15.4角的平分线专题训练及答案

13.3 角的平分线的性质一、选择题1．如图 1 所示 ，∠ 1=∠ 2，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，则下列结论中错误的是 （ ）．A ． PD=PEB ．OD=OE C．∠ DPO=∠ EPO D ． PD=ODBEACPDEFOD ABDCA E B（ 1） (2) (3)2．如图 2 所示，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是 E ，F ，则下列四个结论：① AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；② AD 上任意一点到 AB ，AC 的距离相等；③ BD=CD ， AD ⊥ BC ；④∠ BDE=∠ CDF ，其中正确的个数是（ ）． A ．1个 B．2个 C ．3个 D． 4 个3．如图 3 所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC=1， AB=2 ，AD 在∠ BAC?的平分线上，DE ⊥ AB 于点 E ，则△ DBE 的周长为（ ）．A ．2B ．1+2C ． 2D．无法计算AAAEDC EFPOEBOFB BDC(4)(5)(6)4．如图 4 所示，已知∠ AOB ，求作射线 OC ，使 OC 平分∠ AOB ， ?作法的合理顺序是（）．（ 1）作射线 OC ；（ 2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD ， OE ，使 OD=OE ； （ 3）分别以 D ， E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，在∠ AOB 内，两弧交于点 C ．2A ．（ 1）（ 2）（ 3）B ．（ 2）（ 1）（ 3）C ．（ 2）（ 3）（ 1）D ．（ 3）（ 2）（ 1） 二、填空题1．（ 1）若 OC 为∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PE ⊥OA ， PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，则PE=________，根据是 ________________ ．（ 2）如图 5 所示，若在∠ AOB 内有一点 P ，PE ⊥ OA ，PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，且 PE=PF ，则点 P 在 _______，根据是 ____________ ．2．△ ABC 中，∠ C=90°， AD平分∠ BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm，则点 D?到 AB?的距离为 _______．3．如图 6 所示， DE⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于点 F，若 DE=DF，只需O 添加一个条件， ?这个条件是 __________ ．4．如图所示，∠ AOB=40°， OM平分∠ AOB， MA⊥ OA于 A，MB?⊥OB?于 B， ?则∠ MAB的度数为 ________．三、解答题1．如图所示，AD是∠ BAC的平分线， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC于 F，且 BD=CD，那么相等吗？为什么？AN M BBE与 CFEBDA F C2．如图所示，∠ B=∠ C=90°， M是 BC中点， DM平分∠ ADC，判断 AM?是否平分∠ DAB，说明理由．M DCA B3．如图所示，已知 PB⊥ AB，PC⊥ AC，且 PB=PC，D是 AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP= ∠ CDP吗？为什么？ADCBP探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，?红方侦察员发现蓝方指挥部设在 A 区，到公路、铁路的交叉处 B 点 700m．如果你是红方指挥员，?请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．BA区比例尺 1:200002．（探究题）已知：在△ABC中， AB=AC．（1）按照下列要求画出图形：①作∠BAC的平分线交 BC于点 D；②过 D作 DE⊥ AB，垂足为点 E；③过点 D作 DF⊥ AC，垂足为点 F ．（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明理由．3．如图所示，在△ ABC中， P， Q?分别是 BC， AC上的点，作 PR⊥ AB， PS⊥ AC，垂足分别是R，S．若 AQ=PQ， PR=PS， ?下面三个结论① AS=AR，② QP∥ AR，③△ BRP≌△ CSP中，正确的是（）．A ．①和③B．②和③C．①和② C ．①，②和③BRPA Q S C、、答案 :一、1． D 解析：∵∠ 1=∠ 2， PD ⊥ OA 于 E ， PE ⊥ OB 于 E ，∴ PD=PE ．又∵ OP=OP ，∴△ OPE ≌△ OPD ．∴ OD=OE ，∠ DPO=∠ EPO ．故 A ，B ， C 都正确．2． D 解析：如答图，设点 P 为 AD 上任意一点，连结PB ，PC ．∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD=∠ CAD ．又∵ AB=AC ， AP=AP ，∴△ ABP ≌△ ACP ，∴ PB=PC ． A故①正确．由角的平分线的性质知②正确．∵ AB=AC ，∠ BAD=∠ CAD ，AD=AD ，P∴△ ABD ≌△ ACD ．E F∴ BD=CD ，∠ ADB=∠ ADC ．BDC又∵∠ ADB+∠ ADC=180°， ∴∠ ADB=∠ ADC=90°， ∴ AD ⊥BC ，故③正确．由△ ABD ≌△ ACD 知，∠ B=∠ C ．又∵ DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥AC 于点 F ，∴∠ BED=∠ CFD=90°，∴∠ BDE=∠ CDF ．故④正确．4． C 解析：∵ AD 平分∠ CAB ， AC ⊥ BC 于点 C ，DE ⊥ AB 于 E ，∴ CD=DE ．又∵ AD=AD ，∴ Rt △ACD ≌ Rt △ AED ，∴ AC=AE ． 又∵ AC=BC ，∴ AE=BC ，∴△ DBE 的周长为 DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 2 ．提示：设法将 DE+BD+EB 转成线段 AB ．5． C二、 1．