吉林省长市实验中学高中数学 第一章《余弦定理》导学案 新人教A版必修5

数学必修五《1.1 正弦定理和余弦定理（练习）》教案教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程：一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.(i ) A ＝6π，a ＝25，b ＝502； (ii ) A ＝6π，a ＝252，b ＝502； (iii ) A ＝6π，a ＝5063，b ＝502； (iiii ) A ＝6π，a ＝50，b ＝502. 分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）ba b a b a b a a 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinAACB AC B1A B A C B2C HH H② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.(i ) A ＝23π，a ＝25，b ＝502； (ii ) A ＝23π，a ＝25，b ＝102 2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶si n C =6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角. ② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC③ 出示例4：已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，求a b b+的值2. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos A :cos B :cos C ＝ .3. 作业：教材P11 B 组1、2题.。

【学习目标】
1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的方法;
2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;
3. 在体验数学美的过程中激发学习兴趣.
【重点难点】
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
难点：余弦定理的运用。

【自主学习合作释疑】
余弦定理
阅读教材5—7页（10分钟时间），并证明余弦定理.
怎样用坐标法证明余弦定理？试试看.
【自主学习合作释疑】
例1．在∆ABC 中，已知60b cm =，0
34,41c cm A ==，解三角形.
变式训练1：在△,150,2,330===B c a ABC 中，已知解三角形.
例2.在∆ABC 中，已知134.6,87.8,161.7a cm b cm c cm ===，解三角形。

变式训练2：在∆ABC 中，已知13,2.2+==
=c b a ,解三角形.
【巩固训练，整理提高】
1.在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A.
2.已知ABC ∆中，3AB =、BC =
4AC =，求ABC ∆中的最大角。

3．在△ABC 中，已知角A ,B ,C 分别对应边a ,b ,c a =7,b =10, c =79. (1)求角C;
(2)判断△ABC 的形状.
总结
作业
1．教材第8页练习题1、2题.。

必修五 第一章§5-2正 余弦定理【课前预习】阅读教材完成下面填空解三角形的四种类型1．已知A,B 及a(“角边角”型)利用正弦定理2．已知三边a,b,c(“边边边”型)用余弦定理 。

3.已知两边a,b 及夹角C(边角边型)余弦定理求c,再用余弦定理求两角。

4. 已知两边a,b 及一边对角(“边边角“型)(1) 当 时，有 解(2) 当 时，有 解(3) 当 时，有 解(4) 当 时，有 解【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．在△ABC 中，若02,30b B ==，0135C =，a =则 。

4、在△ABC 中，若C cB bA acos cos cos ==，则△ABC 是【课中35分钟】边听边练边落实5、在△ABC 中，已知a=10，B=060 ,C=045，解三角形。

6．在△ABC 中，已知a=2,b=5,c=4,求最大角的正弦值。

7．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．8、在△ABC 中，已知a=5，b=7，A= 030,解三角形。

9．在△ABC 中，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，其中R 是△ABC 外接圆的半径。

求证：C R A b B a sin 2cos cos =+。

【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ( )A ．9B ．18C ．93D ．1832．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－143．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝ 。

高中数学高一年级必修五第一章第1.1.2节：余弦定理导学案Ａ．学习目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。

通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。

Ｂ．学习重点、难点重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

Ｃ．学法指导探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式。

通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题。

D．知识链接本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了进一步的认识，在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

