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高中数学《导数和数列综合证明（一）》导学案例2：已知：x x <+)1ln(2，（1）求证：）*2222()21...(81)41)(21(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（2）求证：*2()311)...(8111)(911(N n e n ∈<+++）（3）求证：（1+421）（1+431）…（1+41n）＜e )211ln(......)411ln()211ln()]211)...(411)(211ln[()1ln(12222222n n x x ++++++=+++∴<+ ）（e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121 (814121222),)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[(2212222e e n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴）（ （3）ln[（1+421）（1+431）……(1+41n )]=ln[（1+421）（1+431）+…ln （1+41n ）＜221+231+…+21n＜)1(1321211-+⨯+⨯n n =1-21+21-31+…+n n 111--=1-n 1＜1∴（1+421）（1+431）……(1+41n )＜e 例3：设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式；（3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n解：（1）04)1(,0,00)(222≤--≤∆>∴≥-++++=ac b a x c bx ax c bx ax x k ①0)21)(21(4,0,021,02121222≤---≤∆<-∴≤--++c a b a x c bx ax ②又,4)1(1)1(),11(21)1(12a cb a k k k =++==∴+≤≤ 又1270)1(41=∴=∴f a（2）)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由0)1(,1)1(=-=k k 得⎩⎨⎧=+-=++01c b a c b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==+2121b c a 又)1(21)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(0212≠≥+-a c x ax 恒成立得410402141==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+≤-=∆>c a c a ac a 同理由02121)21(2≥-++-c x x a 恒成立得41==c a 综上，21,41===b c a 412141)(2++=∴x x k（3）∑=+++⨯+⨯>+++=ni n n n i k 122])2)(1(1431321[41])1(121[41)(1 22]2121[41+=+-=n n n 法二：和式代换，要证22+>n n S n ，即也证()1121+->-n n S n ，只需证：()()()21411222++=+--+>n n n n n n a n ，只需()()()21414)(12++>+=n n n n k ，且()322121114211=+>=+==S a ，故22+>n n S n。
极限与导数一、极限1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→nn ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S n n -==∞→1lim 1(0<1<q ); 2、函数的极限：(1)当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim (2)当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 00: 3、函数的连续性：(1)如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；(2)若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续； (3)若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4、连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→；二、导数1、导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000； 2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 );()(x f x x f y -∆+=∆ (2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; (3)取极限,得导数x y x f x ∆∆='→∆0lim )(; 3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4、导数的几何意义：曲线y ＝f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5、导数的四则运算法则：v u v u '±'='±)( ///[()()]()()f x g x f x g x ±=± v u v u uv '+'=')( []()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 推论：[]()()cf x cf x ''=(C 为常数)2)(v v u v u v u '-'=' []2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 6、复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' 7、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
高三数学重要知识点总结1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.（1）从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.（2）在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的____次幂，____次幂，____次幂，____次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….（4）数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f（n），而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f（n）中的n.（5）次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这____个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类（1）根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.（2）按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f（n）来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集N____或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.（2）如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.（3）如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.（4）有的数列的通项公式，形式上不一定是的，正如举例中的：（5）有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1234567项：45678910这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N____（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。
