电通量 高斯定理例题

一、 高斯定理文字叙述：在任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．数学表达式为Φe ⎰∑===ni iq dS D 1cos θ （9-18）不严格的证明：第一种情况：点电荷的电场,闭合曲面（称高斯面）是以点电荷为球心、以r 为半径的球面：球面上各点电位移的大小相等，方向均向外（设），与面积元d S 的方向相同，所以Φe⎰⎰==⋅==q r r q dS r q dS D 222440cos 4cos πππθ若点电荷为负电荷，即q=-∣q ∣，则⎰⎰=-=-=⋅==Φqq r r q dS r q dS D e 22244cos 4cos ππππθ与r 无关，即与球面的半径无关.第二种情况：点电荷的电场,任意闭合曲面：S ’为任意闭合曲面，S 为球面，S 和S ’包围同一点电荷Q ，S ’与S 之间并无其他自由电荷．由于电位移线的连续性，可以看出通过闭合曲面S ’的电位移线的数目和通过球面S 的电位移线的数目是一样的．因此通过闭合曲面S ’的电通量Φe 的量值也等于q ．第三种情况：点电荷在任意闭合曲面外：点电荷q 在闭合曲面S ”的外面时，可以看到进入该曲面的电位移线的数目与穿出该曲面的电位移线的数目也是相等的．因为我们规定穿出为正、进入为负，因此通过该闭合曲面的总电通量为零．第四种情况：点电荷系的电场：设空间有（n+m ）个点电荷时，其中n 个在闭合曲面内，m 个在闭合曲面外.根据电场叠加原理：m n n n D D D D D +++++++=11，可得：∑⎰⎰⎰⎰⎰=++=++++=∙++∙+∙++∙=∙=Φni in m n n n e q q q S d D S d D S d D S d D S d D 11110式中m 为空间自由点电荷的总数，而n 为闭合曲面内包围的自由点电荷的数目，（m-n ）为闭合曲面外的自由点电荷的数目，因此可得通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．可以证明 高斯定理是普遍成立的. 注：1.物理意义：说明静电场是有源场（静电场的特性之一），静电场的源就是正电荷和负电荷（负源）.2.要注意区分通过闭合曲面的电通量（D 的通量）与闭合曲面上每一点的D ：(1) 通过任一闭合曲面的电通量只与闭合曲面内的自由电荷有关，但闭合曲面上每一点的D 却与空间（闭合曲面内、外）的所有电荷有关.（2）0=∙⎰S d D，不一定曲面上每一点的D 都是零；也不一定曲面内没有自由电荷，只不过曲面内自由电荷的代数和为零（即净电荷为零）罢了.3.高斯定理是普遍成立的，但用来求电场时只能用于具有某些对称性的电场.四、高斯定理的应用 1.均匀带电球体的电场设有一电介质球体，半径为R ，均匀带电，电荷体密度为ρ，总电荷为q ，如图9-16.现在计算球内和球外任意点p 1和p 2处的电位移．设球体的介电系数为ε1，球外电介质的介电系数为ε2.先研究球内p 1处的情况．通过p 1点作半径为的同心球面S 1(r 1<R)，面积等于4πr 12．由于对称关系，球面S 1上各点的电位移应与球面相垂直且有相同的量值，假定为D 1，相应地通过球面S 1的电通量为4πr 12 D 1.已知球面S 1所包围的电荷为（4/3）πr 31ρ.所以由高斯定理，得3311211134344cos R q r D r dS D dS D e πππθ====Φ⎰⎰相应地，因D 1=ε1E 1，得1311114r R qD E πεε==(9-19a) 由此可见，对均匀带电球体来说．球内任何点的场强与该点到球心的距离成正比，在球心处场强为零.再来研究球外p 2点处的情况．通过p 2点作半径为r 2的同心球面S 2(r 2> R)，面积为4πr 22．同理，设球面S 2上电位移的量值为D 2．相应地，通过球面S 2的电通量为4πr 22 D 2．已知球面S 2所包的电荷为q ，所以按高斯定理得4πr 22 D 2 =q所以2224r qD π=相应地，因D 2=ε2E 2，得2222224r qD E πεε==(9-19b) 上式与点电荷的场强公式完全相同，可见均匀带电球体在球外一点产生的场强，相当于全部电荷集中在球心上时点电荷产生的场强 .场强与距离r 的关系，以及电位移与距离r 的关系，分别如图9-17所示（有何区别？