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人教版九年级上册数学精品系列《实际问题与二次函数》PPT

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人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 课件(共18张PPT)

人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 课件(共18张PPT)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
课堂导入
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题及实际问 题中的最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、 隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
新知探究 知识点1
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m．水面下降 1 m， 水面宽度增加多少？
达到最大高度的时刻是( B )
A.第8秒
B.第10秒
C.第12秒
D.第15秒
D
一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物 线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确 落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直 角坐标系中，下列说法正确的是 ( A )
实际问题与二次函数
22.3
第3课时
知识回顾
建立函数 关系式
最大利润问题
确定自变量 取值范围
确定最 大利润
总利润=单件利润×销售量 或总利润=总售价-总成本.
涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式法求最大值 或利用函数简图和性质求出.
学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数 问题． 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
水面下降1 m，水面宽度增加_(_2__6__4_)_m.
新知探究 知识点1
解决抛物线型建筑问题的步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； (2)设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式； (3)利用二次函数的图象与性质求解实际问题.
新知探究 跟踪训练

人教版初中数学九年级上册 22.3 实际问题与二次函数(共18张PPT)

人教版初中数学九年级上册 22.3 实际问题与二次函数(共18张PPT)

解（：1）根据已知条件有vt =30×8=240
所以v与t的函数式为 v 2 4 0
t
（2）把t=5代入 v 2 4 0 ，得 v 240 48
t
5
（当k>0时，v随t的增大而减小
所以t≤5时，v≥48）
答：平均每天至少要卸货48吨.
思考:还有其他方法吗?
(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须 在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至 少要卸多少吨货物?
(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速 度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间 有怎样的函数关系?
解:设货物总量为k, 则k=30×8=240吨
所以v与t的函数关系为 v 240 t
解:设货物总量为k, 则k=30×8=240吨
所以v与t的函数关系为
v 240 t
（2）由于遇到紧急情况，船上的货 物必须在不超过5日内卸完， 那么 平均每天至少要卸多少吨货物？
x
时,y的取值范围是 -_1_<_y_<_0 ;当y﹥-1时,x的取值范围 是 _X_<_-_2_或__x_>_0 .
2.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车 以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小 时可达到乙地.
（1）求汽车速度v（千米／时），与从甲地到乙地 所用时间t（小时）之间的函数关系式.
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不 超过5日内卸完，那么平均每天至少要卸多少吨 货物？
分析：（1）根据装货速度×装货时间＝货物的总量， 可以求出轮船装载货物的的总量；
（2）再根据卸货速度＝货物总量÷卸货时间， 得到ｖ与ｔ的函数式。
例2,码头工人以每天30吨的速度往一 艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好 用了8天时间.

人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》课件(共13张PPT)

人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》课件(共13张PPT)

建 立 直 角 坐 标 系 。 则 ： B(0,1.5)
连 接 B 、 C ， 过 点 C 作 C E y轴 于 点 E 。
又 由 题 意 知 C B E = 4 5 ,B E = 2 米
A E = 3 .5 米 C E = B E = 2 米
顶 点 C 2 ,3 .5
设 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y = a ( x - 2 )2 + 3 . 5
B(0,1.5)在 抛 物 线 上
1.5 = a ( 0 - 2 )2 + 3 . 5
y
a=-
1 2
y=-
1 ( x - 2 )2 + 3 . 5 2
当 y = 0 时 ， 即 ： 0 = - 1 ( x - 2 )2 + 3 . 5 2
EC B
x1 7 2 , x2 7 2 0 (舍 ） A
y x
0
实际问题与二次函数（三）
y
x
o
课前预习
问题一：有一桥洞为抛物线形的拱桥，这个 桥洞的最大高度为16m，跨度40m，现在把它 的图形放在坐标系中，如图示，若跨度中心点 M左右5m处各垂直竖立一根铁柱支撑拱桥， 则铁柱有多高？
y
N
M o
P 40 x
解 ： 由谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
-2
B（2，-2）
-3
1米
D
课堂小结
㈠生活当中的拱桥、喷出的水柱、投篮时篮 球的运动路线等等都成抛物线形，因此我们 可以用二次函数的知识来解决此类相关问题。
㈡解决此类抛物线实际问题的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系 。 ②求抛物线的解 析式 。 ③ 根据函数解析式和已知量求相关的量。