数列、导数知识点一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n+1-a n =d(n∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A=a+b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则其通项公式为a n =a 1+(n-1)d.4.前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d(n∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m)d(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn(A,B 为常数).(5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d<0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值.二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,即a n a n -1=q(n≥2,n∈N *,q 为非零常数).2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则其通项公式为a n =a 1q n-1.4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有a k·a l=a m·a n.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,S n,S2n-S n,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为q n.三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数) f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sin x f'(x)=cos xf(x)=cos x f'(x)=-sin xf(x)=a x(a>0,且a≠1)f'(x)=a x ln af(x)=e x f'(x)=e xf(x)=log a x(a>0,且a≠1)f'(x)=1xlnaf(x)=ln x f'(x)=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x .四、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2.函数的极值与导数条件 f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0x 0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值 f(x 0)为极大值 f(x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点x 0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.。
1、数列的极限：设有数列12,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与常数a ，如果n 无限增大时，n x 无限接近于a ，则称常数a 是数列的{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或 ()n x a n →→∞.例如：1n a n=，则lim 0n n a →∞=；90.99n n a =⋅⋅⋅个，则lim 1n n a →∞=.2、数列的收敛与发散：若一个数列有极限，则称该数列是收敛的；否则称该数列是发散的. 定理：单调有界的数列必有极限. 例如：1n a n =收敛；()11n n a n=-⋅收敛；()1nn a =-发散；n a n =发散.3、函数的极限：设有函数()f x 和常数0,x A ，如果当x 无限接近于0x 时，()f x 无限接近于A ，则称常数A 是函数()f x 当0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→. 注：（1）可以用+∞或-∞代替0x ，表示x 无限增大或无限减小时()f x 的极限， （2）函数的极限不一定都存在，例如()11x Qf x x Q ∈⎧=⎨-∉⎩.4、极限的运算：若()()00lim ,lim xx x x f x A g x B →→==，则 （1）()()()0lim xx f x g x A B →±=±； （2）()()0lim x x f x g x A B →⋅=⋅； （3）()()()0lim 0x xf x AB g x B→=≠. 推论：①()0lim x x cf x cA →=; ②()()0lim nn x xf x A →=.5、夹逼定理（1）数列中的夹逼定理：设*,n n n a b c n N ≤≤∈，且lim lim n n n n a c a →∞→∞==，那么lim n n b a →∞=. （2）函数中的夹逼定理：设函数,f g 与h 在点0x 的近旁（不包含0x ）满足不等式()()()f x h x g x ≤≤如果()()00lim lim x x x x f x g x A →→==，则()0lim x x h x A →=.6、两个重要极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【例1】（1）证明：数列{}n x ：22221111123n x n =+++⋅⋅⋅+是收敛的. （2）证明：数列{}n x ：1111123n x n=+++⋅⋅⋅+是发散的.（1）22022lim 232n n n n n →++++；（2）2222lim 232n n n n n →∞++++；（3）n ；（4）lim n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅；（5）()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.（1）3031lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（2）322lim 2121x x x x x →+∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭；（3）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（4）1lim 12xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.一.定义1.函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，01,x x 是其定义域内不同的两点，记()()101000,x x x y y y f x x f x =-=-=+-，则当0x ≠时，商()()00f x x f x yxx+-=称作函数()y f x =在区间[]00,x x x +或[]00,x x x +的平均变化率.2.设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变()()00y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率()()00f x x f x yx x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. 记作()()000lim x f x x f x l x ∆→+∆-=∆或当0x ∆→时，()()00f x x f x l x+∆-→∆.3.