E．自主学习[提出问题]在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°.问题1：这个三角形确定吗？提示：确定．问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？提示：不能问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？提示：能．∵BC＝BA＋AC∴BC2＝BA2＋AC2＋2BA·AC＝BA2＋AC2－2BA AC cos A＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7∴BC＝7问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a?提示：能．[导入新知]余弦定理余弦定理公式表达a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C余弦定理语言叙述三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab[化解疑难]对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．F.合作探究已知三角形的三边解三角形[例1] 在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C.[解] 由于a∶b∶c＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22×3x ×2x ＝32，故A ＝30°.同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.[类题通法]已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． [活学活用]1．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角的和是________．解析：设中间角为θ，由于8＞7＞5，故θ的对边的长为7，由余弦定理，得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12.所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°.答案：120°已知三角形的两边及其夹角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形．[解] 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝96＋163＋12－642×46×43＋1＝22，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴8sin A ＝46sin 60°，∴sin A ＝22，∵b ＞a ，c ＞a ，∴a 最小，即A 为锐角． 因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. [类题通法]已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[活学活用]2．在△ABC ，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形．解：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°) ＝8－4 3 ＝(6－2) 2∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝232＋6－22－2222×23×6－2＝22. ∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝45°， 从而B ＝120°. 法二：由正弦定理得sin A ＝a sin Cc＝22×6－246－2＝22. ∵a ＜b ， ∴A ＜B ，又0°＜A ＜180°， ∴A 必为锐角，∴A ＝45°，从而得B ＝120°.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形[例3] 在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a . [解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得 sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形．由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3. [类题通法]已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．[活学活用]3．已知：在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.解析：A 为b ，c 的夹角，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍)．答案：5判断三角形的形状[例4] 在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．[解] 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ·a 2＋b 2－c 22ab等式两边同乘以2abc 得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)，整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4， ∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2. 即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2故△ABC 为直角三角形．[类题通法]判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．[活学活用]4．在△ABC 中，若cos A ＝sin Bsin C，试判断其形状． 解：由cos A ＝sin B sin C 得cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2， 因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长[典例]如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求出BC 的长．[解题流程][规范解答]设BD ＝x .在△ABD 中，根据余弦定理，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，∴BD ＝16. ∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理，BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD ，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.[名师批注]将四边形ABCD 分解为两个△ABD 和△BCD ，利用余弦定理列出关于x 的一元二次方程，化简方程时易出错，应注意步骤及计算的准确性。

§1.1.2 余弦定理 班级 姓名 学号 学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45，C =30，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC •=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ，．[理解定理]c a b B C（1）若C=90︒，则cos C=，这时222c a b=+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC中，a=2c=，150B=，求b．（2）△ABC中，2a=，b=，1c=，求A．※典型例题例1. 在△ABC中，已知a=b=，45B=，求,A C和c．变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC中，若222=++，求角A．a b c bc三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C. D.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<B x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222+-=，则∠C等于．b ac ab1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC的值.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。

预习案【学习目标】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握余弦定理及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.通过独立思考，合作探究，使学生学会在方程思想指导下处理解三角形问题的思想方法.3.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.通过本节的探究学习，培养学生的创新意识，不断提高自身的文化修养.重点：余弦定理的发现、证明过程及基本应用.难点：用向量方法证明余弦定理.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握余弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.正弦定理是如何证明的？2.正弦定理是 = = = =2R（R为△ABC的外接圆半径）.3.由正弦定理可解决给出或三角形问题。

4.向量的夹角如何定义的？及向量夹角公式Ⅱ.教材助读1.已知两边和他们的夹角能否解三角形？2.余弦定理：三角形中任何一边的平方和等于减去这两边与他们的的的的3.余弦定理的符号表达式是：2a= ，2b= ，2c= 。

4．余弦定理中有个量，已知其中能求出那能否已知三边求出一角？5．余弦定理推论：Acos = ，Bcos = ，Ccos = 。

【预习自测】1.在△ABC 中，3=a，7=b，2=c，那么B等于（）30=A45=B60=C120=D2.在△ABC中，33=a，2=c，150=B，则b= .3. 若△ABC的两边a,b大小固定，角C 增大，边c 角C确定，边c【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：课本中余弦定理是用（）法证明的，也就是说，在△ABC中，已知BC=a，AC=b 及边BC，AC的夹角C，则BC=（），所以2BA=（）=（），即2c=（）探究二：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【归纳总结】1.熟悉余弦定理的（ ），注意（ ）, （ ），（ ）等。

§1.1.2 余弦定理一、教学目标1.在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形.2.引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力.3.面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。

