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第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学组)试题时间:3月13日10:00~11:00一、选择题:(每小题10分，满分60分。
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1. 如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影 部份的面积占平行四边形面积的 。
(A) 21 (B) 32 (C) 52 (D) 1252. 两条纸带，较长的一条为23cm ，较短的一条为15cm 。
把两条纸带减下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是 cm 。
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 93. 两个水池内有金鱼若干条，数目相同。
亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5:3。
那么每个水池内有金鱼 条。
(A) 112(B) 168(C) 224 (D) 3364. 从21，31，41，51，61中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与76最接近，去掉的两个数 是 。
(A) 21，51 (B)21，61(C)31，51(D)31，415. 恰有20个因子的最小自然数是 。
(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 4326. 如图的大正方行格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成，B ，C 是两个格点。
若请你在其它的格点中标出一点A ，使得 ABC 的面积恰等于3平方厘米，则这样的A 点共有 个。
(A) 6(B) 5(C) 8(D) 10B CA 二、 填空题 (每小题10分，满分40分)7. 算式41325.0721⨯+-+4.03.13.02-⨯的值为 。
8. “低碳生活”从现在做起，从我做起。
据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨。
如果每台空调制冷温度在国家提倡的26︒C 基础上调到27︒C ，相应每年减排二氧化碳21千克。
2011年第14届“华夏杯”奥数之星创新思维初赛六年级（时间：75分钟，分数：120分）一、计算题（每小题8分，共24分）1）111111 2612207290 ++++⋯⋯++2）222222 3937353331 -+-+⋯+-3）11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++二、填空题（每小题6分，共66分）1）找规律填数：5，6，12，19，32，52，。
2）从装有4个白球，3个黑球的口袋中任意摸出两球，全是黑球的概率是。
3）把1～12这12个数填在一个六角星的“○”内，使得每条边上的四个数的和相等，现在已填了六个数，如下图，求每条边上的四个数的和是。
4）用1元，2元、5元、10元钱各一张可以买种不同价格的东西而不需要找钱。
5）把100个人分成四队，一队人数是二队人数的113倍，一队人数是三队人数的114倍，那么四队有_____个人。
6）图中有个三角形。
7）43211234+12344321的个位上的数字是_____。
8）一家超市同时出售两件商品，都卖120元，其中一种赚了20%，另一种亏了20%，商店卖这两种商品 (填“赚”或“亏”或“不赚不亏”)了元。
（如果前一空填的“不赚不亏，则不用填此空”）9）—炉铁水凝成铁块，其体积缩小了136，那么这个铁块又熔化成铁水(不计损耗)，其中体积增加了几分之几?________. 10）一个幼儿园有34名小朋友，现在有玩具74件，将其分给小朋友，每个小朋友得到的玩具不得超过3件，至少有_____个小朋友得到3件玩具。
11）甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定谁先胜三场谁胜，问到决出最后胜负为止，共有_____种不同的情形。
三、综合题（每小题10分，共30分）1）一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数。
2）牧场上长满牧草，每天牧草匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，供25头牛可以吃多少天？3）图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。
第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）一、选择题（每小题10分，满分60分。
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1．如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的（）。
2．两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15 cm。
把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（）cm。
（A）6 （B）7 （C）8 （D）93．两个水池内有金鱼若干条，数目相同。
亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3：4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5：3。