（ 1） PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同（ 2）∠ AOB 的平分线上 到角的两边距离相等的点在角的平分线上2．解析：如图所示， AD 平分∠ CAB ， DC ⊥ AC 于点 C ， DM ⊥AB 于点 M ．∴ CD=DM ，∴ DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案： 3C提示：利用角的平分线的性质．D3． AD 平分∠ BAC ．4．解析：∵ OM 平分∠ AOB ，∴∠ AOM=∠ BOM=AOB=20°．AMB2又∵ MA ⊥ OA 于 A ， MB ⊥ OB 于 B ，∴MA=MB．∴Rt △OAM≌ Rt△ OBM，∴∠ AMO=∠ BMO=70°，∴△ AMN≌△ BMN，∴∠ ANM=∠ BNM=90°，∴∠ MAB=90° -70 ° =20°．答案： 20°三、 1．解析： BE=CF．∵AD平分∠ BAC， DE⊥ AB于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．又∵ BD=DC，∴ Rt△ BDE≌Rt △ CDF，∴ BE=CF．提示：由角的平分线的性质可知DE=DF，从而为证△ BDE≌△ CDF提供了条件．2．解析： AM平分∠ DAB．理由：如答图13-9 所示，作 MN⊥ AD于点 N，∵ DM平分∠ CDA，MC ⊥ DC于点 C，MN⊥ AD于点 N，∴MC=MN．又∵ M是 BC的中点，∴ CM=MB，∴MN=BM，∴ AM平分∠ DAB．3．解析：可以．∵ PB⊥AB于点 B， PC⊥ AC于点 C，且 PB=PC，D CNM A B∴AP平分∠ BAC，∴∠ BAP=∠CAP．在 Rt△ ABP和 Rt△ ACP中，PB=PC ， AP=AP，∴Rt △ABP≌ Rt△ ACP，∴ AB=AC．在△ ABD与△ ACD中，AB=AC ，∠ BAP=∠CAP， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴∠ ADB=∠ ADC，∴∠ BDP=∠ CDP．探究应用拓展性训练1．如答图所示．解析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN的平分线上．又∵比例尺为1： 20000，∴ P 离 B 为 3． 5cm．提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．（ 1）解析：按题意画图，如答图13-11 ．（2）可以得到 ED=FD， AE=AF， BE=CF，BD=CD．理由如下：∵ AB=AC，∠ 1=∠ 2， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴ BD=DC．∵∠ 1=∠2， DE⊥AB 于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．A1 2E F BD C又∵ AD=AD，∴Rt △AED≌ Rt△ AFD，∴ AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即 BE=CF．提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另三角形全等来寻找相等的线段．3． C解析：如答图所示，连结AP．∵PR⊥AB于点 R， PS⊥ AC于点 S， PR=PS，∴ AP平分∠ BAC，∴∠ 1=∠2．又∵ AQ=QP，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，∴ PQ∥ AR．在 Rt △APR和 Rt△ APS中，外本题主要应用角的平分线的性质及BRP312PR=PS ， AP=AP，A Q S C ∴Rt △APR≌ Rt△ APS，∴ AR=AS．而△ BRP与△ CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．提示：本题的突破口是判断出点P 在∠ BAC的平分线上．。

课后训练1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E，PE＝3，那么点P到AB的距离是()．(第1题图)A．3 B．4 C．5D．62．以下结论正确的有()．①如果(x－1)(x－2)＝0，那么x＝1；②在△ABC中，假设∠B是钝角，那么∠A，∠C一定是锐角；③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上．A．1个B．2个C．3个D．4个3．(四川巴中中考)如下图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()．(第3题图)A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．如图，△ABC，求作一点P，使P到∠BAC的两边的距离相等，且P A＝PB.以下确定P点的方法正确的选项是()．(第4题图)A．P为∠A，∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC，AB两边上的高的交点D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，那么D 到AB的距离为()．A．18B．16 C．14 D．126．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，假设AD＝6，BC＝10，那么△BDC的面积为()．(第6题图)A．20 B．30 C．60 D．1207．如图，点P到∠AOB两边的距离相等，假设∠POB＝30°，那么∠AOB＝________度．(第7题图)8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，BD＝5 cm，那么BC＝__________ cm.(第8题图)9．如图，点C是∠AOB的平分线上一点，点P，P′分别在边OA，OB上．如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的序号________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC.(第9题图)10．如图，D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.(第10题图)11．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE＝EB，DE＝DC，求∠B的度数．(第11题图)12．(广东珠海中考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.