二、重点难点教学重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理内容；初步对余弦定理进行应用. 教学难点：证明余弦定理的过程；对余弦定理进行应用.三、教学过程、1.新课引入2.新课讲授（1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-，2______________b =，2______________.c =（2）余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222cos 2b c a A bc+-=， cos B =________________；cos C =________________．（3）余弦定理与勾股定理从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．（4）正弦定理与余弦定理的关系（1）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．（2）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下）．因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然． 我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题．（3）直角 钝角 锐角重点利用余弦定理解三角形 难点综合运用正、余弦定理解三角形及三角形形状的判断 易错 解三角形时，除了保证三边长均为正数，还应判断三边能否构成三角形3基础达标1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝2π3，a 3b ＝1，则c ＝（ ）A ．3－1B ．3C ．2D ．12．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos cos()1,2,3A B C b c -+===，则a =（ ）A ．10B ．3C ．22D ．5 3．在ABC △中，π,2,34ABC AB BC ∠===，则=∠BAC sin （ ） A ．1010 B ．510 C ．10103 D ．55 4．边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为（ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150° 5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若120,2C c a =︒=，则（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定6．已知ABC △中，=3130AB BC A ==︒，，，则=AC _____________．7．在ABC △中，1a =，45B =︒，42c =ABC △的外接圆的直径为_____________． 8．若钝角三角形ABC 的三边长分别是,1,2()a a a a *++∈N ，则a =_____________．9．在ABC △中，C ＝2A ，a ＋c ＝5，cos A ＝34，求b 的值．。

1.2.1正余弦定理应用（距离问题）【学习目标】 1. 复习巩固正弦定理、余弦定理.2. 能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题. 【学习重难点】能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题.【复习巩固】（课前完成）应用：利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：① 已知三边，解三角形；② 已知两边及其夹角，解三角形.做一做： 在厶ABC 中, AB= 3, BC=V 13, AC= 4，则 A = _______________【典例分析】题型一 测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题 例题1 :如图，在河岸边有一点 A ,河对岸有一点B,要测量A , B 两点之间的距离，先在岸边取题型二 测量两个不可到达的点之间的距离问题例题2:如图，隔河看到两个目标 代B,但不能到达，在岸边选取相距 .3 km 的C, D 两点，并 测得/ ACB= 75°,/ BC G 45°,/ ADO 30°,/ ADB= 45° （A , B , C, D 在同一平面内），求 两个目标A B 之间的距离.【课堂达标】1已知A , B 两地相距10 km , B, C 两地相距20 km ，且/ ABO 120°,贝U A C 两地相距（） A . 10 km B . 10 3km C. 10、5km D. 10 7km2设A B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出A , C 的距离是100 m / BAC= 60°,/ AC G 30°，则A, B 两点的距离为 _____________________ m.1.正弦定理：在一个三角形中，各 边和它所对角的正弦的比相等，即 a sin A c sin C 2R （在厶ABC 中，a , b , c 分别为角2.应用：利用正弦定理可以解决以- ① 已知两角与一边，解三角形；② 已知两边与其中一边的对角， 做一做： 在厶 ABC 中, a = 4, b = A , B, C 的对边，R 是厶ABC 的外接圆半径）. F两类解三角形问题：解三角形.3, A = 30°，贝U sin 2 •余弦定理：三角形中任何一边的余弦的积的 ______ 倍. 2ab cos C （2）推论: 即：在△ ABC 中， .2 2 2b +c — a cos A ^lb^, —等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的 a 2= b 2+ c 2— 2bc cos A b 2= _________________ , c 2= a 2 + b 2— cos B= ,cos C= 2 . 2 2a +b —c 基线 AC 测得 AC= 120 m ,Z BA G 45B，/ BCA= 75°,求A B 两点间的距离.3 （2011 •北京朝阳二模）如图，一艘船上午8 00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午& 30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4J2 n mile ，则此船的航行速度是__________________ n mile/h.4如图，为了开凿隧道，要测量隧道上D E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C,测得CA=400 m CB= 600 m, / ACB= 60°,又测得A, B两点到隧道口的距离AD= 80 m, BE= 40 m（A,D, E, B在一条直线上），计算隧道DE的长.（精确到1 m）。

