2015届高考二模数学文科试卷及答案

2015年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）2015.4参考公式：线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值。

一、选择题（每题5分，共50分）1、是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、已知向量a=（1，-2），b=（，4），若a∥b，则等于（）A、-2B、-1C、1D、23、已知集合A={|1->0}，B={|}，则=（）A、B、{|<0} C、{|>1} D、{|0<<1}4、命题：，，则为（）A、，B、，C、，D、，5、已知某路口最高限速50km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如图1的茎叶图（单位：km/h），若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A、B、C、D、6、已知直线，平面，则下列能推出的条件是（）A、B、C、D、7、将函数的图像向右平移个单位，得到的图像关于原点对称，则的最小正值为（）A、B、C、D、8、如图2所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写（）A、B、C、D、9、已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于（）A、B、C、2 D、10、定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”，已知，给出下列四个函数（）①；②；③；④其中，在上的“追逐函数”的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题（每题5分，共20分）（一）必做题11、等差数列{}中，=4，则= 。

12、若变量x，y满足约束条件，则的最小值为。

13、某几何体的三视图如图3所示，其中俯视图的一段是半径为2的四分之一圆弧，则该几何体的体积为。

（二）选做题14、（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线与曲线（t为参数）相交于A、B两点，则|AB|= 。

15、（几何证明选讲选做题）如图4，AB是○O的弦，AT切○O于点A，且∠BAT=60°，AB=6，则○O的半径为。

2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一.选择题 1. 已知复数z =1+2i 2−i（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A −1B 0C 1D i2. 集合U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，A ＝{2, 3}，B ＝{x ∈Z|x 2−6x +5<0}，则∁U (A ∪B)＝（ ）A {1, 5, 6}B {1, 4, 5, 6}C {2, 3, 4}D {1, 6}3. “a ＝1“是“直线ax +y +1＝0与直线(a +2)x −3y −2＝0垂直”的（ ）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件4. 已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn =( )A 1B 13 C 38 D 295. 将函数f(x)＝cosx −√3sinx(x ∈R)的图象向左平移a(a >0)个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a 的最小值是（ ） A π12B π6C π3D 5π66. 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30∘C ，则该双曲线的标准方程为（ ）A x 29−y 227=1 B y 29−x 227=1 C y 212−x 224=1 D y 224−x 212=17. 已知a ，b ，c 分别是△内角A ，B ，C 的对边，且(b −c)(sinB +sinC)＝(a −√3c)⋅sinA ，则角B 的大小为（ ）A 30∘B 45∘C 60∘D 120∘8. 执行如图所示的程序图，输出的S 值是（ ）A √22 B −1 C 0 D −1−√229. 若正数a ，b 满足2+log 2a ＝3+log 3b ＝log 6(a +b)，则1a +1b 的值为（ ）A 36B 72C 108D 17210. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A 8πB 16πC 32πD 64π11. 已知函数f(x)={x +2,x >ax 2+5x +2,x ≤a ，函数g(x)＝f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A [−1, 1)B [0, 2]C [−2, 2)D [−1, 2) 12. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|＝|F 1F 2|，且2|PF 1|＝3|QF 1|，则椭圆的离心率为（ ） A 35 B 45 C 34 D 3√25二.填空题13. 设等比数列{a n }的前n 项和为S ，若27a 3−a 4=0，则S4S 5=________．14. 如图，y ＝f(x)是可导函数，直线l:y ＝kx +2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．15. 已知实数x ，y 满足{2x +y ≥0x −y ≥00≤x ≤a ，设b ＝x −2y ，若b 的最小值为−2，则b 的最大值为________．16. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________． ①|BM|是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④一定存在某个位置，使MB // 平面A 1DE ．三.解答题17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a 1+log 2a 2+...+log 2a n ，求使(n −8)b n ≥nk 对任意n ∈N ∗恒成立的实数k 的取值范围． 18.最近高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z =2y ．(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率．19. 如图，已知三棱柱ABC −ABC 侧棱柱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90∘，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．（1）证明：MN // 平面AA′C′C ；（2）设AB ＝λAA′，当λ为何值时，CN ⊥平面A′MN ，试证明你的结论． 20. 设椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆C 左右焦点，B 为短轴端点，且S △BF 1F 2=4，离心率为√22，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ，且满足|OM →+ON →|＝|OM →−ON →|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由 21. 已知函数f(x)=ax −1+lnx ，其中a 为常数．(1)当a ∈(−∞, −1e )时，若f(x)在区间(0, e)上的最大值为−4，求a 的值；(2)当a =−1e 时，若函数g(x)=|f(x)|−lnx x−b2存在零点，求实数b 的取值范围．四.选做题：选修4-1：集合证明选讲22. 如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB ＝BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． (Ⅰ)求证：AC ⋅BC ＝AD ⋅AE ； (Ⅱ)若AF ＝2，CF ＝2√2，求AE 的长．选做题：4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =√3cosα+sinαy =2√3sinαcosα−2sin 2α+2（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22t （t 为参数）． (Ⅰ)求曲线M 和N 的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．不等式选讲24. 已知函数f(x)＝|3x +2|． (Ⅰ)解不等式f(x)<4−|x −1|；(Ⅱ)已知m >0，n >0，m +n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0不等式|x −a|−f(x)≤1m+1n(a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）答案1. C2. A3. B4. C5. B6. B7. A8. D9. C10.11. D12. A13. 2657271945314. 015. 1016. ①②④17. 解：(1)由S n=2a n−2，当n=1时，求得：a1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1，所以：a na n−1=2（常数），所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：a n=2⋅2n−1=2n．(2)已知：b n=log2a1+log2a2+...+log2a n，=1+2+3+...+n=n(n+1)2，由于(n−8)b n≥nk对任意n∈N∗恒成立，所以(n−8)(n+1)2≥k对任意的n∈N∗恒成立．设c n=(n−8)(n+1)2=(n−72)2−8142，又n∈N∗，故当n=3或4时，c n取最小值为−10．所以：k≤−10．18. 解：(1)由题意x500=0.3，解得x=150，所以y+z=60；又因为z=2y，所以y=20，z=40，则应抽取的教师人数为50500×20=2，应抽取的学生人数为50500×40=4；(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a、b，4名学生记为1，2，3，4，随机选出三人的不同选法有(a、b、1)，(a、b、2)，(a、b、3)，(a、b、4)，(a、1、2)，(a、1、3)，(a、1、4)，(a、2、3)，(a、2、4)，(a、3、4)，(b、1、2)，(b、1、3)，(b、1、4)，(b、2、3)，(b、2、4)，(b、3、4)，(1、2、3)，(1、2、4)，(1、3、4)，(2、3、4)共20种，至少有一名教师的选法有(a、b、1)，(a、b、2)，(a、b、3)，(a、b、4)，(a、1、2)，(a、1、3)，(a、1、4)，(a、2、3)，(a、2、4)，(a、3、4)，(b 、1、2)，(b 、1、3)，(b 、1、4)，(b 、2、3)，(b 、2、4)，(b 、3、4)共16种， 所以至少有一名教师被选出的概率为P =1620=45．19. 证明：设A′B′的中点为E ，连接EM ，EN ， ∵ 点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点， ∴ NE // A′C′，ME // AA′，又∵ A′C′⊂平面ACC′A′，AA′⊂平面ACC′A′， ∴ NE // 平面ACC′A′，ME // 平面ACC′A′， ∵ NE ∩ME ＝E ，∴ 面EMN // 面ACC′A′， ∵ MN ⊂面EMN ， ∴ MN // 面ACC′A′；连接BN ，设AA′＝a ，AB ＝λAA′＝λa ，由题意知，BC =√2λa ，BN ＝CN =√C ′C 2+C ′N 2=√a 2+12λ2a 2，∵ 三棱柱ABC −A′B′C′侧棱垂直于底面， ∴ 面A′B′C′⊥面BB′C′C ，∵ AB ＝AC ，∠BAC ＝90∘点N 为B′C′的中点， ∴ A′N ⊥平面BB′C′C ，∴ CN ⊥A′N ，要使CN ⊥平面A′MN ，只需CN ⊥BN 即可，∴ CN 2+BN 2＝BC 2，即2(a 2+12λ2a 2)=2λ2a 2，∴ λ=√2， 则λ=√2时，CN ⊥平面A′MN ．20. （1）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意可得，S △BF 1F 2=12⋅2c ⋅b ＝4，e =ca =√22，且a 2＝b 2+c 2；联立解得，{a 2=8b 2=4；故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）假设存在圆心在原点的圆x 2+y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ， ∵ |OM →+ON →|＝|OM →−ON →|， ∴ OM →⋅ON →=0；设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y ＝kx +m ， 解方程组{y =kx +m x 28+y 24=1得，(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8＝0，则△＝(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−8)＝8(8k 2−m 2+4)>0； 即8k 2−m 2+4>0； ∴ x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2；y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2；要使OM →⋅ON →=0， 故x 1x 2+y 1y 2＝0； 即2m 2−81+2k 2+m 2−8k 21+2k 2=0；所以3m 2−8k 2−8＝0，所以3m 2−8≥0且8k 2−m 2+4>0； 解得m ≥2√63或m ≤−2√63； 因为直线y ＝kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为r =√1+k 2，r 2=m 21+k 2=83(1+k 2)1+k 2=83；故r =2√63； 即所求圆的方程为x 2+y 2=83； 此时圆的切线y ＝kx +m 都满足m ≥2√63或m ≤−2√63； 而当切线的斜率不存在时切线为x ＝±2√63与椭圆x 28+y 24=1的两个交点为(2√63, ±2√63)，(−2√63, ±2√63)； 满足OM →⋅ON →=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=83满足条件．21. 解：(1)由题意令f′(x)=a +1x=0，解得x =−1a．∵ a ∈(−∞, −1e )，∴ 0<−1a <e ， 令f ′(x)>0，解得0<x <−1a ；令f ′(x)<0，解得−1a <x <e ，∴ 函数在(0, −1a )上单调递增，在(−1a , e)上单调递减， ∴ x =−1a 时，函数取得最大值，∴ −1−1+ln(−1a)=−4，∴ a =−e 2． (2)由题意，|f(x)|=lnx x+b2有实数根．当a =−1e时，f(x)=−x e−1+lnx ，f′(x)=−x−e ex，0<x <e 时，f′(x)>0，x >e 时，f′(x)<0， ∴ f(x)的单调增区间为(0, e)，减区间为(e, +∞)， ∴ f(x)max =f(e)=−1， ∴ |f(x)|≥1， 令ℎ(x)=lnx x+b 2，则ℎ′(x)=1−lnx x 2，0<x <e 时，ℎ′(x)>0，x >e 时，ℎ′(x)<0， ∴ ℎ(x)的单调增区间为(0, e)，减区间为(e, +∞)， ∴ ℎ(x)max =ℎ(e)=1e +b2， ∵ |f(x)|=lnx x+b2有实数根．∴ ℎ(x)max =ℎ(e)=1e+b 2≥1， ∴ b ≥2−2e ．22. 