人教版数学九年级上册2实际问题与二次函数课件

人教版数学九年级上册2实际问题与二次函数课件

小结
（1） 如何求二次函数的最小（大）值，
并利用其解决实际问题？
（2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？
你学到了哪些思考问题的方法？
22.3 实际问题与二次函数
拱桥问题
一 利用二次函数解决实物抛物线型问题
探究3： 如图是抛物线形拱桥，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,
水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面降落 1 m,问此时水
洞顶点O到水面的距离为8m.在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函
数关系式是___．
)
课堂小结
转化
实际问题
数学模型
（实物中的抛物线形问题）
拱 桥 问 题
回归
（二次函数的图象和性质）
建立恰当的
直角坐标系
转化的关键
•
能够将实际距离准确
的转化为点的坐标；
•
选择运算简便的方法.
谢 谢
。
4
2a
2. 求函数y＝ 2 2 + 2 − 3的最值。
解法一：a=2,b=2,c=-3,根据二次函数
的图像与性质，a>0,图像开口向上，有
最小值。由公式法可知：
4−2
=
4
=-3.5
解法二：函数可整理为
= 2 2 + 2 − 3 = 2 + 0.5
由此可得 =-3.5
Байду номын сангаас 课堂练习
1．某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8
m，两侧距地面4 m高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距
离为6 m，则校门的高度为(精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计)(

22.3实际问题与二次函数 课件人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数 课件人教版数学九年级上册

【综合拓展类作业】
(2)设利润为w 当22≤x≤30 时 ，w=(x-20)(-x+70)=-x²+90x-1400=-(x45)²+625 ∵在22≤x≤30 范 围 内 ，w 随着x的增大而增大， ∴当x=30 时 ，w 取得最大值为400;
当30<x≤45 时 ，w=(x-20)(-2x+100)=-2x²+140x-2000=2(x-35)²+450 ∴当x=35 时 ，w 取得最大值为450 ∵450>400,
篱笆总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计),当AB=_ 150 _m 时，矩形土
地ABCD 的面积最大.
B
F
C
【知识技能类作业】选做题：
3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近 似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A, B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90 米), 以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物 线钢拱的函数表达式为( B )
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：1)S=x(24 -4x)=-4x²+24x(0<x<6)
2)当
时，
3)∵墙的可用长度为8米 ∴0<24 -4x ≤8 ∴4≤x<6 ∴当x=4cm时，S最大值=32平方米
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。 (1)建立适当的平面直角坐标系。 (2)根据题意找出已知点的坐标。 (3)求出抛物线解析式。 (4)直接利用图象解决实际问题。

人教版数学九年级上册：22.3《实际问题与二次函数》 PPT课件(共32页)

人教版数学九年级上册：22.3《实际问题与二次函数》 PPT课件(共32页)
例3.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下 底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条 横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬 道的宽为x米。
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费 用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余 部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时， 所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的 关系式，进而列式转化为二次函数求解。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习：如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°， 两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1 基础性例题
例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙 长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠 墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）。设绿化带 的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 （2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练 练习：某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形， 制造窗框的材料总长为15 m（图中所有线条长度之和），当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ （结果精确到0.01 m）

初中数学人教版九年级上册《2实际问题与二次函数》课件

(2) 设合作社每天获得的利润为w元，
则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+ 110) =-0.5x2+120x-2 200=-0.5(x-120)2+5000，
因为60≤x≤150，
所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.
每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，
已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元润（元）
销售量（件）
20
20-x
300
300+20x
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
品买卖过程中，追求利润最大化是商家永恒的追求.如果你是商
场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
知识点1
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价
为每件 40 元，则每星期销售额是 18000 元，销售利润是 6000元.
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
100
5时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
当 x
2 (10)
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
知识点1
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反应：

人教版九年级上册课件 22.3 实际问题与二次函数 (共17张PPT)





建立二次函数的解析式。（建模） 把实际问题转换到二次函数的相关知 识上进行解决。（转化） 结合二次函数的图像解决相关的实际 问题（数形结合） 最优化


A题

假设篱笆（虚线）的长度为 40 米，两 面靠墙围成一个矩形，要求面积最大 ，如何围才能使矩形的面积最大？
B题
如图，在一面靠墙的空地上用长为40米的篱笆， 围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃 的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是 多少？ (3)若墙的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的 最大面积。
-5
O
5
10 15 20 25 30 35 40
x
X=16
方法二： ∵ 0＜x≤16＜20 ∴y随x的增大而增大 ∴当x=16时y最大，最大值为192。
解:(1)当AB=xm时，则BC=(40-2x)m ∴y=x(40-2x) Y=192 y =-2(x-10)² +200 x的取值范围是12 ≤ x ＜ 20 250 方法一：根据函数的图像 我们可以知道，当x=12时 y最大，最大值为192。
解： (1) ∵ AB为x米、∴ 花圃宽BC为
（40－4x）米
∴ S＝x（40－4x） ＝－4x2＋40 x （0<x<10）
A B
D C
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 5 时，S最大值＝ 4a ＝100（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<40－4x ≤8 8≤x<10 ∴当x＝8cm时，S最大值＝64平方米
总结
1.分析题目中的变量。

人教版数学九年级上册2实际问题与二次函数课件(共20页)