必修5 1.1.2余弦定理（学案）（第2课时）【知识要点】1. 余弦定理的推论； 2．三角形形状的判定; 3. 三角形的最大、最小角. 【学习要求】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理推论；2.会运用余弦定理的推论解决一些简单的三角形度量问题；3.给出三角形中的有关等式,正确判断出三角形的形状.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 6 页～第7页）1.如果已知一个三角形的三边一定,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?2.给出一个三角形的三边,如何求出该三角形的三个角 .3.由推论知:若A 为直角,则cos 0A =,从而22b c + 2a ;若A 为锐角,则cos A >0,从而22b c + 2a ;若A 为钝角,则cos A <0,从而22b c + 2a .4.解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理,此时要根据题目条件选择先使用哪个定理.5.应用余弦定理推论解三角形(阅读例4).6.通过预习教材,思考诸如给出222222,a b c bc a b c =+-=++等形式,如何应用余弦定理求角. 【基础练习】1．在ABC ∆中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm): （1）a =7cm, b =10cm, c =6cm;（2）b =9.4cm, c =21.1cm, b =15.9 cm. 【典型例题】例1 在ABC ∆中, a :b :c 求A 、B 、C .变式1：变式训练1:若sin A :sin B :sin C =)1:)1求最大内角.例2 在ABC ∆中,cos cos a A b B =,试确定此三角形的形状.变式2：在ABC ∆中,已知sin 2cos sin A B C =,试判断此三角形的形状.例3 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2sin a b A =. (1) 求B 的大小;(2) 若5a c ==,求b .变式3: 在 三角形ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan C =(1) 求cos C ; (2) 若52CB CA ∙=,且9a b +=,求c .1.三角形的三边长分别为4，6，8，则此三角形为 （ ）. （A ）锐角三角形 (B)直角三角形 （C ）钝角三角形 (D)不存在2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若222.a c b +-=则角B 的值为 （ ）.(A)6π (B) 3π (C) 6π或56π (D)3π或23π3.在钝角ABC ∆中，1,2,a b ==则最大边c 的取值范围是 .4.在ABC ∆中，若a <b <c ，且2c <22a b +，则此三角形是 （ ）. （A ）锐角三角形 (B )直角三角形 （C ）钝角三角形 (D )不存在5. 在ABC ∆中，0260,,B b ac ==则ABC ∆的形状为 .6. ABC ∆的面积为30，1,2A CB +=则三角形的三边长为 . 7.已知ABC ∆中，4cos 5A =，且()2::(2)a b c -+=1：2：3，是判断三角形的形状.1.钝角三角形的三边长分别是,1,2,a a a ++，其最大角不超过1200，求a 的取值范围.2. 已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）证明关于x 的方程()2cos 0x c B x a +-=有两个不相等的实根；（2）若上述方程的两根之和等于两根之积，证明ABC ∆为直角三角形.必修5 1.1.2 余弦定理（第2课时）【教学目标】1．从余弦定理推导出余弦定理的推论. 2.应用余弦定理的推论解三角形． 3.讨论解三角形问题可以分为几种类型【重点】 ：通过对三角形边角关系的探索,证明余弦定理的推论,并能应用它解三角形． 【难点】 ：在解三角形时两个定理的选择．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 6 页～第 7 页）1.如果已知一个三角形的三边一定,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定? （确定）2.给出一个三角形的三边,如何求出该三角形的三个角 .222222222cos ;cos ;cos .222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-=== 3.由推论知:若A 为直角,则cos 0A =,从而22b c + = 2a ;若A 为锐角,则cos A >0,从而22b c + > 2a ;若A 为钝角,则cos A <0,从而22b c + < 2a .4.解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理,此时要根据题目条件选择先使用哪个定理.5.应用余弦定理推论解三角形(阅读例4).6.通过预习教材,思考诸如给出222222,a b c bc a b c =+-=++等形式,如何应用余弦定理求角. 【基础练习】1．在ABC ∆中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm): （1）a =7cm, b =10cm, c =6cm;（2）b =9.4cm, c =21.1cm, b =15.9 cm.