最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分在几何中的应用》自我小测

1．7.1 定积分在几何中的应用练习1．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b (a ＜b )和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )A.()d baf x x ⎰B ．()d baf x x -⎰C.[()]d ba f x a x -⎰D ．[()]d baf x b x -⎰2．y ＝x 2＋1与两坐标轴及x ＝1所围成的图形的面积为( ) A ．13B ．43C ．53D ．23．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]4．由曲线y ＝x 和y ＝x 3所围成图形的面积可用定积分表示为( )A.1300d x x x +⎰⎰B.130d x x x -⎰⎰C.130d x x x -⎰⎰D ．以上都不正确5．(2010山东高考)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.7126．若d 1ax x =⎰，则实数a 的值是________．7．曲线y ＝x 2与x ＝y 2所围成的平面图形的面积为________．8．图中阴影部分的面积S ＝________.9．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求：切点A 的坐标以及切线方程．10．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．参考答案1. 答案：B 由定积分的几何意义，易知S ＝()d baf x x -⎰.2. 答案：B S ＝123100114(+1)d 1333x x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎰. 3. 答案：B 如图，作出y ＝e x ，x ＝2，y ＝1三个函数的图象，由三者围成的曲边梯形如图中阴影部分，若选择x 为积分变量，则积分区间应为[0,2]．故选B.4. 答案：C解方程组3,y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,x y =⎧⎨=⎩1,1,x y =⎧⎨=⎩而当0≤x ≤1x 3， ∴曲线yy ＝x 3所围成图形的面积可用定积分表示为13)d x x =⎰0x ⎰130d x x -⎰，故选C.5. 答案：A 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．解方程组23,,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝1233410011111()d 343412x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 6.2211d 22aax x x a ==⎰， ∴2112a =，即a 2＝2.又a ＞0，∴a7. 答案：13画出曲线y ＝x 2和y 2＝x ，则图中阴影部分的面积即为所求．解方程组22,y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点为O (0,0)，A (1,1)．∴S＝31231200021211d 33333x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰. 8. 答案：163 由图知S ＝322200816[(5)1]d 480333x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 9. 分析：先设出切点坐标，求出切线方程，再利用定积分求所围图形的面积，列式求出参数．解：由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 02)，则切线方程为y －x 02＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 02，可得切线与x 轴的交点坐标为0,02x ⎛⎫⎪⎝⎭.画出草图，得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 02与x 轴所围图形如图中阴影所示，故S ＝S 1＋S 2＝00000222200022d d (2)d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰＝00000333220200022111()331212x x x x x x x x x x x x +--==，解得x 0＝1，所以切点A 坐标为(1,1)，所求切线方程为y ＝2x －1.10．分析：所围图形的面积可用定积分表示，从而确定出要求的参数．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝2312100111()d 23236x x x x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰.由2,,y kx y x x =⎧⎨=-⎩可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以120()d 2k Sx x kx x -=--⎰ ＝3213011(1)236kk x x k -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 又S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝112=-.所以k 的值为12-.。

高中数学专题1.7.1 定积分在几何中的应用练习（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.7.1 定积分在几何中的应用练习（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题1.7.1 定积分在几何中的应用练习（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。

定积分在几何中的应用（时间：25分，满分50分)班级 姓名 得分 1。

用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A ．ʃ错误!f （x )d xB ．|ʃ错误!f （x )d x ｜C ．ʃ错误!f (x )d x ＋ʃ错误!f (x )d xD ．ʃc，b f （x ）d x －ʃ错误!f （x ）d x 【答案】 D2．曲线y ＝cos x （0≤x ≤错误!π）与坐标轴所围图形的面积是（ ） A ．2 B ．3 C 。

错误! D ．4 【答案】 B【解析】 S ＝π20⎰cos x d x －3π2π2⎰cos x d x ＝sin x|π20－sin x ｜3π2π2＝sin 错误!－sin 0－sin 错误!＋sin 错误!＝1－0＋1＋1＝3。

3.曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( ) A.错误! B 。

错误! C ．1 D 。

错误!【答案】 D【解析】 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0），(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2ʃ错误!（1－x 2)d x ＝2（x －错误!x 3）|错误!＝2×错误!＝错误!。