函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在点0x 处的导数，并记作()0f x '．这时又称()f x 在点0x 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.如果()f x 在开区间(),a b 内每一点x 都是可导的，则称()f x 在区间(),a b 可导．这样，对开区间(),a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(),a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数． 注：①x 可正可负.②不是所有函数在每一点都有导数，例如：()f x x =，()11x Qf x x Q∈⎧=⎨-∉⎩.【例4】用定义求下列函数的导函数：（1）()f x c =（c 为常数）；（2）()f x kx b =+（,k b 为常数）；（3）()sin f x x =；（4）()cos f x x =；（5）()ln f x x =.【例5】若函数()f x 在R 上可导，且()'21f =，则()()222lim2h f h f h h→+--=__________.【例6】己知()f x 在0x 处可导，则()()220003limh f x h f x h h→+--=____________．二.导数的运算法则1.()'''f g f g +=+.例如：()2sin '2cos x x x x +=+.2.()'''f g f g fg ⋅=+.例如：()()()22222'''213x x x x x x x x x x ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=.3.2'''f f g fg g g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.例如：2sin cos sin 'x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【例7】求下列函数的导函数：（1）cos ln y x x =+；（2）sin y x x =；（3）1y x x=+；（4）tan y x =；（5）21xy x =+；（6）sin ln y x x x =⋅⋅.4.若函数()u g x =与函数()y f u =均可导，则复合函数()()y f g x =可导，且xu x y y u '''=⋅，或记成dy dy dudx du dx=⋅．【例8】求下列函数的导函数：（1）()()221f x x =+；（2）()2sin f x x =；（3）()()2ln 23f x x x =++；（4）()()sin f x a bx c =+；（5）()()22cos 253f x x x =++；（6）()()2sin sin f x x =.【例9】已知函数()()()()12100f x x x x =--⋅⋅⋅-，则()'1f =__________.【例10】证明：若f 是一个恒取正值的可导函数，则()()()()'ln 'f x f x f x =.【例11】求下列函数的导函数：（1）()af x x =，()0x >；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()()g x y f x =，()f x 在它的定义域上恒有()0f x >；（4）()()cos sin xf x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（5）()xx f x x =，()0x >5.设()y f x =在包含0x 的区间I 上连续且严格单调，如果它在0x 处可导，且()0'0f x ≠，那么它的反函数()1x f y -=在()00y f x =处可导，且()()()11''fy f x -=.【例12】求下列函数的导函数：（1）()af x x =；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()arcsin f x x =；（4）()arctan f x x =；6.高阶导数设函数f 在区间I 上可导，那么()()'f x x I ∈在I 上定义了一个函数'f ，称之为f 的导函数.如果'f 在区间I 上可导，那么'f 的导函数()''f ，记为''f 称为f 的二阶导函数.一般的，对任何正整数n N +∈，可以定义f 的导函数()n f .（Leibniz ）设函数f 与g 在区间I 上都有n 阶导数，那么乘积fg 在区间I 上也有n 阶导数，并且()()()()0nn n k kk n k fg C f g -==∑，这里()()00,f f g g ==.【例13】求下列函数的n 阶导函数：（1）()xf x e λ=；（2）()2cos f x x x =（3）()n xf x x e =；【习题1】求下列函数的极限 （1）22251lim 1n n n n →∞+++；（2）220251lim 1n n n n →+++；（3）1123lim 23n n n nn ++→∞++；（4）211lim 31x x x x→---+；（5）201cos lim x xx →-.【习题2】求下列函数的导数（1）5432()5432f x x x x x x =++++；（2）31()f x x =；（3）()ln f x x x =；（4）()3()2f x x =+；（5）1()f x x=；（6）()3()sin 2f x x =+；（7）()ax bf x cx d+=+；（8）()tan ln x f x a bx c dx =+；（9）sin ()xx xf x e =；（10）()f x【习题3】 求()()cos n x e x 和()()sin n x e x .【习题4】若()f x 是定义在R 上的偶函数，且()'0f 存在，则()'0f =___________.【习题5】设()02f x '=，则()()000limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【习题6】设函数()12sin sin2sin n f x a x a x a nx =++⋅⋅⋅+，其中12,,,,n a a a R n N +⋅⋅⋅∈∈. 已知对一切x R ∈，有()sin f x x ≤，证明：1221n a a na ++⋅⋅⋅+≤.。
高中数学中最常见的数列通项公式推导高中数学中数列是一个非常基础的概念，在化学、物理、计算机等多个领域中都有着广泛的应用。
在数列中，通项公式是最常用的概念之一，可以让我们通过一个公式来计算任意一个数列的第n项。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中最常见的数列通项公式推导方法，希望能够帮助大家更好地理解数学中的这个概念。
一、等差数列通项公式推导等差数列是指一个数列中每一项与其前一项的差都相等的数列，其通项公式可以通过以下四种方法来推导：1.微积分法考虑等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d为公差。
因此，我们可以在每一项上面加上一个微小的增量dx，这样我们可以得到如下的一元微积分式子：$$\lim_{dx \to 0} \frac{a_{n+dx}-a_n}{dx}=\lim_{dx \to 0}\frac{[a_1+(n+dx-1)d]-[a_1+(n-1)d]}{dx}$$$$\lim_{dx \to 0} \frac{[n+dx-1]d-dx}{dx}=\lim_{dx \to 0}\frac{nd-dx}{dx}+d$$当dx无限趋近于0时，上式等于d，因此这个数列的导数d。
因此，对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中d为常数，我们可以将其看做一个一元函数，其导数为常数d。
根据微积分的基本定理，我们可以得到其积分形式为an（n）=a1+d×∫(n-1)dx，即an=a1+nd-n(n-1)d/2。
2.通项公式的递推公式考虑等差数列的递推公式an=an-1+d，我们可以将上式变形得到an-1=an-d。
我们将an替换成an-1中的值，得到an-1=a1+d(n-2)。
