故答案为：120．【名师点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题．。

数学参考答案·第1页（共8页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCDACBBC【解析】1．因为B A ⊆，所以m 的取值范围是(5]-∞-，，故选D. 2．由百分位数的定义，故选C ．3．令213x -=，则2x =，则2(3)24f ==，故选D.4．2π3AOC ∠=∵，弧长为8π3，4OA =∴. 又2OB =∵，∴扇环的面积为2212π(42)4π23⨯⨯-=，故选A ． 5．当1y xx =-与1y kx =-相交和相切时有唯一公共点，公共点分别为(10)A ，或322A ⎛⎫⎪⎝⎭，，则sin 0θ=或3sin 5θ=，故选C.6．当2n ≥时，1n n n bT T-=-=即=. 由数1=1==，即数列是首项为1，公差为1的等差数列，n =，1n =-，2n ≥. 当2n ≥时，21n b n =+=-；当1n =时，12111b =⨯-=成立，所以21n b n =-，2039b =，故选B ．7．将4名教师和6名学生分成2个组，再将两组分别安排到两所高校共有：2346C C 120=种分配方式；甲和乙不去同一所高校共有：122244C C C 72=种方法，所以，学生甲和乙不去同一所高校的概率为：7231205=，故选B. 8．(1)f x -关于直线1x =对称，则()fx 是偶函数，当x ∈(0)+∞，时，()0f x '>，函数在(0)+∞，上单调递增. 由21>，ln 3ln e 1>=，112-<2和ln 3的大小，构造函数ln ()xf x x=2>ln 3，所以a b c >>，故选C ．数学参考答案·第2页（共8页）二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 BDBCDACD【解析】9．根据题意，依次分析选项：A ．函数1()2x f x a -=-，当10x -=，即1x =时，()121f x =-=-，则函数()f x 的图象恒过定点(11)-，，A 错误，不符合题意；B ．2050x x -⎧⎨+⎩≥，≥，解得2x ≥，所以函数的定义域为[2)+∞，，B 正确；C ．()f x =t =则9y t t =+，又由5t =，结合对勾函数的性质可得9y tt =+在区间[5)+∞，上递增，则9()55f x +≥，C 错误，不符合题意；D ．函数1()2f x ⎛= ⎪⎝⎭220x x --+≥，解得21x -≤≤，即函数的定义域为[2-，1]；设t =则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在区间122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上，t 为增函数，在区间112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上，t 为减函数，由于12ty⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域为R 的减函数，故有112x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，故函数1()2f x ⎛=⎪⎝⎭的单调增区间为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，D 正确，符合题意，故选BD ．10．对于A ，离心率为2=解得：124m c ==，，12||||||4MF MF -=，则2||9MF =或1.又因为2||2MF c a -=≥，∴2||9MF =，故A 错；对于B ，假设存在点(1P为线段AB 的中点，则OP k =，又223OP ABb k k a⨯==∵，AB k =∴，线段AB ：1)y x =-联立AB ：y =-221412x y -=，整理计算得，0∆<，矛盾，所以不存在点(1P 为AB 中点的弦，故B正确（方法2，数形结合）；对于C ，由于双曲线的渐近线斜率为，结合图象易知，直线l 与双曲线C 的两支各有1个交点，则直线 l 的斜率(k ∈，故C 正确；对于D ，12MF F △的内切圆与x 轴相切于点0(0)H x ，，则由双曲线定义得：2a =1212||||||||||||MF MF HF HF -=-000|()()|2||x c c x x =+--=，所以02x a =±=±，即12MF F △内切圆圆心的横坐标为2±，所以D 正确，故选BCD.数学参考答案·第3页（共8页）11．A ．因为0ω>，所以2π3πT ω=，解得203ω<≤所以A 正确；B ．由曲线()y f x =关于直线π4x =对称，得πππ()42k k ω=+∈Z ，解得24()k k ω=+∈Z ，所以“2ω=”是“曲线()y f x =关于直线π4x =对称”的充分不必要条件，所以B 错误；C ．因为图象平移后令π()sin 6g x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在区间π06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，令πππ622x ωω⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ62πππ662ωωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥，即33.2ωω-⎧⎪⎨⎪⎩≥，≤又因为0ω>，所以302ω<≤，所以C 正确；D ．因为1212(0π)()x x x x ∈<，，，又因为sin(π)sin x x-=，所以12πx x +=，则211111sin()sin(π2)sin 22sin cos x x x x x x -=-==，因为11sin 3x =，所以1cos x =211sin()2339x x -=⨯⨯=，所以D 正确，故选ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 1314 答案 241-1【解析】12．二项式5ax ⎛⎫ ⎝的展开式通项为2555533155C ()C rr rr r rr T ax x a x ----+⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，由于该二项式的展开式中常数项为40，则55C 405503r r a r -⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，解得32r a =⎧⎨=⎩，，2a =∴. 13．先作出()f x 的大致图象，如图1，令()f x t =，则2()0g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根1212()t t t t <，，且1()f x t =有两个整数根，2()f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数图1数学参考答案·第4页（共8页）14y t y x x ==+，相切时符合题意.因为44x x +=≥，当且仅当2x =时取得等号，又22log ||log ()(0)y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即1()4f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足2()f x t =有三个整数根，结合()f x 的图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时，有(1)5f =，则25t =，解方程45x x+=，得25t =的另一个正根为4x =.又2log (32)5x x -==-⇒，此时五个整数根依次是3216124x =--，，，，，显然根和为41-.14．设AB 的直线方程为x ty n =+，11()A x y ，，22()B x y ，，则由AB 与抛物线的方程消x 得：2220y ty n --=，122y y t +=∴，122y y n =-. 121222x xy y P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵，2()P t n t +∴，. AB CD ⊥∵，同理可得：211Q n t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，1||||2MPQ S MP MQ == △1=，当且仅当221t t =，即1t =±时，面积有最小值为1. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）因为2100n a n =-≥，解得5n ≥， 所以151215||||||S a a a =+++12345615()a a a a a a a =-+++++++ …………………………………………（2分） 1151415415()4()22130.22a a a a S S ++=-=-⨯= ………………………………………（4分） （2）15b =， ∵321215555n n b b b b n -++++= ， 当2n ≥时，3121225(1)555n n b b b b n --++++=- ， 两式相减，得155nn b -=，即5.n n b = …………………………………………………（6分） 又当1n =时，15b =符合题意， 所以5.n n b =数学参考答案·第5页（共8页）2105n n na nb -=， 2111(8)(6)(210)555nn T n ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， …………………………………（8分）故2311111(8)(6)(210)5555n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， …………………………（9分）两式作差得231411111(8)222(210)555555nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…………………………………………………………………………………………（10分）即11211255481(210)155515n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+--⨯ ⎪⎝⎭-， ………………………………（11分）（1）解：()e 4e f x a =-+-，令e x t =，即()4f t t t a =-+-， 令11e x t =，22e x t =，则1t ，2t 是方程240t t a -+=的两个正根， 则2Δ(4)41640a a =--=->，即4a <，有124t t +=，120t t a =>，即04a <<. ……………………………………………（6分） （2）证明：(1)ln 20(04)a a a a ---<<<， 令(1)ln 2(04)()g x x x x x =---<<， 则111ln ln ()x g x x x x x '-⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.令1ln (04)()h x x x x =-<<，则2110()xx h x '=--<， 则()g x '在(04)，上单调递减. ………………………………………………………（9分） 又1ln111(1)g =-='，1ln 202(2)g =-<'，数学参考答案·第6页（共8页）则00000000011()()(1)ln 2(1)23g x g x x x x x x x x x =---=--⨯-=+-≤. 又0(12)x ∈，，则001522x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，故0001()30g x x x =+-<，即()0g x <. ………………………………………………………………………（15分） 17．（本小题满分15分）（1）证明：因为112A E AB =，112A D AC =，所以11A A AB ⊥，11AA AC ⊥. 又因为111A B A C A = ，所以1AA ⊥平面1A BC . ……………………………………（6分） （2）解：如图2，点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 三角形的边长为2，则1002E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1002D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，102C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，. 设1()A x y z ，，，因为11A E =，1A O =， 所以2222222210123344x x y z y z x y z ⎧⎛⎫=⎧-++=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨+=⎪⎪⎩++=⎪⎩，，， 所以1(0)A y z ，，，112A E yz ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，10.2CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1063A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，11263A D ⎛=--⎝⎭，. 设111()m x y z =⊥，，平面1EA D ，所以11010026330102636x x y z A D m y A E m x y z z ⎧⎪=⎧⎪-+-=⎪⎧=⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎩+-=⎪⎪⎩=⎪⎩，，， 图2数学参考答案·第7页（共8页）2⎝⎭，2⎝⎭，令12t P P =，1439t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则2841614()33392739P h t t t t t ⎛⎫⎛⎫==-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，数学参考答案·第8页（共8页）19．（本小题满分17分）（1）解：因为等边12FF F △的重心坐标为0⎫⎪⎪⎝⎭，（2）证明：设()P x y ，，则2222222()||1()24a c b a c PN x y x a c x b c ⎛⎫--⎛⎫=-+=---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0c x -≤≤.………………………………………………………………（7分）2210b -<∵，开口向下，||PN 取得最小值时，即P 在点1B ，2B 或1A 处. ……………………………………（10分） （3）解：由题可知，直线HK 的斜率0k =，则设直线y t =，b t b -<<， 设H 在22221(0)x y x +=≥上，设K 在半椭圆221(0)x y x +=≤上，即线段HK 中点的轨迹方程为：221(0)2x y x b a c +=>-⎛⎫⎪⎝⎭. …………………………（17分）。

届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。

2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。

贵州省部分学校2025届高三上学期11月联考考试试题一、单选题（本大题共8小题）1．在等比数列{}n a 中，12a =，45678a a a a a =，则25a a +=（）A．36B．32C．16D．122．若复数()2i 1i z a a =+-+是纯虚数，则实数a =（）A．1B．1-C．1±D．03．已知直线1y kx =+与圆224x y +=相交于,M N 两点，若MN =，则k =（）A．12B．1C．D．24．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在[50,100]内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（）A．65B．75C．85D．955．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2239b c c =++，ABC ∠的平分线交边AC 于点D ，且2BD =，则b =（）A．B．C．6D．6．2024年春节档贺岁片《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》异常火爆，甲、乙等5人去观看这三部电影，每人只观看其中一部，甲、乙不观看同一部电影，则选择观看的方法有（）A．243种B．162种C．72种D．36种7．已知函数()()2log 41x f x x =+-x 的不等式()()22f x f x +>解集为（）A．2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B．211,232⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,C．211,,2322纟轹琪--È琪棼滕D．111,,222纟轹琪--È琪棼滕8．已知抛物线2:2E y x =，圆()()2200:11,,M x y N x y -+=为圆M 外一点，过点N 作圆M 的两条切线1l ，2l ，直线1l 与抛物线E 交于点()()1122,,,A x y B x y ，直线2l 与抛物线E 交于点()()3344,,C x y D x y ，，若22001x y +=，则1234y y y y =（）A．16B．8C．4D．1二、多选题（本大题共3小题）9．设离散型随机变量X 的分布列如表，若离散型随机变量Y 满足21Y X =-，则（）X01234P0.10.4x0.20.2A．0.2x =B．()2E X =，() 1.8D X =C．()2E X =，() 1.4D X =D．()3E Y =，()7.2D Y =10．已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为M ，则下列说法正确的是（）A．不等式解集M =∅的充要条件为240a b ac <⎧⎨-≤⎩B．若111a b c a b c==，则关于x 的不等式21110a x b x c ++>的解集也为M C．若{}23M x x =-<<，则关于x 的不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩，或>D．若2b M x x a ⎧⎫=≠-⎨⎬⎩⎭，且a b <，则24a b c b a ++-的最小值为811．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为'，()g x '，且()()25f x g x +-=，()()43g x f x --=，若+2是偶函数，则下列正确的是（）．A．()20g '=B．4为函数()f x 的一个周期C．()1f x +是奇函数D．()25g =，则()202412024k f k ==∑三、填空题（本大题共3小题）12．集合A 满足{}1,3**15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有个.13．已知函数()()3,02,0x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫=⎪⎝⎭．14．