分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来
确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出
件,销额为
元，买进商品需付
元因此，所得利润为
元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
巩固训练、拓展思维
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了坚固起见，每段护 栏中需要间距4dm加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这 条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A、50m B、100m C、160m D、200m
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 应：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
22.3 实际问题Байду номын сангаас二次函数
前置作业
问题1.对于二次函数 y ax2 bx c ,如
何求出它的最值呢？
y
x b 2a
x b
y
2a
O
x
O
x
如果a>0,当 x= b 时， 如果a<0,当 x= b 时，
2a
2a
y有最小值 4ac b2
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即 y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)

最新人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》精品课件

即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
课后小知识
学习方法指导
同学们，天道酬勤，一个人学习成绩的优劣取决于他的学习 能力，学习能力包括三个要素：
规范的学习行为； 良好的学习习惯； 有效的学习方法。 只要做好以上三点，相信你一定会成为学习的强者。 加油！加油！加油！
即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
降价
进价/元 售价/元 销量/件
40
60-m 300+20m
利润
降价情况下的最大利润又是多少呢?
解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20.
.
2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大.
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人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
5．运用新知，拓展训练
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠
墙（墙长 16m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，
绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住
（如下图）．设绿化带的 AB 边长为 x m，绿化带的面
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
3．归纳探究，总结思路
1．求面积最值，就以面积为函数列出二次函数 的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.
• 分析：与墙垂直的边AB,DC长是x米，与墙平行的边BC长是
（40-2x）米，所以矩形面积是：y=x（ 40-2x ）
• 解：矩形面积是：
•
y=x（ 40-2x ）
B
•
y=-2x2+40x （12 ≤ x ＜20）
•
•
x
b 2a
= 10 ＜12
C
A 16 m
D
• ∵ a=-2 ＜0 ∴ 当 x＞10时，y随x 的增大而减小， 当x=12时， y有最大值： y=-2×122+40×12=192
积为 y m2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系 式，并写出自变量 x 的取值范围.
BA
（2）当 x 为何值时，满足条件
16 m
的绿化带的面积最大？
CD
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
•
（ 顶点坐标为
b 2a
，
4ac b 2 ）， 4a
•
a＞0时，抛物线开口 向上 ，顶点 是最 低 点，函数有最 小 值；反过来a ＜0呢？
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
复习旧知 ，引出问题
•2、二次函数y= -2（x－2)2－5的图象顶点坐标是 （2，-5），当x____2__ 时，y有最__大____ 值 ，是__-5____。 •3、二次函数y=－x²+4x－3的图象顶点坐标是 （•2，1），当x__=__2__ 时，y有最__大____ 值 ，是___1___。 • 4、二次函数y=x²+2x-4的图象顶点坐标是 （ -1，5）， 当x___-_1__时，y有最___小___值，是 ___5___。
根据二次函数的定义，图象及性质，
知道二次函数图象是
，顶点坐标
为
，a＞0时，抛物线开口
，顶
点是最
点，函数有最
值；反过来
a＜0呢？
。
1．复习旧知，引出问题
• 1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开口方 向、对称轴、顶点坐标。
•
根据二次函数的定义，图象及性质，知
道二次
函 物数线一般，形对式称是x轴y是=直2baa线x 2 + bx + c ，图象是 抛
（40-2x）米，所以矩形面积是：
BA
•
y=x（ 40-2x ）
• 解：矩形面积是：
25 m
•
y=x（ 40-2x ）
•
y=-2x2+40x （7.5 ≤ x ＜20） C D
• ∴当
x
b
=
10时 ，有最大面积
y 4acb2．
2a
4a
•
• 答：…
=200
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
分析：由于函数的自变量的取值范围是全体 实数，所以只要确定他们的图像有最高点或最低 点，就可以确定函数有最大值或最小值。
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数 （第1课时）
• 学习目标： 能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，
会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值 （或最小值）．
• 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实
际问题的方法．
1．复习旧知 ，引出问题
1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开 口方向、对称轴、顶点坐标。
2．知识应用，探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？
解： S（60l）l ， 2
整理后得 Sl23l0（0＜l＜30）．
∴ 当 l2ba2（301）15时，
S 有最大值为
4acb2 2．25 4a来自当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．
• 答：…
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
2．求最值般就求顶点。
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最值点，当 x b 时，
二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最值 y 4acb2．
2a
4a
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
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（2）当 x 为何值时，满足条件 的绿化带的面积最大？
25 m
CD
人 教 版 九 年 级上册 数 学 课 件 2 2 .3《实 际问题 与二次 函数》 (共16 张PPT)
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• 分析：与墙垂直的边AB,DC长是x米，与墙平行的边BC长是
4．运用新知，拓展训练
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙
（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿
化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如
下图）．设绿化带的 AB 边长为 x m，绿化带的面积为 y
m 2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系 式，并写出自变量 x 的取值范围.