自我小测1．一质点运动时，速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则此物体在[1,2]时间内的位移为()．A.176B.143C.136D.1162．从空中自由下落的物体，在第1秒时刻恰好经过电视塔顶，在第4秒时刻落地，已知自由落体的运动速度为v＝10t，则电视塔高为()．A．80 B．75 C．90 D．853．一物体在力10,02,()=34,2xF xx x≤≤⎧⎨+>⎩(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向从x＝0运动到x＝4(单位：m)，则力F(x)做的功为()．A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙，如图所示．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()．A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面5．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋e x，则质点沿着F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是__________．6．质点运动的速度是(18t－3t2)m/s，质点在[0,8]时间段内所通过的路程为__________．7．有一横截面面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管t秒末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．试求从t＝0秒到t＝6秒这段时间内流出的水量．8．自地面垂直向上发射火箭，火箭的质量为m，试计算将火箭发射到距离地面的高度为h处，克服引力所做的功．9.A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s.在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．参考答案1. 答案：A 解析：232221117(2)d 211326s t t t t t t ⎛⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎰. 2. 答案：B 解析：塔高421410d 5751h t t t =⎰＝＝. 3. 答案：B 解析：4242002243()d 10d (34)d 10446(J)022W F x x x x x x x x ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰． 4. 答案：A解析：由图象及定积分知识可知，速度图象与x 轴围成的面积表示汽车行驶的位移，在t 0时刻，甲车的位移大于乙车的位移，故在t 0时刻甲车应在乙车的前面，且t 0时刻两车速度相同，故C 、D 不对，t 1时刻甲车的位移大于乙车的位移，故A 对．5. 答案：e 解析：11001()d (1+e )d (e )=1+e 1=e.0x x W F x x x x ==+-⎰⎰. 6. 答案：152 m解析：由18t －3t 2≥0得0≤t ≤6.故所求路程()2223686(183)d060s t t t t ⎰⎰＝－－－＝－－－＝． 7解：由题意可得，t ＝0秒到t ＝6秒这段时间流出的水量662223300614(6)d 4(6)d 43144(cm )03V t t t t t t t t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰＝－． 故从t ＝0秒到t ＝6秒这段时间流出的水量为144 cm 3.8. 解：设地球的半径为R ，质量为M ，由万有引力公式得火箭所受的引力为2M m F G x ⋅=⨯ (G 为引力常数)． 当x ＝R 时，即火箭在地面时，火箭所受引力就是火箭的重力； 所以2=M m G mg R ⋅⋅，∴2gR G M=，∴22mgR F x =.为了发射火箭，必须克服地球的引力，因此推力F (x )至少应与地球的引力大小相等，即22()=mgR F x x，∴将火箭自地面发射到离地面高h 处时，所做的功为2222111d ==R h Rh mgR W x mgR mgR R R x x R R h +⎛⎫-⋅- ⎪+⎝⎭⎰＝. 9. 解：(1)设A 到C 经过t 1 s ，由1.2t ＝24得t 1＝20(s)． 所以22020= 1.2=0.6==240(m)00AC tdt t ⎰． (2)设从D →B 经过t 2s ，由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)，所以DB ＝200⎰ (24－1.2t )d t ＝240(m)．(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)．从C 到D 的时间36720==280(s)24t ． 于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．。