接着我们将an-2替换为an-1中的值，得到an-2=a1+d(n-3)，以此类推，则得到an-k=a1+d(n-k-1)，k=0，1，2，……，n-1。
因此，当k=0时，即n-k-1=0时，我们有an=a1+dn-d=n(a1+d)。
中学数学导数学问点总结导数作为探究函数的重要工具，也是进一步学习高二数学的根底，因此同学们须要驾驭导数的重要学问点。
下面是我整理的中学数学导数学问点总结，欢送大家阅读共享借鉴。
书目中学数学导数学问点中学数学导数要点中学数学导数重点★中学数学导数学问点一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马探究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。
在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发觉的因子E 就是我们所说的导数f(A)。
二、17世纪----广泛运用的“流数术”17世纪生产力的开展推动了自然科学和技术的开展在前人缔造性探究的根底上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度起先系统地探究微积分。
牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变更率为流数相当于我们所说的导数。
牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变更与函数的变更的比的构成最在于确定这个比当变更趋于零时的极限。
三、19世纪导数----慢慢成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简洁表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。
1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数假如函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。
19世纪60年头以后魏尔斯特拉斯缔造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今日常见的形式。
四、实无限将异军突起微积分其次轮初等化或成为可能微积分学理论根底大体可以分为两个局部。
一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比方无限接近。
2022高中数学知识点总结大全（非常全面）在高考复习数学时，如果没有系统的总结，复习效率就会大打折扣。
下面是由编辑为大家整理的“2022高中数学知识点总结大全(非常全面)”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
高中数学知识点总结1一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式，当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);高中数学知识点总结2一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
高中导数复习资料一、根本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，假如自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均改变率；假如极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，那么称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：〔求函数在某点处的切线方程〕函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．根本常见函数的导数:①0;C '=〔C 为常数〕 ②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四那么运算：法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法那么2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数及函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法那么3：两个函数的商的导数，等于分子的导数及分母的积，减去分母的导数及分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
高中数学复习：导数中的数列1．已知函数()()ln 1x f x x+=. （1）分析函数()f x 的单调性；（2）证明：2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥. 2．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.3．已知数列{}n a 的首项11a >，且211nn n a a a +=-，N n *∈.（1）求2a 的最小值； （2）求证：2115222nkk a n n =>+-∑. 4．已知函数()ln 1x x a f x x++=，在区间[]1,2有极值．（1）求a 的取值范围； （2）证明：()()sin 1a x f x x+>．5．已知函数()ln f x x x =-.（1）若()11f x x ax x +>-+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()h x f x m =+有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，求证：2211x x m +>+.6．已知函数f(x)=elnx −x +1. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：n(n+1)ln(1×2×3×⋯×n)>2e （n ∈N ∗，且n ≥2）. 7．已知函数()12ln f x a x x x=-+． （Ⅰ）若2a =，求()f x 在()1,0处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 对任意(]0,1x ∈均有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：()2111ln 12nk k n k n *=+<-∈+∑N ． 8．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N ，求证：[]ln (2)12n n n T +<-. 9．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.10．已知函数f （x ）＝﹣2x 2+4x ，g （x ）＝alnx （a ＞0）（I ）若直线l 1交函数f （x ）的图象于P ，Q 两点，与l 1平行的直线l 2与函数f （x ）的图象切于点R ，求证P ，R ，Q 三点的横坐标成等差数列；（II ）若不等式f （x ）≤4x ﹣g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）求证：44441n2ln 3ln 4ln 1234n n e+++⋯+< （其中n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）． 11． 已知函数，数列满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求证：12．已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当1a =时，证明：()21f x x x ≤+-；（Ⅲ）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中e ≈2.7183为自然对数的底数） 13．设函数()()()1ln 10x f x x x++=>.（1）若()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （2）求证：()()()2311212311n n n e -+⨯⋅+⨯+⨯+>⎡⎤⎣⎦. 