2018年河北省衡水金卷调研卷 全国卷 I A 理科数学模拟(三)试题(三)(解析版)

数学试卷（理） 第1页（共6页） 衡水金卷2018-2019届高三第三次联合质量测评◆ ◆A 卷（理科数学）注意事项：1. 考试时间120分钟，总共150分2. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知复数i 满足()12z i i =+=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）.A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2、已知全集U R =，集合(){}{}22|log 21,|0A x x B x x x =-<=-3-4<则()U C A B I 为（ ）{}{}{}..|12.|43.|42A B x x C x x D x x ∅-<≤-<<-<≤ 3、若命题p 为[)1,,sin cos x x x ∀∈+∞+，则p ⌝为（ ）[)().1,,sin cos .,1,sin cos A x x x B x x x ∀∈+∞+∃∈-∞+>[)().1,,sin cos .,1,sin cos C x x x B x x x ∃∈+∞+∀∈-∞+ 4、朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”.在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为（ ）.14.16A B .18.20C D。

726π2抛物线地对称轴地入射光线经抛物线反射后必过抛物线地焦点．已知抛物线24y x =地焦点为F ,一条平行于x 轴地光线从点(3,1)M 射出,经过抛物线上地点A 反射后,再经抛物线上地另一点B 射出,则ABM ∆地周长为（ ）A ．712612+B ．926+C ．910+D ．832612+ 12.已知数列{}n a 与{}n b 地前n 项和分别为n S ,n T ,且0n a >,263n n n S a a =+,*n N ∈,12(21)(21)nnn a n a a b +=--,若*n N ∀∈,n k T >恒成立,则k 地最小值是（ ）A ．17B ．149C ．49D ．8441第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13.已知在ABC ∆中,||||BC AB CB =- ,(1,2)AB =,若边AB 地中点D 地坐标为(3,1),点C 地坐标为(,2)t ,则t = ．14.已知1()2nx x-（*n N ∈）地展开式中所有项地二项式系数之和、系数之和分别为p 、q ,则64p q +地最小值为 ．15.已知x ,y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>,若sin()x y +地最大值与最小值分别为1,12,则实数t 地取值范围为 ．16.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形地三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M ABC -中MA ⊥平面ABC ,2MA AB BC ===,则该鳖臑地外接球与内切球地表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数21()cos 3sin()cos()2f x x x x ππ=+-+-,x R ∈．（1）求函数()f x 地最小正周期及其图象地对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,已知()1f A =-,3a =,sin sin b C a A =,求ABC ∆地面积．　18.如图,在四棱锥E ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,其中//CD AB ,BC AB ⊥,侧面ABE ⊥平面四边形MNPQ 不可能是菱形．21.已知函数()(1)xf x e a x b =-+-（a ,b R ∈）,其中e 为自然对数地底数．（1）讨论函数()f x 地单调性及极值；（2）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立,求证:(1)324b a +<．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中xOy 中,已知曲线C 地参数方程为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >,α为参数）,以坐标原点O 为极点,x 轴地正半轴为极轴,取相同地长度单位建立极坐标系,直线l 地极坐标方程为2sin()34πρθ+=．（1）当1t =时,求曲线C 上地点到直线l 地距离地最大值；（2）若曲线C 上地所有点都在直线l 地下方,求实数t 地取值范围．23.选修4-5:不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()|1|g x f x x =++地值域为M ,若t M ∈,证明:2313t t t+≥+．衡水金卷2018届全国高三大联考理数解析一、选择题1-5:CBCBA 6-10: ACDAD 11、12:BB二、填空题13.1 14.16 15.57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.2482ππ-三、解答题17.解:（1）原式可化为21()cos 3sin cos 2f x x x x =--1cos 231sin 2222x x +=--sin(2)6x π=-sin(2)6x π=--,故其最小正周期22T ππ==,令262x k πππ-=+（k Z ∈）,解得23k x ππ=+（k Z ∈）,即函数()f x 图象地对称轴方程为23k x ππ=+（k Z ∈）．（2）由（1）知()sin(2)6f x x π=--,因为02A π<<,所以52666A πππ-<-<,又()sin(2)6f A A π=--1=-,故262A ππ-=,解得3A π=．由正弦定理及sin sin b C a A =,得29bc a ==,故193sin 24ABC S bc A ∆==．18.解:（1）当12λ=时,//CE 平面BDF ．