证明：(I)如图所示，连接BE ． ∵ AE 是⊙O 的直径，∴ ∠ABE ＝90∘．又∠E 与∠ACB 都是AB̂所对的圆周角， ∴ ∠E ＝∠ACB ．∵ AD ⊥BC ，∠ADC ＝90∘． ∴ △ABE ∽△ADC ， ∴ AB:AD ＝AE:AC ，∴ AB ⋅AC ＝AD ⋅AE ． 又AB ＝BC ，∴ BC ⋅AC ＝AD ⋅AE ． (II)∵ CF 是⊙O 的切线， ∴ CF 2＝AF ⋅BF ，∵ AF ＝2，CF ＝2√2，∴ (2√2)2＝2BF ，解得BF ＝4． ∴ AB ＝BF −AF ＝2．∵ ∠ACF ＝∠FBC ，∠CFB ＝∠AFC ， ∴ △AFC ∽△CFB ， ∴ AF:FC ＝AC:BC ， ∴ AC =AF⋅BC CF=√2．∴ cos∠ACD =√24， ∴ sin∠ACD =√144=sin∠AEB ，∴ AE =ABsin∠AEB=4√14723. （1）由x =√3cosα+sinα，得x 2＝2cos 2α+2√3sinαcosα+1， 所以曲线M 可化为y ＝x 2−1，x ∈[−2, 2]，由ρsin(θ+π4)=√22t ， 得√22ρsinθ+√22ρcosθ=√22t ， 所以ρsinθ+ρcosθ＝t ， 所以N 可化为x +y ＝t ，（2）若曲线N 与曲线M 有公共点，则当直线N 过点(2, 3)时，满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立{x +y =t y =x 2−1 得x 2+x −1−t ＝0， △＝1+4(1+t)＝0，解得t =−54，综上可得t 的取值范围−54≤t ≤5．24. （1）不等式f(x)<4−|x −1|，即|3x +2|+|x −1|<4，∴ {x <−23−3x −2−x +1<4 ①，或{−23≤x <13x +2+1−x <4 ②，或 {x ≥13x +2+x −1<4 ③．解①求得−54<x <−23，解②求得−23≤x <12，解③求得x ∈⌀． 综上可得，不等式的解集为(−54, 12)．（2）已知m+n＝1(m, n>0)，∴ 1m +1n=(m+n)(1m+1n)＝2+nm+mn≥2+2＝4，当且仅当m＝n=12时，取等号．再根据|x−a|−f(x)≤1m +1n(a>0)恒成立，可得|x−a|−f(x)≤4，即|x−a|−|3x+2|≤4．设g(x)＝|x−a|−|3x+2|={2x+2+a,x<−23−4x−2+a,−23≤x≤a−2x−2−a,x>a ，故函数g(x)的最大值为g(−23)=23+a，再由23+a≤4，求得0<a≤103．。

2015年山东省聊城市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合A={x｜x2﹣2x﹣3＜0}，B=｛x｜y=lnx}，则A∩B=（）A．（0,3）B．（0，2) C．（0，1） D．（1，2）3．下列函数中，满足f（xy）=f（x）f(y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2x D．f（x）=2x4．已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α,m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β,α∩β=m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α，其中正确命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．05．函数的图象的大致形状是(）A．B．C．D．6．利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间［150，250］内的户数为(）A．46 B．48 C．50 D．527．已知函数则=（）A．B．1 C．D．﹣18．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a)2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（)A．B．﹣1 C．1或﹣1 D．19．a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去a2，得到的数列a1，a3，a4是等比数列，则的值为（）A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．410．已知M是△ABC内一点，且，若△MBC，△MCA,△MAB 的面积分别为，则xy的最大值是(）A．B．C．D．二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分,共25分.)11．△ABC中，已知,则cosC=．12．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为．13．执行如图所示的程序框图,若输入的T=1，a=2，则输出的T的值为．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．15．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ），(M＞0,ω＞0，）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5,那么f（﹣1)=．三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 16．一个小商店从某食品有限公司购进10袋白糖,称池内各袋白糖的重量（单位：g），如茎叶图所示,其中有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知这些白糖重量的平均数为497g，求污损处的数据a；（Ⅱ）现从重量不低于498g的所购各袋白糖中随机抽取2袋，求重量是508g的那袋被抽中的概率．17．设△ABC的内角A,B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，a=bcosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使PC=2，过点P作PM⊥CA于M,PN⊥CD 于N，设线段PM，PN的长分别为m，n，∠PCM=x，且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，，Q是AD的中点．（Ⅰ）求证：平面PQ⊥底面ABCD；(Ⅱ)求三棱锥C﹣PBD的体积．19．在公比为2的等比数列{a n}中,a2+1是a1与a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n｝的通项公式；（Ⅱ）记数列｛a n}前n项的和为S n，若数列{b n}满足b n=a n log2（S n+2），试求数列｛b n}前n项的和T n．20．已知函数f（x）=alnx+．．（Ⅰ）当a=2时，求f(x）的单调区间；(Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性,求a的取值范围．21．已知椭圆E的中心在坐标原点O，它的长轴长，短轴长分别为，右焦点F（c,0），直线l：cx﹣a2=0与x轴相交于点,过点A的直线m与椭圆E交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ)若,求直线m的方程；（Ⅲ）过点P且平行于直线l的直线与椭圆E相交于另一点M,求证：Q，F，M三点共线．2015年山东省聊城市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求得z的坐标得答案．【解答】解：由=，∴z在复平面内对应的点的坐标为(），在第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题．2．设集合A=｛x|x2﹣2x﹣3＜0},B={x|y=lnx｝,则A∩B=（）A．(0，3）B．（0，2） C．（0,1) D．（1，2）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1)＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3),由B中y=lnx，得到x＞0，即B=（0，+∞）,则A∩B=（0，3），故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．下列函数中,满足f（xy）=f（x)f（y）的单调递增函数是(）A．f（x）=x3B．f（x)=﹣x﹣1C．f（x）=log2x D．f（x）=2x【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据抽象函数的关系式分别进行判断即可．【解答】解：A．f(x）f(y)=x3y3=（xy）3=f（xy）,且函数f（x）为增函数,满足条件．B．f（x）f(y）=﹣x﹣1（﹣y﹣1)=（xy）﹣1，f（xy）=﹣(xy）﹣1,则f（xy）=f(x）f（y）不成立．C．f（xy）=log2xy=log2x+log2y=f（x）+f（y)，则f（xy)=f（x)f（y)不成立．D．f（xy）═2xy，f（x）f（y）=2x+2y，f(xy)=f（x）f(y）不成立．故选：A【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件进行验证是解决本题的关键．比较基础．4．已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α,β，有如下命题:①若l⊂α，m⊂α,l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m;③若α⊥β，l⊥β，则l∥α，其中正确命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答．【解答】解：对于①，若l⊂α，m⊂α,l∥β,m∥β，则α与β可能相交；故①错误；对于②,若l⊂α，l∥β，α∩β=m，满足线面平行的性质定理，故l∥m；故②正确；对于③，若α⊥β,l⊥β，如果l⊂α，则l⊥α；故③错误;故选C．【点评】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答．5．函数的图象的大致形状是（)A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解:∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时,其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．6．利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间［150,250]内的户数为（）A．46 B．48 C．50 D．52【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据频率分布直方图,利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．【解答】解：这些用户中，用电量落在区间［150，250]内的频率为1﹣（0.0024+0。

河南省开封市2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}，则N∩（?UM）=( ) A．{1，4，5} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 3．若向量=（1，2），=（﹣3，4），则（?）?（+）等于( ) A．20 B．（﹣10，30）C．54 D．（﹣8，24） 4．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( ) A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0 5．某几何体的三视图如图所示，侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形，则此几何体的外接球的表面积为( ) A．3πB．4πC．2πD． 6．若，，，则cos（α+β）的值等于( ) A．B．C．D． 7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2． 则肯定进入夏季的地区有( ) A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个 8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．若函数，则f（x）的最大值是( ) A．1 B．2 C．D． 10．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB与AC所成的角为90°． ②直线SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； ④点C到平面SAB的距离是a． 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( ) A．，3 B．C．，2 D． 12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf ′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）?f（30.3），b=（logπ3）?f（log π3），c=（log3）?f（log3），则 a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设实数x、y 满足，则z=2x+3y﹣1的最大值是__________． 14．若函数f（x）=1oga（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞），则实数a的取值范围是__________． 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=__________． 16．已知，是单位向量，?=0，若向量与向量、共面，且满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．等差数列{an}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求：． 18．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下： x 1 2 3 4 5 频率 a 0.3 0.35 b c （1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值． （2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率． 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC． （Ⅰ）求证：AC⊥BB1； （Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比．撸啊． 20．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中a∈R）． （Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式． 21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°． （1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程； （2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值． 【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点，连接OD交圆O于点M． （1）求证：O、B、D、E四点共圆； （2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）． （1）求直线I被曲线C所截得的弦长； （2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值． 