14．设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．（1）当2b =时，求函数()y f x =的图象在点(0,0)处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当*n ∈N ，且n 2≥时，证明不等式33311111111ln (1)(1)(1)232321n n n ⎡⎤+++++++>-⎢⎥+⎣⎦……．15．已知函数2()1f x ax bx =++在3x =处的切线方程为58y x .(1)求函数()f x 的解析式； (2)若关于x 的方程()x f x ke 恰有两个不同的实根,求实数k 的值；(3)数列{}n a 满足*112(2),(),n n a f a f a n N +==∈.证明：①11n n a a +>>；②12320191111S=++++2a a a a <.16．已知函数()e xf x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e =k ，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x R ∈，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．17．已知()sin(1)ln f x a x x =-+，其中a R ∈．（1）当0a =时，设函数2()()g x f x x =-，求函数()g x 的极值．（2）若函数()f x 在区间(0,1)上递增，求a 的取值范围；（3）证明：211sinln 3ln 2(2)nk k =<-+∑．18．已知函数()()1ln f x x x x λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R .（1）当1x >时，不等式()0f x <恒成立，求λ的最小值； （2）设数列()*1N n a n n =∈，其前n 项和为n S ，证明：2ln 24n n n a S S -+>. 19．已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论。
20．设函数()ln(1)(0)f x x x =+≥，(1)()(0)1x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：2()f x x x ≥-.（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：当*n N ∈时，22121ln(32)49n n n n -++>+++. 21．已知函数()(ln )1f x x x a =-+的最小值为0．()a R ∈ （1）求a 的值； （2）设21ln 1n x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求证：1224n nx x x n +++>+．22．已知函数()xf x a =（0a >，1a ≠）. （1）当e a =（e 为自然对数的底数）时，（i ）若()()2G x f x x m =--在[]0,2上恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围；（ii ）若()()122nn T x f x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭（n R ∈），求()T x 在[]0,1上的最大值； （2）当2a =时，()n a f n =，n N +∈，数列{}n b 满足()()11111C 2n kn n k n k f n b a +=⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭∑.求证：13314n n k k b =⎡⎤⎛⎫≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.23．已知函数()()()ln 21211f x x m x =---+，m R ∈.（1）若曲线()y f x =在()()22f ,处的切线与直线320x y -+=垂直，求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求m 的取值范围；②求证：对任意正整数1n >，都有()()41ln 2!5n n n +<⎡⎤⎣⎦. 24．已知函数f （x ）＝a 1nx ﹣ax +1（a ∈R 且a ≠0）． （1）求函数f （x ）的单调区间； （2）求证：2341234ln ln ln lnn n n⨯⨯⨯⨯＜（n ≥2，n ∈N *）． 25．已知自变量为x 的函数()()11ln ln 12xn n n e f n x n e x -=--++的极大值点为n x P =，*n N ∈， 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.（1）若1n =，证明：()f x 有且仅有2个零点； （2）若1x ，2x ，3x ，…，n x 为任意正实数，证明：()14niiii f x P =<⎡⎤⎣⎦∑.26．已知(1)()ln(1)(0)1ax x f x ax a ax+=+->+.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：()*222211111111,2234e n N n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<∈ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 27．设函数2()2ln(1)1x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中，11a =，且1(1)(1)1n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-. 28．已知函数()ln(1),(1)ln 2a f x f x=+=.（1）证明：1()f x x<； （2）若21[(2)(2)(2)]1n f f f m n ++⋯+≤+对任意的*n ∈N 均成立，求实数m 的最小值.29．已知函数f （x ）＝xlnx ﹣x +1，g （x ）＝e x ﹣ax ，a ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的最小值；（Ⅱ）若g （x ）≥1在R 上恒成立，求a 的值； （Ⅲ）求证：21111111222nln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜． 30．已知函数() 1.xf x e x =-- （1）证明：()0f x ≥；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m +++<，求m 的最小值.31．己知函数()ln f x ax x =-（a 是常数，且0a >）. （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当()y f x =在1x =处取得极值时，若关于x 的方程2()2f x x x b +=+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）求证:当2n ≥，*n N ∈时，22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 32．已知函数()ln(),f x x x a a R =-+∈.（1）对定义域内的任意x ,都有()0f x >，求a 的取值范围； （2）若()f x 在1x =处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数n ，222111(1)(1).(1),23e n+++<其中e 为自然对数的底数． 33．已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，4n nb a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.34．已知函数()()2()1ln 1(0)f x a x x x ax a =++-->是减函数.