为什么？）2．均匀带电球面的电场设有一个球面，半径为R ，表面均匀带电，电荷面密度为σ，总电量为q ，即q=4πR 2σ．显然，可用与带电球体相同的方法，求得球内任一点的电位移和场强均为零；即D=0，E=0 (均匀带电球面内) (9-20a)而球外任一点的电位移和场强则与带电球体的球外电场相同，即在球外任一点(与球心相距为r)处，224rq D π=2224r qE πε=式中ε2.是球外电介质的介电系数．均匀带电球面内外的场强与r 的关系如图9-18所示. 3．无限大均匀带电平面的电场设有无限大均匀带电平面，平面的电荷面密度为σ．在靠近平面中部而距离平面不远的区域内，由于对称关系，可以确定电场是均匀的，而且场强垂直于平面(田9-19)．局限在上述区域内的电场，称为无限大均匀带电平面的电场．为了计算这个电场的场强，可通过平面上一小面积ΔS ，作一封闭柱面S ，柱面的轴线和平面正交，两底面的面积都等于ΔS ，按高斯定理，通过整个S 面的电通量应等于S 面所包围的自由电荷的代数和，即Φe =∮Dcos θdS=∫底面1Dcos θdS+∫底面2Dcos θdS+∫侧面Dcos θdS = D （ΔS ） + D （ΔS ）+0=∑q 这里，通过柱体侧面的电通量等于零（因为侧面上各处θ=π /2）.通过两底面的电位移线都与底面正交，而且都是向外的(设σ为正值)，所以θ=0，cos θ=1．设D 为两底面上的电位移，可知通过两底面的电通量等于D(ΔS) + D （ΔS)．已知s 面所包围的总电荷为σ(ΔS)，所以 D (ΔS) + D (ΔS) =σ(ΔS)从而求得 D=σ/2或02εσ=E （真空中）εσ2=E （无限大均匀电介质中） 可见在无限大均匀带电平面的电场中，各点的场强与离开平面的距离无关．(上述结果与例题9—2中用积分计算所得的结果一致，但这里的计算简单得多．)4．无限长均匀带电圆柱面的电场设有无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为σ(设σ为正)．由于电荷分布的轴对称性，可以确定，在靠近圆柱面中部离开圆柱面轴线的距离比圆柱面的长度小得多的地方（在这些地方才可以将圆柱面看成是无限长的），带电圆柱面产生的电场也具有轴对称性，即离开圆柱面轴线等距离各点的场强大小相等，方向都垂直于圆柱面而向外，如图9—20所示．局限于上述区域的电场称为无限长均匀带电圆柱面的电场．为了求无限长圆柱面外任一点p 处的场强，可过p 点作一封闭圆柱面，柱面高为l ，底面半径为r ，轴线与无限长圆柱面的轴线相重合．由于封闭圆柱面的侧面上各点电位移D 的大小相等，方向处处与侧面正交，所以通过该侧面的电通量是2πrlD ；通过两底面的电通量为零．而圆柱面所包围的电荷为σ2πRl,所以按高斯定理得2πrlD=σ2πR l 由此算出 D=R σ/r 相应地，由D=εE ，得 E=R σ/r ε式中ε是圆柱面外电介质的介电系数．如果令λ=2πR σ表示圆柱面每单位长度的电量，则上两式可化为D=λ/2πr E=λ/2πεr由此可见，无限长均匀带电圆柱面在柱外各点产生的场强，相当于其电荷全部集中在其轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强 (参看例题9—1)．根据同样的讨论，可知带电圆柱面内部的场强等于零．各点的场强随各该点到带电圆柱面轴线的距离r 的变化关系．如图9—20所示．小结：从上面几个例子中可以看出，在有些情况下，利用高斯定理计算带电系统的场强是很方便的．问题的关键在于找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，显然，当带电系统均匀带电并具有如上各例的对称性时，就能做到这一点．用高斯定理求场强的步骤： 1.选高斯面（闭合曲面）：找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，例如使电场强度都垂直于这个闭合面的全部或一部分，而且大小处处相等（这时D 可以提出积分号外）；或者使一部分场强与该面平行，因而通过这部分面积的电通量为零．1. 求Φe ⎰=dS D θcos2. 求Σq i 内3. 求D 的大小和方向4. 求E =D /ε（记忆：D =εE ）。