那么每个水池内有金鱼（）条。
（A）112 （B）168 （C）224 （D）3364．从中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是（）。
5．恰有20个因数的最小自然数是（）。
（A）120 （B）240 （C）360 （D）432 6．如图的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成，B，C是两个格点。
若请你在其它的格点中标出一点A，使得△ABC的面积恰等于3平方厘米，则这样的A点共有（）个。
（A）6 （B）5 （C）8 （D）10二、填空题（每小题10分，满分40分）7．算式的值为，则m+n的值是。
8．“低碳生活”从现在做起，从我做起。
据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨。
如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃，相应每年减排二氧化碳21千克。
某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二气化碳；若每个家庭按3台空调计，该市家庭约有万户。
（保留整数）9．从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是。
目录2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (3)2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (5)2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (11)2004年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (13)2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (19)2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (23)2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (30)2007年第12届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (32)2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (38)2008年第13届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (40)2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (46)2009年第14届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (48)2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (53)2010年第15届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (55)2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (60)2011年第16届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (63)2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (70)2012年第17届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (72)2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (79)2013年第18届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷 (81)2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷一、解答题（共12小题，满分0分）1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？4．在一列数：，，，，，，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？2002年第9届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷参考答案与解析一、解答题（共12小题，满分0分）1．“华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？考点：竖式数字谜．专题：填运算符号、字母等的竖式与横式问题．分析：根据整数加法的计算方法进行推算即可．解答：解：解法一：个位上：0+“杯”=4，可得“杯”=4；十位上：1+“华”的末尾是0，由1+9=10，可得“华”9，向百位上进1；百位上：9+1=10，向千位上进1；千位上：1+1=2；由以上可得：；因此，“华杯”代表的两位数是94．解法二：已知1910与“华杯”之和等于2004；那么“华杯”=2004﹣1910=94；因此，“华杯”代表的两位数是94．点评：本题非常巧妙地考察了对整数的加法运算法则及数位的进位等知识要点的熟悉掌握程度．2．长方形的各边长增加10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？考点：百分数的实际应用；长方形的周长；长方形、正方形的面积．专题：分数百分数应用题．