自我检测基础达标1.一物体以速度v(t )=3t 2-2t +3做直线运动，它在t =0和t =3这段时间内的位移是( ) A.9 B.18C.27 D .36解析：s=⎰⎰+-=+-=30330232)3()323()(t t t dt t t dt t v =33-32+3×3-0=27. 答案：C2.如果某质点的初速度v(0)=1,其加速度a (t )=6t ,做直线运动，则质点在t =2s 时的瞬时速 度为 （ ）A.5B.7C.9D.13解析：v(2)-v(0)=⎰⎰=20206)(tdt dt t a =3t 2|20,∴v(2)=v(0)+3×22=1+12=13.答案：D3.若1kg 的力能使弹簧伸长1cm ，现在要使弹簧伸长10cm ，问需花费的功为（ ）A.0.05B.0.5C.0.25D.1解析：设力f=k x (k 是比例系数).当f=1kg 时，x =0.01,可解得k=100kg/m,则f=100x , ∴W=⎰1.00100xdx =50x 21.00=0.5.答案：B4.从空中自由下落一物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地.已知自由落体的运动速度为v=g t (g 为常数)，则电视塔高为( )A.21g B.g C.23g D.2g解析：塔高h =⎰21gtdt =21g t 2g 2321=.答案：C 5.一物体在力F (x )=⎩⎨⎧>+≤≤2x ,4x 3,2x 0 ,10(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =4(单位：m)处，则力F (x )做的功为 ( )A.44B.46C.48D.50解析：W=∫40F(x )d x =∫2010d x +∫42(3x +4)d x=10x 20+(23x 2+4x )42=46. 答案：B6.右图是一个质点做直线运动的v －t 图象，则质点在前6s 内的位移为…（ ） A.9 B.12 C .14 D .15解析：由题图易知v(t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤ 6.t 4 t,2394,t 0 t,43 ∴s=⎰⎰⎰-+=604064)239(43)(dt t tdt dt t v =642402)t 43-(9t t 83+=6+3=9. 答案：A7.质点直线运动瞬时速度的变化规律为v(t )= -3sin t ,则t 1=3至t 2=5时间内的位移是 .（精确到0.01）解析：s=⎰⎰-=5353)sin 3()(dt t dt t v=3cos t |53=3(cos5-cos3)≈3.82m.答案：3.828.变速直线运动的物体的速度v(t )=5-t 2,初始位置x (0)=1,前2s 所走过的路程为.解析：设前2 s 所走过的路程为x (2),∴x (2)-x (0)=⎰⎰-=20202)5()(dt t dt t v .∴x (2)-1=(5t -31t 3)32220=.∴x (2)=325. 答案：325 9.模型火箭自静止开始铅直向上发射，设起动时即有最大加速度.以此时为起点，加速度满足a (t )=100-4t 2,求火箭前5 s 内的位移.解析：由题设知t =t 0=0,v(0)=0,s(0)=0,∴v(x )=⎰-=-tt t dt t 03234100)4100(.∴s(5)=⎰⎰=50503)34100()(dt t t dt x v =(50t 2-31t 4)50=33125. 更上一层1.质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度a (t )=2t (m/s ),当初速度v (0)=0时，质点出发后6s 所走过的路程为（ ）A.36B.54C.72D.96解析：v(t )-v(0)=⎰⎰==t t t t tdt dt t a 00022)(.∵v(0)=0，∴v(t )=t 2.∴s=⎰⎰==60602)(dt t dt t v 31t 3|60=72. 答案：C2.如右图，弹簧一端固定，另一端与一质点相连.弹簧劲度系数为k ，则质点由x 0运动至x 1时弹簧弹性力所做的 功为 （ ）A.21k x 02-21k x 12 B. 21k x 12-21k x 02 C. 21k x 02+21k x 12 D. 21k x 12解析：弹簧弹性力F(x )=-k x ，∴W=⎰⎰-=1012)()(x x x x dx kx dx x F =-(21k x 12-21k x 02)= 21k x 02-21k x 12. 答案：A3.质点做直线运动，其速度v(t )=3t 2-2t +3,则它在第2秒内所走的路程为（ ） A.1 B.3 C.5 D.7解析：所求路程s=⎰=+-=+-21212327)3()323(t t t dt t t .答案：D 4.已知物体速度为v=v 0+at (v 0、a 为常数)，则物体在t 1=0至t 2=t 时间内的位移为( )A.s =21at 2B.s =v 0t +21at 2C.s =v 0t -21at 2D.s =21at 2-v 0t解析：s=⎰+t dt at v 00)(=(v 0t +21at 2)t 0 =v 0t +21at 2.答案：B5.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t )=27-0.9t ,则列车刹车后前进米才停车.( )A.405B.540C.810D.945解析：停车时v(t )=0,则27-0.9t =0,∴t =30s.∴s=⎰⎰-=300300)9.027()(dt t dt t v =(27t -0.45t 2)|300=405.答案：A6.一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为a (t )=-A ω2co st ,在t =0时，v(0)=0,s (0)=A ,其中A 、ω为常数，求质点的位移方程.解析：v(t )-v(0)=⎰⎰-=t t dt t A dt t a 002)cos ()(ω，∴v(t )=-A ω2sin t |t 0=-A ω2sin t .∴s(t )-s(0)=⎰⎰-=t t dt t A dt t v 002)sin ()(ω,s(t )-A =A ω2cos t -A ω2.∴s(t )=A +A ω2cos t -A ω2.∴质点的位移方程为s(t )=A ω2cos t +A -A ω2,t ∈［0，+∞). 7.作用于某一质点的力F (x )=⎩⎨⎧≤<+≤≤,2x 1 ,1x ,1x 0 x,求力所做的功. 解析：W=⎰⎰++1021)1(dx x xdx =21x 210+(21x 2+x )21=3， ∴力对质点做的功是3.。

