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数学课件 多元函数最值问题

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多元函数极值与最值课件

多元函数极值与最值课件
x4 y6x2
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D

o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如

高等数学：8-5多元函数的极值与最值

高等数学：8-5多元函数的极值与最值

y
y2
解得
x y 3 va b ,
c
即驻点为 3
va b, 3
c
va
c
b
.
z3
c2v
a b2
在定义域内有唯一的极值可疑点，且该实际问题确实有 最小值,所以这个极值可疑点就是函数的最小值点,
答：当长、宽均为 3
va b
c
，高为
3
c2v
a b2
时，造价最低。
8
三、条件极值 1. 无条件极值 :求函数在其定义域内的极值(对自变 量没有任何限制)称为无条件极值. 2. 条件极值: 对函数的自变量有附加条件的极值 条件极值
f x, y f x0 , y0 则称该函数在点 Px0 , y0 处有极小值 f x0 , y0 .
极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点。
如,函数 z 3x2 4 y2 在点0,0处取得极小值.
z 2 x 2 y2 在点0,0 处取得极大值.
再如,函数 z xy, 在点0,0 处既不取得极小值，也不取得极大值. 1
2. 极值的判别定理
定理1(必要条件) 设函数z f x , y 在点 x0 , y0 处
偏导数存在 ,且在点 x0 , y0 有极值,则
fx ' x0 , y0 0, fy ' x0 , y0 0.
证: 不妨设 z f x , y在点x0 , y0 处取得极大值，则 f x, y f x0 , y0
(3). 在点 1,0 处, B2 AC 72 0, 又A 0, 所以函数在
1,0 处有极小值 f 1,0 5.
在点 1,2处, B2 AC 72 0, 函数在 1,2不取得极值.

大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法

大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 处有极大值；
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，

8-8多元函数极值和最值-PPT文档资料

8-8多元函数极值和最值-PPT文档资料

z
O
y
x
回忆
一元函数极值的必要条件
如果函数 f(x)在x0处可导,且f(x)在x0 处取得极值, 那么 f(x0)0.
一元函数极值(第二)充分条件
如f果 (x0)0,f ( x0 ) 0 ( 0),则f (x0)为
极大值 (极小值).
二元函数极值的必要条件
定理 设 zf(x,y)在 (x0 点 ,y0)具有 偏导数, 且在(x点 0,y0)处有极值, 则
函数的极大值与极小值统称为 极值. 函数的极大值点与极小值点统称为 极值点.
z
例 函数 z3x24y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值). O y
xz
例 函数 z x2y2 下半圆锥面
O
x
y
在(0,0)点取极大值. (也是最大值).
例 函数 zxy 马鞍面
在(0,0)点无极值.
8.8 多元函数的极值与最值
8.8.1 多元函数的极值 8.8.2 多元函数的条件极值 8.8.3 Lagrange(拉格朗日)乘数法 8.8.4 多元函数的最值及其应用
8.8.1 多元函数的极值(extremum)
极大值和极小值的定义 和一元函数一样，极值是局部概念
定义 设在点P0的某个邻域, f(P)f(P0),则称 点P0为函数的极大值点.f (P0) 为极大值(relative maximum). 类似可定义极小值点和极小值(relative minimum).

③定出 ACB2的符号, 判定是否是极值.
例 求 f( x 函 ,y ) 3 a 数 x x 3 y 3 ( a 0 )的极值.
解
①解方程组

fx fy

高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值

高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值
x2 2a3
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy

8.6多元函数的极值与最值ppt课件

8.6多元函数的极值与最值ppt课件

将条件极值问题转化为求F( x, y, )的无条件极值。
2)、求解方程组：FFxy
f x x f y y
0 0
F ( x, y) 0
可能极值点( x, y)
和乘数
3)、判别(x,y)是否为极值点.一般根据实际问题得结论.
;
11
例： 某企业生产两种不同型号的机器，当生产量分别为 x, y台时，总成本函数：C( x, y) x2 xy 2 y2 , 如果两种 机器共生产8台，问：各生产多少可使总成本最少？
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
注1：称使f x( x0 , y0 ) 0，f y( x0 , y0 ) 0的点为f ( x, y)的驻点。
注2：二元函数的极值点必是驻点或一阶偏导不存在的点，
因此，函数的极值点从这两类点中去寻找。
例 求函数f ( x, y) 3x2 4 y 2的极值。
解：
f x
6x
称f ( x0 , y0 )为f ( x, y)的最大值(或最小值).
相应的点为f ( x, y)的最大值点(或最小值点).
注1：若区域D为有界闭域，先求出f(x,y)在D内的全部驻点
的函数值,一阶偏导数不存在点的函数值, 以及区域D
边界上驻点的函数值，再比较大小，其中最大者为最大值，
最小者为最小值。
所以当两种机器各生产5台; 和3台时总成本最少。
12
例：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并使S=xyz 最大。
解：目标函数：C( x, y) xyz
约束条件：( x,
y)
x
y
z
12
0
令F( x, y, z, ) xyz ( x y z 12)