【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x﹣1| （Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：． 河南省开封市2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}，则N∩（?UM）=( ) A．{1，4，5} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5} 考点：交、并、补集的混合运算． 专题：集合． 分析：根据集合的基本运算求解即可． 解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}， ∴N∩（?UM）={1，4，5}∩{1，5，6}={1，5}， 故选：B 点评：本题主要考查集合关系的应用，比较基础． 2．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是 “z为纯虚数”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 考点：复数的基本概念． 专题：计算题． 分析：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1． 解答：解：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数． 当复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i是一个纯虚数时，a2﹣1=0 且a﹣2≠0，a=±1，故不能推出a=1． 故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A． 点评：本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题． 3．若向量=（1，2），=（﹣3，4），则（?）?（+）等于( ) A．20 B．（﹣10，30）C．54 D．（﹣8，24） 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题． 分析：根据所给的条件，首先要写出两个向量的数量积和两个向量的和的坐标，再进行数乘运算，本题是一个实数和一个向量的积的运算． 解答：解：∵， ， ∴． 故选B． 点评：本题考查向量的数量积，考查向量的和的运算，考查向量的数乘运算，是一个基础题，没有易错点，是一个送分题目． 4．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( ) A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0 考点：直线与圆相交的性质． 专题：计算题；直线与圆． 分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程． 解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25， ∴圆心坐标C为（3，4）， ∵M（1，2）， ∴kCM==1， ∴kAB=﹣1， 则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0． 故选：D． 点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键． 5．某几何体的三视图如图所示，侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形，则此几何体的外接球的表面积为( ) A．3πB．4πC．2πD． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直，其外接球的直径2R=，即可得出． 解答：解：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直， 其外接球的直径2R=， ∴外接球的表面积S==3π． 故选：A． 点评：本题考查了三棱柱的三视图及其外接球的表面积，属于基础题． 6．若，，，则cos（α+β）的值等于( ) A．B．C．D． 考点：两角和与差的余弦函数． 分析：先根据α、β的范围确定、的范围，再由所给的三角函数值确定α+β的大小，进而可得答案． 解答：解：由， 则，， 又，， 所以， 解得，所以cos（α+β）=， 故选B． 点评：本题主要考查求三角函数值的问题，这里一定要注意角的取值范围． 7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2． 则肯定进入夏季的地区有( ) A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案． 解答：解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22， 根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26． 其连续5天的日平均温度均不低于22． ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定． ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22． 则肯定进入夏季的地区有甲、丙三地． 故选：C． 点评：本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特值即可． 8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点：选择结构． 专题：图表型；分类讨论． 分析：由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案． 解答：解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件； 当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件； 当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件， 故这样的x值有3个． 故选C． 点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案． 9．若函数，则f（x）的最大值是( ) A．1 B．2 C．D． 考点：同角三角函数基本关系的运用． 分析：先对函数f（x）=（1+tanx）cosx进行化简，再根据x的范围求最大值． 解答：解：f（x）=（1+tanx）cosx=cosx+sinx=2sin（x+） ∵0≤x，∴≤x+ ∴f（x）∈[1，2] 故选B． 点评：本题主要考查三角函数求最值问题．一般都是先将函数式进行化简再求值，这里一定要注意角的取值范围． 10．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB与AC所成的角为90°． ②直线SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； ④点C到平面SAB的距离是a． 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 解答：解：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确； 再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确； 取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确， 故选：D． 点评：本题主要考查异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 11．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( ) A．，3 B．C．，2 D． 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程． 解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：， 双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：， ∵C1与C2的离心率之积为， ∴=， ∴（）2=，， 则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B． 点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查． 12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf ′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）?f（30.3），b=（logπ3）?f（log π3），c=（log3）?f（log3），则 a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 考点：函数单调性的性质；导数的运算；不等式比较大小． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，所以xf（x）为减函数，由此能判断a，b，c的大小关系． 解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，即：（xf（x））′＜0， ∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数． 又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称， ∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称， ∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数 ∴xf（x）是定义在R上的偶函数 ∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数． 又∵30.3＞1＞log23＞0＞=﹣2， 2=﹣， ∴（﹣）f（﹣）＞30.3?f（30.3）＞（logπ3）?f（logπ3），即（）f（）＞30.3?f （30.3）＞（logπ3）?f（logπ3） 即：c＞a＞b 故选B． 点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运用． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设实数x、y 满足，则z=2x+3y﹣1的最大值是9． 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由z=2x+3y﹣1，得y=+， 平移直线y=+，由图象可知当直线y=+， 经过点B时，直线y=+截距最大，此时z最大． 由，解得， 即B（2，2）． 此时z的最大值为z=2×2+3×2﹣1=9， 故答案为：9． 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 14．若函数f（x）=1oga（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞），则实数a的取值范围是a＞，a≠1． 考点：对数函数的图像与性质． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：函数f（x）=1oga（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞）可化为x+﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立；从而得到2＞1；从而解得． 解答：解：由题意，x+﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立， 而x+≥2； （当且仅当x=，即x=时，等号成立） 故2＞1； 故a＞，a≠1； 故答案为：a＞，a≠1． 点评：本题考查了基本不等式的应用及恒成立问题，属于基础题． 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=． 考点：余弦定理；正弦定理． 专题：计算题；解三角形． 分析：由已知可求得cosA，sinB，sinC，由正弦定理得=，又因为c﹣a=5﹣，从而可求得a，即可由正弦定理求b=的值． 解答：解：因为C=π，sinA=， 所以cosA==， 由三角形内角和得B=， 所以sinB=sin（）=sincosA﹣cossinA==， 已知C=，所以sinC=， 由正弦定理得=， 又因为c﹣a=5﹣， 所以c=5，a=， 由sinB=， 所以b===， 故答案为：． 点评：本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查． 16．已知，是单位向量，?=0，若向量与向量、共面，且满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是[﹣1，+1]． 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：由，是单位向量，?=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|﹣+|=1，可得（x﹣1）2+（y+1）2=1．其圆心C（1，﹣1），半径r=1．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出． 解答：解：由，是单位向量，?=0， 可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）， ∵向量满足|﹣+|=1， ∴|（x﹣1，y+1）|=1， ∴=1，即（x﹣1）2+（y+1）2=1． 其圆心C（1，﹣1），半径r=1． ∴|OC|=． ∴﹣1≤||=≤+1． ∴||的取值范围是[﹣1，+1]． 故答案为：[﹣1，+1]． 点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．等差数列{an}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求：． 考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（I）a1、a4、a13成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（3+3d）2=3（3+12d），解出即可． （II）由（I）可得：Sn==n（n+2），．利用“裂项求和”即可得出． 解答：解：（I）∵a1、a4、a13成等比数列． ∴， ∴（3+3d）2=3（3+12d）， 化为d2﹣2d=0，d≠0， 解得d=2． ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． （II）由（I）可得：Sn==n（n+2）， ∴． ∴=++…+=．=﹣． 点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题． 18．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下： x 1 2 3 4 5 频率 a 0.3 0.35 b c （1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值． （2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1，b==0.1，c==0.2，由此能求出结果． （2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件，所有可能的结果共15个，利用列举法能写出所有可能结果，设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同”A包含的基本事件7个，由此能求出结果． 