北京市西城区高三数学二模试题理

北京市西城35中2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．9402．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(B ．)+∞C ．(D ．)+∞3．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．104．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．145．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}6．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 7．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．23288．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种9．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=10．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同11．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m12．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年西城区5月抽样测试二高三数学理科试卷(西城区二模试卷)创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日第一卷〔选择题 一共40分〕一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合要求的. 1．sin600°+tan240°的值是〔 〕A ．23-B ．23 C ．321+-D ．321+ 2． 函数)0(12>+=x x y 的反函数是〔 〕A ．)0(12>-=x x yB ．)0(12>--=x x yC ．)1(12>-=x x yD ．)1(12>--=x x y3．等差数列6427531,4,}{a a a a a a a a n ++=+++则中= 〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．64．设命题p ：假设001:;11,<⇔<<>ab bq b a b a 则. 给出以下四个复合命题： ①p 或者q ；②p 且q ；③ p ；④ q ，其中真命题的个数有 〔 〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．直线ky x k y x 1=-=+与的交点〔 〕A ．在直线上B ．在圆上C ．在椭圆上D ．在双曲线上6．两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，那么在平面β内 〔 〕A ．一定存在与直线m 平行的直线B ．一定不存在与直线m 平行的直线C ．一定存在与直线m 垂直的直线D ．不一定存在与直线m 垂直的直线7．某人上午7:00乘汽车以匀速1υ千米/时〔30≤1υ≤100从A 地出发到距300公里的B 地，在B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速2υ千米/时〔4≤2υ≤20〕从B 地出发到距50公里的C 地，方案在当天16:00至21:00到达C 地。

设乘汽车、摩托车行驶的时间是分别是x 、y 小时，那么在xOy 坐标系中，满足上述条件的x ，y 的范围用阴影局部表正确的选项是〔 〕8．假设},6,5,4,3,2,1{)2,1,0(},1010|{,0122∈=+⨯+⨯=∈i a a a a x x n m i 其中并且606=+n m ，那么实数对〔m ，n 〕表示平面上不同点的个数为〔 〕A ．32个B ．30个C ．62个D ．60个二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分. 把答案填在题中横线上.9．=-+-+→254lim 221x x x x x . 10．把点A 〔2，2〕按向量)2,2(-=a 平移到点B ，此时点B 分〔O 为坐标原点〕的比为2-，那么点C 的坐标为 .11．6)21(x -展开式中所有项的系数之和为 ；63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为 .12．假设椭圆11:22=++y m x C 的一条准线方程为2-=x ，那么=m ；此时，定点)0,21(与椭圆C 上动点间隔 的最小值为 . 13．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点D 到平面ACD 1的间隔 为 ，假设点P为△BCD 的重心，那么D 1P 与平面ADD 1A 1所成角的大小为 .14．设}{n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为T n ，并且满足条件,01,1100991>->a a a 01110099<--a a .给出以下结论：①0<q<1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确结论的编号是 .三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.15．〔本小题满分是13分〕有6件产品，其中含有3种次品，现逐个抽取检查〔不放回〕求：〔1〕前4次恰好查出2件产品的概率；〔2〕设查出全部次品时检查产品的个数为ξ，求ξ的分布列、期望.16．〔本小题满分是13分〕在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-.〔1〕求角B 的大小；〔2〕设n m k k n A A m ⋅>==),1)(1,4(),2cos ,(sin 的最大值为5，求k 的值.17．〔本小题满分是13分〕函数).,0(,ln )(e x x x f ∈-=曲线)(x f y =在点))(,(t f t 处的切线与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值.18．〔本小题满分是13分〕如图，四棱锥S —ABCD 中，平面SAC 与底面ABCD 垂直，侧棱SA 、SB 、SC 与底面ABCD 所成的角均为45°，AD//BC ，且AB=BC=2AD. 〔1〕求证：四边形ABCD 是直角梯形； 〔2〕求异面直线SB 与CD 所成角的大小； 〔3〕求直线AC 与平面SAB 所成角的大小.19．〔本小题满分是14分〕双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，A 、F 分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点F 的直线l 交双曲线的右支于P 、Q 两点，交y 轴于R 点，AP 、AQ 分别交右准线于M 、N 两点.〔1〕假设5=，求直线l 的斜率； 〔2〕证明：M 、N 两点的纵坐标之积为234a -.20．〔本小题满分是14分〕 实数0≥c ，曲线c x y l x y C -==::与直线的交点为P 〔异于原点O 〕，在曲线C上取一点),,(111y x P 过点P 1作P 1Q 1平行于x 轴，交直线l 于点Q 1，过点Q 1作Q 1P 2平行于y 轴，交曲线C 于点P 2〔x 2，y 2〕，接着过点P 2作P 2Q 2平行于x 轴，交直线l 于点Q 2，过点Q 2作直线Q 2P 3平行于y 轴，交曲线C 于点P 3〔x 3，y 3〕，如此下去，可以得到点P 4〔x 4，y 4〕，P 5〔x 5，y 5〕，…，P n 〔x n ，y n 〕，….设点P 的坐标为.0,),,(1a b b x a a <<= 〔1〕试用c 表示a ，并证明1≥a ；〔2〕试证明)(,12*∈<>N n a x x x n 且；〔2〕当).,(22)(:,21,0121*=++∈<-≥=∑N n k x x x b c nk k k k 求证时[参考答案]一、选择题二、填空题〔一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分〕9．2 10．〔0，2〕 11．1；－132 12． 23,1 13．510arctan ,3314．①③④〔注：全部选对得5分；选出错误选项②得0分；其余情况得2分〕 三、解答题〔限于篇幅，每一小题只给出一种答案，其他答案仿此给分〕15．解：〔1〕前4次恰好查出2件次品的概率53464423231==A A C C P ；………………5分〔2〕根据题意，ξ的取值可以是3、4、5、6. ………………6分其中，;201)3(3633===A A P ξ ………………7分21)6(;103)5(;203)4(6655135644132346131313=========A A C P A A C C P A A C C P ξξξ…10分………………11分所以，25.5216103520342013=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………13分16．解：〔I 〕因为,cos cos )2(C b B c a =-所以,cos sin cos )sin sin 2(C B B C A =- ………………2分 整理得,cos sin cos sin cos sin 2B C C B BA +=所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=， ………………4分因为3,21cos ,0sin ),,0(ππ==≠∈B B A A 所以所以.……………………6分〔2〕A A k 2cos sin 4+=⋅ ……………………8分 )32,0(,1sin 4sin 22π∈++-=A A k A 其中 ……………………10分设]1,0(,142],1,0(sin 2∈++-=⋅∈=t kt t n m t A 则所以，当n m t ⋅=,1时获得最大值. ……………………12分依题意23,5142==++-k k 解得，符合题意. 所以，23=k . ………13分17．解：〔I 〕由,1)(x x f -=' ……………………2分所以曲线)(x f y =在点))(,(t f t 处的切线方程为),(1ln t x tt y --=+……4分令y=0，得A 点的横坐标为)ln 1(t t x A -=，令x=0，得B 点的纵坐标为t x B ln 1-=，当0,0,),0(>>∈B A x x e t 时， 此时△AOB 的面积,)ln 1(212t S -=……6分 ),1)(ln 1(ln 21+-='t t S …………8分解e t eS e t S <<<'<<>'1,0;10,0得解得. ……………………9分所以)1,0(e 是函数2)ln 1(21t t S -=的增区间；),1(e e 是函数的减区间.……11分所以，当e t 1=时△AOB 的面积最大，最大值为ee e 2)1ln 1(1212=-⨯.……13分18．解：方法一〔1〕证明：作SO ⊥AC 交AC 于点O ，连接OB. 因为面SAC ⊥ABCD ，所以SO ⊥ABCD ，……………………2分因为侧棱SA 、SB 、SC 与底面ABCD 所成的角均为45°， 所以∠SAO=∠SBO=∠SCO=45°，……………………3分 所以△SAO ≌△SBO ≌△SCO ，所以SA=SB=SC ，OA=OB=OC ， 所以AC 是△ABC 外接圆的直径，所以AB ⊥BC ， 又AD//BC ，AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是直角梯形.……………………4分 〔2〕分别取BC 中点M ，SC 中点N ，连结AM ，AN ，MN ，那么MN//SB ， 又AD//BC ，AD=21BC=MC ，所以，ADCM 为平行四边形， 所以AM//DC ，所以∠AMN 是异面直线SB 与CD 所成角.……………………6分由〔1〕，△SAO ，△SBO ，△SCO 是全等的等腰直角三角形， AB=BC ，所以，△SAC ，△BAC 是全等的等腰直角三角形. 