(1)用尺规作图方法，作∠DAB的角平分线AF(只保存作图痕迹，不写作法和证明)；(2)假设AF 交CD 边于点E ，判断△ADE 的形状(只写结果)．(第12题图)13．如图，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 是AB 的中点，且DE 平分∠ADC .求证：CE 平分∠BCD .(第13题图)答案与解析1．A 解析：根据角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可知点P 到AB 的距离等于PE 的长．2．B 解析：正确的有②④.3．C 解析：到草坪三条边的距离相等的点是三条角平分线的交点，应选C.4．B 解析：由点P 到∠BAC 的两边的距离相等知，点P 在∠BAC 的平分线上；由P A ＝PB 知，点P 在AB 的垂直平分线上，应选B.5．C 解析：因为BC ＝32，BD ∶CD ＝9∶7，所以CDAD 是∠BAC 的角平分线，D 在AD 上，DC ⊥AC ，所以点D 到AB 的距离等于CD 的长，应选C.6．B 解析：如图，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .(第6题图)∵BD 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，∴DE ＝AD ＝6.∴111063022BDC S BC DE =⨯⨯=⨯⨯=.应选B.7．60解析：如图因为点P到∠AOB两边的距离相等，∠POB＝30°，所以由角的平分线性质定理的逆定理得，∠AOP＝∠B OP＝30°，∴∠AOB＝60°.8．8解析：由角平分线的性质可知DE＝CD，所以BC＝BD＋CD＝BD＋DE＝5＋3＝8 cm.9．①②④解析：假设分别添加条件①②，均可判定△POC≌△P′OC，从而有OP＝OP′；假设添加条件④，那么可判定△POQ≌△P′OQ，从而有OP＝OP′；假设添加条件③，那么△POC与△P′OC不一定全等，因而不能判定OP和OP′相等，故此题答案为①②④.10．证明：如图，过D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G.(第10题图)∵S△DCE＝S△DBF，∴1122CE DG BF DH⋅=⋅.∵CE＝BF，∴DG＝DH.∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.11．解：∵DC⊥AC，DE⊥AB，且DE＝DC，∴∠1＝∠2.∵DE⊥AB于E，AE＝EB，∴DE为AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B. ∴∠B＝∠1＝∠2.又∵在Rt△ABC中，∠B＋∠BAC＝90°，∴3∠B＝90°.∴∠B＝30°.12．解：(1)如图，射线AF即为所求．(2)△ADE是等腰三角形．(第12题图)解析：(1)①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AB于点G，H；②分别以G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧交于点F；③画射线AF，射线AF即为所求．(2)因为AB∥CD，所以∠BAE＝∠DEA.又∠BAE＝∠DAE，所以∠DEA＝∠DAE，所以DA＝DE.所以△ADE 是等腰三角形．(第13题图)13．证明：如图，作EF⊥CD，垂足为F.∵∠B＝90°，AD∥BC，∴∠A＝90°.∴AD⊥AE.∵EF⊥CD，DE平分∠ADC，∴AE＝FE.又∵E为AB的中点，∴AE＝BE.∴BE＝FE.∴CE平分∠BCD.。

ABCME124352020年~2021年最新15.4 角的平分线专题一 角平分线知识的应用1.如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，S △ABC =36cm 2，•AB =18cm ，BC =12cm ，求DE 的长．2.已知：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝3∠C ，∠1＝∠2，BE ⊥AE . 求证：AC －AB ＝2BE .专题二 作图与实际问题3.如图，点B 、C 在∠SAT 的两边上，且AB =AC .（1）请按下列语句用尺规画出图形（不写画法，保留作图痕迹） ①AN ⊥BC ，垂足为N ；②∠SBC 的平分线交AN 延长线于M ； ③连接CM .（2）该图中有__________对全等三角形.4.夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A 、B 、C 、D 四个景点位置的地图，指出：今天我们游玩的景点E 是新开发的，地图上还没来得及标注，但已知这个景点E 满足：AB SCT 42Y 轴ABD35①与景点A、C和景点B、D所在的两条直线等距离；②到B、C两景点等距离.请你在平面直角坐标系中，画出景点E的位置，并标明坐标（用整数表示）.专题三角平分线中的探究题5.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。

6.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I作DE∥BC交BA•于D，交AC于E．（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明．（2）若AB=7，AC=5，你能求△ADE的周长吗？（3）作∠ABC与∠ACB的外角平分线，他们相交于点O，过O点作BC•的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G，你还能发现什么结论？【知识要点】1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.【温馨提示】1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点.2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离.【方法技巧】1. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,OO B CAACB图2图1要注意不要再利用全等三角形证明.2.遇到证明有关角平分线的问题时,可作角的两边的垂线,证明垂线段相等.参考答案1.解:∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AB，∴DE=DF．∵S△ABC=36cm2，S△ABD =12 BC·DF．又∵S△ABC =S△ABD+S△BCD，AB=18cm，BC=12cm，∴12×18DE+12×12DF=36，∴9DE+6DF=36．