解答：解：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1， 即a+b+c=0.35， ∵抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件， ∴b==0.1， 等级编号为5的恰有4件，∴c==0.2， ∴a=0.35﹣b﹣c=0.05． 故a=0.05，b=0.10，c=0.20． （2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件， 所有可能的结果为： {x1，x2}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x1，y4}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}， {x2，y4}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共15个． 设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同” 则A包含的基本事件为： {x1，x2}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共7个， 故所求概率为：p=． 点评：本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用． 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC． （Ⅰ）求证：AC⊥BB1； （Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比．撸啊． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）由已知得平面ABB1A1⊥平面ABC，从而AB⊥AC，进而AC⊥平面ABB1A1，由此能证明AC⊥BB1． （Ⅱ）设平面PAB与棱A1C1交于Q，连结AQ，PQ，将棱台C1PQ﹣ABC还原为棱锥S﹣ABC，由此能求出平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比． 解答：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∵A1B⊥平面ABC，A1B?平面ABB1， ∴平面ABB1A1⊥平面ABC， ∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，AB⊥AC， ∴AC⊥平面ABB1A1， ∴AC⊥BB1． （Ⅱ）解：设平面PAB与棱A1C1交于Q， ∵P为棱B1C1的中点，∴Q为棱A1C1的中点， 连结AQ，PQ， 设三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为S，高为h，体积为V， 则Sh=V， 如图，将棱台C1PQ﹣ABC还原为棱锥S﹣ABC， 解得=V，=V﹣=， ∴平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比为：=． 点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查两个几何体的体积之比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中a∈R）． （Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式． 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）求导f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，从而可得a=0； （Ⅱ）当a=0时，不等式可化为（x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1），即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0，令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1，从而由导数解不等式． 解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex． ∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex， ∵x=0为f（x）的极值点， ∴f′（0）=a?e0=0， ∴a=0； 经检验成立； （Ⅱ）当a=0时，不等式可化为 （x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1）， 即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0， 令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1， h′（x）=ex﹣1； 当x＞0时，h′（x）=ex﹣1＞0，当x＜0时，h′（x）=ex﹣1＜0； 故h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）=0； 故g（x）在R上单调递增，且g（0）=0； 故ex﹣（x2+x+1）＞0，x＞0； ex﹣（x2+x+1）＜0，x＜0； 所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}． 点评：本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题． 21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°． （1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程； （2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）设，则A处的切线方程为，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用两点间的距离概率及点A满足抛物线的方程即可得出． （2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为，与切线l1的方程联立即可得到点P 的坐标，同理求出点M，N的坐标．进而得到三角形PMN的面积（h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x1的值． 解答：解：（1）设，则A处的切线方程为， 可得：， ∴； ∴△AFQ为等腰三角形． 由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点， ∴|AF|=4，得： ∴p=2，C：x2=4y． （2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为 联立得到点P，联立得到点M． 同理， 设h为点P到MN的距离，则==① 设AB的方程为y=kx+b，则b＞0， 由得到x2﹣4kx﹣4b=0， 得代入①得：S△==， 要使面积最小，则应k=0，得到② 令，得=，则=， 所以当时，S（t）单调递减；当时，S（t）单调递增， 所以当时，S取到最小值为，此时，k=0， 所以，解得． 故△PMN面积取得最小值时的x1值为． 点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键． 【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点，连接OD交圆O于点M． （1）求证：O、B、D、E四点共圆； （2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB． 考点：与圆有关的比例线段． 专题：证明题；直线与圆． 分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆； （2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM?DH，再将DH分解为DO+OH，并利用 OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM?AC+DM?AB成立． 解答：解：（1）连接BE、OE，则 ∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC， 又∵D是BC的中点， ∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD． 又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB． 可得∠OED=∠OBD=90°， 因此，O、B、D、E四点共圆； （2）延长DO交圆O于点H， ∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线． 可得DE2=DM?DH=DM?（DO+OH）=DM?DO+DM?OH． ∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=， ∴，化简得2DE2=DM?AC+DM?AB． 点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）． （1）求直线I被曲线C所截得的弦长； （2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长． （2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值． 解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t， 可得，3x+4y+1=0； 由于ρ=cos（θ+）=（）， 即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=， 圆心到直线的距离d==， 故弦长为2=2=； （2）可设圆的参数方程为：（θ为参数）， 则设M（，）， 则x+y==sin（）， 由于θ∈R，则x+y的最大值为1． 点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x﹣1| （Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：． 考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用；推理和证明． 分析：（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，利用分段函数分段解不等式f （2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集． （Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，?f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，要证该不等式成立，只需证明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可． 解答：（Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=， 当x＜﹣3时，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣； 当﹣3时，由﹣x+4≥8，解得x∈?； 当x≥时，由3x+2≥8，解得x≥2…4分 所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣或x≥2}…5分； （Ⅱ）证明：等价于f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|， 因为|a|＜1，|b|＜1， 所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， 所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立…10分． 点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．。

2015年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，5}，（∁U A）∪B＝（）A．{3，5}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4}D．{2，3，4，5} 2．（5分）设复数z＝1+ai（a是正实数），且，则z（1+i）等于（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．1+3i D．﹣3+i3．（5分）若x，y∈R，则x＞y的一个充分不必要条件是（）A．|x|＞|y|B．x2＞y2C．D．x3＞y34．（5分）函数的图象的一条对称轴方程为（）A．B．﹣C．D．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18B．20C．21D．406．（5分）函数f（x）＝+a仅一个零点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的所有棱中，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．B．C．D．48．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最大值是（）A．10B．11C．13D．149．（5分）函数y＝a x（a＞0，a≠1）与y＝x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A．b a＞0B．a+b＞0C．a b＞1D．log a2＞b 10．（5分）以双曲线C：＝1（a＞0）的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（）A．πB．3πC．6πD．9π11．（5分）A、B是半径为2的圆O上的两点，M是弦AB上的动点，若△AOB为直角三角形，则•的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．0D．212．（5分）已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）的图象关于原点对称，函数g（x）的图象关于y轴对称B．在同一坐标系中，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方C．函数g（x）的值域是[1，+∞）D．g（2x）＝2f（x）g（x）在（﹣∞，+∞）恒成立二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）数组1，2，3，4，a的平均数是2，则它的方差是．14．（5分）已知，则sin2α的值等于．15．（5分）球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切，则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为．16．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．三、解答题（本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）市积极倡导学生课外读优秀书籍活动，从参加此活动同学中，抽取60名同学在2015年3月读书活动月的课外读书时间（分钟，均成整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六组后，得到频率分布直方图（如图），回答下列问题．（Ⅰ）从频率分布直方图中，估计本次课外课优秀书籍活动时间的中位数；（Ⅱ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人课外读书时间之差的绝对值大于10（分钟）的概率．