证明如下:连接AC 交BD 于点G ,连接GF ．∵//CD AB ,2AB CD =,∴12CG CD GA AB ==．∵12EF FA =,∴12EF CG FA GA ==．　∴//GF CE .又∵CE ⊄平面BDF ,GF ⊂平面BDF ,∴//CE 平面BDF .（2）取AB 地中点O ,连接EO ,则EO ⊥AB ．∵平面ABE ⊥平面ABCD ,平面ABE 平面ABCD AB =,且EO AB ⊥,∴EO ⊥平面ABCD ．∵//BO CD ,且1BO CD ==,∴四边形BODC 为平行四边形,∴//BC DO ．　又∵BC AB ⊥,∴AB OD ⊥．由OA ,OD ,OE 两两垂直,建立如下图所示地空间直角坐标系O xyz -．则(0,0,0)O ,(0,1,0)A ,(0,1,0)B -,(1,0,0)D ,(1,1,0)C -,(0,0,3)E ．当1λ=时,有EF FA = ,∴可得13(0,,)22F ．∴(1,1,0)BD = ,(1,1,3)CE =- ,33(0,,)22BF = ．设平面BDF 地一个法向量为(,,)n x y z = ,则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,330,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令3z =,得1y =-,1x =,即(1,1,3)n =-．设CE 与平面BDF 所成地角为θ,则|113|1sin |cos ,|555CE n θ--+=<>==⨯ ,∴当1λ=时,直线CE 与平面BDF 所成地角地正弦值为51．19.解:（1）由列联表可知2K 地观测值22()200(50405060) 2.020 2.072()()()()11090100100n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯,所以不能在犯错误地概率不超过0.15地前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关．（2）①依题意,可知所抽取地5名女网民中,经常使用网络外卖地有6053100⨯=（人）,偶尔或不用网络外卖地有4052100⨯=（人）．　则选出地3人中至少有2人经常使用网络外卖地概率为2133233355710C C C P C C =+=．②由22⨯列联表,可知抽到经常使用网络外卖地网民地概率为1101120020=,将频率视为概率,即从A 市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用网络外卖地市民地概率为1120．由题意得11~(10,)20X B ,∴1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=．20.解:（1）由已知,得12c a =,3b =,又222c a b =-,故解得24a =,23b =,所以椭圆C 地标准方程为22143x y +=．（2）由（1）,知1(1,0)F -,如图,易知直线MN 不能平行于x 轴,所以令直线MN 地方程为1x my =-,设11(,)M x y ,22(,)N x y ,联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩得22(34)690m y my +--=,所以122634m y y m +=+,122934y y m -=+．此时221212||(1)()4MN m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦．　同理,令直线PQ 地方程为1x my =+,设33(,)P x y ,44(,)Q x y ,此时342634m y y m -+=+,342934y y m -=+,此时223434||(1)()4PQ m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦．　故||||MN PQ =,所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ 是菱形,则OM ON ⊥,即0OM ON ⋅=,于是有12120x x y y +=.又1212(1)(1)x x my my =--21212()1m y y m y y =-++,所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=,整理得22125034m m --=+,即21250m +=,上述关于m 地方程显然没有实数解,故四边形MNPQ 不可能是菱形.令22()ln (0)g x x x x x =->,则'()(12ln )g x x x =-．　令'()0g x >,得0x e <<；令'()0g x <,得x e >,故()g x 在区间(0,)e 内单调递增,在区间(,)e +∞内单调递减,故max ()()ln 2e g x g e e e e ==-=,即当1a e +=,即1a e =-时,max ()2e g x =．所以22(1)(1)(1)ln(1)2e a b a a a +≤+-++≤,所以(1)24b a e+≤．而3e <,所以(1)324b a +<．22.解:（1）易知曲线C :221x y +=,直线l 地直角坐标方程为30x y +-=．　所以圆心到直线l 地距离33222d ==,∴max 3212d =+．（2）∵曲线C 上地所有点均在直线l 地下方,∴a R ∀∈,有cos sin 30t αα+-<恒成立,∴213t +<．又0t >,∴解得022t <<,∴实数t 地取值范围为(0,22)．23.解:（1）依题意,得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得()3f x ≤1,33,x x ≤-⎧⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤．即不等式()3f x ≤地解集为{}|11x x -≤≤．（2）()()|1||21||22||2122|3g x f x x x x x x =++=-++≥---=,当且仅当(21)(22)0x x -+≤时,取等号,∴[3,)M =+∞．原不等式等价于2331t t t -+≥,∵[3,)t ∈+∞,∴230t t -≥,∴2311t t -+≥.又∵31t ≤,∴2331t t t -+≥,∴2313t t t +≥+.。