已知M 是椭圆22110x y +=上一点，线段AB 是圆()22:64C x y +-=的一条动弦,且AB =则MA MB ⋅的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =.(1)求角A 的大小；(2)若BC =，求ABC 的面积.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,AB CD CD BC ⊥，24,,AB CD BD BP PCD === 为等边三角形.(1)证明：⊥BC 平面PCD .(2)若ABD △为等边三角形，求平面PBD 与平面PAD 夹角的余弦值.17．篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》SFSA 全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到22⨯列联表如下：喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？(2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第n 次触球的概率为n P ，则11P =.（i）证明：数列（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818．已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.19．已知函数()1e ln -=-xf x a x ．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >，若不等式()ln f x a a a ≥+恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．【答案】A【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以45678a a a a a =化为31221311a q a q ⋅=⋅，解得1a q =，又因为12a =，所以2q =，所以112n nn a q a -=⋅=，所以4251143236a a a q a q +=⋅+⋅=+=.故选：A 2．【答案】B【详解】由()()22i 1i 11i z a a a a =+-+=-+-，根据题意可知210110a a a ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩.故选：B 3．【答案】B【分析】先计算直线10kx y -+=到圆心O 的距离d ，然后根据勾股定理得到22144d MN +=，再代入条件即可解出2k ，从而得到k .【详解】如图所示：设坐标原点O 到直线10kx y -+=的距离为d ，则d =.设线段MN 的中点为P ，则MN OP ⊥，根据勾股定理，有22222144OMOP PMd MN ==+=+.由MN =22211144414d MN k =+=++，故21112k =+，解得21k =，故1k =.故选B.4．【答案】C【详解】因为2101a ⨯=，所以0.05a =.参赛成绩位于[50,80)内的频率为()100.010.0150.0350.6⨯++=，第75百分位数在[)80,90内，设为80y +，则0.030.15y =，解得y =5，即第75百分位数为85，故选：C.5．【答案】D【详解】因为3a =及2239b c c =++，可得222b a c ac =++，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，又由0πB <<，所以2π3B =，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即11sin ()sin 22ac ABC BD a c ABD ∠=⋅+∠，解得6c =，由余弦定理得222263263cos633b π=+-⨯⨯⨯=，即b =故选：D．6．【答案】B【详解】先安排甲、乙两人，有23A 种方法，再安排其余3人，每人有3种安排方法，故共有23A 333162⨯⨯⨯=（种）方法.故选：B.7．【答案】C 【详解】因为()()()222241log 41log 41log 2log 2x xxxx f x x +=+-++-++()2log 22x x -=+由210x -≥可得1x ≤-或1x ≥，即函数()f x 的定义域为(][),11,-∞-+∞ ，因为()()()()22log 22log 22x x x x f x f x ---=+=+=，所以，函数()f x 为偶函数，任取1x 、[)21,x ∈+∞，且12x x >，则12222x x >≥，122x x +>，1224x x +>，令22x x u -=+，则()1212121212111122222222x x x xx x x x u u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()12121212121222212222022x x x x x x x x x x x x +++---=--=>，即12u u >，所以，函数22x x u -=+在[)1,+∞上为增函数，又因为函数2log y u =在()0,∞+上为增函数，所以，函数()2log 22x xy -=+在[)1,+∞上为增函数，又因为函数y =[)1,+∞上为增函数，故函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，由()()22f x f x +>可得()()22f x f x +>，可得221x x +>≥，解得2132x -<≤-或122x ≤<，因此，原不等式的解集为211,,2322纟轹琪--È琪棼滕.故选：C.8．【答案】C【详解】由题意()00,N x y ，且12,l l 都与抛物线有两个不同的交点，所以00x ≠，故设过点N 且与圆M 相切的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，由题意得1=，整理得，()()220000022110x x k y x k y ---+-=（*），设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程（*）的两个实根，故()()()20000121200000211,222y x y x k k k k x x x x x --+===---，由00202kx y y kx y x-+-=⎧⎨=⎩，得()200220k y y y kx -+-=，因为()()()()11223344,,,,A x y B x y C x y D x y ，，，，所以()()010*********22,y k x y k x y y y y k k --==，所以()()()22012000120100201234121244y k k x y x k k y k x y k x y y y y k k k k ⎡⎤-++--⎣⎦==()()220000000000220000214224442y x x y x y x x x x y x x x ⎡⎤--+⋅⎢⎥--⎣⎦==+=-.故选C.9．【答案】BD【详解】因为0.10.40.20.21x ++++=，所以0.1x =，A 选项错误；由()00.110.420.130.240.22E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故22222()(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，因此选项B 正确；又21Y X =-，所以，()2()13E Y E X =-=，()4()7.2D Y D X ==，故C 错D 对.故选：BD 10．【答案】AD【详解】解：选项A：不等式20ax bx c ++>解集M =∅，等价于一元二次函数2y ax bx c =++的图象没有在x 轴上方的部分，故等价于2040a b ac <⎧⎨-≤⎩，所以选项A 正确；选项B：取值1,2,3a b c ==-=-，1112,31,a b c ===-，此时能满足111a b c a b c==，而2230x x -->的解集为{|1x x <-，或}3x >，2230x x -++>的解集为{}|13x x -<<，故B 选项错误；选项C：因为一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}23M x x =-<<，所以得到2-与3是20ax bx c ++=的根且a<0，故有2323b aca ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得60b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩，所以不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，等价于不等式2610x x --<的解集1132M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，所以选项C 错误；选项D：因为2b M x x a ⎧⎫=≠-⎨⎬⎩⎭，所以240b ac ∆=-=，即24b c a=，令()0b a t t -=>，所以()()()222222222244b a b a a t a t a a ab b a at ta b a a b a at at++++++++++===--4448a t t a =++≥+=，当且仅当4a t t a =即3b a =取“=”，选项D 正确.故选：AD.11．