多元函数的极值问题


则: 1) 当AC B 2 0 时, 具有极值且
A<0 (C< 0 )时取极大值; A>0 (C >0 )时取极小值.
2 2) 当 AC B 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
m • 一般地, (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y m m f p Cm h p k m p p m p ( x0 , y0 ) x y p 0
定理1. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 )
到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k ) 为此邻域内任 一点, 则有
利用多元复合函数求导法则可得:
(t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
(t ) h 2 f x x ( x0 ht , y0 k t )
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) 2 f ( x0 , y0 )
一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k x p y m p ( x0 ht , y0 k t ) p 0
第四节 多元函数的极值问题
一、二元泰勒公式 二、多元函数的极值 三、多元函数的最值 四、条件极值

学习_课件98多元函数的极值及其求法

第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约：束寻求 最目优标化函问数题的最大（小）值.
在条件 x02 a2

y02 b2

z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )

ln
x0

ln
y0

ln
z0


(
x02 a2

y02 b2

z02 c2

1) ,
由
G
x0

x02 a2
0,

体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)

x2 a2

y2 b2

z2 c2

1,
则Fx |P
2 x0 ， a2
Fy |P
2 y0 ， b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),

大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法

第三步：定出 AC − B 2 的符号，再判定是否是 极值。
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点， 是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
上页 下页 返回
y y y
结束
机动
目录
多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） ：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )

12多元函数的极值与最值


2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 。
2
2
4. 条件极值 拉格朗日乘数法
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制
2019年11月25日星期一
11
高等数学（下）主讲杨益民
引例： 小王有200元钱，他决定用来购买计算机磁盘x张和录 音磁带y盒，设购买这两种商品的效用函数为U(x, y)=lnx+lny。 每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元才能使 其效用达到最大。
( x , y )D
s.t. ( x, y, z) 0

(x, y, z) 0

（1）构造拉格朗日函数：
F( x, y, z, 1, 2 ) f ( x, y, z) 1( x, y, z) 2 ( x, y, z)
（2）求拉格朗日函数F(x, y, z, 1, 2)的无条件极值，得到 条件极值的可疑点。
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1的切平面，使
切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。
解：设 P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点, 令：
F(
x,
y,
z)x2 a2y2 b2z2 c2

1
Fx
|P
2 x0 a2
，Fy
|P
2 y0 b2
，Fz
|P

2z0 c2



z0

a 3 b 3 c 3
当切点坐标为

a ,
3
b ,
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多元函数值域（最值） 问题的求解策略
问题提出
1（. 一模21题）设x m和x n是函数f (x) ln x 1 x2 (a 2)x 2
的两个极值点（m n). （1）求f (m) f (n)的取值范围； （2）若a e 1 2,求f (m) f (n)的最大值.
e
（1）求f (m) f (n)的最大值；
)
f
(n)
f
(m)(
m2 )
m 2 mn
相关试题链接
2. (16 年遂宁二模）已知函数 f (x) mex x 1 .
（2）若 f (x) 的两个零点为 x1, x2 且 x1 x2 ,
求
y
(ex2
ex1 )( ex2
1 ex1
m)
的值域.
3（. 07 年辽宁高考试题）已知函数 f (x) e2x 2t(ex x) x2 2t2 1 ，
转化的策略
解题思想：多元问题一元化
(Ⅱ) 若 a e 1 2 ,求 f (n) f (m) 的最大值. e
又m n a 2 三元问题转化为二元问题
f (n) f (m) ln n 1（n2 m2 ) m2
二元问题转化为一元问题
mn 1
f
(n)
f
(m)
ln
n2
1 2
(n2
1 n2
求函数 f (x) 的最小值.
问题拓展
1（. 16年课标1）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两个零点。 设x1、x2是f (x)的两个零点，证明：x1 x2 2.
2（. 10年辽宁）已知函数f (x) (a 1) ln x ax2 1. (II)设a 1,如果对任意x1、x2 (0,), | f (x1) f (x2 ) | 4 | x1 x2 |,求a的取值范围.
解:函数 f (x) 的定义域为 (0, ) ,
f (x) 1 x (a 2) x2 (a 2)x 1 .
x
x
依题意,方程 x2 (a 2)x 1 0 有两个不等的正根m , n (其中m n ).
（a 2)2 4 0
mna20
a0
mn 1
f (m) f (n) 1 (m n)2 1 2