设SO=a ， 那么MN=21SB=a22，AM=,1022a a BM AB =+因为AM=AN ，所以在等腰三角形AMN 中，.10521cos ==AM MNAMN所以，异面直线SB 与CD 所成角为.105arccos …………8分〔3〕取SB 中点E ，连结AE 、CE 、OE ，由〔2〕知AE ⊥SB ，CE ⊥SB ， 所以，SB ⊥平面AEC ， ……………………10分 所以，平面SAB ⊥平面AEC ，且交线就是AE ，所以AC 在平面SAB 上的射影是AE ， 所以∠CAE 是AC 与平面SAB 所成的角 ……………………11分 在等腰直角三角形SOB 中，E 是SB 的中点， 所以,22tan ,.2222==∆==AO OE OAE AOE Rt AO SO OE 中在所以直线AC 与平面SAB 所成角的大小是.22arctan ……………………13分方法二〔1〕证明：作SO ⊥AC 交AC 于点O ，连OB ， 因为面SAC ⊥面ABCD ，所以SO ⊥面ABCD ………2分 因为侧棱SA 、SB 、SC 与底面 ABCD 所成的角均为45°，所以∠SAO=∠SBO=∠SCO=45°，……………3分 所以△SAO ≌△SBO ≌△SCO ， 所以SA=SB=SC ，OA=OB=OC=OS又AB=BC ，所以OB ⊥AC ，以OA 、OB 、OS 所在射线分别作为非负x 轴、非负y 轴、 非负z 轴建立空间直角坐标系， 设OS=a ，………………4分那么A 〔a ，0，0〕，B 〔0，a ，0〕，C 〔－a ，0，0〕，S 〔0，0，a 〕所以,0)0,,()0,,(22=-=--⋅-=⋅a a a a a a所以,,//.,BC AD BC AD BC AB ≠⊥⊥又即所以四边形ABCD 是直角梯形.……6分 〔2〕由〔1〕，△SAO ，△SBO ，△SCO 是全等的等腰直角三角形， 所以△SAC ，△BAC 是全等的等腰直角三角形.那么),,,0(),0,21,23(),0,21,21(a a a a a a D -=-=-,105210221,cos 2-=⋅-=<aa a ………………7分所以异面直线SB ，CD 所成角的大小是.105arccos………………8分〔3〕设),,(111z y x =是平面SAB 的法向量.那么由⎩⎨⎧=+-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001111ay ax az ax AB n 得………………10分取),1,1,1(,11==n x 得那么,33232||||cos -=⋅-=⋅>=⋅<aa AC n AC n………………12分设AC 和面SAB 所成的角的大小为α，那么,36,sin cos >=<=α所以AC 和面SAB 所成的角的大小是36arccos .………………13分19．〔1〕解：设),(),,(2211y x Q y x P ，因为双曲线的离心率为3，所以a b a c2,3==，双曲线方程为22222a y x =-，…………1分因为QF RQ 5=，所以c x 652=，…………3分 因为直线),(:c x k y l-=所以62cky -=，……4分点Q 是双曲线上一点，所以2222)6()65(2a ckc =--，……………………5分 整理得，,23613650222=-k e e 解得.26±=k………………6分〔2〕证明：设),,(),,(2211y x Q y x P 由)(:),(:2211a x ax y y AQ a x a x y y AP ++=++=， 所以)(),(222211a ca a x y y a c a a x y yN M++=++=，…………9分 所以222212121222211)()()(a ca a x x a x x y y a c a a x y a x y y y NM ++++=++⋅+=， 由,22)(222⎩⎨⎧=--=ay x c x k y 得022)2(222222=--+-a c k cx k x k 所以22,222222212221-+=-=+k a c k x x k c k x x ，222])([))((222222121221221--=++-=--=k c a kc x x c x x k c x c x k y y ，……11分 2)()(22222121-+=+++k c a ka x x a x x ………………13分所以，222222234)()()(2a c c a a c a c a y y N M -=+⋅+-= ………………14分20．解：〔I 〕点P 的坐标),(a a 满足方程组c a a xy c x y -=⎩⎨⎧=-=所以,，解)4121(21,2411,0c c a c a c a a +++=++==--所以得…………2分 因为.1,24121,0≥≥+++≥a c c c 所以所以………………3分〔2〕由),,(),,(),,(211c b c b P b c b Q b b P +++即,,21c b x b x +==………………4分),1)((,)1(,1212-+-=--+=--=-+=-b a b a b a a b x x a a c b c b x x 所以由因为，12,1,0x x a a b >≥<<所以. ………………6分下面用数学归纳法证明).(*∈<N n a x n.,,0,,,,;,1111a a a x c x x x c y x a x k n a b x n k k k k k k k <-+=+=>+=<=>==++所以由已知时假设当时当创 作人： 历恰面 日 期：2020年1月1日 创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日综上)(*∈<N n a x n ………………8分 〔3〕当),(,121,01*+∈===<≤=N n x y x a b c n n n 时 所以122)21()21(1)21(2211-=====--n b x x x x n n n………………9分因为42413221,,)21(,1,21<≥≥≥≥++k k x x x k b 所以时所以当……11分 又01)21()21(1>-=--+k k b bx x k k 所以,21211,12111=-<-=<<=≤x x a x x b n n ………………13分 所以，.22)(2)(2)(414141<-=-≤-+++∑∑k k n k k n k k x x x x x x x ……………14分。

一、单选题1.如图，是椭圆上的一点，是椭圆的左焦点且，，则（）A ．2B．C ．3D ．42. 若，，则（ ）A．B．C．D．3. 某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图），已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（）A．B．C．D．4.设等比数列的前项和为，则（ ）A．B．C．D．5. 若复数z 满足（其中是虚数单位），则z 的共轭复数（ ）A．B．C．D．6. 青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为、，点关于的对称点为．给出下列四个命题：①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等；③；④与小椭圆相切.其中正确的个数是（）A．B．C．D．7. 已知等差数列，的前n 项和分别为，，若，则（ ）A．B．C．D．北京市西城区2023届高三二模数学试题北京市西城区2023届高三二模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题8. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF 截球所得的截面面积最小值为（）A．B．C．D．9.已知函数，则下列结论正确的有（ ）A．B．函数图像关于直线对称C．函数的值域为D ．若函数有四个零点，则实数的取值范围是10. 一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ）A ．“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B．C ．“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D ．“至少有1件次品”和“都是正品”11. 下列说法正确的是（ ）A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位12. 德国数学家狄利克雷（Dirichlet ，1805-1859），是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：，以下对的说法正确的是（ ）A．B ．的值域为C ．存在是无理数，使得D ．，总有13. 已知函数,则函数的最小值是____．14. 已知，则________．15.若函数是奇函数，则______．16. 已知函数.(1)求的单调区间和极大值；(2)若恒成立，求实数的取值范围17. 已知数列的前项和为，且.（1）证明：数列为常数列.（2）求数列的前项和.18. 已知函数，.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有且仅有1个零点，求的取值范围.19. 有两位环保专家从三个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，两位专家选取的城市可以相同，也可以不同.（1）求两位环保专家选取的城市各不相同的概率；（2）求两位环保专家中至少有一名专家选择城市的概率.20. 新高考数学增加了多选题，给各层次的学生更大的发挥空间.多选题每个小题给出的四个选择中有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分.多选题的正确答案往往为两项或三项.某同学通过研究多选题的答案规律发现，多选题正确答案是选两项的概率为，正确答案是选三项的概率为（其中）.(1)若，小明对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明该题得2分的概率；(2)在某个多选题中，小明发现选项A正确，选项B错误.下面小明有三种不同策略：I：选择，再从剩下的选项中随机选择一个，小明该题的得分为；II：选择，小明该题的得分为；III：只选择，小明该题的得分为.在变化时，为使得分的期望最大，请通过计算分析小明应选择哪种策略.21. 湖南省从2021年开始将全面推行“”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：等级A B C D E比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间生物学科各等级对应的原始分区间现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据，请计算生物原始分与生物转换分之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.等级A B C D E原始分从高到低排序的等级人数占比约15%约35%约35%约13%约2%转换分T的赋分区间附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：.（其中：，，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整数）附3：，，.。