分析：设长方形的长为a，宽为b，因此各边长增加10%时，则长为（1+10%）a=110%a，长为（1+10%）b=110%b，因此各边长增加10%时，周长增加2（1.1a+1.1b）﹣2（a+b）=2（a+b）×10%，即周长增加10%．面积增加1.1a×1.1b﹣ab=1.21ab﹣ab=ab×21%，即面积增加21%．解答：周长增加10%，面积增加21%解：设长方形的长为a，宽为b，边长增加10%时，则长为（1+10%）a=110%a，长为（1+10%）b=110%b，周长增加：2（110%a+110%b）﹣2（a+b）=220%a+220%b﹣2a﹣2b=2（a+b）×10%；面积增加：110%a×110%b﹣ab=121%ab﹣ab=ab×21%；答：周长增加了10%，面积增加了21%．点评：在求出长宽增加后的长度基础上，根据长方形的周长与面积公式计算是完成本题的关键．3．如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、C处填的数各是多少？考点：正方体的展开图．专题：立体图形的认识与计算．分析：如图，是正方体展开图的“222”结构，把它折叠成正方体后，A面与1面相对，B面与2面相对，C 面与4面相对，相使使其对面两数之和为7，A面填6，B面填5，C面填3．解答：解：如图，折成正方体后，A面与1面相对，B面与2面相对，C面与4面相对，要使其对面之各为7，则A面填6，B面填5，C面填3．点评：本题是考查正方体的展开图，关键是弄清把它折叠成正方体后，哪两个面相对．4．在一列数：，，，，，，…中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？考点：数列中的规律．专题：探索数的规律．分析：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要使1﹣＜，则n＞999.5，即从n=1000开始，带入分数，即可得解．解答：解：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，1﹣＜，n＞999.5，从n=1000开始，即从开始，满足条件．答：从开始，1与每个数之差都小于．点评：找出这列数的规律，根据已知列出等式求解．5．“神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于2003年10月16日清晨6时51分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦．飞船绕地球共飞行14圈，其中后10圈沿离地面343千米的圆形轨道飞行．请计算飞船沿圆形轨道飞行了多少千米（地球半径为6371千米，圆周率π=3.14）．考点：有关圆的应用题．专题：平面图形的认识与计算．分析：先圆形轨道的半径，再根据圆的周长公式：C=2πr求出飞船沿圆形轨道飞行1圈的长度，再乘以10即可求出飞船沿圆形轨道飞行了多少千米．解答：解：2×3.14×（6371+343）×10=2×3.14×6714×10=3.14×134280=421639.2（千米）；答：飞船沿圆形轨道飞行了421639.2千米．点评：考查了有关圆的应用题，关键是熟练掌握圆的周长公式．6．如图，一块圆形的纸片分成4个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形，问共有几种不同的涂法？考点：染色问题．专题：传统应用题专题．分析：根据四个扇形中有一个红色、两个、三个、四个分类列举即可．解答：解：按逆时针方向涂染各扇形：红红红红红红红黄红红黄黄红黄红黄红黄黄黄黄黄黄黄所以，共有6种．点评：本题考查了排列组合知识中的染色问题，还可以列式解答：4×（4﹣1）÷2=6（种）．7．在9点至10点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5分钟后时针的位置相同，此时刻是9点几分？考点：时间与钟面．专题：时钟问题．分析：可设当前是9点x分，则5分钟前分针指向x﹣5的位置，而分针转动的速度是时针的12倍，分针5分钟后指向x+5的位置，时针指向9刻度后刻度处，根据题意列出方程解答即可．解答：解：设当前时刻是9点x分．则5分钟后时针的位置为45+=x﹣5540+x+5=12x﹣6011x=605x=55；答：此时刻是9点55分．点评：本题主要考查钟表问题的实际应用，熟练掌握钟表的特征是解答本题的关键．8．一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？考点：抽屉原理．专题：传统应用题专题．分析：建立抽屉：一副扑克牌有54张，大小鬼不相同，那么（54﹣2）÷4=13，所以一共有13+2=15个抽屉；分别是：1、2、3、…K、小鬼、大鬼，由此利用抽屉原理考虑最差情况，即可进行解答．解答：解：建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看做15个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即两张牌点数相同，15+1=16（张），答：至少抽取16张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数．点评：此类问题关键是根据点数特点，建立抽屉，这里要注意考虑最差情况．9．任意写一个两位数，再将它依次重复3遍成一个8位数．将此8位数除以该两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？考点：带余除法．专题：余数问题．分析：先设这个两位数为10a+b，则可用含a、b的代数式表示将它依次重复写3遍成的一个8位数，再将此8位数除以该两位数得到商为1010101，然后将1010101除以9即可求解．