【答案】ABD【详解】A 选项，+2为偶函数，故()()22g x g x -+=+，两边求导得，()()22g x g x --+='+'，令0x =得()()22g g -'='，解得()20g '=，A 正确；B 选项，因为()()25f x g x +-=，()()22g x g x -+=+，所以()()25f x g x ++=①，因为()()43g x f x --=，所以()()223g x f x +--=②，则①②相减得，()()22f x f x +-=③，又()()242f x f x -+-=④，则③④相减得()()40f x f x --=，即()()4f x f x =-，故4为函数()f x 的一个周期，B 正确；C 选项，假如()1f x +为奇函数，则()()110f x f x -+++=，当1x =时，可得()()020f f +=，但()()22f x f x +-=，当2x =可得()()202f f +=，显然不满足要求，故()1f x +不是奇函数，C 错误；D 选项，因为()()25f x g x +-=，所以()()025f g +=，又()25g =，故()00f =，由B 选项得()()22f x f x +-=，故()()202f f +=，解得()22f =，且()()312f f +=，由B 选项知()f x 的一个周期为4，故()()400f f ==，所以()()()()12344f f f f +++=，则()()()()()20241506123450642024k f k f f f f =⎡⎤=+++=⨯=⎣⎦∑，D 正确.故选：ABD 12．【答案】3【详解】因为{}1,3**15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，即{}1,3{}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =，即集合A 的个数有3个.故答案为：3.13．【答案】8116【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.【详解】331log log 1616=-Q ，233163<<，313log 216∴-<<-，381log 1633331118181log log 2log 22log 31616161616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：8116.14．【答案】70【详解】如图，设AB 中点为N ，由AB AN =⇒=CN =N 的轨迹为以()0,6为圆心，r =()()()()2222MA MB MN NA MN NB MN NA MN NA MN NA MN ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，max max MN MC r =+，设),cos Mθθ，则MC ===，当且仅当2cos 3θ=-时，max MC ==所以max max MN MC r =+==()2maxmax272270MA MBMN⋅=-=-=故答案为：7015．【答案】(1)2π3(2)4【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tan A =，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc +=，再由余弦定理即可求得5bc =,由三角形的面积公式可得结果.【详解】（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin sin cos A B B A=sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan A =2π3A =.（2）由题意可知ABD ACD ABC S S S +=△△△，即1π1π12πsin sin sin 232323c b bc +=，化简可得b c bc +=，在ABC 中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===-，从而()2220122bc bc bc --=-，解得5bc =或4bc =-（舍去），所以11sin 5sin120224ABC S bc A ==⨯⨯︒=△.16．【答案】(1)证明见解析(2)35【详解】（1）记E 为PD 的中点，连接,BE CE .因为PCD △为等边三角形，所以PD CE ⊥，因为BD BP =，所以PD BE ⊥，又,,BE CE E BE CE =⊂ 平面BCE ，所以PD ⊥平面BCE ，因为⊂BC 平面BCE ，所以PD BC ⊥，又,,,CD BC CD PD D CD PD ⊥=⊂ 平面PCD ，所以⊥BC 平面PCD .（2）以C 为原点，,CD CB 所在直线分别为,x y轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为PCD △为等边三角形，2CD =，所以P 到底边CD的距离为因为ABD △为等边三角形，4AB =，所以D 到底边AB的距离为则(0,(2,0,0),(4,P B D A ，所以(2,(1,0,(2,BD PD DA =-== ，设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m BD m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令1y =，则1x z ==，故)m = ，设平面PAD 的法向量为 =s s ，则00n DA n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200a a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1c =，则1a b ==-，故1,1)n =- ，因为3cos ,5m n m n m n ⋅〈〉== ，所以平面PBD 与平面PAD 夹角的余弦值为35.17．【答案】(1)能认为喜爱篮球运动与性别有关(2)（i）证明见解析；（ii）甲第25次触球者的概率大【详解】（1）假设0H ：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据，经计算得220.001200(60802040)10010.828100*********x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.（2）（i）由题意，()11111101333n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=-+，所以1111434n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭又113044P -=≠，所以14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，13-为公比的等比数列.（ii）由（i）得，1311434n n P -⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，所以232431114344P ⎛⎫=⋅-+< ⎪⎝⎭，242531114344P ⎛⎫=⋅-+> ⎪⎝⎭.故甲第25次触球者的概率大.18．【答案】(1)是定值，定值为14(2)13-【详解】（1）由题意知，4a =，2b =，所以(0,2)A ，()4,0B ，所以12AB k =-，设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，联立直线CD 与椭圆的方程22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得222280x tx t -+-=，由()2244280t t ∆=-->，解得t -<<2t ≠，则122x x t +=，21228x x t =-，所以()()12121212111222244AD BC x t x t y y k k x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==--21212212111()2424x x t x x t x t x x x -+++-=-2221121121442222244t t x t t x t x x x x x x --+-+--==--21214122844t x t x --==--，故直线AD 与BC 的斜率之积是定值，且定值为14.（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ= (0λ≠)，得3386x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩.所以338161x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩.又A ，D 均在椭圆上，所以22332233116486111164x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎪⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，化简得3331220x y λλλ++-=，因为CD AB ∥，所以PC CB λ= ，同理可得4431220x y λλλ++-=，即直线AB ：31220x y λλλ++-=，所以AB 的斜率为13-.19．【答案】(1)210x y --=(2)(]0,1【详解】（1）当1a =-时，()1e ln x f x x -=+，则()11e x f x x-'=+，()01e 12f '∴=+=，又()01e ln11f =+=，()y f x ∴=在()()1,1f 处的切线方程为：()121y x -=-，即210x y --=.