解：（1）043.5,100.3,36.2A B C ≈≈≈；（2）024.7,44.9,110.4A B C ≈≈≈. 【典型例题】例1 在ABC ∆中, a :b :c 求A 、B 、C . 【审题要津】根据已知条件设出三边的长由余弦定理求解.解：由::1:2a b c =，可设a x =，,2b c x ==，由余弦定理得：222222cos2b c a A bc +-===30A ∴=， 同理1cos ,cos 02B C ==60,90B C ∴== 【方法总结】本题用余弦定理求出A 后，也可用正弦定理求B ，但要注意解的讨论情况.变式1: 若sin A :sin B :sin C =)1:)1求最大内角.====.设)1,a k =则)1,b k c == （k ﹥0）.31-1C 是最大内角.∴1cos 2C =-，故最大内角C =1200. 例2 在ABC ∆中,cos cos a A b B =,试确定此三角形的形状.【审题要津】根据题中给出的等式，可以利用正弦定理边化角，也可以用余弦定理角化边.解：由cos cos a A b B =以及余弦定理得：22222222b c a c c b a b bc ac+-+-⋅=由余弦定理可化角为边，从而根据边的关系判断三角形的形状.整理得22222222()()a b c a b a c b +-=+-，即22222()()0a b c a b ---=，22222a b c a b ∴==+或，222a b c a b ∴==+或当a b =时，ABC ∆为等腰三角形，当222c a b =+时，ABC ∆为直角三角形 因此，ABC ∆为等腰三角形或直角三角形【方法总结】判断三角形形状可有两种思路：一是利用边之间的关系；二是利用角的关系判定.变式2: 在ABC ∆中,已知sin 2cos sin A B C =,试判断此三角形的形状.解：由正、余弦定理化边为角，可得,b c ABC =∴∆为等腰三角形. 例3 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2sin a b A =. (3) 求B 的大小;(4) 若5a c ==,求b .【审题要津】首先利用正弦定理化边为角，可求出角B ，然后应用余弦定理求边. 解：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =⋅,所以1sin 2B =，又ABC ∆为锐角三角形，6B π∴=(2)根据余弦定理，得2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=b ∴=【方法总结】三角等式中边角都有的等式，要么应用正弦定理化成角的关系，要么应用余弦定理化成边的关系进行求解.变式3: 在 三角形ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan C =(3) 求cos C ;(4) 若52CB CA ∙=,且9a b +=,求c .（1）sin tan cos C C C =∴=又221sin cos 1,cos 8C C C +=∴=±.∵tan C ﹥0，∴C 是锐角.1cos 8C ∴=.(2)55,cos 2022CB CA ab C ab ∙=∴=∴=.又229,281a b a ab b +=∴++=.2222241.2cos 36.6a b c a b ab C c ∴+=∴=+-=∴=.1.三角形的三边长分别为4，6，8，则此三角形为 （ C ）. （A ）锐角三角形 (B)直角三角形 （C ）钝角三角形 (D)不存在2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若222.a c b +-=则角B 的值为 （ A ）.(A)6π (B) 3π (C) 6π或56π (D)3π或23π3.在钝角ABC ∆中，1,2,a b ==则最大边c 的取值范围是c ﹤3)4.在ABC ∆中，若a <b <c ，且2c <22a b +，则此三角形是 （ A ）. （A ）锐角三角形 (B )直角三角形（C ）钝角三角形 (D )不存在5. 在ABC ∆中，0260,,B b ac ==则ABC ∆的形状为. (等边三角形)6. ABC ∆的面积为周长为30，1,2A CB +=则三角形的三边长为: (10,14,6a b c ===或6,14,10a b c ===).7.已知ABC ∆中，4cos 5A =，且()2::(2)a b c -+=1：2：3，是判断三角形的形状.直角三角形（提示：令2,2,23,a k b k c k -==+=（k ﹥2））.1.钝角三角形的三边长分别是,1,2,a a a ++，其最大角不超过1200，求a 的取值范围. 解∵钝角三角形的三边长分别为,1,2,a a a ++∴有2a +﹥1a +﹥a ﹥0.设三角形的最大内角为α，则依题意得090﹤α≤1200，于是由余弦定理得()()()()()()22212313cos 21212a a a a a a a a a a a α++-+-+-===++.1322a a-∴-≤﹤0，解得32a ≤﹤3. 2. 已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,abc .（1）证明关于x 的方程()2cos 0x c B x a +-=有两个不相等的实根；（2）若上述方程的两根之和等于两根之积，证明ABC ∆为直角三角形. 解析：（1）略；（2）由题意知 cos c B a =，则222222222,,.2a c b ca cb a a bc ac+-=∴-=∴+= 所以ABC ∆为直角三角形.。