解答：解：设这个两位数为10a+b，则将它依次重复3遍成的一个8位数为：1000000（10a+b）+10000（10a+b）+100（10a+b）+10a+b=1010101（10a+b），将此8位数除以该两位数得到的商为：1010101（10a+b）÷（10a+b）=1010101，则1010101÷9=112233…4．答：得到的余数是4．点评：本题考查了带余除法的定义及应用，难度中等，用含a、b的代数式正确表示将（10a+b）这个数依次重复写3遍成的一个8位数是解题的关键．10．一块长方形的木板，长为90厘米，宽为40厘米，将它锯成2块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？考点：图形的拆拼（切拼）．专题：平面图形的认识与计算．分析：因为这块长方形木板的面积为90×40=3600（平方厘米），又因为3600=60×60，即所求的正方形的边长为60厘米，如下图所示．解答：解：因为90×40=3600，3600=60×60，所求的正方形的边长为60厘米，可以如下图拼成：因此，能拼成一个正方形．点评：先求出总面积，看看是否能分成两个数的平方．11．如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB与小圆相切，且与直径平行，弦AB长12厘米．求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）．考点：组合图形的面积．专题：平面图形的认识与计算．分析：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，利用圆的面积公式即可求解．解答：解：将小圆缩小至0，则AB就是大圆直径，阴影部分就是大圆的一半，所以阴影部分的面积是：×3.14×（12÷2）2=×3.14×36=56.52（平方厘米）；答：图中阴影部分的面积是56.52平方厘米．点评：此题可以巧妙地利用“缩小法”，得出阴影部分的面积与直径为AB的圆的面积的关系，问题即可得解．12．半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？考点：有关圆的应用题．专题：平面图形的认识与计算．分析：由于小铁环的半径为25厘米，大铁环的半径为50厘米，可得小铁环的半径是大铁环半径的一半．根据周长与半径的关系可得大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，再减去公转的1圈，可得小环自身转动的圈数．解答：解：由于小铁环的半径是大铁环半径的一半，所以大环周长是小环的2倍，即小环沿大环转2个周长时又回到原位，其中有1个周长属于小环公转的，而另一个周长才是小环自身转动的，因此，小环自身转动1圈．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，小铁环运动的圈数乘以它的周长就等于大铁环的周长．2004年第10届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷一、解答题（共12小题，满分0分）1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？2004年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分0分）1．2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年．问这两次远洋航行相差多少年？考点：日期和时间的推算．分析：先求出郑和首次下西洋的时间，再求差．解答：解：2005﹣600=1405（年），1492﹣1405=87（年）．答：这两次远洋航行相差87年．点评：本题先根据2005年求出郑和首次下西洋的时间，再用较晚的时间减去较早的时间．2．从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日．问立春之日是几九的第几天？考点：日期和时间的推算．分析：先求出2004年的12月21日到2005年的2月4日经过了多少天，再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．解答：解：2004年的12月21日到12月31日共有11天，1月份有31天，2月4日是2月的第四天，那么一共经过了：11+31+4=46（天），46÷9=5…1，说明已经经过了5个9天，还余1天，这一天就是六九的第一天．答：立春之日是六九的第1天．点评：本题的是9天为1个周期，先求出经过的天数（注意两头的天数都算），再求这些天里有几个9天，还余几天，再根据余数判断．3．如图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形．问这个直三棱柱的体积是多少？考点：规则立体图形的体积．分析：根据棱柱的体积公式：底面积×高，进行计算．解答：解：因为直三棱柱的底面是直角边都为1的直角三角形，高为1，所以直三棱柱的体积=×1×1×1=．答：这个直三棱柱的体积是．故答案为：．点评：本题考查了直三棱柱及展开图的特征和直三棱柱体积计算．直三棱柱是由三个长方形的侧面和上下两个底面组成．4．爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？考点：加法原理．分析：可先把我放在第一个位置，进而考虑我的左邻的情况，我的左邻的左邻的情况，找到总情况数即可．解答：解：共有6种不同的入座方法．点评：考查用列表法解决问题；把1个人固定位置，进而考虑左邻的情况是解决本题的关键．5．在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米．求三项的总距离．考点：分数除法应用题．分析：把自行车的距离看成单位“1”，那么长跑的距离就是自行车的，游泳的距离是自行车的，它们的差对应的数量是8.5千米，用除法可以求出自行车的距离，根据自行车的距离求出另外两项的距离，再把三者加起来．