高等数学课件——7.1&7.2定积分的概念性质

a a a
b
b
b
性质2: 设f (x)在[a, b]上可积, 则k f (x)在[a, b]可积,
且 证:

b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a
b
(k为常数)

b
a
kf ( x )dx lim kf ( i ) xi
0
i 1
n
k lim f ( i ) xi
a



sin xdx
-a
O
a x

1
1
x dx
2

1
0
x 2 dx
例1 由定积分的几何意义可得：


a
0
a
1 2 a xdx 2
1 2 a x dx a 2
2 2
y
y sin x
a
－
O
sin xdx


0
x

1
1
x dx
2

1
0
x 2 dx
x i
x dx
p 0
1
i

b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
p
i 1
n
f (i ) (i )
例4 将和式极限
1 2 ( n 1) lim sin sin sin n n n n n
表示成定积分.
0
b
i 1
n
k f ( x )dx
a
性质3: 设f (x)在[a, b]上可积, a < c < b, 则f (x)分别
在[a, c], [c, b]上可积, 且

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
此时, c 称为内分点.
y
y f ( x)
i 1 n
将[a, b]分得越细, 近似公式越精确.
(4) max{xi }, 令 0
1 i n
于是:
A lim f ( i ) xi
0
i 1
n
实例2. 变速直线运动的路程.
设某物体作变速直线运动. 已知速度V = V(t)是 时间间隔[T1, T2]上 t 的连续函数. 计算在这段时间 内物体所经过的路程 S. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得 到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过 程求得路程的精确值．
O
a
c
b x
性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可
用于求分段函数的定积分。
推论: 设f (x)在[a, c]上可积, a < b < c, 或 f (x)在[c, b] 上可积, c < a < b, 则:

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
(1) 区间分划 在[T1, T2]内任意插入若干个分点
T1 t0 t1 t 2 t n 1 t n T2
将[T1, T2]分成 n 个小段 [t0, t1] , [t1, t2 ], …, [tn-1, tn ]
每小段时间长
ti ti ti 1
(2)求近似:在每个子区间[ti-1, ti ]上任取一点i 由时刻ti-1 到时刻 ti 走过的路程为Si
证:
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx lim [ f ( ) g( )] x
a
n 0 i 1 n i i
b
i
lim f ( i ) xi lim g( i ) xi
0
b
i 1
n
0
i 1
f ( x )dx g( x )dx
负值时
y o b
A1
y f ( x)
A2
其中Ai表示
A4
+
A3
+
第部分图形 的面积. x
a

b
a
f ( x )dx A1 A2 A3 A4
一般，曲边梯形的面积

| f ( x ) | dx ；而 f ( x )dx a
a
b
b
的几何意义则是曲边梯形面积的代数和。
例1 由定积分的几何意义可得：
四、定积分的几何意义
(1) 若当 x[a, b]时,
y=f (x) y A o
连续函数f (x) 0
a f ( x)dx 曲边梯形面积A
a
b
b
x
(2) 若当x[a, b]时, 连续函数 f (x) 0,
y
a f ( x)dx A
b
a o A
b
x
y=f (x)
(3) 若当x[a, b]时, 连续函数f (x) 既取得正值, 又取得
1 2 ( n 1) n 解： 原式 lim sin sin sin sin n n n n n n
n 1 n i 1 i lim sin lim sin n n n n i 1 n i 1 i 1 sin xdx. 0
Si V ( i ) ti
(3)作和:总路程
S V (1 ) t1 V ( 2 ) t2 V ( n ) tn V ( i ) ti
i 1 n
将时间间隔[ti-1, ti ]分得越细, 近似公式越精确.
(4) max{xi }, 令 0
例1 由定积分的几何意义可得：


a
0
a
1 2 a xdx 2
1 2 a x dx a 2
2 2
y
y x2
a
sin xdx


1 O
1
x
0

1
1
x dx
2
2

1
0
x 2 dx
利用定义计算定积分 x 2dx 例2 0
解: 因为y=x2 在[0, 1]上连续, 定积分存在, 将区间[0, 1]等分成 n等份, 分点为
n
1 x i n i i n
1 n 2 lim 3 i n n i 1 1 1 lim 3 n (n 1)(2n 1) n n 6
1 n (n 1)(2n 1) 1 lim 3 3 6 n n
例3. 用定积分表示下列极限: 1 n i 1p 2 p n p (1) lim 1 ( 2) lim n n n n n p 1 i 1
a a
b
b
(2) 注意在定积分的定义中的两个任意性，函数可积 即意味着极限值与对区间的分割方式及在区间
xi , xi 1 上点 i 的取法无关；
三、积分存在定理（可积的充分条件）
问题: 满足什么条件时,函数 f ( x)在[a, b]上可积? 定理1 设函数 f ( x )在区间[a , b]上连续, 则 f ( x )在[a, b]上 可积. 定理2 设函数 f ( x )在区间[a, b]上有界, 且只有有限个 第一类间断点, 则 f ( x )在[a, b]上可积. 定理3 设函数 f ( x )在区间[a, b]上单调有界, 则 f ( x )在 [a, b]上可积.
则称函数 f (x)在[a,b]上可积, 这个极限值就称为 函数 f (x)在[a, b]上的定积分.
记成
lim a f ( x)dx 0 f (i )xi i 1
b
n
积分上限
积分和

积分下限
bБайду номын сангаас
a
f ( x )dx lim f ( i )x i
0 i 1
a b
b
a
（3）定积分与积分区间和被积函数有关，而与 积分
变量无关。即

a
b
f ( x )dx f (t )dt f ( u)du.
b b
a
a
性质1: 设 f (x)、g(x)在[a, b]上可积, 则 f (x) g(x)
在[a, b]可积, 且
a [ f ( x) g ( x)]dx a f ( x)dx a g ( x)dx
7.1&.7.2定积分的概念和性质
第一部分 定积分的概念
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
如图：设 y = f (x)在区间[a, b] 上非负、连续, 由直线 x = a, x = b, y = 0, 及曲线 y = f (x) 所围 成的图形,称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
y
y=f(x)


a
0
a
1 2 a xdx 2
y
yx
a
a x dx
2 2
sin xdx


O
a
x

1
1
x dx
2
x dx
2 0
1
例1 由定积分的几何意义，指出下列积分的值。


a
0
a
1 2 a xdx 2
1 2 a x dx a 2
2 2
y
y a2 x2
a x0 x1 x2 xn1 xn b
在每个子区间[xi-1, xi ]上任取一点i, i [xi-1, xi ],