19．（12分）如图M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点．（1）证明：AC1⊥CD1；（2）求A1到平面AC1M的距离．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为，F1和F2，上顶点为B，BF2，延长线交椭圆于点A，△ABF的周长为8，且＝0．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l⊥AB且与椭圆C相交于两点P，Q，求|PQ|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+b﹣lnx表示的曲线在点（2，f（2））处的切线方程x﹣2y ﹣2ln2＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）≥kx﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝2，PB＝1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证：AB•PC＝P A•AC；（Ⅱ）求AD•AE的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．选修4-5：不等式选讲24．设不等式|x﹣1|≤2与关于x的不等式x2﹣ax﹣b≤0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．2015年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，5}，（∁U A）∪B＝（）A．{3，5}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4}D．{2，3，4，5}【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝{3，4，5}，又由B＝{2，3，5}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4，5}；故选：D．2．（5分）设复数z＝1+ai（a是正实数），且，则z（1+i）等于（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．1+3i D．﹣3+i【解答】解：∵复数z＝1+ai（a是正实数），且，∴，解得a＝2．则z（1+i）＝（1+2i）（1+i）＝﹣1+3i．故选：A．3．（5分）若x，y∈R，则x＞y的一个充分不必要条件是（）A．|x|＞|y|B．x2＞y2C．D．x3＞y3【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2，推不出x＞y，而x3＞y3⇔x＞y，只有⇒x＞y，反之不成立．因此x＞y的一个充分不必要条件是，故选：C．4．（5分）函数的图象的一条对称轴方程为（）A．B．﹣C．D．【解答】解：对于函数，令x﹣＝kπ+，k∈z，求得x＝kπ+，k∈z，即函数的图象的对称轴方程为x＝kπ+，k∈z，当k＝0时，对称轴方程为x＝，故选：D．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18B．20C．21D．40【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S＝21+22+1+2＝2+4+1+2＝9＜15，S＝21+22+23+1+2+3＝2+4+8+1+2+3＝20≥15．∴输出S＝20．故选：B．6．（5分）函数f（x）＝+a仅一个零点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝+a，则f′（x）＝x2﹣x，令x2﹣x＝0，可得x＝1或x＝0，x∈（﹣∞，0），函数f（x）＝+a是增函数，x∈（0，1）时函数是减函数，x∈（1，+∞）是增函数．f（0）是极大值，f（1）是极小值，函数f（x）＝+a仅一个零点，则f（0）＜0或f（1）＞0，可得a＜0，或即a＞．故选：C．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的所有棱中，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图：AB＝AD＝2，BC＝1，AB ⊥BC，AB⊥AD，AC＝，V＝××2×x＝3⇒x＝3．P A＝x＝3，AC＞AD＝AB，∴PC最长，PC＝＝．故选：A．8．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最大值是（）A．10B．11C．13D．14【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣，平移直线y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点B时，直线y＝﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即B（1，5），此时z的最大值为z＝1+2×5＝1+10＝11，故选：B．9．（5分）函数y＝a x（a＞0，a≠1）与y＝x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A．b a＞0B．a+b＞0C．a b＞1D．log a2＞b【解答】解：由图象可知，a＞1，b＜0；故log a2＞0，故log a2＞b；故选：D．10．（5分）以双曲线C：＝1（a＞0）的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（）A．πB．3πC．6πD．9π【解答】解：由题意双曲线C：＝1，知圆的半径等于右焦点（c，0）到其中一条渐近线y＝x的距离，根据点到直线的距离公式得：R＝＝．解得a2＝3，圆的面积为：（）2π＝3π故选：B．11．（5分）A、B是半径为2的圆O上的两点，M是弦AB上的动点，若△AOB为直角三角形，则•的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．0D．2【解答】解：如图，根据条件知OA⊥OB，∠OAB＝45°；∴＝＝﹣；∴||＝时，取最小值﹣．故选：B．12．（5分）已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）的图象关于原点对称，函数g（x）的图象关于y轴对称B．在同一坐标系中，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方C．函数g（x）的值域是[1，+∞）D．g（2x）＝2f（x）g（x）在（﹣∞，+∞）恒成立【解答】解：对于A，∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，同理，g（x）是偶函数，图象关于y轴对称，∴A正确；对于B，∵f（x）﹣g（x）＝﹣＝﹣2﹣x＜0∴f（x）的图象在g（x）的图象下方，B正确；对于C，∵g（x）＝≥＝1，当且仅当x＝0时取“＝”，∴g（x）的值域是[1，+∞），C正确；对于D，∵g（2x）＝，2f（x）g（x）＝2••＝，∴只有当x＝0时，g（2x）＝2f（x）g（x），D错误．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）数组1，2，3，4，a的平均数是2，则它的方差是2．【解答】解：∵5个数1，2，3，4，a的平均数是2，∴＝2，∴a＝0，∴这组数据的方差是（1+0+1+4+4）＝2，故答案为：2．14．（5分）已知，则sin2α的值等于．【解答】解：∵＝，解得tanα＝2．则sin2α＝＝＝．故答案为：．15．（5分）球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切，则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为．【解答】解：球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切，设球的半径为r，则球的表面积为：4πr2，圆柱的表面积为：2πr2+2πr×2r＝6πr2．则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为：＝．故答案为：．16．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．【解答】解：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝＝﹣，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得，∴AB＝故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列，∴，即，又d≠0，解得，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（II）由（I）可得：S n＝＝．b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+＝1﹣＝．18．（12分）市积极倡导学生课外读优秀书籍活动，从参加此活动同学中，抽取60名同学在2015年3月读书活动月的课外读书时间（分钟，均成整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六组后，得到频率分布直方图（如图），回答下列问题．（Ⅰ）从频率分布直方图中，估计本次课外课优秀书籍活动时间的中位数；（Ⅱ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人课外读书时间之差的绝对值大于10（分钟）的概率．【解答】解：（I）由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15＝0.4，∴中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030×x＝0.5⇒x＝，∴数据的中位数为70+＝，（Ⅱ）第1组有60×0.1＝6人（设为1，2，3，4，5，6）第6组有60×0.05＝3人（设为A，B，C）从9人中任取2人有＝36种方法；其中抽取2人成绩之差的绝对值大于10的抽法是从第1组与第6组各抽取1人，抽法有＝18种，∴抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为．19．（12分）如图M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点．（1）证明：AC1⊥CD1；（2）求A1到平面AC1M的距离．【解答】解：（1）连结C1D，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的性质可得：CD1⊥C1D，且AD ⊥平面DCC1D1，又CD1⊂平面DCC1D1，CD1⊥AD，又DC1∩AD＝D，∴CD1⊥平面ADC1，AC1⊂平面ADC1，∴AC1⊥CD1；（2）连结A1C1，A1M，因为M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，所以AM＝C 1M＝，AC1＝2，则．又，设A1到平面AC1M的距离为d，由，可得，所以d＝．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为，F1和F2，上顶点为B，BF2，延长线交椭圆于点A，△ABF的周长为8，且＝0．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l⊥AB且与椭圆C相交于两点P，Q，求|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝8，解得a＝2，由B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），＝（﹣c，﹣b），＝（c，﹣b），且＝0，则﹣c2+b2＝0，即为b＝c，又b2+c2＝a2＝4，解得b＝c＝，则椭圆的方程为+＝1；（Ⅱ）由B（0，），F2（，0），可得直线AB的斜率为﹣1，由l⊥AB，可得直线l的斜率为1，设直线l的方程为y＝x+t，代入椭圆方程，可得3x2+4tx+2t2﹣4＝0，由判别式大于0，即16t2﹣12（2t2﹣4）＞0，解得﹣＜t＜．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝﹣t，x1x2＝，|PQ|＝•＝•＝，当t＝0时，|PQ|取得最大值，且为．则有|PQ|的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+b﹣lnx表示的曲线在点（2，f（2））处的切线方程x﹣2y ﹣2ln2＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）≥kx﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ax+b﹣lnx的导数为f′（x）＝a﹣，在点（2，f（2））处的切线方程x﹣2y﹣2ln2＝0，即有a﹣＝，解得a＝1，f（2）＝2a+b﹣ln2＝1﹣ln2，解得b＝﹣1，则有a＝1，b＝﹣1；（Ⅱ）f（x）≥kx﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，即有x﹣1﹣lnx≥kx﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，即有k﹣1≤对于x∈（0，+∞）恒成立．令g（x）＝，g′（x）＝，当x＞e2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜e2时，g′（x）＜0，g（x）递减．则x＝e2处g（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣，即有k﹣1≤﹣，解得k≤1﹣．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝2，PB＝1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证：AB•PC＝P A•AC；（Ⅱ）求AD•AE的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角∴△P AB∽△PCA，∴，∴AB•PC＝P A•AC．…（4分）（Ⅱ）解：∵P A为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PC＝4，BC＝3，又∵∠CAB＝90°，∴AC2+AB2＝BC2＝9，又由（Ⅰ）知＝，∴AC＝，AB＝，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD∴△ACE∽△ADB，∴，∴AD•AE＝AB•AC＝．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【解答】解：（I）由，展开化为ρ2＝（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2＝4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2＝8．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，∴t1+t2＝﹣2，t1t2＝﹣4＜0．|t1﹣t2|＝＝＝2．∴＝＝＝＝．选修4-5：不等式选讲24．设不等式|x﹣1|≤2与关于x的不等式x2﹣ax﹣b≤0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣1|≤2，∴﹣1≤x≤3．∴不等式|x﹣1|≤2的解集为{x|﹣1≤x≤3}；∵不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b≤0的解集相同，∴﹣1和3是方程x2﹣ax﹣b＝0的根，∴a＝﹣1+3＝2，b＝﹣（﹣1）×3＝3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+3，∴[f（x）]2＝（2+3）2≤（22+32）[（）2+（）2]＝13，当且仅当，即x＝时取等号，∴x＝时，函数的最大值为．。