衡水金卷2018高校招生全国统考理科数学(三)2018高校招生全国统考模拟理数（三）一、选择题：1.已知复数z满足z(2+i)=3+i（i为虚数单位），其共轭复数为z，则z为（）A。

7-1iB。

-7-1iC。

5+5iD。

-5+5i2.已知cos(π-α)=1/2，sin(α+β)=3/2（其中，α，β∈(0,π)），则sin(α+β)的值为（）A。

-4/3B。

5/6C。

-5/6D。

4/33.已知集合A={x∈R|x-3x-4≤0}，B={x∈R|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A。

(4,+∞)B。

[4,+∞)C。

(-∞,4)D。

(-∞,4]4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为0.8，连续测试4次，至少有3次通过的概率为（）A。

0.5512B。

0.5664C。

0.625D。

0.91255.已知1+2=2×3×5×4×7×9×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16×17×18×19×20×21×22×23×n，其中n∈N*，且1^2+2^2+3^2+。

+n^2=385，则n的值为（）A。

8B。

9C。

10D。

116.已知椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1（a>b>0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若NM×NF=0，则椭圆的离心率为（）A。

√2-1B。

2/√2C。

√2/2D。

1/√27.将函数f(x)=sin^2x图像上的所有点向右平移π/4个单位长度后得到函数g(x)的图像，若g(x)在区间[0,a]上单调递增，则a的最大值为（）A。

衡水金卷2018届全国三大联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|540}M x x x =-+≤，{|24}xN x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<< B ．M N R =C ．{|24}MN x x =<≤D ．{|2}MN x x =>2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．33. 已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+( ) A ．12 B ．2 C ．35 D ． 38- 4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320mm π5率A6A7A8cA9A1f下A1线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( )A ．712612 B ．926+ C. 910+ D ．83261212.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*63,n n S a a n N =+∈，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( ) A ．71 B ．149 C. 49 D ．8441第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.已知在ABC ∆中，||||BC AB CB =-，(1,2)AB =，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ． 14. 已知*1()()2nx n N x-∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．15. 已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1（（求1且（（1的调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82820. 已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（四2（（请2在轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线lsin()34θ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.一1二、填空题13. 1 14. 16 15. 57[,]66ππ16. 2482ππ- 三、解答题17. 解：（1）原式可化为，21()cos 3sin cos 2f x x x =--，1cos 231sin 2222x x +=--， sin(2)sin(2)66x x ππ=-=--， 故其最小正周期22T ππ==，令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，即函数()f x 图象的对称轴方程为，()23k x k Z ππ=+∈. （2）由（1），知()sin(2)6f x x π=--， 因为02A π<<，所以52666A πππ-<-<. 又()sin(2)16f A A π=--=-，故得262A ππ-=，解得3A π=.由正弦定理及sin sin b C a A =，得29bc a ==. 故193sin 24ABCS bc A ∆==. 18.（1）当12λ=时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，∴12CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==. ∴又∴（则∵∴∵∴又由则当∴∴设则令即设则sin |cos |CE n θ=<⋅>=1555=⨯. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19.解：（1）由列联表可知2K 的观测值，2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~(10,)20X B ， 所以1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=. 20. 解：（1）由已知，得12c a =，3b =，又222c a b =-， 故解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，易所M联得所此同P此此故所若于又=所整即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形.21.解：（1）由题意得'()(1)xf x e a =-+.当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值. 当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值.（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，当1a =-时，(1)3024b a +=<成立. 当1a <-时，令c 为1-和11ba -+中较小的数，所以1c ≤-，且11bc a-≤+.则1x e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.所以1()(1)(1)0xf c e a c b e b b -=-+-≤---<， 与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥， 即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++. 令22()ln (0)g x x x x x =->，则令令故在故即所所而所2曲当即（∴即∴又∴23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得1,()333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号， ∴[3,)M =+∞.原不等式等价于2331t t t-+-，22233(3)(1)t t t t t t t-+--+==.∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴2(3)(1)0t t t-+≥. ∴2313t t t+≥+.高。