（2）方法一：令()()1ln e ln ln x g x f x a a a a x a a a -=--=---，则()0g x ≥恒成立，()g x 的定义域为()0,∞+，()1e x a g x x -'=-且0a >；令()()h x g x ='，则()12e 0x a h x x -'=+>，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，即()g x '在()0,∞+上单调递增，又()11e e 1011aa a g a a a '+=-=-+>++，11e 101a a g a a -+⎛⎫'=--< ⎪+⎝⎭，0,11a x a a ⎛⎫∴∃∈+ ⎪+⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0100min e ln ln x g x g x a x a a a -∴==---，由()00g x '=得：010e x a x -=，00ln 1ln x x a ∴+-=，010e x a x -=，()()000011110000000e e ln e e ln 1x x x x g x x x x x x x ----∴=---+-()012000e 12ln x x x x -=--，()012000e 12ln 0x x x x -∴--≥，即00012ln 0x x x --≥，令()12ln u x x x x=--，则()u x 在()0,∞+上单调递减，又()000012ln 0u x x x x =--≥，()10u =，001x ∴<≤，设()()1e 01x t x x x -=<≤，则()()11e 0x t x x -'=+>，()t x ∴在(]0,1上单调递增，()01t x ∴<≤，0100e 1x x -∴<≤，又010e x a x -=，a ∴的取值范围为(]0,1.方法二：由()ln f x a a a ≥+得：1e ln ln x a a a a x -≥++，()()()()ln 111e 1ln ln ln 1ln 1e ax x x ax a x ax ax ax +-⎡⎤-⎣⎦∴≥++=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当()ln 10ax +≤时，()1e 0ln 1x x ax ->≥+在0a >，0x >时恒成立，0a ∴>；当()ln 10ax +>时，设()()1e 0x h x x x -=>，则()()()ln 1h x h ax ≥+，()()11e 0x h x x -'=+> ，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，()ln 1x ax ∴≥+，即()1e 0x ax x -≤>，()1e 0x a x x-∴≤>，令()()1e 0x u x x x -=>，则()()121e x x u x x--'=，∴当()0,1x ∈时，()0u x '<；当()1,x ∈+∞时，()0u x '>；()u x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11u x u ∴==，1a ∴≤，又0a >，01a ∴<≤；综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.方法三：()f x 定义域为()0,∞+，()ln f x a a a ≥+恒成立，()11ln f a a a ∴=≥+必然成立；令()ln S a a a a =+，则()2ln S a a '=+，∴当()20,e a -∈时，()0S a '<；当()2e ,a -∈+∞时，()0S a '>；()S a ∴在()20,e -上单调递减，在()2e ,-+∞上单调递增，又()11S =，当10e a -<<时，()()1ln 0S a a a =+<，∴当01a <≤时，ln 1a a a +≤；下面证明：当01a <≤时，()ln f x a a a ≥+恒成立.ln 0a a ≤ ，()ln ln ln ln 1a x a a a a x a a x ∴++≤+=+，()11e ln ln e ln 1x x a x a a a a x --∴---≥-+，令()()1e ln 1x F x a x -=-+，则()1e x a F x x -'=-，令()()G x F x '=，则()12e0x a G x x -'=+>，()F x '∴在()0,∞+上单调递增，当1a =时，()11e x F x x-'=-，()10F '=，∴当()0,1x ∈时，()0F x '<；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>；()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()10F x F ∴≥=，1e ln ln 0x a x a a a -∴---≥恒成立，即()ln f x a a a ≥+恒成立；当01a <<时，()110F a '=->，()1e 10a F a -'=-<，()0,1x a ∴∃∈，使得()00F x '=，且当()00,x x ∈时，()0F x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>；()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()()0100e ln 1x F x F x a x -∴≥=-+，由()00F x '=得：010e x a x -=，00ln ln 1x a x =+-，()()000001ln 1ln a F x a a x a x a a a x x ⎛⎫∴=-+-=+-- ⎪⎝⎭，()0,1x a ∈ ，0012x x ∴+>，()()0001ln ln 1ln 0F x a x a a a a a a a a x ⎛⎫∴=+-->-=-> ⎪⎝⎭，()()00F x F x ∴≥>，1e ln ln 0x a x a a a -∴---≥恒成立，即()ln f x a a a ≥+恒成立；当1a >时，()()111ln ln f a a a a a =<+=+，显然不满足()ln f x a a a ≥+恒成立；综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.1.通过直接构造函数的方式，将问题转化为含参数函数的单调性的讨论和最值的求解问题，利用最值求得参数的取值范围；2.采用同构法，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系的问题，从而通过求解函数的单调性得到自变量的大小关系；3.采用由特殊到一般的思路，通过特殊位置必然成立的思路得到a 的一个取值范围，再证明在此范围时不等式恒成立，并通过反例说明不在此范围时不等式不恒成立来得到最终范围.。

四川省射洪县2018届高三数学上学期第一次月考试题 理考试时间：120分钟；满分150分第I 卷（选择题）一、选择题 1．已知是虚数单位，若2a bi i=+-（，b R ∈），则=（） A. 15- B. C. D.2．已知集合(){}10A x x x =-<，{}e 1x B x =>，则=B A C R )(（）A. [)1,+∞B. ()0,+∞C. ()0,1D. []0,13．已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则（）A. :,sin 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,sin 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,sin 1p x R x ⌝∀∈>D. :,sin 1p x R x ⌝∃∈> 4．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（） A. ()sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B. ()sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C. ()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin2g x x = 5．设函数()2log f x x =，则“a b >”是“()()f a f b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6．已知函数()1,1{ 3,1x x f x x x +<=-+≥，则52f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦等于（） A. 12 B. 32 C. 52 D. 927．已知{}n a 是公差为1的等差数列，为{}n a 的前项和，若844S S =，是10a =（）A. 172B. 192C. 10D. 128．定义在上的函数()x f 是奇函数，且(1)2f =，(2)()(2)f x f x f +=+，则(7)f =（）A ．8B ．10C ．12D ．149．在()62x -展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则n m =（） A. 53 B. 53- C. 35 D. 35- 10．已知函数1l o g m y x =+（0m >且1m ≠）的图象恒过点，若直线1x y a b +=（0,0a b >>）经过点，则a b +的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 511．设21，F F 是双曲线)0,0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点错误！未找到引用源。

