多元函数最值问题(1)

多元函数极值典型例题例1 求由方程 222224100x y z x y z ++−+−−=确定的函数 (,)z f x y =的极值．解 将方程两边分别对 ,x y 求偏导，得2224022240x x y y x zz z y zz z ′′+−−=⎧⎨′′+−−=⎩. 令0,0x y z z ′′==, 得 1,1x y ==−. 即驻点为(1,1)P −.又223(2)(1)1(2)2xxPPz y A z z z−++′′===−−，0xyPB z ′′==223(2)(1)1(2)2yyPPz y C z z z−++′′===−− 因2210, 2(2)AC B z z −=>≠−，故(,)P z f x y =取极值. 将1,1x y ==−代入 222224100x y z x y z ++−+−−=得122,6z z =−=.2z =−时， 11024A z ==>−，故(1,1)2z f =−=−为极小值； 6z =时，11024A z ==−<−，故 (1,1)6z f =−=为极大值. 例2 求函数221216z x y x y =+−+在有界闭域2225x y +≤的最大值和最小值.解 函数221216z x y x y =+−+在有界闭域 2225x y +≤上连续，故必在该区域上取得最大值和最小值．先求函数在区域 2225x y +<内的驻点.令2120, 2160z z x y x y∂∂=−==+=∂∂，6, 8x y ==−. 但 (6,8)不在区域 2225x y +≤内，故函数的最大值和最小值必在边界2225x y +=上取得.再求 221216z x y x y =+−+在边界 2225x y +=上的条件极值.设 2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+−+−+−.令 2221220(1)21620(2)250(3)x y F x x F y y F x y λλλ′=−−=⎧⎪′=+−=⎨⎪′=+−=⎩ 由(1)、(2)得 68,11x y λλ−==−−，代入(3)式，有 2268()()2511λλ−+=−−. 得121,3λλ=−=.可得驻点12(3,4),(3,4)P P −− 而(3,4)75,(3,4)125z z −=−−=. 故z 的最大值为125，z 的最小值为－75.例3 求内接于半径a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为2222x y z a ++=,(,,)x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点. 则此长方体的长、宽、高分别为2,2,2x y z . 体积为2228V x y z xyz =⋅⋅=本题是求V 在约束条件2222x y z a ++=下的极值. 作拉格朗日函数2222(,,)8()F x y z xyz x y z a λ=+++−令2222820(1)820(2)820(3)0(4)xyz F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ⎧′=+=⎪⎪′=+=⎨′⎪=+=⎪++−=⎩由(1)、(2)、(3)得 4x y z λ===−，代入(4)得3x y z a ===.即有唯一驻点,,333a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠，而由实际问题这种长方体的体积存在最大值，所以当长方体的长、宽、高都为3a 时，其体积最大. 例4 在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +−=的距离最短.解 设(,)P x y 为椭圆上的任意一点，即有2244x y +=. P 到直线2360x y +−=的距离为d ，则d ==作拉格朗日函数2221(,,)(236)(44)13F x y x y x y λλ=+−++−. 令224(236)20136(236)8013440x y F x y x F x y y F x y λλλ⎧′=+−+=⎪⎪⎪′=+−+=⎨⎪⎪′=+−=⎪⎩解得12128855,3355x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==−⎪⎪⎩⎩ 故128383(,),(,5555P P −−为两个驻点.由于1213P d ==，又由实际问题可知最短距离存在，因此点183(,55P 即为所求点. 13d =即为最短距离.例5 求函数 (,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面22225x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式 53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠解 作拉格朗日函数2222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z r λ=++−++−令 22221201203205x y z F x xF y y F z z F x y z r λλλλ⎧′=−=⎪⎪⎪′=−=⎪⎨⎪′=−=⎪⎪⎪′=++−⎩，即2222222120(1)120(2)320(3)50(4)x y z x y z r λλλ⎧−=⎪−=⎪⎨−=⎪⎪++−=⎩(1)+(2)+(3)，得 2222()5x y z λ++=，得212r λ=. 将求得的λ的值分别代入(1)、(2)、(3)式，得驻点(,)r r .因在第一卦限内球面的三条边界上，函数(,,)f x y z 均趋向于－∞，故最大值必在曲面内部取得，而驻点又唯一，则在驻点(,)r r 处，(,,)f x y z 取得最大值，其值为5(,)ln ln 3ln )F r r r r =++=，则对任何0,0,0x y z >>>，有5ln ln 3ln )x y z ++≤，又22221()5r x y z =++，代入得5/222235x y z xyz ⎞++≤⎟⎠，得5222226275x y z x y z ⎛⎞++≤⎜⎟⎝⎠令222,,x a y b z c ===，得53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠。