（1）试确定a 的值； （2）已知数列{}()()*123ln 11n n n n n a a T a a a a n N n +==∈+，求证：()ln 212n nn T +<-⎡⎤⎣⎦.35．已知函数()ln f x x =，()(1)g x a x =-（Ⅰ）当2a =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间；（Ⅱ）若1x >时，关于x 的不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若数列{}n a 满足11n n a a +=+，33a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：ln(1234...)n n S ⨯⨯⨯⨯⨯<.36．已知函数2()ln (21)(1)f x x ax a x a =+-+++. （1）若12a =，分析()f x 的单调性. （2）若对1x ∀>，都有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：2222222212n n n k n nn n n n++++⋅⋅⋯⋅⋅⋯⋅>对任意正整数n 均成立，其中e 为自然对数的底数.37．已知函数()()0bf x ax a x=+>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．函数()()ln g x f x x =-.（1）求ab 的值，并求函数()g x 在区间[)1,+∞的最小值（2）证明：()2*1ln 1,4nk n nk n n N =+<≥∈∑ 38．若函数()()()211ln 1122a x x a f x x ++-+-=. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥在()1,-+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正整数n 都有，11111ln 2ln 3ln 4ln n n n-+++⋅⋅⋅+>. 39．数列{}n a 的前n 项和为n R ，记11nn i S i==∑，数列{}n b 满足11b a =，1(2)n n n n R b S a n n-=+≥，且数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）① 计算111T S R -，222T S R -的值；② 猜想,n n R S ,n T 满足的关系式，并用数学归纳法加以证明； （2）若数列{}n a 通项公式为112n n a -=，证明：22ln n T n <+. 40．已知函数()2ln 3f x x x ax =+-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =. （1）确定实数a 的值，并求函数()y f x =的单调区间； （2）若*n N ∈，求证：())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.41．已知函数()ln f x x =，()322x x xg a-=. （1）求函数()()2F x f x x =-+在[4)x ∈+∞，上的最大值； （2）若函数()()()2ln H x f x g x =-⎡⎤⎣⎦在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围； （3）求证：()()()()2017*14034ln 222114035k f k f k f k k N =<+-+-<∈⎡⎤⎣⎦∑.42．已知函数（1）若函数在区间1(,)2a a +上存在极值，其中a >0，求实数a 的取值范围； （2）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证:[]22(1)(1)()n n n e n N -*+>+⋅∈！． 43．已知函数1ln ()xf x x+=. （1）如果当1x ≥时，不等式()1af x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：()222111*212112212ne e e n n N +⨯+⨯+++⋯+<+∈.44．已知()sin f x a x =，()ln g x x =，其中a R ∈，函数()y h x =与()y g x =关于直线y x =对称．（1）若函数()()()1G x f x g x =-+在区间()0,1上递增，求a 的取值范围；（2）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑；（3）设()()()()2210F x h x mx x b m =--++<，其中()0F x >恒成立，求满足条件的最小正整数b 的值．45．设函数2()ln(1)f x x a x =-+，其中a R ∈（1）当0a <时，讨论函数()f x 在其定义域上的单调性； （2）证明：对任意的正整数n ，不等式23111ln(1)nk n kk =⎛⎫+>-⎪⎝⎭∑都成立. 46．已知函数f （x ）＝e x ﹣ax （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x 1＜x 2，且满足f （x 1）＝（x 2）.证明12()02x x f '+<； （3）证明：01221212121121nn e e e e ----++++≥-（n ∈N ）． 47．已知数列{}n a 满足()122332132n nn a a n a ++++-=-，n *∈N ，记12n n S a a a =+++．（1）求n a 和n S ； （2）证明：1111ln 123n S n n ⎛⎫++++<+ ⎪⎝⎭． 48．已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n ni n =-->+∑成立.49．已知函数1ln ()xf x x+=. （1）求函数的单调区间；（2）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：[]21ln +ln(+)111nk n k k n n =-->+∑（*n ∈N ）（说明：121ni n k x x x x ==+++∑）50．已知函数()sin f x x ax =-.（1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值； （3） 求证：1111ln(1)1231n n n+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈. 51．已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （ⅰ）证明：102n a <<（n *∈N ）； （ⅱ）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.52．已知数列{}n a 满足111221,(2)311n n n a a n a a ---==≥--． （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,用数学归纳法证明:13ln 22n n S n +⎛⎫<+- ⎪⎝⎭. 53．已知函数()1,f x xlnx ax a R =++∈（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<+++<++． 54．已知函数f （x ）=alnx -ax -3（a ∈R ）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间（Ⅱ）设a=-1，求证：当x ∈（1，+∞）时，f （x ）+2>0（Ⅲ）求证：··……<（n ∈N +且n ≥2）55．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋1axx + (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的极值；(3)求证：ln(n ＋1)> 22221121311123n n----+++ (n ∈N *)． 56．