金卷2018届全国三大联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|540}M x x x =-+≤，{|24}xN x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<<I B ．M N R =U C ．{|24}M N x x =<≤ID ．{|2}M N x x =>U2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．33. 已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+( )A ．12 B ．2 C ．35 D ． 38- 4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币投掷100次，其中恰有30次落在军旗，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320mm π5. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线经过圆E ：22240x y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B ．5C.2 D ．2 6. 已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan()3a a π⋅=( ) A ．3- B ．3 C.3± D ．3- 7. 执行如图的程序框图，若输出的S 的值为-10，则①中应填( )A ．19?n <B ．18?n ≥ C. 19?n ≥ D ．20?n ≥8.已知函数()f x 为R 的奇函数，且当0x ≥时，2()1cos f x e m x =-++，记2(2)a f =--，(1)b f =--，3(3)c f =，则a ，b ，c 间的大小关系是( )A ．b a c <<B ．a c b << C.c b a << D ．c a b <<9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A ．23π+ B ．12π+ C.26π+ D ．23π+ 10. 已知函数()2sin()(0,[,])2f x x πωϕωϕπ=+<∈的部分图象如图所示，其中5||2MN =.记命题p ：5()2sin()36f x x ππ=+，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin()33y x ππ=+的图象.则以下判断正确的是( )A.p q ∧为真B.p q ∨为假C.()p q ⌝∨为真D.()p q ∧⌝为真11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( )A ．712612+ B ．926+ C. 910+ D ．832612+ 12.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*63,n n S a a n N =+∈，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( ) A ．71 B ．149 C. 49 D ．8441第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.已知在ABC ∆中，||||BC AB CB =-u u u r u u u r u u u r ，(1,2)AB =u u u r，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ． 14. 已知*1()()2nx n N x-∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．15. 已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值围为 ．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与切球的表面积之和为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数21()cos 3sin()cos()2f x x x x ππ=+-+-，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//,CD AB BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且222AB AE BE BC CD =====，动点F 在棱AE 上，且EF FA λ=. （1）试探究λ的值，使//CE 平面BDF ，并给予证明； （2）当1λ=时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥0.050 0. 0.001 0k3.8416.63510.82820. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为23（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12//l l ，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.21. 已知函数，()(1)(,)xf x e a x b a b R =-+-∈其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性及极值； （Ⅱ）若不等式()0f x ≥在x R ∈恒成立，求证：(1)324b a +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >，α为参数）.以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线lsin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值围.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.金卷2018届全国高三大联考理科参考答案及评分细则一、选择题1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、12：BB二、填空题13. 1 14. 16 15. 57[,]66ππ16. 2482ππ- 三、解答题17. 解：（1）原式可化为，21()cos 3sin cos 2f x x x =--，1cos 231sin 222x x +=--， sin(2)sin(2)66x x ππ=-=--， 故其最小正周期22T ππ==，令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，即函数()f x 图象的对称轴方程为，()23k x k Z ππ=+∈. （2）由（1），知()sin(2)6f x x π=--，因为02A π<<，所以52666A πππ-<-<.又()sin(2)16f A A π=--=-，故得262A ππ-=，解得3A π=.由正弦定理及sin sin b C a A =，得29bc a ==. 故193sin 2ABC S bc A ∆==. 18.（1）当12λ=时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，∴12CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==.∴//GF CE .又∵CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ， ∴//CE 平面BDF .（2）取AB 的中点O ,连接EO . 则EO AB ⊥.∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD .∵//BO CD ，且1BO CD ==，∴四边形BODC 为平行四边形，∴//BC DO . 又∵BC AB ⊥，∴//AB DO .由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则(0,0,0)O ，(0,1,0)A ，(0,1,0)B -，(1,0,0)D ，(1,1,0)C -，3)E .当1λ=时，有EF FA =u u u r u u u r，∴可得13(0,)2F . ∴(1,1,0)BD =u u u r ，(3)CE =-u u u r ，33(1,,22BF =u u u r . 设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =r，.则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即0,330,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令3z =，得1y =-，1x =.即(1,1,3)n =-r.设CE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin |cos |CE n θ=<⋅>=u u u r r 1555=⨯. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19.解：（1）由列联表可知2K 的观测值，2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~(10,)20X B ， 所以1111()10202E X =⨯=； 11999()10202040D X =⨯⨯=.20. 解：（1）由已知，得12c a =，3b =，又222c a b =-， 故解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴.所以令直线MN 的方程为1x my =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=， 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+. 此时221212(1)[()]MN m y y y y =++- 同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，33(,)P x y ，44(,)Q x y ，此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+， 此时223434(1)[()4]PQ m y y y y =++-. 故||||MN PQ =.所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ Y 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，于是有12120x x y y +=. 又1212(1)(1)x x my my =--，21212()1m y y m y y =-++，.所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=，整理得到22125034m m --=+， 即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ 不可能是菱形.21.解：（1）由题意得'()(1)xf x e a =-+.当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 单调递增，没有极值. 当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值.（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 单调递增，当1a =-时，(1)3024b a +=<成立. 当1a <-时，令c 为1-和11ba -+中较小的数，所以1c ≤-，且11bc a-≤+.则1x e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.所以1()(1)(1)0xf c e a c b e b b -=-+-≤---<， 与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥，即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++. 令22()ln (0)g x x x x x =->，则'()(12ln )g x x x =-.令'()0g x >，得0x <<令'()0g x <，得x >故()g x在区间单调递增，在区间)+∞单调递减.故max ()2eg x g e e ==-=，即当11a a +=⇒=时，max ()2e g x =. 所以22(1)(1)(1)ln(1)2e a b a a a +≤+-++≤. 所以(1)24b a e+≤. 而3e <， 所以(1)324b a +<. 22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=. 曲线C 上的点到直线l 的距离，d ==|)3|πα+-当sin()14πα+=-时，max 22d +==， 即曲线C 上的点到直线l（2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， ∴对R α∀∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立，.即21cos()3t αϕ+-<（其中1tan tϕ=）恒成立， ∴213t +<.又0t >，∴解得022t <<， ∴实数t 的取值围为(0,22).23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得1,()333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号， ∴[3,)M =+∞.原不等式等价于2331t t t-+-， 22233(3)(1)t t t t t t t-+--+==.∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴2(3)(1)0t t t-+≥. ∴2313t t t+≥+.。

2018年河北省(衡水金卷信息卷)普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数三2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（三）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合$A=\{x|y=\lg(x-1)\}$，集合$B=\{x|5-3x>1\}$，则$A$为（）A。

$(-\infty,1)$ B。

$(1,+\infty)$ C。

$(-\infty,1]\cup(4,+\infty)$ D。

$(-\infty,+\infty)$2.设$i$为虚数单位，给出下面四个命题：p_1$: $3+4i>2+i$；p_2$: $a^2-4+(a+2)i$为纯虚数的充要条件为$a=2$；p_3$: $z=(1+i)(1+2i)$的共轭复数对应的点为第三象限内的点；p_4$: $z=\frac{1+i}{2+i5}$的虚部为$i$。

其中真命题的个数为（）A。

1 B。

2 C。

3 D。

43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（）A。

0.85 B。

0.80 C。

0.60 D。

0.564.在区间$[0,1]$上随机取一个数$k$，则方程$3-4k^2k-1+x^2y^2=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆的概率为（）A。