自我小测1．下列结论中成立的个数是( ) ①1⎰x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②10⎰x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n ； ③10⎰x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．如图所示，阴影部分的面积为( )A ．b a ⎰f (x )d xB ．b a ⎰g (x )d x C ．b a⎰[f (x )－g (x )]d x D ．b a⎰[g (x )－f (x )]d x3．由定积分的几何意义可得53⎰2x d x ＝( )A ．6B ．16C ．25D ．34 4．下列等式成立的是( ) A ．10⎰x d x ＝2 B ．10⎰(－x )d x ＝12C ．11-⎰|x |d x ＝210⎰|x |d x D ．11-⎰2d x ＝05．定积分10⎰x d x 与10⎰x d x 的大小关系是( )A ．10⎰x d x ＜10⎰x d xB ．10⎰x d x ＞10⎰x d xC ．10⎰x d x ≥10⎰x d x D ．无法确定6．计算20152014⎰(－2 016)d x ＝__________.7．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为__________．8．已知1⎰1－x2d x.9．利用定积分的几何意义求Array10．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程．参考答案1．解析：由定积分的定义，易知②③正确，①错误，故选C ． 答案：C2．解析：由题图可知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )＞g (x )，所以阴影部分的面积S ＝b a⎰f (x )d x－b a⎰g (x )d x ＝b a⎰[f (x )－g (x )]d x .答案：C 3．解析：53⎰2x d x 的值表示由直线y ＝2x ，x ＝3，x ＝5，y ＝0所围成图形的面积S ＝12×(6＋10)×2＝16.答案：B 4．解析：∵10⎰x d x ＝12，10⎰(－x )d x ＝－12，11-⎰2d x ＝4，∴A ，B ，D 不正确．∵函数y ＝|x |为偶函数，∴11-⎰|x |d x ＝210⎰|x |d x ，∴C 正确．答案：C5．解析：由定积分的几何意义结合下图可知10⎰x d x ＜10⎰x d x .答案：A6．解析：∵根据定积分的几何意义，20152014⎰2 016d x 表示直线x ＝2 014，x ＝2 015，y ＝0，y ＝2 016围成的矩形面积，∴20152014⎰ 2 016d x ＝2 016. ∴20152014⎰(－2 016)d x ＝20152014-⎰2 016d x ＝－2 016.答案：－2 0167．解析：阴影部分由直线x ＝－4，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 22围成，所以由定积分的几何意义可知阴影部分的面积用定积分表示为24-⎰x 22d x .答案：24-⎰x 22d x 8．解析：由定积分的性质，可得2⎰(x 2＋1)d x ＝20⎰x 2d x ＋20⎰1d x ，而由已知，有2⎰x 2d x＝10⎰x 2d x ＋21⎰x 2d x ＝13＋73＝83，又由定积分的几何意义知20⎰1d x ＝1×2＝2，故2⎰(x 2＋1)d x＝83＋2＝143. 答案：1439．解：由y x 2+y 2=1(y ≥0)的图象为如图所示的半圆，由定积分的几何意义知x ⎰等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形=212π12ππ11sin =23233⨯⨯-⨯⨯- S 矩形=|AB |·|BC|=12=222⨯，∴ππ==33x ⎰10．解：由题意，汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 s ＝600⎰v (t )d t＝200⎰32t d t ＋4020⎰(50－t )d t ＋6040⎰10d t＝300＋400＋200＝900(米)．。