贵州省安顺市2024年数学（高考）统编版真题(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（）A．B．C．D．第(2)题函数是定义在R上奇函数，且，，则（）A．0B．C．2D．1第(3)题技术的数学原理之一是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.假设目前信噪比为若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的约（）A．倍B．倍C．倍D．倍第(4)题在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是A ．2B．3C．4D．4第(5)题欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（）A．B．C．D．第(7)题设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题若（为虚数单位），则（）A．5B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（）A．最小正周期为B．奇函数C．在上单调递增D．关于中心对称第(2)题已知复数，，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若且，则D．若，则第(3)题双曲线：，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点,与其两条渐近线分别交于，两点,则下列命题正确的是（）A．存在直线，使得B．在运动的过程中，始终有C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名､准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷､答题卡一并收回.第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,3,5,6,2,3,5,8A B ==，则A B = （）A.{}1,2,3,5,6,8 B.{}3,5 C.{}1,3 D.{}2,8【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】由集合{}{}1,3,5,6,2,3,5,8A B ==，得{}3,5A B = .故选：B2.已知z 是复数，若()1i 2z +=，则z =（）A.1i -B.1i+ C.2iD.22i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算公式，即可化解求值.【详解】由()1i 2z +=可知，()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-.故选：A3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知281514,27a a a +==，则12S =（）A.150 B.140C.130D.120【答案】D 【解析】【分析】由条件求出等差数列的首项和公差，再代入前n 项和公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1117141427a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得：11,2a d =-=，所以1211211121202S a d ⨯=+=.故选：D4.向量()6,2a =在向量()2,1b =- 上的投影向量为（）A.()2,1- B.11,2⎛⎫-⎪⎝⎭C.()4,2- D.()3,1【答案】C 【解析】【分析】代入投影向量公式，即可求解.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为()()26222,14,25a b b b⋅⨯-⋅=⋅-=- .故选：C5.已知圆22:(1)(2)9C x y -+-=，直线():10,R l m x y y x m +++-=∈，则下列说法正确的是（）A.直线l 过定点()1,1--B.直线l 与圆C 一定相交C.若直线l 平分圆C 的周长，则4m =-D.直线l 被圆C【答案】B 【解析】【分析】根据方程的形式，联立方程10x y y x ++=⎧⎨-=⎩，即可求定点，判断A ，再根据定点与圆的关系，判断直线与圆的位置关系，判断B ，根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C ，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可求解.【详解】A.联立100x y y x ++=⎧⎨-=⎩，得12x y ==-，不管m 为何值，直线恒过点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故A 错误；B.221134(1)(2)9224--+--=<，所以点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在圆内，即直线l 与圆一定相交，故B 正确；C.若直线l 平分圆C 的周长，在直线l 过圆心()1,2，()121210m +++-=，得14m =-，故C 错误；D .当定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭为弦的中点时，此时弦长最短，此时圆心到弦所在直线的距离342d ==，则弦长==，故D 错误.故选：B6.2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（）A.6种B.9种C.18种D.36种【答案】D 【解析】【分析】首先理解题意，再结合组合数公式，即可求解.【详解】由题意可知，每支省内的足球队都要和省外一支球队比赛一场，则有11113322C C C C 36=种方法.故选：D 7.将函数()sin f x x =的图像先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的1(0)ωω>倍，得到函数()g x 的图像.若函数()g x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】首先求函数()g x 的解析式，再根据π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，代入函数的解析式，结合正弦导函数的图像和性质，即可求解.【详解】由三角函数的图像变换规律可知，()πsin 3g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππππ,3233x ωω⎛⎫-∈-⋅-- ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以πππ232ω-⋅-≥-，且0ω>，得103ω<≤.故选：B8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()e xf x '+也是偶函数，若()()21f a f a >-，则实数a 的取值范围是（）A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -='-'，再由函数()e xf x '+也是偶函数，变形求得函数()f x '的解析式，并求得函数()f x 的单调区间，即可求解不等式.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -=，所以()()f x f x '--='，则()()f x f x -='-'，又因为函数()e xf x '+也是偶函数，所以()()ee xx f x f x -''-+=+，得()()1e e 2xx f x --'=，因为e x y -=为减函数，e x y =为增函数，所以()()1e e 2xx f x --'=为减函数，令()0f x '=，得0x =，所以0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减，根据偶函数的性质可知，函数()f x 在(),0∞-上单调递增，所以()()21f a f a >-，即()()21fa f a >-，即21a a <-，得1a >或13a <，所以不等式的解集为()1,1,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据()()f x f x -=，得到()()f x f x =-'-'，从而求得函数()f x '的解析式.二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设样本数据1,3,5,6,9,11,m 的平均数为x ，中位数为0x ，方差为2s ，则（）A.若6x =，则7m =B.若2024m =，则06x =C.若7m =，则211s =D.若12m =，则样本数据的80%分位数为11【答案】ABD 【解析】【分析】根据样本的平均数，中位数，方差和百分位数公式，即可求解.【详解】A.135691167mx ++++++==，7m =，故A 正确；B.2024m =，根据中位数的定义可知，06x =，故B 正确；C.7m =时，1356911767x ++++++==，则()()()()()()()222222221163656669611676107s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故C 错误；D.12m =，数据1,3,5,6,9,11,12，70.8 5.6⨯=，样本数据的80%分位数为第6个数据，即为11，故D 正确.故选：ABD10.已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A.22a b+≥ B.112a b+≥C.22log log 1a b +≤D.222a b +≥【答案】ABCD 【解析】【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.