多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。

而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。

对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。

本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。

1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。

（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。

1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。

1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。

2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。

2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。

它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。

具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。

它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。

具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。

3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。

3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。

多元函数极值典型例题例1 求由方程 222224100x y z x y z ++−+−−=确定的函数 (,)z f x y =的极值．解 将方程两边分别对 ,x y 求偏导，得2224022240x x y y x zz z y zz z ′′+−−=⎧⎨′′+−−=⎩. 令0,0x y z z ′′==, 得 1,1x y ==−. 即驻点为(1,1)P −.又223(2)(1)1(2)2xxPPz y A z z z−++′′===−−，0xyPB z ′′==223(2)(1)1(2)2yyPPz y C z z z−++′′===−− 因2210, 2(2)AC B z z −=>≠−，故(,)P z f x y =取极值. 将1,1x y ==−代入 222224100x y z x y z ++−+−−=得122,6z z =−=.2z =−时， 11024A z ==>−，故(1,1)2z f =−=−为极小值； 6z =时，11024A z ==−<−，故 (1,1)6z f =−=为极大值. 例2 求函数221216z x y x y =+−+在有界闭域2225x y +≤的最大值和最小值.解 函数221216z x y x y =+−+在有界闭域 2225x y +≤上连续，故必在该区域上取得最大值和最小值．先求函数在区域 2225x y +<内的驻点.令2120, 2160z z x y x y∂∂=−==+=∂∂，6, 8x y ==−. 但 (6,8)不在区域 2225x y +≤内，故函数的最大值和最小值必在边界2225x y +=上取得.再求 221216z x y x y =+−+在边界 2225x y +=上的条件极值.设 2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+−+−+−.令 2221220(1)21620(2)250(3)x y F x x F y y F x y λλλ′=−−=⎧⎪′=+−=⎨⎪′=+−=⎩ 由(1)、(2)得 68,11x y λλ−==−−，代入(3)式，有 2268()()2511λλ−+=−−. 得121,3λλ=−=.可得驻点12(3,4),(3,4)P P −− 而(3,4)75,(3,4)125z z −=−−=. 故z 的最大值为125，z 的最小值为－75.例3 求内接于半径a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为2222x y z a ++=,(,,)x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点. 则此长方体的长、宽、高分别为2,2,2x y z . 体积为2228V x y z xyz =⋅⋅=本题是求V 在约束条件2222x y z a ++=下的极值. 作拉格朗日函数2222(,,)8()F x y z xyz x y z a λ=+++−令2222820(1)820(2)820(3)0(4)xyz F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ⎧′=+=⎪⎪′=+=⎨′⎪=+=⎪++−=⎩由(1)、(2)、(3)得 4x y z λ===−，代入(4)得3x y z a ===.即有唯一驻点,,333a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠，而由实际问题这种长方体的体积存在最大值，所以当长方体的长、宽、高都为3a 时，其体积最大. 例4 在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +−=的距离最短.解 设(,)P x y 为椭圆上的任意一点，即有2244x y +=. P 到直线2360x y +−=的距离为d ，则d ==作拉格朗日函数2221(,,)(236)(44)13F x y x y x y λλ=+−++−. 令224(236)20136(236)8013440x y F x y x F x y y F x y λλλ⎧′=+−+=⎪⎪⎪′=+−+=⎨⎪⎪′=+−=⎪⎩解得12128855,3355x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==−⎪⎪⎩⎩ 故128383(,),(,5555P P −−为两个驻点.由于1213P d ==，又由实际问题可知最短距离存在，因此点183(,55P 即为所求点. 13d =即为最短距离.例5 求函数 (,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面22225x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式 53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠解 作拉格朗日函数2222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z r λ=++−++−令 22221201203205x y z F x xF y y F z z F x y z r λλλλ⎧′=−=⎪⎪⎪′=−=⎪⎨⎪′=−=⎪⎪⎪′=++−⎩，即2222222120(1)120(2)320(3)50(4)x y z x y z r λλλ⎧−=⎪−=⎪⎨−=⎪⎪++−=⎩(1)+(2)+(3)，得 2222()5x y z λ++=，得212r λ=. 将求得的λ的值分别代入(1)、(2)、(3)式，得驻点(,)r r .因在第一卦限内球面的三条边界上，函数(,,)f x y z 均趋向于－∞，故最大值必在曲面内部取得，而驻点又唯一，则在驻点(,)r r 处，(,,)f x y z 取得最大值，其值为5(,)ln ln 3ln )F r r r r =++=，则对任何0,0,0x y z >>>，有5ln ln 3ln )x y z ++≤，又22221()5r x y z =++，代入得5/222235x y z xyz ⎞++≤⎟⎠，得5222226275x y z x y z ⎛⎞++≤⎜⎟⎝⎠令222,,x a y b z c ===，得53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠。