又∵DE=DF，∴9DE+6DE=36，∴DE=125cm．2.证明：延长BE交AC于点M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°.在△ABE中，∵∠1＋∠3＋∠AEB＝180°，∴∠3＝90°－∠1. 同理，∠4＝90°－∠2.∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC－AB＝AC－AM＝CM.∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5＋∠C.∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5，∴3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C.∴∠5＝∠C，∴CM＝BM.∴AC－AB＝BM＝2BE.3.（1）如图;（2）3.4.如图,坐标为(2,2).5.（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC,∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.（2）过点O分别作OF⊥AB，OE⊥AC，F、E分别是垂足，由题意知，OE＝OF.在Rt△OFB和Rt△OEC中，∵OF＝OE，OB＝OC，∴Rt△OFB≌Rt△OEC.∴∠OBF＝∠OCE，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACD，∴AB＝AC.（3）不一定成立。

角的平分线问题专项训练（30道）【题型1 单角平分线型】1．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．2．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，求∠AOC 的度数．∠EOC，若∠DOE＝3．如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE=1255°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．4．如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，且∠BOC＝28°．（1）求∠DOE和∠BOF的度数；（2）求∠COE+∠DOE的度数．5．如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；∠DOB，求∠AOC的度数．（2）如图2，若∠COE=136．如图，已知∠AOB﹣∠COD＝60°，OB是∠DOE的平分线．设∠AOC的度数为x，（1）用含x的式子表示∠BOD的度数；（2）若∠DOE+∠AOC＝97°16'，求∠AOC的度数．7．如图，点A、O、C在一直线上，OE是∠BOC的平分线，∠EOF＝90°，∠1比∠2大75°．（1）求∠2的度数．（2）求∠COF的度数．8．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．（1）∠AOD和∠BOC；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．9．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．10．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON 的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．【题型2 双角平分线（不交叉型）】11．如图，∠AOC：∠COD：∠DOB＝3：4：5，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON ＝96°，求∠AOB的度数．12．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝70°，求∠COD和∠EOC的度数；（2）写出∠COD与∠EOC具有的数量关系并说明理由．13．如图，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．（1）求∠MON的度数；（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝23°，求∠COM的度数．14．已知：OC，OD是∠AOB内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）若∠AOB＝120°，∠COD＝30°，如图∠，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，如图∠，如图∠，请直接用含α、β的式子表示∠EOF的大小；图∠结论：；图∠结论：．15．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．∠若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝°；∠若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．16．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为∠EOA=14∠AOD，∠DOC=23∠DOB且∠DOE：∠DOC＝3：2，求∠EOC的度数．17．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON 的度数为．（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM 的度数（用m的式子表示）；（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．18．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG 对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．19．将一副三角尺OAB与OCD进行如下按摆放，其中两三角尺的一顶点重合于点O，∠AOB ＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）当点D在OB边上时（如图1），求∠MON的度数；（2）当点D不在OB边上时（如图2或3），其中∠BOD＝a，求∠MON的度数．20．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【题型3 双角平分线（交叉型）】21．