【详解】A.224a b +≥=>1a b ==时，等号成立，故A 正确；B.2112222a b a b ab ab a b ++==≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1a b ==时，等号成立，故B 正确；C.22222log log log log 012a b a b ab +⎛⎫+=≤=< ⎪⎝⎭，故C 正确；D.()22222424222a b a b a b ab ab +⎛⎫+=+-=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当1a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ABCD11.在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥平面,3ABC PC AB ==，平面ABC 内动点D 的轨迹是集合{|2}M D DA DB ==.已知,i C D M ∈且i D 在棱AB 所在直线上，1,2i =，则（）A.动点D 的轨迹是圆B.平面1PCD ⊥平面2PCD C.三棱锥-P ABC 体积的最大值为3D.三棱锥12P D D C -外接球的半径不是定值【答案】ABC 【解析】【分析】首先底面建坐标系，利用轨迹法求得点D 的轨迹，点C 也在轨迹圆上，再根据几何关系，以及体积公式，外接球的半径问题，利用数形结合，即可求解.【详解】A.因为3AB =，所以在平面ABC 内，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，设3,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，(),D x y ，由2DA DB ==，化简为22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即点D 的轨迹为圆，故A 正确；B.根据以上证明可知，点1D 和2D 在圆22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴的两个交点，如上图，由条件可知，点C在圆上，则1290D CD ∠=，而PC ⊥平面ABC ，12,D C D C ⊂平面ABC ,所以11,PC D C PC D C ⊥⊥，所以12D CD ∠是二面角12D PC D --的平面角，则平面1PCD ⊥平面2PCD ，故B 正确；C.当点C 到AB 的距离为2时，此时ABC 的面积最大，此时最大面积是13232⨯⨯=,则三棱锥-P ABC 体积的最大值为13333⨯⨯=，故C 正确；D .由以上证明可知，1290D CD ∠=，且124D D =，如图，取12D D 的中点M ，作OM ⊥平面12CD D ，且32OM =，所以52R OC ===，所以三棱锥12P D D C -外接球的半径是定值52，故D 错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并在底面建立坐标系，求点D 的轨迹，后面的选项就会迎刃而解.第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知tan 2α=，则1sin 2α=__________．【答案】54##1.25【解析】【分析】先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的平方关系构造齐次分式，再分子分母同时除以2cos α转化为正切的运算.【详解】因为tan 2α=，所以2221sin cos tan 15sin22sin cos 2tan 4ααααααα++===.故答案为：54.13.已知一个圆台的上､下底面半径分别为1和3，高为若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为__________.（球的厚度可忽略不计）【答案】【解析】【分析】首先假设球与下底面和侧面相切，根据几何关系和计算，能证明求与上底面也相切，由此可以求得球的半径，即可求得球的体积的最大值.【详解】当球与下底面和侧面相切，如图，圆台及其内切球的轴截面如图所示，由题意可知，设,A D 分别梯形的上下底的中点，连结AD ，如图，作//BE AD ，交DC 于点E ，点F 为侧面的切点，则BE AD =，则1AB =，3DC =，2EC DC AB =-=则4BC ==，因为3FC DC ==，所以431BF BC FC =-=-=，且1AB =,所以球与上底面也相切，故内切球的半径为2BER ==，此时为圆台内的最大的球，内切球的体积3344ππ33V R ==⋅=.故答案为：14.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，直线1BF 与椭圆C的另一个交点为A .若220AF BF =⋅，则椭圆C 的离心率为__________.【答案】55【解析】【分析】依据题意求出A 点坐标，利用所给条件构造齐次方程求解离心率即可.【详解】由题意得2(,0)F c ，(0,)B b ，1(,0)F c -，则2(,)BF c b =- ，直线1BF 的斜率为bc ，即b y x b c =+，联立方程组22221x y a b+=，b y x b c =+，可得2222222()20b c a b x a b cx ++=，而222222222220A a b c a cx b c a b c a+=-=-++，故2222A a c x c a =-+，代入直线中得322A b y c a =-+，故2322222(,)a c b A c a c a --++,可得22223222(,)a c b c c a c a AF =+++ ，由题意得220AF BF =⋅ ，可得2322222()()0a c b c c b c a c a ⋅++-⋅=++，化简得22442230a c c b c a+-=+，即224430a c c b +-=，化简得22450a c a -=，同除4a 得2510e -=，且0e >，解得55e =.故答案为：55四､解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）π3A =（2【解析】【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解；（2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】由正弦定理，得sin sin cos A C C A =，又()0,π,sin 0C C ∈≠，所以sin A A =，即tan A =.又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==，所以224b c bc +-=.由基本不等式知222b c bc +≥，于是224244bc b c bc bc =+-≥-⇒≤.当且仅当2b c ==时等号成立.所以ABC 的面积1sin 4244S bc A ==≤=，当且仅当2b c ==时，面积S 16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，22PA AD AB ===.（1）证明：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）求平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明CD ⊥平面PAD ，即可证明；（2）以点A 为原点建立空间直角坐标系，分别求平面PBC 与平面PCD 的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为PA ⊥底面,ABCD CD ⊂底面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为底面ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.又PA AD A ⋂=，且,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD .【小问2详解】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,2A B C D P .所以()()()1,2,2,0,2,0,1,0,0PC BC CD =-==- .设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则111122020x y z y +-=⎧⎨=⎩取12x =，得()2,0,1n = .设平面PCD 的法向量为()222,,m x y z =，则00m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则22222200x y z x +-=⎧⎨-=⎩取21y =，得()0,1,1m = .设平面PBC 与平面PCD 的夹角为θ，则||10cos |cos ,|||||10n m n m n m θ⋅=<>== 所以平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值为1010.17.猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为23，乙同学猜对每个灯谜的概率为12.