第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用定积分在几何中的应用A 级基础稳固一、选择题1．曲线 y ＝ x 3 与直线 y ＝ x 所围成的图形的面积等于()131 3A ∫ － 1(x － x )dxB.∫ －1(x － x)dx133C ． 2∫ 0(x － x )dxD ． 2∫ － 1(x － x )dx分析：由图象可知，当 x ∈ (0， 1)时， y ＝ x 的图象在 y ＝ x 3 图象的上方，依据对称性知，选项 C 正确．答案： C2．由曲线 y ＝ x 2－ 1、直线 x ＝ 0、 x ＝ 2 和 x 轴围成的关闭图形的面积是()A.∫ 02(x 2－ 1)dxB ． |∫02 (x 2－ 1)dx|C.∫ 02 |x 2－ 1|dx122 2D.∫ 0(x －∫－ 1)dx1)dx ＋ 1(x分析： y ＝ |x 2－ 1|将 x 轴下方暗影反折到 x 轴上方，其定积分为正，选项 C 正确．答案： C3.如下图，由曲线y ＝x 2 和直线 x ＝ 0，x ＝ 1， y ＝ t 2， t ∈ (0， 1)所围成的图形 (暗影部分 )的面积的最小值为 ()21A.3B.3C. 1D. 1 24分析：由题图知，S ＝ ∫ 0t (t 2 － x2)dx ＋∫ t1(x2－ t2)dx＝4 t 3－ t 2＋1， S ′＝ 4t 2－ 2t ，令 S ′＝ 0，3 3 得 ＝或 ＝ 1， ＝4 3－ t 2＋ 1在1 单一递减，在 1， 1 单一递加，当 t ＝ 1时， S 获得最小t 03 ，2223t2值 1，应选 D. 4答案： D4．若 ∫ 1a2x ＋ 1dx ＝ 3＋ ln 2 且 a ＞ 1，则实数 a 的值是 ()xA ．2B ．3C ．5D ．6a12a22分析： ∫ 1 2x ＋ x dx ＝ (x ＋ ln x)|1＝ a ＋ ln a － (1＋ ln 1)＝3＋ ln 2 ，a ＞ 1，因此 a ＋ ln a ＝ 4＋ ln 2＝ 22＋ ln 2，解得 a ＝ 2.答案： A5．设函数 f(x)＝ x m ＋ ax 的导函数 f ′(x)＝ 2x ＋ 1，则 ∫ 21f( － x)dx 的值等于 ( )5 1 2 1A.6B.2C.3D.6分析：由 f( x)＝ x m ＋ax 求导得， f ′ (x)＝ mx m － 1＋a ，又 f ′(x)＝ 2x ＋ 1，因此 m ＝2， a ＝ 1，因此 f(－ x)＝ x 2－ x ，因此 ∫ 21f(－ x)dx ＝∫ 21(x 2－ x)dx ＝ 13x 3－ 12x 2 |21＝ 56.答案： A二、填空题π 3π 及曲线 y ＝ cos x 所围成图形的面积 ________．6．直线 x ＝ ， x ＝， y ＝ 022分析：由题意作出图形如下图，由图形面积为答案： 27．曲线 y ＝ x 2＋ 2x 与直线 x ＝－ 1， x ＝ 1 及 x 轴所围图形的面积为 ________．分析： S ＝－ ∫ 0－1(x 2＋ 2x)dx ＋ ∫01(x 2＋ 2x)dx ＝－1x 3＋ x 2 |0＋ 1x 3＋ x 2 |1＝2＋ 4＝ 2.3－13033答案： 2218．曲线 y ＝ x 与直线 y ＝ 2x 所围图形的面积为 ________．y 2＝ x ，1分析：如下图，由1 得交点坐标为O(0， 0)， A(4，2)，因此 S ＝ ∫4－ x dxx2y ＝ 2x＝312 44 2 2＝| 3.3x － 4x答案：43三、解答题9．设 y ＝ f( x)是二次函数，方程 f(x)＝ 0 有两个相等的实根，且f ′(x)＝ 2x ＋ 2.(1)求 y ＝ f(x)的表达式；(2)求 y ＝ f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解： (1) 由于 y ＝ f(x)是二次函数，且 f ′(x)＝ 2x ＋ 2，因此设 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ c.又 f(x)＝ 0 有两个等根，因此 4－ 4c ＝ 0，得 c ＝ 1，因此 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ 1.(2)y ＝ f( x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积为∫－1(x 2＋ 2x ＋ 1)dx ＝ 1x 3＋ x 2＋ x |0－1＝1.33x 3， x ∈ [0， 1），10．已知函数 f(x)＝求曲线 y ＝ f(x)与 x 轴、直线 x ＝ 0、x ＝ 2 所围成的x ， x ∈ [1， 2]，图形的面积．解：作出函数图象如下图，S ＝∫ 20f(x)dx ＝ ∫10f(x)dx ＋∫ 21f(x)dx ＝ ∫ 10x 3dx ＋4 1＋ 2＝ x |∫4 1 xdx 0322 25 ＋ 4 23 x |1＝－ 123 .B 级 能力提高1．由直线 x ＝－ 2， x ＝ 2， y ＝0 及曲线 y ＝ x 2－ x 所围成的平面图形的面积为 ( )A. 16B. 17C. 8D. 5 3 3 3 3分析：如下图，所求面积S 为图中暗影部分的面积．因此0 2 1 2 2 2－ x)dx ＝ S ＝∫ － 2(x － x)dx ＋ |∫ 0(x － x)dx|＋ ∫ 1( x 1 3 1 2 0x － x |－2＋3 2 1 3 1 x 2 1 1 3 1 2 2| x － 2|0|＋ 3x － x |1＝3 2 0－ －8－2 ＋| 1－1|＋33 28 11 17 3－2－ 3－2 ＝3.答案： B2．抛物线 y ＝－ x 2＋ 4x － 3 及其在点 A(1， 0)和点 B(3 ，0)处的切线所围成图形的面积为________分析：由 y ′＝－ 2x ＋ 4 得在点 A 、B 处切线的斜率分别为 2 和－ 2，则两直线方程分别为y＝ 2x － 2 和 y ＝－ 2x ＋6，y ＝ 2x － 2， C(2， 2)，由 得两直线交点坐标为y ＝－ 2x ＋ 6因此＝△－ ∫ 32－1××－－13 ＋ 2x 2 34 ＝ 21(－ x＋ 4x＝x－ 3x | ＝ － .S S ABC3)dx2 231232 3答案：23223．若函数 f(x)＝ max{ x ， x }，求∫f(x)dx.－解：如下图，f(x)＝ max{ x ， x 2}＝2 ，－ 2≤x ≤0，xx ，0＜ x ＜ 1， 因此 ∫ －2 2f(x)dx ＝x 2， 1≤ x ≤ 2212 2∫ － 2x dx ＋ ∫ 0xdx ＋ ∫ 1x dx ＝13 01 2 11 3 2113 x |－2＋x |0＋x |1＝2 .2 3。