河南省郑州市2015届高考数学二模试卷（文科）一.选择题1．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣1 B．0C．1D．i2．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1，6}3．（5分）“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值=（）A．1B．C．D．5．（5分）将函数f（x）=cosx﹣（x∈R）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a的最小值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30℃，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．7．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．（5分）执行如图所示的程序图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0D．﹣1﹣9．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则+的值为（）A．36 B．72 C．108 D．10．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π11．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．C．15．（5分）已知实数x，y满足，设b=x﹣2y，若b的最小值为﹣2，则b的最大值为．16．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．三.解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．18．（12分）最近2015届高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了了解我省广大师生对新2015届高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120 y 40学生x z 130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少一名教师被选出的概率．19．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣ABC侧棱柱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（1）证明：MN∥平面AA′C′C；（2）设AB=λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．20．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1+lnx，其中a为常数．（1）当a∈（﹣∞，﹣）时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为﹣4，求a的值；（2）当a=﹣时，若函数g（x）=|f（x）|﹣﹣存在零点，求实数b的取值范围．四.选做题：选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．选做题：4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．不等式选讲24．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．河南省郑州市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题1．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣1 B．0C．1D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i，∴z的虚部为1．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可得到答案．解答：解：集合B中的不等式x2﹣6x+5＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣5）＜0，解得：1＜x＜5，∴B={2，3，4}，∵A={2，3}，∴A∪B={2，3，4}，∵集合U={1，2，3，4，5，6}，∴∁∪（A∪B）={1，5，6}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3．（5分）“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：都存在斜率的两直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1，所以根据这个结论，便容易判断出a=1能得到“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”，而这两直线垂直得不到a=1，所以根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．解答：解：（1）a=1时，直线x+y+1=0的斜率为﹣1，3x﹣3y﹣2=0的斜率为1；∴这两直线垂直；（2）若直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，则：；∴解得a=1，或﹣3；∴“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直“不一定得到“a=1“；∴综上得“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的充分不必要条件．故选B．点评：考查存在斜率的两直线垂直的充要条件，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．4．（5分）已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值=（）A．1B．C．D．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，求出乙的中位数，得出甲的中位数，求出m的值；再计算甲的平均数，得出乙的平均数，从而求出n的值．解答：解：根据茎叶图中的数据知，乙的中位数是=33，∴甲的中位数也是33，故m=3；又甲的平均数是=33，∴乙的平均数也是33，即=33，解得n=8；∴=．故选：C．点评：本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．（5分）将函数f（x）=cosx﹣（x∈R）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a的最小值是（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的平移变换和函数图象关于原点对称的条件求出结果．解答：解：函数f（x）=cosx﹣==2cos（x+），函数图象向左平移a个单位得到：g（x）=2cos（x+a+）得到的函数的图象关于原点对称，则：，解得：a=（k∈Z），当k=0时，，故选：B．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的图象变换，函数图象关于原点对称的条件．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30℃，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，即有c=6，求得渐近线方程即有=，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．解答：解：抛物线x2=24y的焦点为（0，6），即有双曲线的焦点为（0，±6），设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则c=6，由渐近线方程为y=±x．则有=tan30°=，又a2+b2=c2，解得a=3，b=3，则双曲线的方程为﹣=1．故选B．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．7．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理化简已知等式可得c2+a2﹣b2=ac，由余弦定理可求cosB，结合B的范围即可得解．解答：解：∵由正弦定理，可得，sinB=，sinC=，sinA=，∴由（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA可得，（b﹣c）（b+c）=a（a﹣c），即有c2+a2﹣b2=ac，则cosB==，由于0＜B＜180°，则B=30°．故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）执行如图所示的程序图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0D．﹣1﹣考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos+cos+cos+cos+…+cos的值，由此求出结果即可．解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos=；n=2，n≥2015？，否，s=+cos=；n=3，n≥2015？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2015？，否，s=0+cosπ=﹣1；n=5，n≥2015？，否，s=﹣1+cos=﹣1﹣；n=6，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1﹣；n=7，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1；n=8，n≥2015？，否，s=﹣1+cos2π=0；n=9，n≥2015？，否，s=0+cos=；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2015=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=﹣1﹣．故选：D．点评：本题考查了程序框图的应用问题，也考查了余弦函数求值的应用问题，属于基本知识的考查．9．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则+的值为（）A．36 B．72 C．108 D．考点：对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，由此能求出+的值．解答：解：∵正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），∴设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，∴+===108．故选C．点评：本题考查代数和的值的求法，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．10．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积． 解答： 解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2， 故外接球的表面积S=4πR 2=32π，故选：C点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．（5分）已知函数f （x ）=，函数g （x ）=f （x ）﹣2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ． C ． 则，解得﹣1≤a ＜2，即实数a 的取值范围是12．（5分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|=|F 1F 2|，且2|PF 1|=3|QF 1|，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．考点： 椭圆的简单性质．专题： 计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意作图，从而设设点Q（x0，y0），从而由2|PF1|=3|QF1|可写出点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；再由椭圆的第二定义可得|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，从而可得3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），从而化简得到x0=﹣，再由|PF2|=|F1F2|及椭圆的第二定义可得3a2+5c2﹣8ac=0，从而解得．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．点评：本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．二.填空题13．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S，若27a3﹣a4=0，则=．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a4=0，得27a3﹣a3q=0，即q=27，∴==．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．14．（5分）如图，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），其中g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先从图中求出切点，再求出直线l的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的运算法则，求出g′（3）的值．解答：解：∵直线l：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线l上，∴3k+2=1，从而k=﹣，∴f′（3）=k=﹣，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（﹣）=0故答案为：0．点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，正确求导是解题的关键．15．（5分）已知实数x，y满足，设b=x﹣2y，若b的最小值为﹣2，则b的最大值为10．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得a的值，再把使目标函数取得最大值的最优解的坐标代入目标函数求得b的最大值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由b=x﹣2y，得，由图可知，A（a，a），B（a，﹣2a），则当直线过A（a，a）时在y轴上的截距最大，b有最小值为a﹣2a=﹣a=﹣2，即a=2，∴当直线过B（a，﹣2a）时在y轴上的截距最小，b有最大值为a﹣2（﹣2a）=5a=10．故答案为：10．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是①②④．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB 为半径的圆上，可得①②正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．