解答：解：自行车比赛距离是长跑的4倍，那么长跑的距离就是自行车的，8.5÷（）=8.5÷，=40（千米）；40×=10（千米）；40×=1.5（千米）；40+10+1.5=51.5（千米）；答：三项的总距离是51.5千米．点评：本题关键是把倍数关系看成一个是另一个的几分之几，找出单位“1”分析出数量关系，再由基本的数量关系求解．6．如图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，…问这列数中的第9个是多少？考点：事物的简单搭配规律．分析：观察图形，分析数列，发现规律：从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…据此规律，推出即可．解答：解：6﹣3=3；10﹣6=4；15﹣10=5；21﹣15=6；…从第一个数开始，后面的数依次比前一个数多3、4、5、6、7、…往下写数：3，6，10，15，21，28，36，45，55，…第9个数是55．答：这列数中的第9个是55．点评：观察图形，分析数列，发现规律，然后利用规律解决问题．7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示．若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？考点：规则立体图形的体积．分析：根据圆锥的体积公式求出容器甲容积，根据球的体积公式求出容器乙容积，相除即可求解．解答：解：容器甲容积：V甲=×π×（）2×1=π；容器乙容积：V乙=×π×13=π，V乙÷V甲=π÷π=8．答：至少要注水8次．点评：考查了圆锥的体积和球的体积．球的体积公式是V=πr3．圆锥的体积是V=sh=πr2h．8．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各多少人？考点：鸡兔同笼．分析：可设高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，根据等量关系：高年级组数+低年级组数=41组解答即可．解答：解：高年级有学生x人，则低年级的学生有100﹣x人，由题意得：=41，3x+2（100﹣x）=246，3x+200﹣2x=246，x=46，100﹣46=54（人），答：高年级有46人，低年级有54人．点评：此类题目中一般都有两个等量关系，抓住其中一个等量关系设出一个未知数，从而得出另一个未知数；另一个等量关系用来列方程．9．小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价每本多少元？考点：整数、小数复合应用题；合数与质数；质数与合数问题．分析：先将48分解质因数：48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，因数全写出来，再找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价．解答：解：48=48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，找出里面相差分别是2和4的，那么这两个算式就分别为零售价和批发价；只有4×12和6×8，12比8多4，4比6少2，则零售价为6元，批发价为4元；答：零售价为6元．点评：解答此题应结合合数和质数的含义进行分析，通过分解质因数，找出符合题意的答案即可．10．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈．问最多有多少名同学？考点：最大与最小．分析：设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a人，第二种的人数是8+5b人，因为总人数一定相等，求出a与b的关系，根据a和b关系讨论取值．解答：解：设两种组合外圈的组数为a、b，那么第一种的人数是5+8a，第二种的人数是8+5b，则5+8a=8+5b即；8a=5b+3，当b=1时，a=1，总人数为5+8×1=13（人）；当b=9时，a=6，总人数为5+8×6=53（人）；当b=17时，a=11，总人数为5+8×11=93（人）．数字再大就超过100了，所以最多有93人．答：最多有93名同学．点评：本题先找出两种组数之间的关系，然后根据组数是自然数和它们之间的关系讨论取值，找出100以内最大的即可．11．输液100毫升，每分钟输2.5毫升．请你观察第12分钟时吊瓶图象中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？考点：整数、小数复合应用题．分析：水平面的刻度是80毫升，说明空的部分是80毫升；根据每分钟的输液量和输液时间求出已经输出的体积，用100毫升减去已经输出的体积就是瓶内剩下的体积；整个吊瓶的容积就是空的部分加剩下的这部分体积．解答：解：100﹣2.5×12=70（毫升），80+70=150（毫升），答：整个吊瓶的容积是150毫升．点评：本题第12分时瓶子上方没有溶液的容积的等量关系是解决本题的关键．12．两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°．问：至多有多少条直线？考点：乘法原理．分析：根据题意，“夹角”只能是30°，60°或90°，都是30°的倍数，根据这个倍数，通过旋转的方法，进一步解答即可．解答：解：因为夹角只能是30°、60°或者90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证两两直线夹角为30°的倍数，即为30°、60°或者90°（因为如果每次旋转度数其他角度，例如15°，则必然会出现两条直线的夹角为15°或15°的其它倍数，如45°这与题目不符）；因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转过5次，5×30°=150°，如果再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°=180°，这样第七条直线就与第一条直线平行了．