西城区高三模拟测试．．．．．．．．．高三数学（理科）．．．．．．．．2017.5．．．．．．第Ⅰ卷．．．（选择题．．．． 共．40．．分）．． 一、选择题：本大题共．．．．．．．．．．8．小题，每小题．．．．．．5．分，共．．．40．．分．．．在每小题列出的四个选项中，选出．．．．．．．．．．．．．．．符．合题目要求的一项．．．．．．．．．．1．．在复平面内，复数．．．．．．．．．z 对应的点是．．．．．(1,2)Z -，则．．复数．．z 的共轭复数．．．．．z = （．A ．）．12i + （．B ．）．12i - （．C ．）．2i +（．D ．）．2i -2．．．下列函数中，值域为．．．．．．．．．[0,1]的是．．（．A ．）．2y x =（．B ．）．sin y x =（．C ．）．211y x =+ （．D ．）．y 3．．．在极坐．．．标系中，圆．．．．．sin ρθ=的圆心的极坐标是．．．．．．．．（．A ．）．(1,)2π（．B ．）．(1,0)（．C ．）．1(,)22π（．D ．）．1(,0)24．．在平面直角坐标系中，不等式组．．．．．．．．．．．．．．．320,330,0x y x y y -⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是．．．．．．．．．．．（．A ．）．1 （．B ．）．32（．C ．）．2（．D ．）．525．．设．．双曲线．．．22221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率是．．．．．3，则．．其渐近线的方程为．．．．．．．．（．A ．）．0x ±= （．B ．）．0y ±= （．C ．）．80x y ±=（．D ．）．80x y ±=6．．设．．a ，．b 是平面上的两个单位向量，．．．．．．．．．．．．35⋅=a b ．若．．m ∈R ，则．．||m +a b 的最小值．．．．是．（．A ．）．34 （．B ．）．43 （．C ．）．45 （．D ．）．547．．．函数．．()||f x x x =．．若存在．．．[1,)x ∈+∞，使得．．．(2)0f x k k --<，则．．k ．的取值范围是．．．．．． （．A ．）．(2,)+∞ （．B ．）．(1,)+∞（．C ．）．1(,)2+∞（．D ．）．1(,)4+∞8．．有三支股票．．．．．．A ．，．B ．，．C ．，．28．．位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 在不．．持有．．A ．股票的人中，持有．．．．．．．．B ．股票的人数是持有．．．．．．．．C ．股票的人数的．．．．．．2．倍．．．在持有．．．A ．股．票的人中，只持有．．．．．．．．A ．股票的人数比除了持有．．．．．．．．．．A ．股票外，同时还持有其它股票的人数多．．．．．．．．．．．．．．．．．1．．在只持有．．．．．一支股票的人中，有一半．．．．．．．．．．．持有．．A ．股票．则只持有．．．．．．．B ．股票的股民人数是．．．．．．．． （．A ．）．7 （．B ．）．6（．C ．）．5（．D ．）．4第Ⅱ卷．．．（非选择题．．．．． 共．110．．．分）．． 二、填空题：本大题共．．．．．．．．．．6．小题，每小题．．．．．．5．分，共．．．30．．分．．． 9．．．执行如图所示的程序框图．．．．．．．．．．．,．输出的．．．S 值为．．____．．．．．．10．．．．已知等差数列．．．．．．{}n a 的公差为．．．．2，且．．124, , a a a 成等比数列，．．．．．．则．1a =__．．__．．；数列．．．{}n a 的前．．n 项和．．n S =____．．．．．．11．．．．在．ABC △中，角．．．A ，．B ，．C 的对边分别是．．．．．．a ，．b ，．c ．．若．π3A =，．a =．1b =，．则．c =____．．．．．．12．．．．函数．．22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则．1()4f =____．．．．；．方程．．1()2f x -=的解是．．．____．．．．．．1．3．．．大厦一层有．．．．．A ．，．B ．，．C ．，．D ．四部．．电梯．．，．3人在一层乘坐电梯上楼．．．．．．．．．．，．其中．．2人．恰好乘坐同一．．．．．．部．电梯．．，则不同的．．．．．乘坐．．方式有．．．____．．．．种．．（用数字作答）．．．．．．．．14．．．．在空间直角坐标系．．．．．．．．O xyz -中，．．四面体．．．A BCD -在．,,xOy yOz zOx 坐标平面上的．．．．．．一组．．正．投影图形如图所示（．．．．．．．．．坐标轴用细虚线表示．．．．．．．．．）．．．该四面体的体积是．．．．．．．．____．．．．．．三、解答题：本大题共．．．．．．．．．．6．小题，共．．．．80．．分．．．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．骤．．．15．．．．（本小题满分．．．．．．13．．分）．．已知函数．．．．π()tan()4f x x =+．． （．Ⅰ．）．求．()f x 的定义域．．．．；．（Ⅱ）．．．设．(0,π)β∈，．且．π()2cos()4f ββ=-，求．．β的值．．．．16．．．．（本小题满分．．．．．．14．．分）．．如图，在几何体．．．．．．．ABCDEF 中，底面．．．．ABCD 为矩形，．．．．//EF CD ，．AD FC ⊥．点．．M 在棱．．FC 上，平面．．．．ADM 与棱．．FB 交于点．．．N ．．（．Ⅰ．）求证：．．．．//AD MN ；．（．Ⅱ．）求证：平面．．．．．．ADMN ⊥平面．．CDEF ；．（．Ⅲ．）若．．CD EA ⊥，．EF ED =，．2CD EF =，．平面．．ADE平面．．BCF l =，求二面角．．．．．A lB --的大小．．．．．17．．．．（本小题满分．．．．．．13．．分）．．某大学为调研学生在．．．．．．．．．A ．，．B ．两家餐厅用餐的满意度，从在．．．．．．．．．．．．．A ．，．B ．两家餐厅都用过餐的学．．．．．．．．．．生中随机抽取了．．．．．．．100．．．人，每人分别对这两家餐厅进行评分．．．．．．．．．．．．．．．．，．满分均为．．．．60．．分．．．整理评分数据，将分数．．．．．．．．．．以．10为组距分成．．．．．6组：．．[0,10)，．[10,20)，．[20,30)，．[30,40)，．[40,50)，．[50,60]，．得到．．A ．餐厅分数的频率分布直方图，和．．．．．．．．．．．．．．B ．餐厅分数的频数分布表．．．．．．．．．．：．B ．餐厅分数频数分布表．．．．．．．．．定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（．Ⅰ．）在抽样的．．．．．100．．．人中，．．．求对．．A ．餐厅评价“满意度指数”为．．．．．．．．．．．．0的人数；．．．．（．Ⅱ．）从该校在．．．．．A ．，．B ．两家．．餐厅都用过餐．．．．．．的学生中随机抽取．．．．．．．．1．人进行调查，试估计其．．．．．．．．．．对．A ．餐厅评．．．价的“满意度指数”比对．．．．．．．．．．．B ．餐厅评价的“满意度指数”高的概率；．．．．．．．．．．．．．．．．．（．Ⅲ．）．如果从．．．A ．，．B ．两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．18．．．．（本小题满分．．．．．．14．．分）．．在平面直角坐标系．．．．．．．．xOy 中，．．抛物线．．．C 的顶点是原点，以．．．．．．．．x 轴为对称轴，且经过点．．．．．．．．．．(1,2)P ．． （．Ⅰ．）求．．抛物线．．．C 的方程；．．．．（．Ⅱ．）设点．．．,A B 在抛物线．．．．C 上，直线．．．．,PA PB 分别与．．．y 轴交于点．．．．,M N ，．||||PM PN =．． 求．直线．．AB 的斜率．．．．．19．．．．（本小题满分．．．．．．13．．分）．．已知函数．．．．21()()e xf x x ax a -=+-⋅，其中．．．a ∈R ．．（．Ⅰ．）求函数．．．．()f x '的零点个数；．．．．．．（．Ⅱ．）．证明：．．．0a ≥是．函数．．()f x 存在最小值．．．．．的．充分而不必要条件．．．．．．．．．．20．．．．（本小题满分．．．．．．13．．分）．．设集合．．．*2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N ≥．如果对于．．．．．2n A 的每一个含有．．．．．．(4)m m ≥个．元．素的子集．．．．P ，．P 中必有．．．4个元素的和等于．．．．．．．41n +，称正整数．．．．．m 为集合．．．2n A 的一个“相关数”．．．．．．．．．．（．Ⅰ．）当．．3n =时，判断．．．．5．和．6．是否为．．．集合．．6A 的“相关数”，说明理由；．．．．．．．．．．．． （．Ⅱ．）若．．m 为集合．．．2n A 的“相关数”，证明：．．．．．．．．．．30m n --≥；． （．Ⅲ．）给定正整数．．．．．．n ．．求．集合．．2n A 的“相关数”．．．．．．m 的最小值．．．．．．西城区高三模拟测试．．．．．．．．．高三数学．．．．（理科）．．．．参考答案及评分标准．．．．．．．．．2017.5．．．．．．一、选择．．．．题：本大题共．．．．．．8．小题，每小题．．．．．．5．分，共．．．40．．分．.．1．．．A 2．．．．D 3．．．．C 4．．．．B ． 5．．．A6．．．．C7．．．．D ． 8．．．A ．二、填空题：本大题共．．．．．．．．．．6．小题，每小题．．．．．．5．分，共．．．30．．分．. ．9．．．710．．．．2，．2n n +11．．．．21．2．．．2-；．．113．．．．3614．．．．43注：第．．．10．．，．12．．题第一空．．．．2．分，第二空．．．．．3．分．. ．三、解答题：本大题共．．．．．．．．．．6．小题，共．．．．80．．分．. ．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．．．．．．．．．．．．．．．．．．. ． 15．．．．（本小题满分．．．．．．13．．分）．．解：．．（Ⅰ）．．．由．πππ42x k +≠+，得．．ππ4x k ≠+，．k ∈Z ．． [ 3．．分．]． 所以．． 函数．．()f x 的定义域．．．．是．π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．．[ 4．．分．]． （Ⅱ）依题意，得．．．．．．．．ππtan()2cos()44ββ+=-．．[ 5．．分．]． 所以．．πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++，．[ 7．．分．]．整理得．．．ππsin()[2cos()1]044ββ+⋅+-=，．[ 8．．分．]． 所以．．πsin()04β+=，或．．π1cos()42β+=．． [10．．．分．]．因为．． (0,π)β∈，所以．．．ππ5π(,)444β+∈，．[11．．．分．]． 由．πsin()04β+=，得．．ππ4β+=，．3π4β=；．[12．．．分．]． 由．π1cos()42β+=，．得．ππ43β+=，．π12β=．． 所以．．π12β=，．或．3π4β=．． [13．．．分．]．16．．．．（本小题满分．．．．．．14．．分）．．解：．．（．Ⅰ．）因为．．．ABCD 为矩形，所以．．．．．．//AD BC ，．[ 1．．分．]．所以．．//AD 平面．．FBC ．．[ 3．．分．]． 又因为平面．．．．．ADMN平面．．FBC MN =，．所以．．//AD MN ．．[ 4．．分．]．（．Ⅱ．）因为．．．ABCD 为矩形，所以．．．．．．AD CD ⊥．．[ 5．．分．]．因为．．AD FC ⊥，．[ 6．．分．]． 所以．．AD ⊥平面．．CDEF ．．[ 7．．分．]．所以平面．．．．ADMN ⊥平面．．CDEF ．．[ 8．．分．]． （．Ⅲ．）因为．．．EA CD ⊥，．AD CD ⊥，．所以．．CD ⊥平面．．ADE ，． 所以．．CD DE ⊥．．由（．．Ⅱ．）得．．AD ⊥平面．．CDEF ，． 所以．．AD DE ⊥．．所以．．DA ，．DC ，．DE 两两互相垂直．．．．．．．．[ 9．．分．]． 建立．．空间直角坐标系．．．．．．．D xyz -．．[10．．．分．]．不妨设．．．1EF ED ==，则．．2CD =，设．．(0)AD a a =>．．由题意得，．．．．．(,0,0)A a ，．(,2,0)B a ，．(0,2,0)C ，．(0,0,0)D ，．(0,0,1)E ，．(0,1,1)F ．．所以．．(,0,0)CB a −−→=，．(0,1,1)CF −−→=-．． 设平面．．．FBC 的法向量为．．．．．(,,)x y z =n ，则．．0,0,CB CF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即．0,0.ax y z =⎧⎨-+=⎩令．1z =，则．．1y =．． 所以．．(0,1,1)=n ．．[12．．．分．]．又平面．．．ADE 的法向量为．．．．．(0,2,0)DC −−→=，所以．．．