解答：解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故④正确由∠A1DE=∠MNB，MN=12A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，故①正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故②正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确，故③不正确．故答案为：①②④．点评：掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．三.解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．解答：解：（1）由S n=2a n﹣2，当n=1时，求得：a1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，所以：（常数），所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：．…（6分）（2）已知：b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，=1+2+3+…+n=，由于（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立，所以对任意的n∈N+恒成立．设，则当n=3或4时，c n取最小值为﹣10．所以：k≤﹣10．…（12分）点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列，等比数列通项公式的求法，数列的求和，及恒成立问题的应用．18．（12分）最近2015届高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了了解我省广大师生对新2015届高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120 y 40学生x z 130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少一名教师被选出的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：（1）根据题意，求出x、y和z的值，计算出应抽取的教师与学生人数；（2）利用列举法求出基本事件数，求出对应的概率即可．解答：解：（1）由题意=0.3，解得x=150，所以y+z=60；又因为z=2y，所以y=20，z=40；则应抽取的教师人数为×20=2，应抽取的学生人数为×40=4；…（5分）（2）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a、b，4名学生记为1，2，3，4，随机选出三人的不同选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4），（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4）共20种，…（9分）至少有一名教师的选法有（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4）共16种，所以至少有一名教师被选出的概率为P==．…（12分）点评：本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．19．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣ABC侧棱柱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（1）证明：MN∥平面AA′C′C；（2）设AB=λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设A′B′的中点为E，连接EM，EN，利用三角形的中位线，得出线线平行，用面面平行判定定理即可得到面EMN∥面ACC′A′，即可得到线面平行（2）连接BN，设AA′=a，AB=λAA′=λa，即可得到BC，BN，CN，要得到CN⊥平面A′MN，只需利用线面垂直的判定定理，即可得到关于λ的方程，解之即得答案．解答：解：（1）证明：设A′B′的中点为E，连接EM，EN，∵点M，N分别为A′B和B′C′的中点，∴NE∥A′C′，ME∥AA′，又∵A′C′⊂平面ACC′A′，AA′⊂平面ACC′A′，∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′，∵NE∩ME=E，∴面EMN∥面ACC′A′，∵MN⊂面EMN，∴MN∥面ACC′A′；（2）连接BN，设AA′=a，AB=λAA′=λa，由题意知，BC=，BN=CN==，∵三棱柱ABC﹣A′B′C′侧棱垂直于底面，∴面A′B′C′⊥面BB′C′C，∵AB=AC，∠BAC=90°点N为B′C′的中点，∴A′N⊥平面BB′C′C，∴CN⊥A′N，要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，∴CN2+BN2=BC2，即，∴，则时，CN⊥平面A′MN．点评：本题考查了平行和垂直两种重要的关系，用线面垂直的定理和定义实现线线垂直和线面垂直的转化；一般来说，有中点时再取其它边得中点作辅助线，利用中位线得线线平行，由线面平行的判定定理得线面平行．20．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可得方程=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；从而联立解出椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得•=0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，联立方程组可得x1+x2=﹣，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；从而再由x1x2+y1y2=0可得3m2﹣8k2﹣8=0，从而可解得m≥或m≤﹣；从而解出所求圆的方程为x2+y2=；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），由题意可得，=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|=|﹣|，∴•=0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0；即8k2﹣m2+4＞0；∴x1+x2=﹣，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；要使•=0，故x1x2+y1y2=0；即+=0；所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；解得m≥或m≤﹣；因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2===；故r=；即所求圆的方程为x2+y2=；此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤﹣；而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为（，±），（﹣，±）；满足•=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．点评：本题考查了圆锥曲线的应用，化简很复杂，应用到了根与系数的关系以简化运算，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1+lnx，其中a为常数．（1）当a∈（﹣∞，﹣）时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为﹣4，求a的值；（2）当a=﹣时，若函数g（x）=|f（x）|﹣﹣存在零点，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）当a∈（﹣∞，﹣）时，函数在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，利用f（x）在区间（0，e）上的最大值为﹣4，即可求a的值；（2）由题意，|f（x）|=+有实数根，求出|f（x）|≥1，令h（x）=+，求出h（x）max=h（e）=+，可得h（x）max=h（e）=+≥1，即可求实数b的取值范围．解答：解：（1）f′（x）=a+=0，∴x=﹣．∵a∈（﹣∞，﹣），∴函数在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，∴x=﹣时，函数取得最大值，∴﹣1﹣1+ln（﹣）=﹣4，∴a=﹣e2．（2）由题意，|f（x）|=+有实数根．当a=﹣时，f（x）=﹣﹣1+lnx，f′（x）=﹣，0＜x＜e时，f′（x）＞0，x＞e时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞），∴f（x）max=f（e）=﹣1，∴|f（x）|≥1，令h（x）=+，则h′（x）=，0＜x＜e时，h′（x）＞0，x＞e时，h′（x）＜0，∴h（x）的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞），∴h（x）max=h（e）=+，∵|f（x）|=+有实数根．∴h（x）max=h（e）=+≥1，∴b≥2﹣．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力．正确求导是关键．四.选做题：选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．解答：证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==点评：本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．选做题：4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）平方得x2=2cos2α，代入第二个式子化简得出ρsinθ+ρcosθ=t，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，化简得出x+y=t．（2）t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立利用判别式问题求解．解答：解：（1）由x=，得x2=2cos2α，所以曲线M可化为y=x2﹣1，x∈，由ρsin（）=t，得ρsinθρcosθ=t，所以ρsinθ+ρcosθ=t，所以N可化为x+y=t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x﹣1﹣t=0，△=1+4（1+t）=0，解得t=，综上可得t的取值范围≤t≤5．点评：本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题，曲线的公共点问题，利用方程有解问题，转化为判别式求解，思路简单，属于中档题．不等式选讲24．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

文科数学试题（二）参考答案一．CBDAC BCCBA AD二. 13.23π （或写成120） 14. 15()4sin()24f x x π=+（或写成1()4sin()24f x x π=-+） 15. 1416. c a b << 三.17.解: (Ⅰ)显然{}n a 是公比为2q =的正项等比数列，设它的首项为1a由2564a a ⋅=得4112264a a ⋅⋅⋅=,即1a =∴11222n n n a --== …………………6分(Ⅱ) 21332n n n n b log a n ,=+=-+ ∴数列{}n b 的前n 项和11()3(13)22213n n n n T +--=+- 2133222n n +=-+ …………………12分 18.（Ⅰ）证明:取AC 的中点G ,连接,FG BG ,则由FG12CD 及BE 12CD 知FG BE ,即BEFG 为平行四边形,∴//EF BG 又EF面ABC ,BG 面ABC ∴//EF 面ABC …………………6分(Ⅱ)解:易证平面ABC ⊥平面BCDE取AC 的中点H ,连接AH ,则有AH BC ⊥,即AH ⊥平面BCDE依题意得,1,2,BC BE CD AH ====∴111(12)13322A BCDE BCDE V S AH -=⋅=⨯⨯+⨯⨯=…………………12分19. 解：（Ⅰ）抽取的学生星期日运动时间少于60分钟的频率为115()3015001000100+⨯=，人数为5人，所以100m = 星期日运动时间在[90,120)内的频率为1112111()3015001000600300200100-+++++⨯0.25= …………………6分 （Ⅱ）依题意知，第一组人数为2人（用,A B 表示），第二组人数为3人（用,,C D E 表示），从这两组中任意抽出2人的事件为,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ，其中至少有一人“星期日运动时间大于30分钟”的事件数为9，所求概率为910.……12分 （也可以用对立事件解决此题）20. 解：（Ⅰ）依题意得22222a b c c aa c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪+=+⎩解得 224,1a b == ∴椭圆22:14x C y += ……………5分 （Ⅱ）法1:显然直线l 的斜率存在,设直线:(l y k x =,即0kx y --=,则由 直线l 与圆221x y +=得1=,即212k =22222444(4(x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒+=⎨=⎪⎩,即2222(14)1240k x x k +-+-= 将212k =代入得2320x -+=∴122AB x =-== ∵原点O 到直线l 的距离为1d =∴1121122OAB S AB d ∆=⋅=⨯⨯= ……………12分法2:设直线:l x ty =即0x ty --=,则由直线l 与圆221x y +=相切得1=,即22t =222244(44x y ty y x ty ⎧+=⎪⇒++=⎨=+⎪⎩,即22(4)10t y ++-=∴21224(1)4(21)2424t AB y y t ++=-====++ ∴1121122OAB S AB d ∆=⋅=⨯⨯= ……………12分 21. （Ⅰ）证明：由ln 1(),(0)x f x x x +=>得22(ln 1)(ln 1)ln (),x x x x x f x x x ''+-+'==- ∴(1)0f '=,知()y f x =在1x =处的切线平行于x 轴 ……………5分（Ⅱ）解: 不等式()()f x g x ≥(1)x >,即ln 1(1)1x k x x x +≥>- (1)(ln 1)(1)x x k x x -+⇔≤> 令(1)(ln 1)()(1)x x h x x x -+=> 则22[(1)(ln 1)][(1)(ln 1)]ln ()0(1)x x x x x x x x h x x x x''-+⋅--+⋅+'==>> 知()h x 在(1,)+∞递增，于是(1)0k h ≤=，即0k ≤ ……………12分22. 选修4—1：几何证明选讲（Ⅰ）因为A C B D =,所以A B C B C D ∠=∠.又因为EC 与圆相切于点C ，故A C E AB C∠=∠,所以ACE BCD ∠=∠. ………………5分 （Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠，EBC BCD ∠=∠，所以BDCECB ∆∆，故BC CD BE BC =.即2BC BE CD =⋅.又82BE ,CD ,==所以=4BC . ………………10分选修4-4：坐标系与参数方程解: （Ⅰ）曲线1:2sin C ρθ=化为直角坐标方程为221:(1)1C x y +-=,曲线2C:x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) 化为直角坐标方程为2C0y -=∵曲线1C 的圆心(0,1)到2C0y -=的距离为12d =∴AB ===……………5分（Ⅱ）由于曲线1C 的圆心(0,1)到2C0y -=的距离为12d =,因此曲线1C 上的点到曲线2C 的最大距离13122+= ……………10分 选修4-5：不等式选讲解: 1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩（Ⅰ）不等式()2f x x >,即112x x ≤⎧⎨->⎩或12232x x x <<⎧⎨->⎩或212x x ≥⎧⎨>⎩ 解得12x <- ……………5分 （Ⅱ）存在x R ∈，使得2()1f x t t >-+,即2max ()1f x t t >-+∵max ()1f x =, ∴只要22110(0,1)t t t t t >-+⇔-<⇔∈即(0,1)t ∈ ……………10分。