如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝54°，求∠COE和∠DOF的度数．22．如图，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．23．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数．（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝°．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？请说明理由．24．如图，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOB，OE平分∠AOD，且∠COE＝70°．（1）求∠AOB的度数；（2）若∠BOD+∠BOF＝90°，求∠BOF的度数．25．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC在∠AOB的外部，且OF平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）当∠BOC＝60°时，求∠EOF的度数；（2）当∠BOE＝20°，求∠BOC的度数．26．已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．（1）如图1，若OC平分∠AOD，且∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，求∠BOE的度数．（2）如图2，若∠BOD：∠COD＝3：2，过点O引射线OF平分∠COD，OE是∠BOC的平分线，且∠DOE＝12°，求∠EOF的度数．27．已知：如图∠所示，OC是∠AOB内部一条射线，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，则∠EOF的度数是．（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，求∠EOF的度数，并根据计算结果直接写出∠EOF与∠AOB 之间的数量关系．（写出计算过程）（3）如图∠所示，射线OC在∠AOB的外部，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．试着探究∠EOF与∠AOB之间的数量关系．（写出详细推理过程）28．如图，已知O为直线AD上一点，OB是∠AOC内部的一条射线且满足∠AOB与∠AOC 互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线．（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；（2）∠AOB＝30°，试求∠MON的度数；（3）若∠MON＝α，请直接写出∠AOC的度数．（用含α的式子表示）29．如图，已知∠AOB＝58°，∠AOC在∠AOB外部，ON、OM分别平分∠AOC、∠BOC．（1）若∠AOC＝32°，则∠MON＝；（2）若∠AOC＝n°（0＜n＜90°），ON、OM依旧分别平分∠AOC、∠BOC，∠MON的大小是否改变？；（3）试说明（2）的结论的理由．30．已知∠AOD＝160°，OB为∠AOD内部的一条射线（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠MON的度数为；（2）如图2，∠BOC在∠AOD内部（∠AOC＞∠AOB），且∠BOC＝20°，OF平分∠AOC，OG平分∠BOD（射线OG在射线OC左侧），求∠FOG的度数；（3）在（2）的条件下，∠BOC绕点O运动过程中，若∠BOF＝8°，求∠GOC的度数．。

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质知识要点基础练知识点1角平分线的尺规作图1.小明同学画∠AOB的平分线,作法如下:①以点O为圆心,适当长为半径作弧,交两边于点C,D;②分别以点C,D为圆心,相同的长度为半径作弧,两弧交于点E;③则射线OE就是∠AOB的平分线.小明这样做的依据是(D)A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.尺规作图:如图,已知∠AOB和C,D两点,求作一点P,使PC=PD,且点P在∠AOB的平分线上.(不写作法,保留作图痕迹)解:如图所示,P点即为所求.知识点2过一点作已知直线的垂线3.(漳州中考)下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是(B)知识点3角平分线的性质4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AB的中点,点D在∠B的平分线上,DE⊥AB,则(B)A.BC>AEB.BC=AEC.BC<AED.以上全不对5.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,DE=2,AC=3,则△ADC的面积是(A)A.3B.4C.5D.66.如图,已知OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ的最小值为2.综合能力提升练7.(莆田中考)如图,OP是∠AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的选项是(D)A.PC⊥OA,PD⊥OBB.OC=ODC.∠OPC=∠OPDD.PC=PD8.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2x,y+1),则y关于x的函数关系为(B)A.y=xB.y=-2x-1C.y=2x-1D.y=1-2x9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足.则下列结论:①DE=DF;②BD=CD;③AD上任意一点到AB,AC的距离相等;④AD上任意一点到B,C的距离相等.其中正确的是(D)A.①②B.③④C.①②③D.①②③④10.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E ,BC=50,DE=14,则△BCE的面积等于350.11.如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD 于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM=PN.证明:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB.∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD,交AC于点D;(保留作图痕迹,不要求写作法)(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.解:(1)∠ABC的平分线如图所示.(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=70°,∴∠A=180°-70°-70°=40°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ABC=35°,∴∠BDC=∠ABD+∠A=35°+40°=75°.13.如图,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC的中点,作DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.①在△BDE和△CDF中,∠B=∠C,∠BED=∠CFD,BD=CD,∴△BDE≌△CDF.②∴DE=DF.③(1)上面的证明过程是否正确?若正确,请写出①,②和③的推理根据.(2)请你写出另一种证明此题的方法.解:(1)正确.①等边对等角,②AAS,③全等三角形的对应边相等.(2)连接AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD平分∠BAC(等腰三角形三线合一),又∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.拓展探究突破练14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AG⊥BC于点G,BD平分∠ABC,AE⊥BD于点H,交BC于点E,AG与BD相交于点F.求证:AD=EF.证明:∵BD平分∠ABC,AE⊥BD,∴BH为AE的垂直平分线.∵点F在BD上,∴AF=EF.∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD.∵∠BAC=90°,AG⊥BC,∴∠ABD+∠ADB=90°,∠DBC+∠BFG=90°.∴∠ADB=∠BFG.∵∠AFD=∠BFG,∴∠ADB=∠AFD,∴AF=AD.又∵AF=EF,∴AD=EF.。

15.4角的平分线（1）基础导练1. 如图，已知∠B=∠C，AD平分∠BAC，用来直接证明△ABD≌△ACD的依据是（）A. ASAB.SASC.AASD.SSS2. 如图：将一张矩形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）A．90°＜α＜180°B．α=90°C．0°＜α＜90°D．α随着折痕位置的变化而变化3.如图所示，在ΔABC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，则AC是∠BAD的________ .4. 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线，不写作法，保留作图痕迹.能力提升5. 如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，OB=OC ，求证：AO平分∠BAC．6.已知：如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC, 求证：BE=CF.CF A D B E ┐ ┐参考答案1. C2. B3. 平分线4. 略5. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．又∵∠BOD=∠COE在△BOD和△COE中，∠BDC=∠CEB,∠BOD=∠COE,OB=OC,∴△BOD≌△COE（AAS）．∴OD=OE．∴AO平分∠BAC．6.证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ DB=DC,DE=DF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴BE=CF.。

15.4 第1课时 角的平分线的画法知识点 1 角的平分线的画法1．如图15－4－1所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，作法的合理顺序是________(将①②③重新排列)．①作射线OC ；②以点O 为圆心，任意长为半径画弧与OA ，OB 分别交于点D ，E ； ③分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径在∠AOB 的内部画弧交于点C .图15－4－12．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图15－4－2，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是( )图15－4－2A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边的距离相等3．如图15－4－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧与AB ，AC 分别交于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径在∠CAB的内部画弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则∠ADB ＝________°.图15－4－3知识点 2 过已知点作已知直线的垂线4．如图15－4－4，请你在下列各图中，过点P 画出射线AB 或线段AB 的垂线．图15－4－45．如图15－4－5，作∠α的补角，然后再画补角的平分线．(不写作法，保留作图痕迹)图15－4－56．教材练习第1题变式题已知：线段a ，如图15－4－6.求作：△ABC ，使∠C ＝90°，AC ＝12a ，AB ＝a .(不写作法，保留作图痕迹)图15－4－67．(1)如图15－4－7所示，已知△ABC ，∠C ＝90°，按下列语句作图(尺规作图，保留作图痕迹)：①作∠B 的平分线，与AC 相交于点D ； ②在AB 边上取一点E ，使BE ＝BC ； ③连接ED .(2)根据所作图形写出一组相等的线段和一组相等的锐角(不包括BE ＝BC ，∠EBD ＝∠CBD )．图15－4－7教师详解详析1．②③①2．A3．120[解析] 由题意可得AD平分∠CAB.∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∴∠CAD＝∠BAD＝30°.∴∠ADB＝180°－30°－30°＝120°.4．解：如图：5．解：如图，∠AOC为∠α的补角，OP为所要求作的∠AOC的平分线．6．解：如图所示，△ABC即为所求．7．解：(1)如图所示．(2)相等的线段为DE＝CD，相等的锐角为∠BDE＝∠BDC.。