||cos ,|||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉==|n n n ．因为二面角．．．．．A l B --的平面角是锐角，．．．．．．．． 所以二面角．．．．．A l B --的大小．．．45．．[14．．．分．]．17．．．．（本小题满．．．．．分．13．．分）．．解：．．（．Ⅰ．）由．．对．A ．餐厅评分的频率分布直方图，得．．．．．．．．．．．．．．对．A ．餐厅“满意度指数”为．．．．．．．．．．0的．频率为．．．(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，．[ 2．．分．]．所以，对．．．．A ．餐厅评价“满意度指数”为．．．．．．．．．．．．0的人数为．．．．1000.220⨯=．． [ 3．．分．]．（．Ⅱ．）设“．．．对．A ．餐厅评价．．．．‘．满意度指数．．．．．’．比对．．B ．餐厅评价．．．．‘．满意度指数．．．．．’．高．”为事件．．．．C ．．．记“对．．．A ．餐厅评价‘满意度指数’为．．．．．．．．．．．．1”为事件．．．．1A ；．“对．．A ．餐厅评价‘满意度指．．．．．．．．．数’为．．．2”为事件．．．．2A ；．“对．．B ．餐厅评价‘满意度指数’为．．．．．．．．．．．．0”为事件．．．．0B ；．“对．．B ．餐厅评价‘满意度指数’为．．．．．．．．．．．．1”为事件．．．．1B ．．所以．．1(A )(0.020.02)100.4P =+⨯=，．2(A )0.4P =，．[ ．5．分．]．由用频率估计概率得：．．．．．．．．．．0235(B )0.1100P ++==，．11540(B )0.55100P +==．． [ ．7．分．]．因为事件．．．．A i 与．B j 相互独立，其中．．．．．．．1,2i =，．0,1j =．． 所以．．102021(C)(A B A B A B )P P =++102021(A )(B )(A )(B )(A )(B )P P P P P P =++0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=．． [10．．．分．]．所以该学生对．．．．．．A ．餐厅．．评价的“满意度指数”比对．．．．．．．．．．．．B ．餐厅．．评价的“满意度指数”高．．．．．．．．．．． 的概率为．．．．0.3．．（．Ⅲ．）如果从学生对．．．．．．．A ．，．B ．两家餐厅．．．．评价的“．．．．满意度指数”的期望角度看：．．．．．．．．．．．．．A ．餐厅．．“．满意度指数”．．．．．．X ．的分布列为：．．．．．．B ．餐厅．．“．满意度指数”．．．．．．Y ．的分布列为：．．．．．．．．．()00.110.5520.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=，．所以．．()()E X E Y <，．会选择．．．B ．餐厅用餐．．．．．． [13．．．分．]．注：本题答案不唯一．．．．．．．．．．．只要考生言之合理即可．．．．．．．．．．．． 18．．．．（本小题满分．．．．．．14．．分）．．解：．．（Ⅰ）依题意，设抛．．．．．．．．．物线．．C 的方程为．．．．2(0)y ax a =≠．．[ 1．．分．]．由．抛物线．．．C 且经过点．．．．(1,2)P ，． 得．4a =，．[ 3．．分．]．所以抛物线．．．．．C 的方程为．．．．24y x =．．[ 4．．分．]．（Ⅱ）因为．．．．．||||PM PN =，． 所以．．PMN PNM ∠=∠，． 所以．． 12∠=∠，．所以．． 直线．．PA 与．PB 的倾斜角互补，．．．．．．． 所以．． 0PA PB k k +=．．[ 6．．分．]．依题意，直线．．．．．．AP 的斜率存在，．．．．．．设直线．．．AP 的方程为：．．．．．2(1)(0)y k x k -=-≠，． 将其代入．．．．抛物线．．．C 的．方程，整理得．．．．．．22222(22)440k x k k x k k --++-+=．．[ 8．．分．]．设．11(,)A x y ，则．． 212441k k x k -+⨯=，．114(1)22y k x k=-+=-，．[10．．．分．]．所以．．22(2)4(,2)k A k k --．．[11．．．分．]．以．k -替换点．．．A 坐标中的．．．．k ，得．．22(2)4(,2)k B k k +--．．[12．．．分．]．所以．．222244()1(2)(2)AB k k k k k k k --==--+-．． 所以．．直线．．AB 的斜率为．．．．1-．．[14．．．分．]．19．．．．（本小题满分．．．．．．13．．分）．．解：．．（．Ⅰ．）由．．21()()e x f x x ax a -=+-⋅，．得．121()(2)e ()e x xf x x a x ax a --'=+⋅-+-⋅21[(2)2]e x x a x a -=-+--⋅1()(2)e x x a x -=-+-⋅．．[ 2．．分．]．令．()0f x '=，得．．2x =，或．．x a =-．．所以当．．．2a =-时，函数．．．．()f x '有且只有一个零点：．．．．．．．．．2x =；．当．2a ≠-时，函数．．．．()f x '有两个相异的零点：．．．．．．．．．2x =，．x a =-．．[ 4．．分．]．（．Ⅱ．）．①． 当．2a =-时，．．()0f x '≤恒成立，此时函数．．．．．．．．()f x 在．(,)-∞+∞上单调递减，．．．．．．所以，．．．函数．．()f x 无极值．．．．．[ 5．．分．]．②． 当．2a >-时，．．()f x '，．()f x 的变化情况如下表：．．．．．．．．．所以，．．．0a ≥时，．．()f x 的极小值为．．．．．1()e a f a a +-=-⋅≤0．．[ 7．．分．]．又．2x >时，．．222240x ax a a a a +->+-=+>，．所以，当．．．．2x >时，．．21()()e 0x f x x ax a -=+-⋅>恒成立．．．．．[ 8．．分．]．所以，．．．1()e a f a a +-=-⋅为．()f x 的最小值．．．．．．[ 9．．分．]．故．0a ≥是．函数．．()f x 存在最小值的．．．．．．充．分条件．．．．．[10．．．分．]． ③． 当．5a =-时，．．()f x '，．()f x 的变化情况如下表：．．．．．．．．．因为当．．．5x >时，．．21()(55)e 0xf x x x -=-+⋅>，．又．1(2)e 0f -=-<，．所以，当．．．．5a =-时，．．函数．．()f x 也．存在最小值．．．．．．．[12．．．分．]． 所以，．．．0a ≥不．是．函数．．()f x 存在最小值的．．．．．．必要条件．．．．．．综上，．．．0a ≥是．函数．．()f x 存在最小值．．．．．的．充分而不必要条件．．．．．．．．．．[13．．．分．]．20．．．．（本小题满分．．．．．．13．．分）．．解：．．（．Ⅰ）．．当．3n =时，．．6{1,2,3,4,5,6}A =，．4113n +=．．[ 1．．分．]．①．对于．．6A 的含有．．．5个元素的子集．．．．．．{2,3,4,5,6}，．因为．．234513+++>，．所以．．5不是．．集合．．6A 的“相关数”．．．．．．．．[ 2．．分．]．②．6A 的含有．．．6个元素的子集只有．．．．．．．．{1,2,3,4,5,6}，．因为．．134513+++=，．所以．．6是．集合．．6A 的“相关数”．．．．．．．．[ 3．．分．]．（Ⅱ）考察．．．．．集合．．2n A 的含有．．．2n +个元素的子集．．．．．．{1,,1,,2}B n n n n =-+．．[ 4．．分．]．B 中任意．．．4个元素之和一定不小于．．．．．．．．．．(1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+．． 所以．．2n +一定不是．．．．集合．．2n A 的“相关数”．．．．．．．．[ 6．．分．]．所以．．当．2m n +≤时，．．m 一定．．不是．．集合．．2n A 的“相关数”．．．．．．．．[ 7．．分．]． 因此．．若．m 为．集合．．2n A 的“相关数”，必有．．．．．．．．．3m n +≥．． 即．若．m 为．集合．．2n A 的“相关数”，必有．．．．．．．．．30m n --≥．．[ 8．．分．]．（Ⅲ）由（Ⅱ）得．．．．．．．． 3m n +≥．．先将集合．．．．2n A 的元素分成如下．．．．．．．n 组：．．(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．．对．2n A 的任意一个含有．．．．．．．3n +个元素的子集．．．．．．P ，必有三组．．．．．123,,i i i C C C 同属．．于．集合．．P ．．[10．．．分．]．再将集合．．．．2n A 的元素剔除．．．．．n 和．2n 后，分成如下．．．．．．1n -组：．．1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．．对于．．2n A 的任意一个含有．．．．．．．3n +个元素的子集．．．．．．P ，必有一组．．．．．4j D 属于．．集合．．P ．．[11．．．分．]．这一组．．．4j D 与上述三组．．．．．123,,i i i C C C 中至少一组无相同元素．．．．．．．．．．，．不妨设．．．4j D 与．1i C 无相同元素．．．．．．．此时这．．．4个元素之和为．．．．．．1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+．．[12．．．分．]．所以．．集合．．2n A 的“相关数”．．．．．．m 的最小值为．．．．．3n +．．[13．．．分．]．。

北京西城区高三理科数学二模试卷北京市西城区_年抽样测试高三数学试卷(理科)(_．6)参考公式:三角函数的和差化积公式正棱台.圆台的侧面积公式其中c’,c分别表示上.下底面周长,l 表示斜高或母线长.一.选择题:本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.每小题选出答案后,用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑.1．的值是( ).A．B.C. D.2.设则( ).A.Q=PB.C.D.P∩Q={(2,4)}3.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ).A. B.3C. 4D. 24.圆上与极点距离为的一个点的极坐标是( ).A .( ,) B. (,)C. (-,)D. (-,)5.在△ABC中,sinA: sinB:sinC=3:2:4,则cosC的值为( ).A. B.C. D.6.某企业_年12月份的产值是这年1月份产值的p倍,则该企业_年年度产值的月平均增长率为( ).Ａ. B.C. D.7.学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名分别参加校外摄影小组的3期培训(每期只派1名),由于时间上的冲突,甲.乙两位同学都不能参加第1期培训,则不同的选派方式有( ).A. 6种B. 8种C. 10种D. 12种8.一圆锥被平行于底面的截面截成一个小圆锥和一个圆台,若小圆锥的体积为y,圆台的体积为_,则y关于_的函数图象的大致形状为( ).9. 已知点M(cosα, sinα),N(cosβ,sinβ),若直线MN的倾斜角为θ,0_lt;α_lt;π_lt;β_lt;2π,则θ等于( )A．B.C.D.10.直平行六面体的棱长均为2,∠BAD=60°,则对角线与侧面所成角的正弦值为( ).A. B.C. D.11. 设的展开式中,奇数项的二项式系数之各为,数列的前n项和记为,则= ( ).A.0 B.C.1 D.212. 已知直线m,n及平面α,其中m//n,那么在平面α内到两条直线m,n距离相等的点的集合可能是: ①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集.其中正确的是( )A．①②③ B.①②④C.①④D.②④二. 填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.抛物线的焦点坐标是_________________.14.已知圆台的母线与底面成30°角,轴截面面积为S,则圆台的侧面积为_______.15.