2015安徽省高三第二次高考模拟考试数学（文科）参考答案（1）C 解析：{}{}2|0,0,1,A x x x x =-≤∈=N 集合B 的个数即{}1,0的子集个数，共4个..（2）D 解析：由已知得5（1-i ）=（a+i ）(1-3i)，解得a=2.（3）B 解析：由已知得双曲线的顶点为)0,1(±，渐近线方程为∴=+±,02y x 距离.55252==d（4）B 解析：A ＝12，n ＝2；A ＝－2，n ＝3；A ＝92，n ＝4；A ＝289，输出结果为4．（5）D 解析：T 4＝π6，T ＝2π3＝2πω，ω＝3，f (x )＝sin3x ＋cos3x ＝2sin(3x ＋π4)，平移后g (x )＝2sin[3(x －π6)＋π4]＝2sin(3x －π4). （6）C 解析：设f (x )＝x －sin x ，f ′(x )＝1－cos x ≥0，f (x )为增函数.当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，x ＞sin x ，而由x ＞sin x 得f (x )＞f (0)，∵f (x )为增函数，∴x ＞0，故选C ．（7）A 解析：由已知得3a －(a ＋2)＝0，a ＝1，两直线与坐标轴围成的四边形顶点为(0，0)，(4，0)，(0，3)与直角交点，则(4，0)，(0，3)是直径的两端点，故选A ．（8）A 解析：a ＝log 510＝1＋log 52＜2，b ＝log 36＝1＋log 32＜2，c ＝2ln3＞2，∴a ＜b ＜c ．（9）B 解析：由已知得f (3a －5)≤－f (4b －5)＝f (5－4b )，3a －5≥5－4b ，即3a ＋4b －10≥0，它表示在平面直角坐标系aOb 中，直线3a ＋4b －10＝0的上方，而a 2＋b 2表示点(a ，b )到原点距离的平方，其最小值为原点到直线3a ＋4b －10＝0距离的平方，即a 2＋b 2≥2224310）（+＝4.（10）C 解析：由y ＝a x 的对称性知两条切线关于原点对称，切点也关于原点对称．y ′＝－ax 2，设切点为(x 0，a x 0)，(－x 0，－a x 0)(x 0＞0)，则两条切线方程分别是l 1：y －a x 0＝－a x 20 (x －x 0)，l 2：y ＋a x 0＝－ax 20(x ＋x 0)，l 1与坐标轴的两交点为(2x 0，0)，(0，2a x 0)，则16＝4³12³2x 0³2a x 0，a ＝2，855＝4ax 01＋a 2x 4，解得x 20＝1或x 20＝4，则四个交点为(2，0)，(0，4)，(－2，0)，(0，－4)或(4，0)，(0，2)，(－4，0)，(0，－2)，∴椭圆的离心率相同均为32.（亦可通过设切线的截距式方程列方程组求解） （11）2 解析：(12)log 2x ＝2－log 2x ＝1x ，log 32x ³log 23＝x ，则f (x )＝1x＋x ≥2．（12）23 3π 解析：设内接正方形边长为a ，则3a ＝2R ，a ＝2，V 球＝43πR 3＝43π，V 正方体＝8，概率P ＝233π．（13）2 解析：由已知3a 2－23a ²b ＋b 2＝7，3a 2－23|a |cos30°－6＝0，解得|a |＝2．（14）20+ 解析：由三视图知几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱，如图所示，所以表面积为225120⨯⨯=+（15）①②⑤ 解析：对于①，∵a 1＝1，3、27、9是其中的三项，∴d ＞0且为整数，∴d ＝1或d ＝2，故①正确；对于②，当a 1＝27，d ＝－1时，可满足条件，故②正确；对于③，∵9－3＝(t 1－t 2)d ，t 1－t 2＝6d ，∴d 是6的因子，同理可知d 是18与24的因子，∴d 是6的因子，而6的因子有±1、±2、±3、±6共8个，故③不正确；对于④，由③知对于d ＝±2、±6，27与36相差不是2、6的倍数，故④不正确；对于⑤，当a 1＝1，d ＝2时，a n ＝2n －1，S n ＝n 2，S 2n ＝4n 2＝4S n ，故⑤正确．（16）解析：（Ⅰ）由已知得2cos[(A ＋C )－(B ＋C )]＝1＋4cos(A ＋C )cos(B ＋C )，即2cos(A ＋C )cos(B ＋C )＋2sin(A ＋C )sin(B ＋C )＝1＋4cos(A ＋C )cos(B ＋C )，2[cos(A ＋C )cos(B ＋C )－sin(A ＋C )sin(B ＋C )]＝－1，2cos(A＋B ＋C ＋C )＝－1，－2cos C ＝－1，cos C ＝12，C ＝.3π（6分）（Ⅱ）由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，则49＝25＋b 2－5b ，b ＝8， ∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝103．（12分）（17）解析：(Ⅰ)作出茎叶图如下：（3分）(Ⅱ)记甲被抽到的成绩为x ,乙被抽到的成绩为y ,用数对(,)x y 表示基本事件：(82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85) (82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85) (79,95) (79,75) (79,80) (79,90) (79,85)(95,95) (95,75) (95,80) (95,90) (95,85) (87,95) (87,75) (87,80) (87,90) (87,85)基本事件总数25n =记“甲的成绩比乙高”为事件A ,事件A 包含的基本事件：(82,75) (82,80) (82,75) (82,80) (79,75) (95,75) (95,80) (95,90) (95,85) (87,75) (87,80) (87,85)事件A 包含的基本事件数是12m =，所以12()25m P A n ==.（8分） (Ⅲ)选择甲比较合适．理由如下：x =甲85,x =乙85,2s =甲31.6，s 2乙＝50 ∵x =甲x 乙,s 2甲＜s 2乙∴甲的成绩较稳定，选择甲比较合适.（12分）（18）解析：（Ⅰ）定义域为x ∈(0，＋∞)．当m ＝5时，f ′(x )＝4x ＋x －5＝x 2－5x ＋4x ＝(x －1)(x －4)x ，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞4，由f ′(x )＜0得1＜x ＜4，故f (x )的单调递增区间为(0，1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(1，4)．（6分）（Ⅱ）f ′(x )＝x 2－mx ＋4x，f (x )有两个不同的极值点，即f ′(x )＝0有两个不等正根，即x 2－mx ＋4＝0有两个不等正根，即⎪⎩⎪⎨⎧>->--016022m m，解得m ＞4．（12分）（19）解析：（Ⅰ）∵AO ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥CC 1，CO ＝OC 1，AC ＝AC 1，则△ACC 1为正三角形， ∵∠ACC 1＝∠CBB 1，∴△B 1C 1C 为正三角形，B 1O ⊥CC 1，△AOB 1为等腰直角三角形， ∵AB 1＝6，∴AO ＝3，AC ＝BC ＝2，∴三棱柱的体积V ＝11111C AA B B BCC A V V --+＝12S BCC 1B 1²AO ＝12³2³3³3＝3．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知CC 1⊥平面AOB 1．分别取AB 与AB 1的中点E 、F ，连接OF 、CE 、EF ,则EF ∥＝12BB 1∥＝CO ，∴OF ∥＝CE, ∴OF ⊥CC 1，OF ⊥EF ，OF ⊥AB 1， ∴OF ⊥平面ABB 1，∴CE ⊥平面ABB 1，又CE ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABB 1A 1．（13分） （20）解析：（Ⅰ）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－3，a 1＝3． 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋(n －1)2－3(n －1)－42，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1＋12[n 2－(n －1)2－3n ＋3(n －1)]，a n －2a n －1＋n －2＝0，a n －n ＝2[a n －1－(n －1)]，∴数列{ a n －n }是等比数列．(6分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n －n ＝(a 1－1)²2n －1＝2n ，a n ＝n ＋2n ，b n ＝3n (a n －2n )＝n ²3n ，T n ＝1²31＋2²32＋3²33＋…＋n ²3n ， 3T n ＝1²32＋2²33＋3²34＋…＋n ²3n ＋1，CA 1O BAB 1C 1E F－2T n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ²3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ²3n ＋1，∴T n ＝(2n －1)²3n ＋1＋34．（13分）（21）解析：（Ⅰ）将A 点代入圆C 中得1＋(3－m )2＝5，解得m ＝1或m ＝5(舍)．（2分） F 1(0，－c )(c ＞0)，设PF 1：y －4＝k (x －4)，5＝|3－4k |1＋k 2，解得k ＝2或k ＝211，所以4＋c 4＝2或4＋c 4＝211，解得c ＝4或c ＝－3611(舍)．F 1(0，－4)，F 2(0，4)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝62，a ＝32，b ＝2， ∴椭圆E 的方程为：y 218＋x 22＝1．（6分）（Ⅱ）设Q (x ，y )， →AP＝(3，1)， →AQ ＝(x －1，y －3)， →AP² →AQ ＝3(x －1)＋y －3＝3x ＋y －6， 令t ＝3x ＋y ，代入椭圆y 2＋9x 2＝18中得18x 2－6tx ＋t 2－18＝0，△＝36t 2－72(t 2－18)＝－36t 2＋72³18≥0，－6≤t ≤6，－12≤t －6≤0，则 →AP ² →AQ ∈[－12，0]．（13分）。

— 高三数学(文科)答案第1页 — AB C D E FG2015 年 高 三 测 试 卷数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13． 214． 2- 15． 13 16． 2212xy -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠ 1()222=---=；……………………………………………6分 （Ⅱ）因为c 23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，…8分 所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………11分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分 18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中遇到空气重度污染的选择有：5日，6日，7日，11日，12日，13日，……3分 所以运动会期间未遇到空气重度污染的概率是16711313P =-=；…………………6分 （Ⅱ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，……………………………………9分所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===， 4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒ 由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC AC ⊥，— 高三数学(文科)答案第2页 —又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEFC ，所以BC AG ⊥，………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=，tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道,,CA CB CF 两两垂直，所以可以把四棱锥B AEFC -补成以,,CA CB CF 为同一顶点的一个长方体，………………………………………………8分其外接球的直径2R =所以球O的表面积是2419S ππ==．………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD ==2r ==，…………………………2分 因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；…………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)， 当直线m 垂直于x轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN的面积S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…6分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k =--，圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN = 所以：四边形的面积— 高三数学(文科)答案第3页 —1||||2S PQ MN =⋅===∈， 综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >， 记2()221g x x ax =-+…………………………………………………………………2分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………………………………………………………………………………………3分（二）当0a <时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………………………………………………………………………4分(三)当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈， 所以函数()f x在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增．……………………………………6分 （Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln f x a a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln a a a a -+>-都成立，…………………………8分即对任意的(1a ∈，不等式2ln 320a a a +-+>都成立，记2()ln 32h a a a a =+-+，则(1)0h =， 1(21)(1)'()23a a h a a a a--=+-=，…………………………………………………10分— 高三数学(文科)答案第4页 —因为(1a ∈，所以'()0h a >，当对任意(1a ∈， ()(1)0h a h >=成立。