定积分在几何中的应用（测试题解析版）1.（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )S＝ʃa b[f(x)－g(x)]d x S＝ʃ80(22x－2x＋8)d x①②S＝ʃ41f(x)d x－ʃ74f(x)d x S＝ʃa0[g x －f x ]d x＋ʃb a[f x －g x ]d x③④A．①③ B．②③ C．①④ D．③④【答案】 D2．（5分）若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为( )A．∫b a[f(x)－g(x)]d xB．∫b a[g(x)－f(x)]d xC．∫b a|f(x)－g(x)|d x∫b a[f x －g x ]d xD.||【答案】 C【解析】当f(x)＞g(x)时，所求面积为∫b a[f(x)－g(x)]d x；当f(x)≤g(x)时，所求面积为∫b a[g(x)－f(x)]d x.综上，所求面积为∫b a|f(x)－g(x)|d x.3．（5分）由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为( )A.ln2B.ln2-1C.1+ln2D.2ln2【答案】 A.【解析】 画出曲线y=(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积.所以S=dx=lnx =ln2-ln1=ln2.4．（5分）直线x=-1，x=1，y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为 ①f(x)dx ；②f(|x|)dx ；③|f(x)|dx ；④2|f(x)|dx.其中，正确表示的个数为( ) A.0 B.1C.2D.3【答案】C5.（5分）用max{a ，b}表示a ，b 两个数中的最大数，设f(x)=max{x 2，}，那么由函数y=f(x)的图象、x 轴、直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积是( ) A.B.C.D.【答案】A.【解析】由题设知：f(x)=所以S=dx+x 2dx=+x3=.6．（5分）设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈ 1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在 【答案】 C【解析】 数形结合，如图，ʃ20f(x)d x＝ʃ10x2d x＋ʃ21(2－x)d x＝13x3|10＋(2x－12x2)|21＝13＋(4－2－2＋12)＝56.7．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________.【答案】8．（5分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．【答案】1 3【解析】根据题意得：S阴＝ʃ103x2d x＝x3|10＝1，则点M取自阴影部分的概率为S阴S矩＝13×1＝13.9.（5分）求曲线y＝6－x和y＝8x，y＝0围成图形的面积．【解析】作出直线y＝6－x，曲线y＝8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－xy ＝8x得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积S ＝S 1＋S 2＝ʃ28x d x ＋ʃ62(6－x )d x ＝8×23|20＋(6x －12x 2)|62＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)]＝163＋8＝403. 10．（5分）设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．S 2＝ʃ2t (x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为(43，169)．(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0. 因为0<t <2，所以t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0. 所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423， 此时点P 的坐标为(2，2)．32x。