设有两个命题:(1)不等式_+_-1_gt;m的解集是R;(2)函数是减函数.如果这两个命题中有且只且一个真命题.则实数m的取值范围是__________.16. {}是由实数构成的无穷等比数列,,关于数列{},给出下列命题:①数列{}中任意一项均不为0;②数列{}中必有一项为0;③数列{}中或者任意一项均不为0,或者有无穷多项为0;④数列{}中一定不可能出现;⑤数列{}中一定不可能出现.则其中正确的命题是_________.(把正确命题的序号都填上)三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)已知z∈C,(1+i)z+(1-i)=2(Ⅰ)求z的最小值;(Ⅱ)若,求z.18.(本小题满分12分)如图α-ι-β是120°的二面角,A,B两点在棱上,AB=2,D在α内,三角形ABD是等腰直角三角形,∠DAB=90°,C在β内,三角形ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°.(Ⅰ)求三棱锥D-ABC的体积;(Ⅱ)求二面角D-AC-B的大小;(Ⅲ)求异面直线AB.CD所成的角.19. (本小题满分12分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品_(百台),其总成本为G(_)(万元),其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本);销售收入R(_)(万元)满足:假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律.(Ⅰ)要使工厂有赢利,产量_应控制在什么范围?(Ⅱ)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多?(Ⅲ)求赢利最多时每台产品的售价.20．(本小题满分12分)已知f(_)=lg(_+1),g(_)=2lg(2_+t), (t∈R,是参数)(Ⅰ)当t=-1时,解不等式f(_)≤g(_);(Ⅱ)如果当_∈[0,1]时,f(_)≤g(_)恒成立,求参数t的取值范围.21.(本小题满分13分)如图,过点A(-1,0),斜率为k的直线l与抛物线交于P,Q两点.(Ⅰ)若曲线C的焦点F与P,Q,R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR,求点R的轨迹方程;(Ⅱ)设P,Q两点只在第一象限运动,(0,8)点与线段PQ中点的连线交_轴于点N,当点N在A点右侧时,求k的取值范围.22. (本小题满分13分)数列{}各项均为正数,为其前n项的和.对于n∈N,总有,,成等差数列.(Ⅰ)求数列{}的通项;(Ⅱ)设数列的前n项和为,数列{}的前n项和为,求证:当n≥2,n∈N时,;(Ⅲ)若函数的定义域为R,并且求证:p+q_gt;1.高三数学(理科)参考答案及评分标准_.6一. CBCBA DDCCD BB二.(13) () (14)2πS(15) 1≤m＜2 (16) ③⑤三.解答题:其他解法仿此给分17．解:(Ⅰ)设z=a+bi (a.b∈R)由已知得∴,∴a-b=1 即a=b+1--------①,---------------3分∵又b∈R∴当时,z的最小值为. -----------6分(Ⅱ)∵∴ 且a＞0------------9分与①式联立,解得,.即.-----------------------12分18解:(Ⅰ)过D向平面β做垂线,垂足为O,连结OA并延长至E. ∵AB⊥AD,OA为DA在平面β上的射影,∴AB⊥OA,∴∠DAE为二面角α-ι-β的平面角.∴∠DAE=120°,∴∠DAO=60°.---------2分∵AD=AB=2,∴.∵△ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2.∴又D到平面β的距离.∴-----------------4分(Ⅱ)过O在β内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM,则AC⊥DM.∴∠DMO为二面角D-AC-B的平面角.----------6分又在△DOA中,OA=2cos60°=1.且∠OAM=∠CAE=45°,∴.∴.∴-------------8分(Ⅲ)在β平面内,过C作AB的平行线交AE于F,∠DCF为异面直线AB.CD所成的角----------------10分∵AB⊥AF,∴CF⊥AF∴CF⊥DF,又∠CAE=45°,即△ACF为等腰直角三角形,又AF等于C到AB的距离,即△ABC斜边上的高,∴AF=CF=1∴∴∴∴异面直线AB,CD所成的角为.------------------12分19.依题意,G(_)=_+2. 设利润函数为f(_),则---------------------2分(Ⅰ)要使工厂有赢利,即解不等式f(_)_gt;0,当0≤_≤5时,解不等式.即,∴1_lt;__lt;7,∴1_lt;_≤5.-------------------------------------------4分当_＞5时,解不等式8.2-__gt;0,得__lt;8.2.∴5_lt;__lt;8.2 .----------------------------------5分综上,要使工厂赢利,_应满足1_lt;__lt;8.2,即产品应控制在大于100台,小于820台的范围内.--------------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)0≤_≤5时,,故当_=4时,f(_)有最大值3.6.---------------------------------------8分而当__gt;5时,f(_)_lt;8.2-5=3.2.所以,当工厂生产400台产品时,赢利最多.-----------------------------10分(Ⅲ)即求_=4时的每台产品的售价此时售价为=2.4(万元/百台)=240元/台----------------------------12分20．解(Ⅰ)t=-1时,f(_)≤g(_) 即为lg(_+1) ≤2lg(2_-1),----------------------------------2分∴∴原不等式的解集为------------------------------------4分(Ⅱ) _∈[0,1]时,f(_)≤g(_)恒成立.∴_∈[0,1]时, 恒成立,--------------------6分∴_∈[0,1]时恒成立,即_∈[0,1]时,恒成立,----------------------------------7分于是转化为求,_∈[0,1]的最大值问题.-------------------8分令,则,由_∈[0,1],知∴.-----------10分当u=1 即_=0 时,有最大值1,∴t的取值范围是t≥1.----------------------------------------------12分21．解:(Ⅰ)由已知l:y=k(_+1),消_得 ------1分∵直线l交C于两点P. Q,∴解得-1_lt;k_lt;0或0_lt;k_lt;1---------------------------------------3分设P(),Q(),M是PQ中点,∵,∴M点纵坐标,将其代入l方程,得,------------------------------------------5分∵PFQR是平行四边形, ∴R.F中点也是M,而F(1,0)∴消k得.------------------------------------------------6分又∵k∈(-1,0)∪(0,1) ,∴_∈(1,+∞),∴点R的轨迹方程为,__gt;1----------------------7分(Ⅱ)∵P.Q在第一象限∴∴k_gt;0,结合(Ⅰ)得k∈(0,1)---------①-----------------8分(0,8)点与PQ中点所在直线方程为令y=0,得N点横坐标为----------------------10分∵N在点A 右侧∴令得解之得k_lt;0或----------②-----------------------12分综合①②,k的取值范围是------------------------13分22．(I)解:由已知n∈N时,总成立.∴两式作差,得∴∵.均为正数∴∴是公差为1的等差数列-.----------2分又n=1时,,得∴-----------------------------------3分(Ⅱ)证明:①当n=2时,∴n=2时,等式成立.----------------------------4 分②假设当n=k时,等式成立,即那么当n=k+1(k≥2)时,--------------------------------6分当n=k+1时,等式也成立.----------------------------------------7分综合①②,等式成立._shy;------------------------------8分(Ⅲ) 证明:如果q=0,则,不是0,∴q≠0 ,∵f(_)定义域为全体实数,∴恒成立即恒成立由于q≠0时,的值域为(-∞,0),∴p-1≥0,又当p=1时,f(_)=1. ,∴p_gt;1.--------------------------10分∵_shy;-----------------12分∴∴q_gt;0∴p+q_gt;1.-------------------------------------------------13分。

2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

一、单选题1. 若双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，已知的斜率为，，且，，则直线的斜率是（ ）A．B．C．D．2. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M ，N 在双曲线C 上，.若为等边三角形，且，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．4.已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则（ ）A ．1或B ．2或C ．2或D．或5. 已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．6.已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k 的取值范围是（ ）A．B．C ．或D．7. 已知曲线与在区间上有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8.已知，则（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，且满足，，，则（ ）A ．28B．C．D．10. 数学老师给出一个定义在R 上的函数f (x )，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增;丙:函数f (x )的图象关于直线x =1对称； 丁: f (0)不是函数的最小值．老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11. 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）A．B．北京市西城区2023届高三二模数学试题二、多选题C．D．12. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（）A ．10B ．13C ．18D ．2613.记为等差数列的前n 项和．若，，则（ ）A ．3B ．7C ．11D ．1514.已知为双曲线右支上任意一点，与关于轴对称，为双曲线的左、右焦点，则A ．1B ．-1C ．2D ．-215.函数的大致图象是（ ）A． B．C． D．16.若，则（ ）A ．7B．C．D ．317. 已知函数，关于x 的方程，下列结论正确的是（ ）A．存在使方程恰有2个不相等的实根B ．存在使方程恰有4个不相等的实根C．存在使方程恰有5个不相等的实根D．存在使方程恰有6个不相等的实根18. 从树人小学二年级学生中随机抽取100名学生，将他们的身商（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图如图，则（）A．