如图：所以最多能画出六条．答：至多有6条直线．点评：根据题意，由题目给出的条件，通过旋转的方法进一步解答即可．2006年第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．（6分）如图所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD．取AB 的中点M和BC 的中点N，剪掉AMBN得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（）A．B．C．D．2．（6分）2008006共有（）个质因数．A．4B．5C．6D．73．（6分）（2007•北塘区）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”．聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（）A．星期一B．星期二C．星期六D．星期日4．（6分）如图，长方形ABCD小AB：BC=5：4．位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行．如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（）边上．A．A B B．B C C．C D D．D A5．（6分）如图，ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°）．以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC．则图中阴影部分的面积是（）平方厘米．A．6.36 B．3.18 C．2.12 D．1.596．（6分）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝见、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目，如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法．A．48 B．72 C．96 D．120二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7．（3分）在算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6.7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于_________•8．（3分）全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有_________人．9．（3分）如图是﹣个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为_________立方厘米．（取π=3.14）（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）10．（3分）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有_________个．11．（3分）李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥．若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克．那么李大爷共承包了麦田_________亩，这批化肥有_________千克．12．（3分）将从1开始的到103的连续奇数依次写成﹣个多位数：a=13579111315171921…9799101103．则数a共有_________位，数a除以9的余数是_________．13．（3分）自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取_________张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取_________张牌．。
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛团体赛(口试)试题解答上半场题1（开场共答1）15++=⨯⨯华杯赛少俊金坛论数上面的算式中, 不同的汉字代表1~9中的不同数字, 当三位数“华杯赛”取得最大值时, 请你写出一种使等式成立的填数法.【答案】97515284613=⨯++⨯ 或97515.164328=⨯++⨯ 【解答】由15++=⨯⨯华杯赛少俊金坛论数可知, 华杯赛被15整除. 要求三位数“华杯赛”取得最大值, 我们从最大的被15整除的3位数进行筛选:990, 975, 960, 945, 930, 915, ……最大的合要求的是975, 而975 ÷ 15 = 65, 也就是++⨯⨯少俊金坛论数=65.容易由1, 2, 3, 4, 6, 8试凑得: 2×8+46+1×3=65. 于是得出合于题目要求的如下填数法,97515284613=⨯++⨯.或试凑1×6+43+2×8=65, 得97515.164328=⨯++⨯图A-57图A-56【解答】 因为正六边形的一个内角为120, 是一个周角的1.3所以, 以正六边形的顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧, 等于1厘米. 阴影部分周长可以拼接为2个圆周, 所以是6厘米.题3（必答A1）班级小书架共有12本科普读物.