$\frac{1}{1111}$ B。

$\frac{1}{}$ C。

$\frac{1}{2}$ D。

$\frac{1}{3}$5.抛物线$y=4x$的焦点到双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的渐近线的距离为$d$，则双曲线$C$的离心率为（）A。

2 B。

3 C。

$\frac{5}{3}$ D。

第1页，总19页河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题（3）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数 z 满足 z(2+i)=3+i （ i 为虚数单位），其共轭复数为 z ¯，则 z ¯为（ ） A.75−15i B.−75−15iC.75+15i D.−75+15i2.已知 cos(π−α)=13， sin(π2+β)=23（其中， α ， β∈(0,π) ），则 sin(α+β)的值为（ ） A.4√2−√59 B.4√2+√59 C.−4√2+√59 D.−4√2−√593.已知集合 A ={x ∈R|x 2−3x −4≤0 } ， B ={x ∈R|x ≤a } ，若 A ∪B =B ，则实数 a 的取值范围为（ ） A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(−∞,4) D.(−∞,4]4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为 45 ，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ）答案第2页，总19页A.512625 B.256625 C.64625 D.641255.已知 12+22=2×3×56， 12+22+32=3×4×76， 12+22+33+42=4×5×96， ⋯ ，若 12+22+32+42+⋯+n 2=385(n ∈N ∗) ，则 n 的值为（ ）A.8B.9C.10D.116.已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左顶点为 M ，上顶点为 N ，右焦点为 F ，若NM ⇀⋅NF ⇀=0 ，则椭圆的离心率为（ ）A.√32 B.√2−12 C.√3−12 D.√5−127.将函数 f(x)=sin2x 图像上的所有点向右平移 π4 个单位长度后得到函数 g(x) 的图像，若 g(x) 在区间 [0,a] 上单调递增，则 a 的最大值为（ ） A.π8 B.π4 C.π6 D.π28.如图是计算 11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1) 的程序框图，若输出的 S 的值为 99100 ，则判断框中应填入的条件是（ ）第3页，总19页外…………○…………装…………○………………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：__内…………○…………装…………○………………线…………○…A.n >98?B.n >99?C.n >100?D.n >101?9.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（ ） A.350升 B.339升 C.2024升 D.2124升10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（ ）A.3+4√3+√6B.6+2√3+√6C.2+3√3+2√6D.4+3√3+2√611.如图所示，在矩形 ABCD 中， AB =4 ， AD =2 ， P 为边 AB 的中点，现将 ΔDAP 绕直线 DP 翻转至 ΔDA′P 处，若 M 为线段 A′C 的中点，则异面直线 BM 与 PA′ 所成角的正切值为（ ）答案第4页，总19页外…………○…………装…○…………线…………○※※请※※不※※※※内…………○…………装…○…………线…………○A.12 B.2 C.14 D.412.若函数 y =f(x) 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称点 (A,B) 为函数y =f(x) 的“孪生点对”，且点对 (A,B) 与 (B,A) 可看作同一个“孪生点对”.若函数 f(x)= {2,x <0−x 3+6x 2−9x +2−a,x ≥0恰好有两个“孪生点对”，则实数 a 的值为（ A.0 B.2 C.4 D.6第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.(2x +1)(x −2)3 的展开式中含 x 2 项的系数为 ．14.如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E 为边 BC 的中点，点 F 为边 CD 上的靠近点C 的四等分点，点 G 为边 AE 上的靠近点 A 的三等分点，则向量 FG ⇀ 用 AB ⇀ 与 AD ⇀表示为 ．15.已知在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， |AB|=2|CD|=4 ， ∠ABC =60∘ ，双曲线以 A ， B 为焦点，且与线段 AD ， BC （包含端点 D ， C ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．第5页，总19页…○…………外……装…………○…………订………姓名：___________班级：___________考号：______…○…………内……装…………○…………订………16.已知数列 {a n } 满足 a 1=1 ， a n =a n−12+2a (n ≥2)n−1 ，若 b n =1a n+1+1an +2(n ∈N ∗) ，则数列 {b n } 的前 n 项和 S n = ．三、解答题（题型注释）17.在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 (sinA −cosA)cosC+(cosA +sinA)sinC =√2 ， D 为边 AB 上一点， BC =2 ， BD =2√2 .（1）求 ΔBCD 的面积；（2）若 DA =DC ，求角 A 的大小.18.