B ．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高为124.5cmC ．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的中位数为122.5cmD ．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的众数为120cm19. 如图，在棱长为1的正方体中，P 为棱CC 1上的动点(点P 不与点C ，C 1重合)，过点P 作平面分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，若CP ＝CM ＝CN ，则下列说法正确的是（ ）三、填空题A ．A 1C ⊥平面B ．存在点P ，使得AC 1∥平面C ．存在点P ，使得点A 1到平面的距离为D ．用过点P ，M ，D 1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形20. 在平面四边形中，点为动点，的面积是面积的3倍，又数列满足，恒有，设的前项和为，则（ ）A ．为等比数列B．C．为等差数列D．21. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（ ）A ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强B ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱C ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高D ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高22.若函数的值域为，则（ ）A．B．C．D．23. 甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说法中正确的是（）A ．若甲、乙两组成绩的平均数分别为，则B ．若甲、乙两组成绩的方差分别为，则C ．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数D ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差24. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为25. 已知集合，函数满足不等式的解集为P ，则函数__________．（写出一个符合条件的即可）26.已知是递增的等差数列，其前项和为，且，写出一个满足条件的数列的通项公式______．四、解答题27.设函数的定义域为，满足，.若，且在单调递增，则满足的的取值范围是__________.28. 已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数的最小整数，则的值为___________.29.已知函数．（1）求，；（2）求在区间上的最大值和零点．解：（1）求______；______；（2）因为，所以，所以当______；即______时，取得最大值，为______；由和得，，所以在区间上的零点为______．空格序号选项①A． B．②A．B．③A ．，B．，④ A.1 B．⑤A ．B．30. 已知圆与圆，在下列说法中：①对于任意的，圆与圆始终相切；②对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；③时，圆被直线截得的弦长为；④分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4其中正确命题的序号为___________.31. 已知，其中是虚数单位，那么实数_____ ．32.在的展开式中,含项的系数为,则实数的值为.33. 已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；五、解答题（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.34.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.35. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.36. 对于数列，，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n ，n ＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和；(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．37. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39. 为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如下图所示．（1）求样本容量和频率分布直方图中，的值；（2）在[60，70），[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，求应抽取成绩在[70，80）内的学生的人数；（3）在（2）的条件下，从这8名学生中随机抽取2名学生到某广场参加环保知识宣传活动，记“抽取的两名学生中成绩在[60，70）内的至多有1人”为事件，求．40. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：0.07 0.34 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.021.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.681.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.262.20 0.91 1.31（1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图；频率分布表：分组频数频率1合计301频率分布直方图：（2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．41. 中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人，这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示:分数人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性体验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879参考公式: ，期中，42. 函数(1)画出函数的图象；(2)当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）．(3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程）43. 春节期间，防疫常态化要求减少人员聚集，某商场为了应对防疫要求，但又不影响群众购物，采取推广使用“某某到家”线上购物APP，再由物流人员送货到家，下左图为从某区随机抽取100位年龄在的人口年龄段的频率分布直方图，下右图是该样本中使用了“某某到家”线上购物APP人数占抽取总人数比的频率柱状图．六、解答题（1）从年龄段在的样本中，随机抽取两人，估计都不使用“某某到家”线上购物APP 的概率；（2）若把年龄低于40岁（不含）的人称为“青年人”，为确定是否有的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP ，填写下列联表，并作出判断．“青年人”人数非“青年人”人数合计使用APP 的人数没有使APP 的人数合计参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．44.在等腰直角中，，分别为，的中点，，将沿折起，使得二面角为.（1）作出平面和平面的交线，并说明理由；（2）二面角的余弦值.45. 如图1所示，平面多边形中，四边形为正方形，，，沿着将图形折成图2，其中，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求四棱锥的体积.46. 甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为．七、解答题(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X ，求X 的分布列和期望；(2)证明：数列为等比数列．47. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为.（1）求证：平面.（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①四棱锥的体积为，②与平面所成的角为，③.若___________，求二面角的余弦值.48. 已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）设，证明：对任意，．49. 已知四边形ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，AB =4，为等边三角形，将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB 上是否存在点F ，使得平面AEF 与平面AEP 的夹角为45°.若存在，试确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.50.已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)当时，，求证：．51. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：kg ）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg ，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．(1)求的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？52. （1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法？（2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法？53. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；(2)当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．54. 为增强学生科技意识，提高学生科学素养，学校开展了“科技节”系列活动．活动期间，学校图书馆从只借阅了一本图书的学生中随机抽取名，并对这些学生借阅科技类图书的情况进行了调查．数据统计如表单位：人：性别借阅科技类图书借阅非科技类图书男生女生(1)是否有的把握认为性别与借阅科技类图书有关？(2)图书馆为了鼓励学生借阅科技类图书，规定学生每借阅一本科技类图书奖励积分分，每借阅一本非科技类图书奖励积分分，积分累计一定数量可以用积分兑换自己喜爱的图书．用表中的样本频率作为概率的估计值．①现有名学生每人借阅一本图书，记此人增加的积分总和为随机变量，求的分布列和数学期望；②现从只借阅一本图书的学生中选取人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？参考公式和数据：，其中．55. 某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图.（1）计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、；（2）①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分；（3）若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数.