多元函数的极值问题在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。

与一元函数的极值类似，多元函数的极值问题也是求函数在一定范围内取得最大值或最小值的问题。

在实际问题中，多元函数的极值问题有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。

本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理。

一、多元函数的定义首先，我们来回顾一下多元函数的定义。

在数学中，多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。

多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

二、多元函数的极值定义对于多元函数$z=f(x,y)$，极值的定义与一元函数类似，分为最大值和最小值。

具体定义如下：1. 最大值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最大值，点$(x_0,y_0)$是最大值点。

2. 最小值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最小值，点$(x_0,y_0)$是最小值点。

三、多元函数的极值求解方法求解多元函数的极值问题，通常可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：对多元函数$z=f(x,y)$，分别对$x$和$y$求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。

2. 解方程组：令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$，解出方程组$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases}$，得到极值点$(x_0,y_0)$。

备考指南多元函数最值问题中往往涉及了多个变量，无法直接运用简单基本函数的性质、图象来求得最值，因而此类问题一般较为复杂，需灵活运用基本不等式及其变形式，通过三角换元、数形结合来求得问题的答案.下面结合实例来探讨一下求解多元函数最值问题的三种措施.一、利用基本不等式及其变形式基本不等式是指若a,b>0，则a+b≥2ab.在求解多元函数最值问题时，通常需用到基本不等式及其变形式，如21a+1b≤ab≤a+b2≤(a、b>0)、a2+b2≥2ab、a+b+c≥3ab3c、n∑i=1n1x i≤∏i=1n x i n≤∑i=1n x i n≤.利用基本不等式及其变形式求解多元函数最值问题需注意几个条件：（1）每个变量是否都为正数；（2）是否可配凑出几个变量的和或积，并使其中之一为定值；（3）几个变量相等时等号是否成立.例1.已知a＜b，若不等式ax2+bx+c≥0对任意实数都成立，则M=a+2b+4cb-a的最小值为______.解：因为a＞0，b-a＞0，b2-4ac≤0，所以c≥b24a，故M≥a+2b+4∙b24ab-a=a2+2ab+b2a()b-a，则a 2+2ab+b2a()b-a=[]2a+()b-a2a()b-a=()b-a2+4a()b-a+4a2a()b-a=b-a a+4a b-a+4b-a a+4a b-a+4≥24=8，则M≥a2+2ab+b2a()b-a≥8，当a=3b时等号成立，故M的最小值为8.目标式中含有三个变量，需先找出变量之间的关系，通过恒等变换减少变量的个数，将目标式放缩为关于a、b的函数式；然后根据该式的结构特点，将其变形为几个简单分式的和，并使其中每两个式子的积为定值，即可根据基本不等式a+b≥2ab求得M的最值.例2.若x，y，z为正实数，x2+y2+z2=1，则yz x+ xzy+xyz的最小值为_____.解：由基本不等式可得：y2z2x2+x2z2y2+x2y2z2=12æèçöø÷y2z2+z2y2x2+12æèçöø÷x2z2+z2x2y2+12æèçöø÷x2y2+y2x2z2≥x2+y2+z2，则æèçöø÷yzx+xz y+xyz2=y2z2x2+x2z2y2+x2y2z2+2(x2+y2+z2)≥3()x2+y2+z2=3，即yzx+xz y+xyz≥3，当且仅当x=y=z=等号成立，故当x=y=z时，yzx+xz y+xyz有最小值3.对于本题，需运用基本不等式的变形式a2+b2≥2ab以及a+b+c≥3ab3c，才能顺利求得最值.