如图所示，在三棱锥 P −ABC 中，平面 PAB ⊥ 平面 ABC ， AC ⊥CB ， AB =4 ，PA =4√2 ， ∠PAB =45∘ .（1）证明： AC ⊥ 平面 PCB ；（2）若二面角 A −PB −C 的平面角的大小为 60∘，求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.19.某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量 y （单位： kg ）和与它“相近”葡萄的株数 x 具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m ），（1）求该葡萄每株的收获量 y 关于它“相近”葡萄的株数 x 的线性回归方程及 y 的方差 s 2 ；答案第6页，总19页（2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/ kg 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为 1m 2 ，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）20.已知抛物线 C:x 2=4y 的焦点为 F ，直线 l:y =kx +a(a >0) 与抛物线 C 交于A ，B 两点.（1）若直线 l 过焦点 F ，且与圆 x 2+(y −1)2=1 交于 D ， E （其中 A ， D 在y 轴同侧）两点，求证： |AD|⋅|BE| 是定值；（2）设抛物线 C 在点 A 和点 B 处的切线交于点 P ，试问在 y 轴上是否存在点 Q ，使得四边形 APBQ 为菱形？若存在，求出此时直线 l 的斜率和点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数 f(x)=a(x −1)2+lnx ， a ∈R .（1）当 a =2 时，求函数 y =f(x) 在点 P(1,f(1)) 处的切线方程；（2）当 a =−1 时，令函数 g(x)=f(x)+lnx −2x +1+m ，若函数 g(x) 在区间[1e,e] 上有两个零点，求实数 m 的取值范围.22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(2+cosα,sinα) （ α 为参数）.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+π4)=2√2 .（1）求点 P 的轨迹 C 的方程及直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.第7页，总19页…………○…………线…………○…：___________…………○…………线…………○…23.已知函数 f(x)=5−|x +1|−|x −2| .（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数 y =f(x) 的图像；（2）记函数 y =f(x) 的最大值为 M ，是否存在正数 a ， b ，使 2a +b =M ，且1a +2b=3 ，若存在，求出 a ， b 的值，若不存在，说明理由.答案第8页，总19页……装……………………订……………………线…※※不※※要※※在※※装※订※※线※※内※※答※※题※※……装……………………订……………………线…参数答案1.C【解析】1. z =3+i 2+i=(3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=7−i 5，故 z ¯=75+15i . 所以答案是：C【考点精析】掌握复数的定义是解答本题的根本，需要知道形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部． 2.A【解析】2.由诱导公式得 cosα=−13〈0,cosβ=23〉0 ，故 α 为钝角， β 为锐角.且sinα=√1−cos 2α=2√23 ， sinβ=√1−cos 2β=√53， sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=2√23⋅23+(−13)⋅√53=4√2−√59. 所以答案是：A【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：．3.B【解析】3.对于集合 A ， x 2−3x −4=(x −4)(x +1)≤0 ，解得 −1≤x ≤4 .由于 A ∪B =B 故 a ≥4 . 所以答案是：B【考点精析】通过灵活运用集合的并集运算，掌握并集的性质：（1）A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则A B ，反之也成立即可以解答此题．4.A【解析】4. 4 次独立重复实验，故概率为 C 43(45)3⋅15+C 44(45)4=512625 . 所以答案是：A5.C【解析】5.通过归纳得 ∑k=1nk 2=16n(n +1)(2n +1) ，故 16n(n +1)(2n +1)=385 解得 n =10 . 所以答案是：C【考点精析】认真审题，首先需要了解归纳推理(根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理)． 6.D第9页，总19页…………线…………○……………线…………○…【解析】6.依题意 M(−a,0),N(0,b),F(c,0) ，代入 NM ⇀⋅NF ⇀=0 得 (a,b)(c,−b)=ac −b 2=0 ，即 ac −(a 2−c 2)=0 ，两边除以 a 2 得 e 2+e −1=0 ，解得 e =√5−12. 所以答案是：D【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的概念(平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距)． 7.D【解析】7.右移 π4 个单位得到 g(x)=sin[2(x −π4)]=−cos2x ，根据余弦函数的图像可知， 0≤2x ≤π ，即 0≤x ≤π2时递增，故 a 的最大值为 π2 . 故答案为：D 首先利用函数的平移性质得到 g(x) 的代数式，再结合余弦函数的图像和性质即可得到函数的增区间，进而求出a 的最大值即可。