参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；；②若，则，，.56. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据，如下表年份20172018201920202021八、解答题编号x12345企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根据表中数据判断，与（其中…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求y 关于x 的回归方程；(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．参考数据：，，，（其中）．附：样本的最小二乘法估计公式为，．57. 若函数在区间上有最大值4和最小值1，设．(1)求a 、b 的值；(2)若不等式在上有解，求实数k 的取值范围；58. 已知函数，.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数a 的取值范围.59. 已知，其中.若满足，且的图像关于直线对称.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围.60. 已知在等差数列，中，前n 项和分别为，，且满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n 项和.61.在直角梯形中，，，，现将沿着对角线折起，使点D 到达点P 位置，此时二面角为．(1)求异面直线，所成角的余弦值；(2)求点A 到平面的距离．62. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋（c ＞0，n ∈N *），（Ⅰ）证明：a n ＋1＞a n ≥1；（Ⅱ）若对任意n ∈N *，都有,证明：（ⅰ）对于任意m ∈N *，当n ≥m时，（ⅱ）。

一、单选题二、多选题1.函数 在实数范围内的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A．B．C．D．3. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）A．B．C．D．5. 已知函数在上是减函数，且满足，若，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．6. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（）①在中点时，平面平面②异面直线所成角的余弦值为③在同一个球面上④，则点轨迹长度为A ．0B ．1C ．2D ．37. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）北京市西城区2023届高三二模数学试题北京市西城区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题A ．水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形B．当时，水面的面积为C ．当时，水面与地面的距离为D．当侧面与地面重合时，水面的面积为1210.在正方体中，下述正确的是（ ）A．平面B ．平面C．D ．平面平面11.已知点在拋物线的准线上，是拋物线的焦点.过点的两条直线分别与抛物线相切于点，，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）A．拋物线方程为B ．直线的方程为C．D．12. 设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D ．的面积为（为坐标原点）13. 若双曲线C 经过点(2，2)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线C 的标准方程为___．14.平面四边形中，，若四点共圆，则该四边形的面积为___________.15. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．16. 如图，已知是圆柱的轴截面，、分别是两底面的圆心，是弧上的一点，，圆柱的体积和侧面积均为．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小．17. 在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知是等差数列的前项和，为公差，若；（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面ABCD，E为PD的中点.(1)求证：平面PBC；(2)求二面角的余弦值.19. 设等差数列的前项和为，已知，且是与的等比中项.（1）求的通项公式；（2）若.求证：，其中.20. 已知函数，且的最小正周期为．(1)求函数的单调增区间；(2)若，，且，求的值．21. 如图所示，边长为2的正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面．（1）求证：平面平面；（2）求几何体的体积．。

北京市西城区高三年级第二次模拟理科数学试题&参考答案第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z = （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i +（D ）2i -2．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y =3．在极坐标系中，圆sin ρθ=的圆心的极坐标．．．是 （A ）(1,)2π（B ）(1,0) （C ）1(,)22π（D ）1(,0)24．在平面直角坐标系中，不等式组320,330,0x y x y y -⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A ）1（B ）32（C ）2（D ）525．设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B ）0y ±= （C ）80x y ±=（D ）80x y ±=6．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35⋅=a b ．若m ∈R ，则||m +a b 的最小值是 （A ）34（B ）43（C ）45（D ）547．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞8．有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是 （A ）7 （B ）6（C ）5（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为____．10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124, , a a a 成等比数列，则1a =____；数列{}n a 的前n 项和n S =____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ．若π3A =，a =，1b =，则c =____．12．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．13．大厦一层有A ，B ，C ，D 四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有____种．（用数字作答）14．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体A BCD -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+． （Ⅰ）求()f x 的概念域；（Ⅱ）设(0,π)β∈，且π()2cos()4f ββ=-，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，AD FC ⊥．点M 在棱FC 上，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：平面ADMN ⊥平面CDEF ；（Ⅲ）若CD EA ⊥，EF ED =，2CD EF =，平面ADE 平面BCF l =，求二面角A l B --的大小．17．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人别离对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，取得A 餐厅分数的频率散布直方图，和B 餐厅分数的频数散布表：概念学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数； （Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估量其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）若是从A ，B 两家餐厅当选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．B 餐厅分数频数分布表18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的极点是原点，以x 轴为对称轴，且通过点(1,2)P ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 别离与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =．求直线AB 的斜率．19．（本小题满分13分）已知函数21()()e x f x x ax a -=+-⋅，其中a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x '的零点个数；（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而没必要要条件．20．（本小题满分13分）设集合*2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N ≥．若是对于2n A 的每一个含有(4)m m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的一个“相关数”．（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是不是为集合6A 的“相关数”，说明理由； （Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥；（Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最小值．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．A6．C7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．710．2，2n n +11．212．2-；113．3614．43注：第10，12题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答进程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以 函数()f x 的概念域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2cos()44ββ+=-． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++，[ 7分] 整理得ππsin()[2cos()1]044ββ+⋅+-=，[ 8分]所以πsin()04β+=，或π1cos()42β+=． [10分]因为 (0,π)β∈，所以ππ5π(,)444β+∈，[11分] 由πsin()04β+=，得ππ4β+=，3π4β=；[12分] 由π1cos()42β+=，得ππ43β+=，π12β=． 