在多次使用基本不等式及其变形式时，需确保在各个变量相等时，由基本不等式及其变形式得到的每个不等式的等号成立.二、三角换元由于多元函数最值问题中的变量较多，所以常常需通过三角换元，将问题中的变量化为关于某个角的三角函数，这样就能将问题转化为单变量函数最值问题来求解.通常可先根据题目中所给的条件，用三角函数sinα、cosα、tanα替换问题中的变量；然后通过三角恒等变换化简目标函数式，利用三角函数的图象、性质来求得最值.例3.已知实数x，y满足x2+y2≤1，求||x2+2xy-y2的最大值.解：令x=r cosθ、y=r sinθ，且0<r≤1，则||x2+2xy-y2=r2||cos2θ-sin2θ+2sinθcosθ=r2||cos2θ+sin2θ=2r2||||||sinæèöø2θ+π4，因为sinæèöø2θ+π4∈[]-1,1，所以||x2+2xy-y2=||||||sinæèöø2θ+π4≤2r2≤2，故||x2+2xy-y2的最大值为2.54由x 2+y 2≤1可联想到同角的三角函数关系式sin 2θ+cos 2θ=1，于是令x =r cos θ、y =r sin θ，且0<r ≤1，即可通过三角换元，将目标式转化为三角函数式.最后根据正弦函数的有界性求出三角函数的最大值.例4.已知实数x ，y ∈R ，x 2-92y 2=2，求||2x +3y 的最小值.解：设ìïx =2sec θ，=2tan θ，S =||2x +3y =||22sec θ+2tan θ=||，∴||cos θS =22+2sin θ，∴||cos θS -2sin θ=22，∴S 2+4cos ()θ+ϕ=22≤S 2+4，∴S 2≥4，∵S ≥0，∴S ≥2，∴||2x +3y 的最小值为2.我们根据已知关系式x 2-92y 2=2，分别令x =2sec θ、32y =2tan θ，通过三角换元，将问题中的双变量x 、y 用单变量θ表示出来，就能将问题转化为关于θ的三角函数问题，利用辅助角公式以及正余弦函数的有界性进行求解即可.三、数形结合运用数形结合法求解多元函数最值问题，需深入挖掘目标函数式中代数式的几何意义，熟悉简单基本函数的解析式和图象，画出相应的图形，即可将问题转化为几何图形问题，通过移动点、直线、曲线的位置，确定取得最值时的临界情形，列出关系式，求得最值.例5.已知a ＞0，b ＞0，1a +1b=3，求a +b 的最小值.解：由1a +1b =3可得b =a 3a -1，因为3a -1＞0，所以a ∈æèöø13,+∞，令a +b =t ，则b =-a +t ，此时可以将t 看作直线b =-a +t 的纵截距.由图1可知直线b =-a +t 与函数b =a3a -1，a ∈æèöø13,+∞相切时，直线的纵截距最小值，可得b ′=-1()3a -12=-1，即a =b =23，则a +b 的最小值为43.通过数与形之间的互相转化，将函数最值问题转化为直线b =-a +t 与函数b =a3a -1图象之间的位置关系问题，即可通过分析直线与函数图象的临界情形：相切，确定a 、b 的取值，进而求得函数的最值.图1图2例6.已知x ，y ∈R ，则f ()x ,y =()x -y 2+æèçöø÷x +1y +12的最小值是_____.解：f ()x ,y =()x -y 2+æèçöø÷x +1y +12=()x -y 2+éëêêùûúú()x +12-æèçöø÷-1y 2，不妨将该式看作两点()x ,x +1、æèçöø÷y ,-1y 之间的距离的平方，显然()x ,x +1在直线y =x +1上，点æèçöø÷y ,-1y 在双曲线xy =-1上，画出图形，如图2所示.由图2可知当AC 垂直于直线y =x +1时，两点间的距离最短.则直线AC 的斜率为-1，且过原点，所以直线AC 的方程为y =-x ，得A ()-1,1，C æèöø-12,12，则||AC 2=12，所以f ()x ,y 的最小值为12.我们先将目标函数式变形为两式的平方和，即可根据两点间的距离公式，将目标式看作两点()x ,x +1、æèçöø÷y ,-1y 之间的距离的平方；然后结合图形，确定直线上的点到双曲线xy =-1上的点的最短距离，即可解题.解答多元函数最值问题，关键是研究问题中的变量和目标式，可通过变形目标式，利用基本不等式及其变形式求解；也可通过三角换元，将多变量化为单变量的三角函数问题来求解；还可以通过数形结合，将变量视为动点的坐标，通过研究动点、动直线、动曲线的位置关系，求得最值.同学们在解题时需仔细研究变量之间的关系，明确目标函数式的结构特点，选择与之相应的思路进行求解.（作者单位：江苏省启东市东南中学）备考指南55。