【衡水经卷】2018届四省名校高三第三次大联考试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足i z i =-)1(（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．21-B ．21C ．i 21-D ．i 212．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为1442cm ，则=d （ ）A ．14cmB ．13cmC ．12cmD ．11cm 3．设集合}2|{},20|{2x x R x N x R x M ≥∈=≤<∈=，则（ ） A ．M x N x ∈∈∀, B ．N x M x ∈∈∀, C ．M x N x ∈∉∃00, D ．N x M x ∉∈∃00,4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的71等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ） A ．35 B ．310 C ．65 D ．6115．对任意实数x ，有6622105)1)((x a x a x a a x x a ++++=-+ ，若2302=-a a ，则（ ）A ．2B ．2-C ．1123D ．928-6．双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线截圆0422=-+y y x 为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中a 的取值范围是（ ）A ．]7,6(B ．]7,6[C ．)7,6[D ．)7,6( 8．设215,2ln ,23-===z y x，则（ ）A ．z y x <<B ．x z y <<C ．y x z <<D ．x y z <<9．设函数)0)(3cos(2)(πθθ<<+=x x f ，)('x f 为)(x f 的导函数，若函数)(')()(x f x f x g +=的图象关于原点对称，则=θcos （ ） A ．21-B ．23-C ．21D ．2310．近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生，按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计，通过整理得如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人.根据上述数据和频率分布直方图，判断下列说法正确的是（ ）参考数据与参考公式：1305.05.7sin ,258.015sin ,732.1300≈≈=.A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D ．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关11．如图，已知抛物线x y E 4:2=的焦点为F ，准线l 与x 轴交于K 点，过点K 的直线m 与抛物线E 相交于不同两点B A ,，且23||=AF ，连接BF 并延长准线l 于C 点，记ACF ∆与ABC ∆的面积为21,S S ，则=21S S （ ）A ．74 B ．54 C ．32 D ．10712．设函数e xe xf x()(=为自然常数)，x x x g ln )(-=，有下列命题： ①)(x f 有极小值e f =)1(；②),0(0+∞∈∃x ，使得不等式0002)(')(x x g x f +≤（)('x g 为)(x g 的导函数）成立； ③若关于x 的方程0)(=-t x f 无解，则t 的取值范围为),0[e ；④记)()()(x g x f x F λ-=，若)(x F 在)2,21(∈x 上有三个不同的极值点，则λ的取值范围为)2,(e e . 其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤052301y x y x x ，y x z -=2，则z 的最小值为 ．14．设}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若362a a =，则=36S S ． 15．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111C B A ABC -各顶点都在同一球面上，且1AA AC AB ==，0120=∠BAC ，若此球的表面积等于π20，则=AB ．16．如图，在ABC ∆中，已知DC BD 21=，P 为AD 上一点，且满足CB CA m CP 94+=，若ABC ∆的面积为3，3π=∠ACB ，则||CP 的最小值为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数)sin 3(cos cos 2)(x x x x f +=. （1）当]127,24[ππ∈x 时，求)(x f 的值域；（2）在ABC ∆中，若A B BC B f sin 3sin ,3,1)(==-=，求ABC ∆的面积.18．在如图所示的几何体中，⊥EA 平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，BC AD //，BC AD 21=，1=AD ，060=∠ABC ，AC EF //，AC EF 21=.（1）证明：CF AB ⊥；（2）当二面角D EF B --的余弦值为1010时，求线段CF 的长.19．2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为31，男球迷选择德国队的概率为52，记ξ为三人中选择德国队的人数，求ξ的分布列和数学期望.20.如图，在平面直角坐标系中，已知点)0,1(F ，过直线l ：2=x 左侧的动点P 作l PH ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且||2||MF PH =，记动点P 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 作直线m 交曲线Γ于B A ,两点，点C 在l 上，且//BC x 轴，试问：直线AC 是否恒过定点？请说明理由.21．设函数))(1(ln )1()(R a x a x x x f ∈--+=. （1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）若0)(≥x f 对任意),0[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当)2,0(πθ∈时，试比较)ln(tan 21θ与)4tan(πθ-的大小，并说明理由. 22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程化为θρsin 6=，点P 的极坐标为)4,2(π，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；（2）过点P 的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，若||2||PB PA =，求||AB 的值. 23.已知函数|12||2|)(-++=x a x x f ,1256)(--=x x x g . （1）当3=a 时，解不等式6)(≤x f ；（2）若对任意]25,1[1∈x ，都存在R x ∈2，使得)()(21x f x g =成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：BCBAB 6-10：CACDD 11、12：CC二、填空题13．3- 14．3 15．2 16．34 三、解答题17．解：（1）)]12(cos 212sin 23[2)(++=x x x f 1)62sin(2++=πx∵]127,24[ππ∈x ， ∴]34,4[62πππ∈+x 当262ππ=+x ，即6π=x 时，)(x f 取得最大值3；当3462ππ=+x ，即127π=x 时，)(x f 取得最小值31-，故)(x f 的值域为]3,31[-. （2）设ABC ∆中角C B A ,,所对的边分别为c b a ,, ∵,1)(-=B f ∴1)62sin(-=+πB ，∵π<<B 0，即62626ππππ+<+<B ，∴2362ππ=+B ，得π32=B .