所以π12β=，或3π4β=． [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 1分]所以//AD 平面FBC ．[ 3分] 又因为平面ADMN 平面FBC MN =， 所以//AD MN ．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．[ 5分]因为AD FC ⊥，[ 6分] 所以AD ⊥平面CDEF ．[ 7分] 所以平面ADMN ⊥平面CDEF ．[ 8分]（Ⅲ）因为EA CD ⊥，AD CD ⊥，所以CD ⊥平面ADE ， 所以CD DE ⊥．由（Ⅱ）得AD ⊥平面CDEF ， 所以AD DE ⊥．所以DA ，DC ，DE 两两彼此垂直．[ 9分] 成立空间直角坐标系D xyz -．[10分]不妨设1EF ED ==，则2CD =，设(0)AD a a =>．由题意得，(,0,0)A a ，(,2,0)B a ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,1)E ，(0,1,1)F ．所以(,0,0)CB a −−→=，(0,1,1)CF −−→=-． 设平面FBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,CB CF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.ax y z =⎧⎨-+=⎩令1z =，则1y =． 所以(0,1,1)=n ．[12分]又平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC −−→=，所以||cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉==|n n n ． 因为二面角A l B --的平面角是锐角， 所以二面角A l B --的大小45．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由对A 餐厅评分的频率散布直方图，得对A 餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数为1000.220⨯=． [ 3分]（Ⅱ）设“对A 餐厅评价‘满意度指数’比对B 餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C ．记“对A 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1A ；“对A 餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件0B ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B ．所以1(A )(0.020.02)100.4P =+⨯=，2(A )0.4P =，[ 5分]由用频率估量概率得：0235(B )0.1100P ++==，11540(B )0.55100P +==． [ 7分] 因为事件A i 与B j 彼此独立，其中1,2i =，0,1j =． 所以102021(C)(A B A B A B )P P =++102021(A )(B )(A )(B )(A )(B )P P P P P P =++0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=．[10分]所以该学生对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3．（Ⅲ）若是从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的散布列为：B餐厅“满意度指数”Y的散布列为：因为()00.210.420.4 1.2E X=⨯+⨯+⨯=；()00.110.5520.35 1.25E Y=⨯+⨯+⨯=，所以()()<，会选择B餐厅用E X E Y餐． [13分]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C的方程为2(0)=≠．[ 1y ax a分]由抛物线C且通过点(1,2)P，得4a=，[ 3分]所以抛物线C的方程为24=．[ 4分]y x（Ⅱ）因为||||=，PM PN所以PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以 直线PA 与PB 的倾斜角互补， 所以 0PA PB k k +=．[ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠，将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k =-+=-，[10分] 所以22(2)4(,2)k A k k--．[11分] 以k -替换点A 坐标中的k ，得22(2)4(,2)k B k k+--．[12分] 所以 222244()1(2)(2)ABk k k k k k k --==--+-． 所以直线AB 的斜率为1-．[14分]19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21()()e x f x x ax a -=+-⋅，得121()(2)e ()e x x f x x a x ax a --'=+⋅-+-⋅21[(2)2]e x x a x a -=-+--⋅1()(2)e x x a x -=-+-⋅．[ 2分]令()0f x '=，得2x =，或x a =-．所以当2a =-时，函数()f x '有且只有一个零点：2x =；当2a ≠-时，函数()f x '有两个相异的零点：2x =，x a =-．[ 4分]（Ⅱ）① 当2a =-时，()0f x '≤恒成立，此时函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以，函数()f x 无极值．[ 5分]② 当2a >-时，()f x '，()f x 的转变情况如下表：所以，0a ≥时，()f x 的极小值为1()e a f a a +-=-⋅≤0．[ 7分] 又2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时，21()()e 0x f x x ax a -=+-⋅>恒成立．[ 8分] 所以，1()e a f a a +-=-⋅为()f x 的最小值．[ 9分] 故0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分条件．[10分] ③ 当5a =-时，()f x '，()f x 的转变情况如下表：因为当5x >时，21()(55)e 0x f x x x -=-+⋅>， 又1(2)e 0f -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最小值．[12分] 所以，0a ≥不是函数()f x 存在最小值的必要条件．综上，0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而没必要要条件．[13分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，4113n +=．[ 1分]①对于6A 的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}， 因为234513+++>，所以5不是集合6A 的“相关数”．[ 2分] ②6A 的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}， 因为134513+++=，所以6是集合6A 的“相关数”．[ 3分]（Ⅱ）考察集合2n A 的含有2n +个元素的子集{1,,1,,2}B n n n n =-+．[ 4分]B 中任意4个元素之和必然不小于(1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+．所以2n +必然不是集合2n A 的“相关数”．[ 6分]所以当2m n +≤时，m 必然不是集合2n A 的“相关数”．[ 7分] 因此若m 为集合2n A 的“相关数”，必有3m n +≥． 即若m 为集合2n A 的“相关数”，必有30m n --≥．[ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）得 3m n +≥．先将集合2n A 的元素分成如下n 组：(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．对2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有三组123,,i i i C C C 同属于集合P ．[10分]再将集合2n A 的元素剔除n 和2n 后，分成如下1n -组：1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．对于2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有一组4j D 属于集合P ．[11分]这一组4j D 与上述三组123,,i i i C C C 中至少一组无相同元素，不妨设4j D 与1i C 无相同元素．此时这4个元素之和为1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+．[12分] 所以集合2n A 的“相关数”m 的最小值为3n +．[13分]。

西城区高三统一测试 数学2023.5 第1页（共13页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数 学 2023.5本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）复数i (1i)z =⋅+的虚部为（A ）1 （B ）1- （C ）i（D ）i -（2）已知集合{|11}≤≤A x x =-，{|31}x B x =<，则A B =（A ）[1,0)- （B ）(,0)-∞ （C ）[1,1]-（D ）(,1]-∞（3）已知抛物线C 与抛物线24y x =关于y 轴对称，则C 的准线方程是（A ）2x =- （B ）2x = （C ）1x =-（D ）1x =（4）在ABC △中，1,90AB AC A ︒==∠=，则AB BC ⋅=（A ）1 （B ）1- （C（D）（5）设2lg 3a =，b =1lg62c =，则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）a c b <<（D ）b c a <<（6）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，折起后点D 记为D '．若2BD '=，则四面体ABCD '的体积为西城区高三统一测试 数学2023.5 第2页（共13页）（A（B（C）（D（7）已知数轴上两点,O P 的坐标为(0),(70)O P ，现,O P 两点在数轴上同时相向运动．点O 的运动规律为第一秒运动2个单位长度，以后每秒比前一秒多运动1个单位长度；点P 的运动规律为每秒运动5个单位长度．则点,O P 相遇时在数轴上的坐标为 （A ）(40) （B ）(35) （C ）(30)（D ）(20)（8）已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(1)(1)f f -=”是“()f x 为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为0m ，10年后的质量为m '（A ）70% （B ）65% （C ）60%（D ）55%（10）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P 从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P 到达点(33,33)Q 所跳跃次数的最小值是 （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。