多元函数极值判定及应用多元函数的极值判定是求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值的问题。

在数学分析中，通常利用求导和二阶导数的方法来判定多元函数的极值。

下面将详细介绍多元函数极值判定以及其应用。

一、多元函数的极值判定方法：1. 首先，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们需要找到其取得极值的条件。

由于计算多元函数的极值需要对每个自变量求偏导，所以要求多元函数在定义域内函数有定义并且可偏导。

2. 其次，求取多元函数的一阶偏导数并令其等于零，得到方程组。

设f 的极值点为(x1*, x2*, ..., xn*)，则方程组为：∂f/∂x1 = 0, ∂f/∂x2 = 0, ..., ∂f/∂xn = 0。

3. 解方程组，求得极值点(x1*, x2*, ..., xn*)。

4. 接下来，根据二阶求导的结果来判定极值类型：（1）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素大于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极小值；（2）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素小于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极大值；（3）若二阶偏导数的行列式小于零，则多元函数在该点处不存在极值。

二、多元函数极值的应用：多元函数的极值判定在经济学、物理学、工程学等各个领域都有重要的应用。

下面以几个具体例子来介绍多元函数极值的应用。

1. 最小二乘法：在统计学中，我们常用最小二乘法来拟合数据，即通过拟合直线或曲线来描述数据的趋势。

最小二乘法的基本思想是选择一个合适的函数模型，使得模型与实际数据之间的残差平方和最小。

这就可以看作是一个多元函数极值的问题，利用极值点来确定最佳拟合曲线。

2. 生产优化问题：在工程学中，我们常遇到生产优化的问题，即如何在有限的资源条件下获得最大的产出。

这个问题可以用多元函数的极值来解决。

我们设生产函数为f(x1, x2, ..., xn)，表示产出与各个生产因素之间的关系，然后根据生产约束条件求函数的最大值或最小值，得到生产过程中的最优方案。