设函数()ln af x x x=+，其中a R ∈（1）讨论()f x 的单调性； （2）①若a ＝1，求()f x 的最小值 ②求证：21[(1)!](1)()n n n en N -*+>+⋅∈．提示：（n ＋1）！＝1×2×3×…×（n ＋1）57．已知函数f(x)＝xlnx 和g(x)＝m(x 2－1)(m ∈R)． (1)m ＝1时，求方程f(x)＝g(x)的实根；(2)若对任意的x ∈(1，＋∞)，函数y ＝g(x)的图象总在函数y ＝f(x)图象的上方，求m 的取值范围； (3)求证：4411⨯-＋242421⨯⨯-＋…＋2441n n ⨯⨯->ln(2n ＋1) (n ∈N *)． 58．已知函数()ln f x x x =-. (1)求()f x 的最小值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，22211111123m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.59．已知()af x x x=-（0a >），()2ln g x x bx =+，且直线22y x =-与曲线y g x 相切.（1）求b 的值；（2）若对[)1,+∞内的一切实数x ，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：()214ln 2141ni in i =>--∑（*n N ∈）.60．已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：()()2*222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+. 61．已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-. （1）求a ；（2）讨论函数()()2g x f x x =-(0)x >和2()()21xh x f x x =-+(0)x >的单调性； （3）设12,5a =()1n n a f a +=，求证：1521202n nn a +-<-<(2)n ≥. 62．已知函数2()ln(1)()f x x ax x a R =++-∈．（Ⅰ）若对任意0x ≥，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：ln(1ln(1ln(1ln(181++++++⋯⋯+>． 63．已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =. （1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值（3）证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N64．已知数列{}n a 满足:113, 1.1nn n a a a a +==+ （1）证明:1(2);2n a n ≤≥ （2） 证明:).n a n N +>∈65．已知函数()xf x e =，()()lng x x a b =++．（Ⅰ）若函数()f x 与()g x 的图像在点()0,1处有相同的切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当0b =时，()()0f x g x ->恒成立，求整数a 的最大值；（Ⅲ）证明：23ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)+-+-[ln(1)ln ]1n en n e +++-<-． 66．已知函数()()0af x ax a x=-> （1）若()ln f x x ≥在[1，+∞)上恒成立，求a 的取值范围．（2）证明：()()()*11ln 11,21nk n n n n N kn =>++≥∈+∑ 67．已知函数()21ln 2f x x x =+-. （1）求函数()f x 在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）求证：2222*2222ln1ln 2ln 3ln 13(12312n n n N n n +++⋅⋅⋅+<+-∈+且2)n ≥.68．设函数()1ln f x x a x x=--． （1）求()f x 的单调区间；（2）设()()ln g x f x a x =-，且()g x 有两个极值点12,,x x 其中(]10,x e ∈，求12()()g x g x -的最小值；（3）证明：21ln 1nk k k =-+∑2n ∈N *，n ≥2）．69．已知函数l ()1n f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求实数a 的值；（2）求证：()()21(1)ln(21)ln 21ln 211ln 222n n n n +++++++<-+． 70．已知f （x ）=x-ax（a>0），g （x ）=2lnx+bx 且直线y=2x －2与曲线y=g （x ）相切．（1）若对[1，+∞）内的一切实数x ，小等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a=l 时，求最大的正整数k ，使得对[e ，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k 个实数x 1，x 2，，x k 都有121()()()16()k k f x f x f x g x -+++≤成立；（3）求证：*2141(21)()41ni i n n n N i=>+∈-∑． 71．设l 为曲线C ：ln xy x=在点()1,0处的切线. （1）求l 的方程；（2）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方；（3）求证：2444ln 2ln 3ln 231234n n n n n-++++<（其中n *∈N ，2n ≥）. 72．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥. （1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 73．已知函数ln ()1xf x x =-. （1）若不等式ln ()2af x a ≥在[,2](0)x a a a e ∈<≤上有解，求a 的取值范围；（2）若21111()[ln(1)ln(1)ln(1)]1222n g n m n =++++++≤+对任意的*n N ∈均成立，求m 的最小值.74．已知函数()()()1ln 11f x x x k x =++-+.（1）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围； （2）证明：2,n n N ∀≥∈，()22ln 5ln11ln 121n n n n ++++->-++. 75．已知函数f (x )=ax 2−lnx,a ∈R .（1）讨论函数f (x )的单调性； （2）当n ∈N ∗时，证明：2212+3222+4232+⋅⋅⋅+(n+1)2n 2>2eln (n +1).76．已知函数321()1(,3f x x ax bx x a =+-+∈R ，b 为实数）有极值，且在1x =处的切线与直线10x y -+=平行. （1）求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设函数()21()2ln f x ax b g x x x'-+-=- 试证明：()0>g x 在(1,)+∞上恒成立并证明()*11111111ln 123412n n N n n n ⎛⎫++++++≥++∈ ⎪-⎝⎭77．已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞,有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明()*12ln(21)221ni n n N i =-+<∈-∑. 78．已知函数1()(1)ln g x x x=+，1()h x x x=-. （1）求证：函数()g x 与()h x 在1x =处的切线关于x 轴对称； （2）若()()()f x g x h x =+ （ⅰ）试讨论函数()f x 的单调性；（ⅱ）求证：*121ln 1(2,)23n e n n n N n n-<++++≥∈. 79．