一、选择题1．关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是（ ）。

（A ）如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷。

（B ）如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零。

（C ）如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷。

（D ）如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零。

2．如右图所示，闭合面S 内有一点电荷q ，P 点为S 面上一点，在S 面外A 点处有一点电荷q ′，若将q ′移至B 点，则（ ）。

（A ）S 面的总电通量改变，P 点的场强不变。

（B ）S 面的总电通量不变，P 点的场强改变。

（C ）S 面的总电通量和P 点的场强都不改变（D ）S 面的总电通量和P 点的场强都改变3．如右图所示，半径为R 1的均匀带电球面1，带电量为Q 1，其外有一同心的半径为R 2的均匀带电球面2，带电量为Q 2，则离球心为r （R 1< r <R 2）处的某点P 的场强为（ ）。

（A ）r r Q E 2014πε= （B ）r rQ Q E 20214πε+= （C ）r r Q E 3014πε= （D ）r r Q Q E 30214πε+= 二、填空题1．如右图所示，三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度都是+σ，则A 、B 、C 、D 四个区域的电场强度分别为：A E = ，B E = ，C E = ，DE = ，（设方向向右为正）。

2．带电量分别为1q 和2q 的两个点电荷单独在空间各点建立的静电场分别为1E 和2E ，空间各点总场强为21E E E +=。

现在作一封闭曲面S ，如下图所示，则以下两式可分别求出通过S 的电通量：3．（1）点电荷q 位于一个边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是 。

（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是 ； 。

一 D B C二 1. 032A E σε=-，02B E σε=-02C E σε=032D E σε= 2.10q ε，20q ε 3，06q ε，024q ε，0三 计算题1．解：薄板可近似为带电面分析知，场强分布是面对称的，因而建立如图所示的关于薄板面对称的柱形高斯面，两个底面分别为S 1和S 2。

作业18 电通量、静电场高斯定理姓名 班级 学号 教学班序号18-1（1）由高斯定理0d /S q ε=⋅∑∫E S 可知，在下述各种说法中正确的是：(A) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷；(B) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；(C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零；(D) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零。

［ ］（2）有两个电荷都是＋q 的点电荷，相距为2a ．今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。

在球面上取两块相等的小面积S 1和S 2，其位置如图所示。

设通过S 1和S 2的电场强度通量分别为Φ1和Φ2，通过整个球面的电场强度通量为ΦS ，则(A) Φ1＜Φ2，ΦS ＝q /ε0； (B) Φ1＜Φ2，ΦS ＝2q /ε0；(C) Φ1＝Φ2，ΦS ＝q /ε0； (D) Φ1＞Φ2，ΦS ＝q /ε0。

［ ］（3）如图所示为一具有球对称性分布的静电场的E ～r 关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。

(A) 半径为R 的均匀带电球面；(B) 半径为R 的均匀带电球体； (C) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A r (A 为常数)的非均匀带电球体 ；(D) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A/r (A 为常数)的非均匀带电球体。

[ ］18-2 （1）如图所示，一点电荷q 位于正立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量Φe ＝_____________________。