高中数学人教a 版高二高二选修2-2学业测评：1.7.1、2_定积分在几何中的应用_定积分在物理中的应用 含解析学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用S 表示图1-7-4中阴影部分的面积，则S 的值是( )图1-7-4A.⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛a c f (x )d x C.⎠⎛ab f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x【解析】 在区间[a ，b ]上图形在x 轴下方，积分为负值， ∴S ＝⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .故选D.【答案】 D2．如图1-7-5，阴影部分的面积是( )图1-7-5A ．23B ．2－ 3 C.323D.353【解析】 S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1-3＝323.【答案】 C3．一物体以速度v ＝3t 2＋2t (单位：m/s)做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m【解析】 S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)|30＝33＋32＝36(m)．【答案】 B4．如果某飞行物以初速度v 0＝10 m/s ，加速度a (t )＝10t m/s 2做直线运动，则飞行物在t ＝3 s 时的瞬时速度为( )A ．40 m/sB ．45 m/sC ．50 m/sD ．55 m/s【解析】 飞行物在t ＝3 s 时的瞬时速度为 v ＝v 0＋⎠⎛03a (t )d t ＝10＋⎠⎛0310t d t＝10＋5t 2⎪⎪⎪3＝55 m/s.【答案】 D5．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( ) A. ⎠⎛-11(x －x 3)d xB. ⎠⎛-11(x 3－x )d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛-10(x －x 3)d x【解析】 由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .【答案】 C 二、填空题6．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.【答案】 1637．一物体沿直线以v ＝1＋t (单位：m/s)的速度运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是________________.【解析】 s ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪100＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－1.【答案】 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1132－18．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时(在弹性限度内)，克服弹力所作的功为________．【解析】 由题意可知1＝k ×0.02，∴k ＝50，故在弹簧伸长12 cm 时所做的功为⎠⎛00.12∫0.12050l d l ＝25l 2⎪⎪⎪0.120＝0.36(J)．【答案】 0.36 J 三、解答题9．求曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图1-7-6阴影部分)的面积的最小值．图1-7-6【解】 由定积分与微积分基本定理，得 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪ t0＋⎝⎛ ⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t ＝t 3－13t 3＋13－t 2－13t 3＋t 3＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)， 所以S ′＝4t 2－2t ，所以t ＝12或t ＝0(舍去)．当t 变化时，S ′，S 变化情况如下表：所以当t ＝12时，S 最小，且S min ＝4.10.如图1-7-7，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．图1-7-7【解】 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝12－13＝16.由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x －x 2，可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33⎪⎪⎪1-k0＝16(1－k )3. 又S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342，所以k 的值为1－342.[能力提升]1．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623【解析】 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83.【答案】 C2．已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝axB ．y ＝±axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax【解析】 显然，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得 交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2)， 所以图形面积S ＝⎠⎛02a +k [kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33⎪⎪⎪2a +k＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36.又因为S ＝92a 3，所以(2a ＋k )36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A. 【答案】 A3．物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，则两物体相遇时物体A 运动的距离为( )A ．110 mB ．120 mC ．130 mD ．140 m【解析】 依题意，设自开始运动到两物体相遇所用时间为x s ，则有⎠⎛0x (3t 2＋1)d t ＝5＋⎠⎛0x 10t d t ，即x 3＋x ＝5＋5x 2，(x －5)(x 2＋1)＝0，因此x ＝5.两物体相遇时物体A 运动的距离等于x 3＋x ＝53＋5＝130 m.【答案】 C4．已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积.【解】 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 20－6x 0－2＝y 0x 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2， 方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1.解方程组{ y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1， y ＝－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛32|2x 3－3x 2－2x ＋1－(－2x ＋1)|d x ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2|d x＝＝2732，即所求面积为2732.。