又∵3=BC ，即3=a ，A B sin 3sin =，即a b 3=，∴3=b 由正弦定理得Bb A a sin sin =，解得21sin =A ∵30π<<A ，∴6π=A ，∴6π=C∴433213321sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC . 18.解：(1)由题知⊥EA 平面ABCD ，⊂BA 平面ABCD , ∴AE BA ⊥过点A 作BC AH ⊥于H 点，在ABH Rt ∆中，060=∠ABH ，21=BH ，得1=AB ， 在ABC ∆中，360cos 20222=⋅-+=BC AB BC AB AC ∴22BC AC AB =+∴AC AB ⊥且A EA AC = ， ∴⊥AB 平面ACFE 又∵⊂CF 平面ACFE ∴CF AB ⊥.（2）以A 为坐标原点，AE AC AB ,,分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设)0(>=a a AE ，则)0,0,1(B ，),0,0(a E ，),23,0(a F ，)0,23,21(-D ， ∴),0,1(a BE -=，),23,1(a BF -=，),23,21(a DE -=，),0,21(a DF = 设),,(z y x n =为平面BEF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅023az y x BF n az x BE n ，令a x =得)1,0,(a n =， 同理可求得平面DEF 的一个法向量)1,0,2(-=a m ，1010|14112||||||||,cos |222=+⨯+-=⋅=><a a a n m n m n m ， 化简得015424=+-a a 解得1=a 或21=a ∵二面角D EF B --为锐二面角，经验证21=a 舍去， ∴1=a .作AC FM ⊥于M 点，则M 为AC 中点， ∴2722=+=CM FM CF . 19.解：（1）设恰好有两支球队被人选择为事件A ，由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支，有34种不同选择， 每种选择可能性相等，故恰好有两支球队被人选择有2423C C 种不同选择，所以1694)(32423==C C A P . 由题知3,2,1,0=ξ，且256)53(32)0(2=⨯==ξP ，2511258253535232)53(31)1(122=+=⨯⨯⨯+⨯==C P ξ，154758254)53(32535231)2(212=+=+⨯⨯⨯==C P ξ, 754)53(31)3(2=⨯==ξP ∴ξ的分布列为∴151775431542251112560)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 20、（1）设),(y x P ，由题可知||||PF MF =，所以22||||||||==PH MF PH PF ， 即22|2|)1(22=-+-x y x ，化简整理得1222=+y x ， 即曲线Γ的方程为1222=+y x . （2）由已知可得直线m 的斜率不为0， ∴可设直线m 的方程为1+=ny x ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ny x 消去x得012)2(22=-++ny y n ，0>∆恒成立， 记),(),,(2211y x B y x A ，则),2(2y C ， 则1,21,2211221221+=+-=+-=+ny x n y y n n y y ， ∴直线AC 的斜率为2121--=x y y k ，直线AC 的方程为)2(21212---=-x x y y y y ， 即])2(2[22112121y y x y x x y y y --+---=，又21)2(22222)1()2(222222122112=++++=-+--=--y n n n ny y n n ny y y y x y ，∴直线AC 的方程为)23(2)212(2121121---=+---=x x y y x x y y y ，∴直线AC 过定点)0,23(N .21.解：（1）当1=a 时，)1(ln )1()(--+=x x x x f ，x x x f 1ln )('+=， 设)0(,1ln )(>+=x x x x g则21)('x x x g -=，当)1,0(∈x 时，)(x g 单调递减，当),1(+∞∈x 时，)(x g 单调递增，01)1()(min >==g x g ， ∴0)('>x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，无单调递减区间. （2）a x g a xx x f -+=-++=1)(11ln )('，由（1）可知)(x g 在区间),1[+∞上单调递增， 则1)1()(=≥g x g ，即)('x f 在区间),1[+∞上单调递增，且a f -=2)1(' ①当2≤a 时，0)('≥x f ，)(x f 在区间),1[+∞上单调递增， ∴0)1()(=≥f x f 满足条件； ②当2>a 时，设)1(11ln )(≥-++=x a x x x h ，则22111)('xx x x x h -=-=， ∴)(x h 在区间),1[+∞上单调递增，且02)1(<-=a h ，01)(>+=-aaee h∴],1[0ae x ∈∃使得0)(0=x h∴当),1[0x x ∈时，0)(<x h ，)(x f 单调递减，即),1(0x x ∈时，0)1()(=<f x f ，不满足题意. 综合上述，实数a 的取值范围为]2,(-∞. （3）由（2）可知，取2=a ，当1>x 时，0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ，即11ln 21+->x x x ， 当10<<x 时，11>x，∴112ln 11111ln 21+-<⇔+->x x x xx x ， 又∵1tan 1tan )4tan(+-=-θθπθ， ∴当40πθ<<时，)4tan()ln(tan 21,1tan 0πθθθ-<<<； 当4πθ=时，)4tan()ln(tan 21,1tan πθθθ-==； 当24πθπ<<时，1tan >θ，)4tan()ln(tan 21πθθ->. 22、（1）θρsin 6=，即θρρsin 62=，由θρθρsin ,cos ==y x ，有y y x 622=+，∴曲线C 的直角坐标方程为9)3(22=-+y x ， P 点的直角坐标为)1,1(.（2）设直线l 的倾斜角为)0(πθθ<≤，则直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1t y t x （t 为参数）， 将其代入y y x 622=+，可得04)sin 2(cos 22=--+t t θθ，记21,t t 为方程的两根，由0>∆，得),0[πθ∈，421-=t t∵||2||PB PA =，∴212t t -=或122t t -=，当212t t -=时，2,2221-==t t 或2,2221=-=t t ∴23||||21=-=t t AB ，当122t t -=时，同理23||=AB ，∴23||=AB .23.解：（1）当3=a 时，|12||32|)(-++=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≤-++--<⇔≤621)32(236)(x x x x f 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤-621322123x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>612)32(21x x x 解得12≤≤-x即不等式解集为}12|{≤≤-x x .（2）∵|1||122||12||2|)(+=+-+≥-++=a x a x x a x x f ， 当且仅当0)12)(2(≤-+x a x 时，取等号，∴)(x f 的值域为)|,1[|+∞+a 又1256)(--=x x x g 1223--=x 在区间]25,1[上单调递增， ∴)25()()1(f x g g ≤≤，即)(x g 的值域为]25,1[， 要满足条件，必有)|,1[|]25,1[+∞+⊆a ， ∴1|1|≤+a ，解得02≤≤-a∴a 的取值范围为]0,2[-.。