（2）一均匀带正电的导线，电荷线密度为λ，其单位长度上总共发出的电场线条数(即电场强度通量)是__________________。

（3）如图所示，半径为R 的半球面置于场强为E 的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致。

则通过该半球面的电场强度通量为__________________。

高斯电磁场定律练习题经典习题汇总
本文档汇总了一些经典的高斯电磁场定律练题，帮助读者巩固
和应用相关概念。

以下是一些题示例：
1. 问题描述：一个半径为R的闭合球面，球心位于电荷密度为ρ的均匀充电球体内，求球面上的电场强度。

解答提示：利用高斯定律，通过球面上的电通量计算电场强度。

2. 问题描述：一个位于原点的点电荷Q在真空中产生的电场强度为E，求通过一个半径为r的闭合球面上的电通量。

解答提示：由于球面是闭合的，电通量等于通过球面的总电荷。

3. 问题描述：一个长度为L的带电线性电荷在空间中产生的电
场强度为E，求通过一个长为d的闭合柱面的电通量。

解答提示：利用高斯定律，根据柱体上的电通量计算电场强度。

4. 问题描述：一个球形电荷分布体半径为R，并在球心产生电
场强度E，求通过一个半径为r（r<R）的闭合球面上的电通量。

解答提示：由于球体不均匀带电，需要考虑球体内不同位置的电荷量。

以上仅为几个经典题示例，读者可以通过解答这些题来加深对高斯电磁场定律的理解和应用。

注意：本文档仅提供习题示例，不提供具体解答。

读者可以根据自己的理解和知识进行思考和解答。

高斯定理及E 通量1点电荷Q 被立方体所包围，从无穷远处引入另一点电荷q 至立方体外一点， 如图所示，则引入前后：穿过组成立方体六个面的电通量 ， 立方体面上各点场强 .（注：填入“不变化”或“发生变化”）2.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电量+q ，B 带电量-q ，分别作 两个高斯面，S 1为与A 同心的球面，S 2将两个带电体包围在内， 如图所示，则通过S 1面的电场强度通量为 ；通过S 2面的 电场强度通量为 ；S 1面上场强 直接由高斯定理求出. （注：第三空填“能”或“不能”）3.如图所示，半径为R 的半球面置于电场强度为E的均匀电场中，选半球面的外法线为面法线正方向，则通过该半球面的电场强度通量E φ为 。

4.有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心Ｏ点2/a 处， 有一电量为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度 通量为_____。

5.关于真空中静电场的高斯定理⎰⎰∑=Sq S E 01d .ε ，下述哪种说法是正确的A 、 该定理只对某种对称性的静电场才成立；C 、积分式中的E是由高斯面内、外所有电荷共同激发的.B 、∑=ni iq1是空间所有电荷的代数和； D 、闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷.6.通过某一高斯面的电通量为零时，下列可能发生的情况是 (1) 面内没有电荷； (2) 面内正、负电荷的总量相等；(3) 面上各点的场强必为0； (4) 面上单位面元的正、负电通量的总量相等. A 、 (1)(4) B 、(2)(3) C 、(1)(2) D 、 (2)(4)7.根据高斯定理的数学表达式⎰⎰∑=Sq S E 01d .ε 可知下列说法中，正确的是A 、 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；B 、 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零；C 、 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零；D 、积分式中的E一定是电荷∑=n i i q 1所激发的；8.对于高斯定理⎰⎰∑=Sq S E 01d .ε ，以下说法中哪种是正确的？A 、适用于任何静电场；B 、只适用于真空中的静电场；C 、只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场；D 、只适用于虽然不具有C 中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场.9.静电场的高斯定理⎰⎰∑=⋅SoqS d E ε ，表明静电场是_________场（注：填“有源”或“无源”）. 10.高斯定理⎰⎰∑=Sq S E 01d .ε ，说明了静电场的哪些性质(1) 电力线不是闭合曲线； (2) 库仑力是保守力； (3) 静电场是有源场； (4) 静电场是保守场. A 、 (1)(3) B 、(2)(3) C 、(1)(2) D 、 (1)(4)11.有两个相距为a 2，电量都是q +的点电荷，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面，在球面上取两块相等的小面积21S S 和，其位置如图所示，设通过21S S 和的电场强度通量分别为21ΦΦ和，通过整个球面的电场强度通量为S Φ，则A 、 021/,εq ΦΦΦS =>; B 、 021/2,εq ΦΦΦS =<;C 、 021/,εq ΦΦΦS == ;D 、 021/,εq ΦΦΦS =<.12.有N 根电力线同时穿过三个大小不等的面1S 、2S 和3S ，如果321S S S >>,那么它们的电通量321φφφ、、关系是 .(注：用“>” 、“<”、或“=”连接321φφφ、、) 高斯定理与电场强度1设有一“无限大”均匀带正电荷的平面。