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：（1）甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在A 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是23；没有都猜对则在B 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是14，求甲同学抽中新春大礼包的概率；（3）甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）12（2）47108（3）分布列见解析，73【解析】【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）根据全概率概率公式计算可得；（3）依题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】设A =“甲猜对一个灯谜”，B =“乙猜对一个灯谜”，则()()21,.32P A P B ==因为甲､乙恰有一人猜对的事件为AB AB +，所以()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B =+2111132322=⨯+⨯=，所以，甲､乙恰有一人猜对的概率为12.【小问2详解】设C =“甲猜对两道题”，D =“甲中奖”，则()()()()()||P D P C P D C P C P D C=+22222113334⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦85472736108=+=，所以，甲同学抽中新春大礼包的概率47108.【小问3详解】由（1）知()23P A =，()12P B =.易知甲､乙猜对灯谜的个数之和X 的可能取值为0，1，2，3，4.则()2211103236P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2211222111111111C C 3322239186P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222112221112111132C C 3232332236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22112221111213C C 3322233P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222114329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X01234P 1361613361319因此，X 的数学期望()11131184701234.3663639363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==18.已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，虚轴长为2，点()4,1A --在C 上.（1）求双曲线C 的方程；（2）过原点O 的直线与C 交于,S T 两点，已知直线AS 和直线AT 的斜率存在，证明：直线AS 和直线AT 的斜率之积为定值；（3）过点()0,1的直线交双曲线C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与x 轴的交点分别为,M N ，求证：MN 的中点为定点.【答案】（1）2218x y -=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据虚轴长和点坐标联立方程组可得28a =，1b =，可求得双曲线C 的方程为2218x y -=；（2）设出,S T 两点坐标，写出斜率表达式，联立双曲线方程化简计算可得证明；（3）设直线PQ 的方程为1y kx =+，求出直线,AP AQ 与x 轴的交点分别为,M N 的坐标，联立直线和双曲线方程利用韦达定理化简即可得出证明.【小问1详解】因为虚轴长22b =，所以1b =.又因为点()4,1A --在双曲线上，所以221611a b-=，解得28a =.故双曲线C 的方程为2218x y -=.【小问2详解】证明：如下图所示：设()000,,4S x y x ≠-，则()00,T x y --所以200020001114416AS AT y y y k k x x x +-+-⋅=⋅=+-+-因为()00,S x y 在双曲线C 上，所以220018x y -=，可得2200128x y -=-；于是20202200211816168AS ATx y k k x x --⋅===--，所以直线AS 和直线AT 的斜率之积为定值，定值是18.【小问3详解】证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为1y kx =+，如下图所示：联立22118y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 整理可得()221816160k x kx ---=①则()()222Δ(16)41816642560,k k k =---⨯-=->所以()()()1212122211218y y kx kx k x x k +=+++=++=-②()()()2121212121111y y kx kx k x x k x x =++=+++=③直线AP 的方程为()111414y y x x +=+-+，令0y =，得点M 的横坐标为11441M x x y +=-+；同理可得点N 的横坐标为22441N x x y +=-+；所以121244811M N x x x x y y +++=+-++()()()122112121248811x y x y x x y y y y ++++++=-++()()()122112121212114881x kx x kx x x y y y y y y ++++++++=-+++()()121212121222488.1kx x x x y y y y y y +++++=-+++将①②③式代入上式，并化简得到()()2288188484,2218M N k x x k +-+=-=-=-+-所以MN 的中点的横坐标为22M N x x x +==-，故MN 的中点是定点()2,0-.19.英国数学家泰勒发现了如下公式：2312!3!!xn x x x x n =++++++e 其中!1234,e n n =⨯⨯⨯⨯⨯ 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：e 1x x ≥+；（2）设()0,x ∈+∞，证明：()()f x g x x<；（3）设()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）(],1-∞【解析】【分析】（1）首先设()e 1x h x x =--，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；（2）首先由泰勒公式，由e x 和e x -，再求得()f x 和()g x 的解析式，即可证明；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，求出()F x 在0x =附近的单调区间，即可求解.【小问1详解】设()e 1x h x x =--，则()e 1xh x '=-.当0x >时，()0h x '>：当0x <时，()0h x '<，所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.因此，()()00h x h ≥=，即e 1x x ≥+.【小问2详解】由泰勒公式知2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，①于是2345e 1(1)2!3!4!5!!n x n x x x x x x n -=-+-+-++-+ ，②由①②得()()3521e e ,23!5!21!x x n x x x f x x n ---==+++++- ()()2422e e 1,22!4!22!x x n x x x g x n --+==+++++- 所以()()242213!5!21!n f x x x x x n -=+++++-()242212!4!22!n x x x n -<+++++- ().g x =即()()f x g x x<.【小问3详解】()()22e e 11222x x x x F x g x a a -⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()e e 2x x F x ax --=-'，设()e e 2x x G x ax --=-，()e e .2x x G x a -+'=-由基本不等式知，e e 1122x x -+≥⨯=，当且仅当0x =时等号成立.所以当1a ≤时，()10G x a '≥-≥，所以()F x '在R 上单调递增.又因为()F x '是奇函数，且()00F '=，所以当0x >时，()0F x '>；当0x <时，()0F x '<.所以()F x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.因此，0x =是()F x 的极小值点.下面证明：当1a >时，0x =不是()F x 的极小值点.当1a >时，()ln ln e e 1111ln 0222a a G a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫'=-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()G x '是R 上的偶函数，且()G x '在()0,∞+上单调递增,所以当()ln ,ln x a a ∈-时，()0G x '<.因此，()F x '在()ln ,ln a a -上单调递减.又因为()F x '是奇函数，且()00F '=，所以当ln 0a x -<<时，()0F x '>；当0ln x a <<时，()0F x '<.所以()F x 在()ln ,0a -上单调递增，在()0,ln a 上单调递减.因此，0x =是()F x 的极大值点，不是()F x 的极小值点.综上，实数a 的取值范围是(],1-∞.【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分1a ≤和1a >两种情况，利用导数判断0x =附近的单调性.20。