据统计, 数学小组的每个成员恰借阅过其中的两本, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 问：这个数学小组共有多少人？ 【答案】18人.【解答】 因为小书架共有12本科普读物, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 所以共被借阅12336⨯=（人次）. 设数学小组共有x 名成员, 由于每个成员恰借阅过其中的两本科普读物, 所以共被借阅2x 人次.因此 236x =,18x =.题4（必答A2）如图A-57, 有一个圆和三个正方形. 中间正方形的顶点在圆上, 圆与最大正方形的交点以及最小正方形的顶点都是所在线段的中点. 最大正方形的面积是12平方厘米, 问: 最小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】3平方厘米.【解答】如图A-58, 绕中心O 旋转圆面, 使得点P 重合于E , 于是点Q 重合于F , 点S 重合于G , 点T 重合于H .成右图. 容易看出,图A-59图A-601111112322244IJKL PQST ABCD ABCD S S S S ⎛⎫====⨯= ⎪⎝⎭（平方厘米）. 题5（必答A3）国家规定年满18周岁不超过70周岁的成人才有资格申请机动车驾驶证.小学六年级的学生李明说:“我老爸有汽车驾照, 他的年龄数与生辰月、日数的乘积为2975”, 请问李明的父亲多少岁? 【答案】35.【解答】17535177252975⨯⨯=⨯⨯=, 由于月份数取1~12的自然数, 日期数取1~31的自然数, 所以, 李明父亲要么是25岁, 7月17日生, 要么是35岁, 5月17日生.由于李明已经小学六年级, 他老爸不可能25岁, 所以李明父亲的年龄是35岁.题6（必答A4）如图A-59, D 是BC 边上一点, 且2,BD DC = DP//CA . 三角形APD 的面积为14cm 2, 问三角形ABC 的面积是多少cm 2.【答案】63cm 2.【解答】连结PC , 见图A-60. 因为 DP//CA , 所以14PCD APD S S ∆∆==.又因为2,BD DC = 所以21428PBD S ∆=⨯=( cm 2). 所以281442ABD PBD APD S S S ∆∆∆=+=+=( cm 2).因此,33426322ABC ABD S S ∆∆=⨯=⨯= ( cm 2).题7（必答A5）如果一个自然数既能写成两个连续自然数之和也能写成三个连续自然数之和, 就称为一个“好数”. 请找出2007, 2008, 2009, 2010, 2011图A-62图A-61中的“好数”. 【答案】2007.【解答】 易知：一个数为“好数”, 当且仅当它是一个奇数且能被3整除. 因此, 2007是“好数”, 而2008, 2010不是“好数”, 因为它们不是奇数, 2009, 2011也不是“好数”, 因为它们不能被3整除．事实上, 2007=1003+1004=668+669+670, 符合“好数”的定义. 题8（必答A6）如图A-61, 大正六边形的面积是1平方厘米, 问绿色正六边形的面积是多少平方厘米?【答案】31平方厘米.【解答】由正六边形的性质, 图A-62中阴影跳棋盘部分被分成12个边长相等的正三角形. 而图中未着色的6个三角形都是等腰三角形, 其中一个角为120, 两个底角为30. 腰长等于小正三角形的边长. 因此未着色的三角形的面积等于小正三角形的面积. 正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是正六边形ABCDEF 的31186=. 故正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是31平方厘米. 题9（必答A7）袋里的红球占袋中总球数的167；再往袋里放入40个红球后, 红球占总数的43. 问最后袋里共有多少个球？ 【答案】72个.【解答】设最后袋里共有球x 个, 则根据题设, 有4340167)40(⨯=+⨯-x x , 即图A-63图A-64图A-657(40)16401272.x x x ⨯-+⨯==，题10（必答A8）图A-63中所标出的10个角的度数总和是多少?【答案】1080︒.【解答】图A-64中, 阴影四边形的内角和是360, 这样四边形有5个, 度数和是1800；其中围绕中间的五边形 ABCDE 顶点的10个角度数的和恰是这个五边形外角和360的2倍, 故图中所求的10个内角和是180023601080-⨯=.题11（群答2）将分别写有华、杯、赛、好的四张卡片, 选出其中三张, 字面朝下依次摆在桌子上.甲、乙、丙三人分别猜每张卡片上是什么字, 猜的情况如下：第一张 第二张 第三张 甲 华 杯 赛 乙 华 好 杯 丙赛华好结果是一人全对, 一人全错, 另外一人只对一个. 请指出全猜错的是谁. 【答案】丙.【解答】全对的只能是甲(或乙), 只对一个的是乙（或甲）（因为甲、乙两人第一张猜到同样的结果）, 因此, 全错是丙.题12（群答3）如图A-65, A 是邮局, B , C , D , E , F 是5户人家. 相邻两家的路程如图所标示. 邮递员从邮局出发要给这5户人家送信（每家都有信）, 要求最后把信送到D 户. 问：邮递员走的最短路程是多少米？图A-66图A-68【答案】500米.【解答】100100100100100.A B C F E D −−→−−→−−→−−→−−→题13（共答2）在3×3×3的正方体玻璃支架上有27 个单位立方体空格.每个单位立方体空格中至多放有一个彩球. 要使主视图、俯视图、左视图都如图A-66中所示. 问正方体支架上至少需放多少个彩球？请你放置出来. 【答案】9个. 一种放法如图A-67.题14（必答B1）如图A-68, 在正方形ABCD 中, 正方形AMOP 的面积是8平方厘米, 正方形CNOQ 的面积是24.5平方厘米. 问：正方形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【答案】60.5平方厘米.