高斯定理例题介绍高斯定理是数学中的一项基本定理，用于计算曲线或曲面上的定积分。

该定理被广泛应用于物理学和工程学中，用于计算电场、磁场、流体流动等问题。

本文将通过一个具体的例题来介绍高斯定理的应用方法。

问题描述一个长方体导体，边长分别为 a，b，c，位于真空中。

假设长方体导体上均匀分布的电荷密度为ρ。

求解电场强度 E 在长方体表面的通量Φ。

解法步骤 1：选择高斯面根据问题描述，我们可以选择一个表面积为 S 的高斯面，该高斯面应与长方体导体的外表面相切。

步骤 2：确定电场强度的方向由于长方体导体上均匀分布的电荷密度，根据库仑定律，我们可以确定电场强度 E 的方向垂直于长方体表面，并指向长方体内部。

步骤 3：确定高斯面上单位法向量根据我们选择的高斯面及电场强度的方向，我们可以确定高斯面上的单位法向量。

步骤 4：计算电场强度 E由于长方体导体均匀分布的电荷密度，我们可以利用高斯定理得出电场强度 E 与高斯面积分之间的关系。

根据高斯定理，电场强度 E 在高斯面上的通量Φ 可以表示为Φ = ∮E⋅dS其中，∮ 表示对高斯面 S 上的积分运算，E 表示电场强度，dS 表示高斯面上的元面积。

注意到在整个高斯面上，电场强度和高斯面的单位法向量的方向相同，因此E⋅dS 可以简化为E⋅dS = E⋅n⋅dS，其中，n 表示高斯面上的单位法向量，dS 表示高斯面上的元面积。

对于长方体导体的外表面，电场强度 E 是常量，因此∮E⋅n⋅dS 可以简化为E⋅n⋅dS = E⋅dS。

因此，我们只需计算高斯面 S 的面积 S，然后通过 S 和 E 的关系求解电场强度 E。

步骤 5：计算电场强度 E 的大小由于长方体导体上均匀分布的电荷密度ρ，根据库仑定律，我们可以得到电场强度 E 与电荷密度ρ 和真空介电常数ε0 的关系：E = 1 / (4πε0) * ρ其中，ε0 是真空介电常数，其值为 8.854187817E-12 C2/(N·m2)。

学号 姓名习题七 电通量、高斯定理要求：1、掌握电通量的定义和计算。

2、掌握高斯定理的内容和表达式，并能用其计算电荷简单对称分布情况下的电场强度。

一、选择题1、 一电场强度为→E 的均匀电场，→E 的方向与x则通过图中一半径为R 的半球面的电通量为（A 、πR 2EB 、21πR 2EC 、2πR 2ED 、0 2、点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪种情况高斯面的电通量会发生变化（ ）A 、将另一点电荷放在高斯面外B 、将球心处的点电荷移到高斯面内另一处C 、将另一点电荷放进高斯面内D 、改变高斯面半径大小3、真空中两平行带点平板相距为d ，面积为S ，且有d 2<<S ,带电量分别为+q 和-q ，则两极板之间的作用力大小为（ ）A 、2024d q F πε= B 、s q F 02ε= C 、s q F 022ε= D 、sq F 022ε= 4、如果一点电荷q 位于立方体一个顶点上，则通过不与该顶点相连的任一立方体侧面的电通量为（ ）A 、0B 、 0εqC 、 06εqD 、 024εq 5、下列说法正确的是（） A 、若高斯面上→E 处处为0，则该面内必无净电荷B 、若高斯面内无电荷，则高斯面上的→E 必定处处为0C 、若高斯面上→E 处处不为0，则高斯面内必有净电荷D 、若高斯面内有电荷，则高斯面上→E 处处不为0二、填空题1、一均匀带有电量为Q ，长为l 的直线，以直线中心为球心，R （R >l ）为半径作球面，则通过该球面的电通量为 ，在带电直线的延长线上与球面的交点处的场强大小为 。

2、由一半径为R 、均匀带有电量Q 的球面产生电场，在距离球心r 处的电场强度为：当r<R 时，E= ，当r>R 时，E= 。

3、由一半径为R 的无限长均匀带电圆筒面产生电场，与圆筒中心轴线相距为r 处的电场强度大小为：当r<R时，E= 当r>R时，E= （已知圆筒面上带电的线密度为λ）。