已知函数f(x)=2lnx −x 2，(1)求函数y =f(x)图象上一点A(1,f(1))处的切线方程．(2)若方程f(x)−2a =0在[1e ,e]内有两个不等实根，求实数a 的取值范围(e 为自然对数的底数)．(3)求证1ln2+1ln3++1lnn ≥32−2n+1n(n+1)(n ∈N ，且n ≥2) 80．函数()ln )f x n x =-，其中*n N ∈，(0,)x ∈+∞.（1）若n 为定值，求()f x 的最大值；（2）求证：对任意*m N ∈，有ln1ln 2ln 3ln(1)m ++++21)>；（3）若2n =，ln 1a ≥，求证：对任意0k >，直线y kx a =-+与曲线()y f x =有唯一公共点.81．已知m R ∈，函数1()ln m f x mx x x -=--，1()ln g x x x=+ （1）求()g x 的最小值；（2）若()()y f x g x =-在[1,)+∞上为单调增函数，求实数m 的取值范围；（3）证明：2ln 2ln3ln 4ln 2342(1)n n n n ++++<+（*n N ∈） 82．已知()()()222xf x x e m x x =---.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有一个极值点，求函数()()ln g x f x x x x =+-的最小值；(3)证明：()()()11112ln 1k nk k e k k e n n k k +=⎡⎤+++->++⎢⎥⎣⎦∑（*n N ∈）. 83．已知函数()()()21ln ,02ax g x x x h x a -==>.（1）若()()g x h x <对()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：不等式3422212111n e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于正整数n 恒成立，其中2.71828e =为自然对数的底数.84．已知函数()e xf x kx =-，x ∈R ．（1）若()f x 在(1,)+∞为增函数，试求实数k 的取值范围．（2）当0k >，若存在(0,)x ∈+∞，使()0f x ≤成立，试确定实数k 的取值范围．（3）设函数()()()F x f x f x ，求证：（i ）1212()()e2x x F x F x +>+．（ii ）12(1)(2)...()(e 2)nn F F F n +>+，*n ∈N ． 85．已知函数()e x f x kx =-．（1）若e =k ，确定函数()f x 的单调区间．（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围． （3）求证：不等式15e (1)4i nni n =>+∑对任意正整数n 恒成立． 86．已知函数()ln ,f x k x =且()y f x =在2x =处的切线与直线220170x y +-=垂直.(1)求实数k 值;(2)若不等式()()22242e |ln e 1t mt f x m ---≤--+对任意的实数t 及(21,e 1x ⎤∈+⎦恒成立,求实数m 的取值范围; (3)设n a n=,且数列{}n a 的前n 项和为n S ,求证:()1ln 1nS n >+. 87．已知函数()()ln ,(1)1x xf xg x a x x ==-+ . （1）若函数()y f x =与()y g x =的图象恰好相切与点(1,0)P ，求实数a 的值； （2）当[1,)x ∈+∞时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：214ln(21)()41ni in n N i +=+≤∈-∑ . 88．设{}n a 是正数数列，1nn ni S a==∑，且21n n n a a a +-=n N *∈（）．求证：2113n n S n++＜． 89．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，14b =，且12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=.（1）求234,,a a a 及234,,b b b ；（2）猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并证明你的结论；（3）证明：对所有的*n N ∈，32111321•••n n a a a b b b --<<90．设函数()()()1ln 1f x ax x bx =-+-，其中a 和b 是实数，曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点． （1）求常数b 的值； （2）当01x ≤≤时，关于1123a -<<-的不等式21a m a+=-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：对于任意的正整数n ，不等式恒成立.91．已知函数()f x 是在(0,)+∞上每一点处均可导的函数,若()()xf x f x '>在(0,)+∞上恒成立.(Ⅰ)①求证:函数()()f x g x x=在(0,)+∞上是增函数; ②当1200x x >>时,证明:()()()1212f x f x f x x +<+;(Ⅱ)已知不等式ln(1)x x +<在1x >-且0x ≠时恒成立,求证:()222222221111ln 2ln 3ln 4ln(1),234(1)2(1)(2)n n n N n n n ⨯+++⋯++>∈+++ 92．(本小题满分12分）已知函数f(x)=x −ln(x +a)在x =1处取得极值. (1)求实数a 的值；(2) 若关于x 的方程f(x)+2x =x 2+b 在[12,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； (3) 证明：∑1k−f(k)nk=1>3n 2−n−2n(n+1)(n ∈N,n ≥2)．参考数据：ln2≈0.6931.93．已知函数()ln 1f x x kx =-+．（1）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：()2*2ln 2ln 3ln 4ln 1101,2381514nn n n n N n n n ++⎛⎫++++++<∈≥ ⎪-⎝⎭．94．已知函数32()f x x x =-+，()ln g x a x =(0,)a a R ≠∈. （1）求()f x 的极值；（2）若对任意[1,)x ∈+∞，使得3()()(2)f x g x x a x +≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：对*n N ∈，不等式1112015ln(1)ln(2)ln(2015)(2015)n n n n n +++>++++成立.95．已知函数2()ln(1)(0)f x x ax a =++≤， （1）若()f x 在0x =处取得极值，求a 的值； （2）讨论()f x 的单调性；（3）证明：*2111111,9813n n N e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+<∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为自然对数的底数)． 96．已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点处的切线斜率为.（1）求的值及函数的单调区间；（2）证明：当时，；（3）证明：当时，.97．已知函数ln ()()x af x a R x+=∈. （1）求f(x)的极值； （2）求证：ln 2ln 2ln3ln 2ln3ln 1,2624(1)!22n n n n n ⋅⋅-+++<≥++且n N *∈．98．已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求所有实数的值；（3）证明：.99．设，曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范围； （3）求证：． 100．（本小题满分14分）已知函数21()ln(1)2f x x ax x =--+，其中a R ∈ ． （1）求()f x 的单调区间； （2）求证：n n In In In In 33443322+⋯⋯+++＜。