【解答】因为正方形AMOP 的面积是8平方厘米, 所以对角线AO = 4厘米, 正方形CNOQ 的面积是24.5平方厘米, 所以对角线OC =7厘米. 因此正方形ABCD 的对角线等于 4 + 7 = 11厘米.所以正方形ABCD 的面积=5.6011212=⨯平方厘米.图A-67图A-69图A-70题15 （必答B2）在两个□中分别填入整数, 使得 7⨯□5+⨯□11111= 成立, 请你回答, 两个□中填入的整数之和能等于偶数吗? 试说明理由. 【答案】不能.【解答】设两个□中填入的整数分别为,x y , 若x y +等于偶数, 则,x y 奇偶性相同. 若,x y 同为奇数, 则7,5x y 都为奇数, 75x y +为偶数, 不能等于11111；若,x y 同为偶数, 则7,5x y 都为偶数, 75x y +也为偶数, 也不能等于11111. 综上可知, 两个□中填入的整数之和不能等于偶数.题16（必答B3） 如图A-69, MN 是面积为76平方厘米的梯形ABCD 的中位线. P 是下底BC 上一点. 问:三角形MNP 的面积是多少平方厘米? 【答案】19平方厘米.【解答】设梯形的高为h , 则 1111()()22242M N P h S A D B C A D B C h ∆=⨯+⨯=⨯+1761944ABCD S ===(平方厘米). 题17 （必答B4）一种电子表在10点28分6秒时, 显示的时间如图A-70所示. 那么从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间共有多少秒？【答案】 90秒.【解答】在10点至10点半这段时间内, 要使电子表上六个数字都不相同, 前三个数字显然是1, 0, 2.设时间为10:2a :bc , 其中b 可在3, 4, 5中选择, a , c 可在3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中选择.先确定b , 有3种选法；然后确定a , 有6种选法；最后确定c , 有5种选法. 所以, 从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间一共有3 × 6 × 5 = 90（个）, 也就是图A-72电子表上六个数字都不相同的时间共有90秒.题18（必答B5）如图A-71, E , F , G , H 分别是四边形ABCD 的边AB , BC , CD , DA 的中点. BH 与DE 的交点为M , BG 与 DF 的交点为N . 问?BMDNABCDS S = 【答案】13BMDN ABCD S S =. 【解答】如图A-72, 连接BD , CN , 填入面积,x y , 则由三角形CDF 与BGD 比较可知,13BDN BCD S x y S ∆∆=+=.同理可得,13BDM ABD S S ∆∆=.相加即得13BMDN ABCD S S =. 题19（必答B6）如图A-73, 五行五列共亮着的25个灯.共有5个行开关和5个列开关, 每个开关只同时控制一行或一列的5个灯泡. 规定每次操作都要从中选一列改变状态, 再从中选一行改变状态. 问能否通过有限次操作使得25盏灯都熄灭？【答案】不能.【解答】依题意, 每次操作都对一行、一列进行操作, 则一次操作改变状态灯泡的为10个灯次, 设k 次操作能使得25盏灯都熄灭, 则k 次操作共改变灯泡状态为10k 个灯次, 是个偶数；而若要使得一盏灯由亮到熄灭, 必须改变奇数次状态, 25盏灯都熄灭时改变状态的灯次总数为25个奇数之和, 等于奇数个灯次, 但奇数个灯次不等于偶数个灯图A-74图A-76图A-75次, 所以不能通过有限次操作使得25盏灯都熄灭.题20（必答B7）如图A-74, P 为正六边形ABCDEF 的AB 边上一点. PM//CD 交EF 于M , PN//BC 交CD 于N .红、蓝两个小精灵从N 点同时出发分别沿五边形NPMED 周界和六边形CBAFED 周界匀速行走, 各绕一周后同时回到N 点. 问：蓝精灵的速度是红精灵速度的多少倍?【答案】1.2倍.【解答】 如图A-75, 设正六边形边长为a , 则蓝精灵走一周的路程为6a , 红精灵走一周的路程为5a , 所以蓝精灵速度:是红精灵速度的61.25=倍. 题21（必答B8）将33写成n 个连续自然数之和. 当n 取最大值时, 将写成的和式中的所有“+”号全变为“×”号后, 其乘积等于多少? 【答案】20160.【解答】因为12345672833,++++++=<23456783533.++++++=>所以33不能写成7个或多于7个的连续自然数之和. 因此 6.n ≤而33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, 所以n 得最大值为 6. 又n =6时,87654333+++++=, 从而有20160876543=⨯⨯⨯⨯⨯.下半场题22 （共答3） 将长方形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转90, 边CD 扫过的面积如图A-76中阴影所示. 请用无刻度直尺、圆规为工具在图中画出一个圆, 使它的面积等于图中阴影部分的面积.图A-78图A-77【答案】作法如图A-78所示.【解答】如图A-77, 连接AC , AC 1, 则阴影部分面积S 2222()444AC AD AC AD πππ=-=-2242CD CD ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.阴影部分面积等于以CD 为直径的圆面积. 因此, 得如下作图法：延长C 1B 1交BC 于E , 连接BB 1与AE 交于M , 连接AC 1与D 1B 1交于N , 连接MN 交AB 1于O . 以O 为圆心AO 为半径画圆, 该圆的面积即等于图中阴影部分面积.题23（群答4）1+++=++++振兴中华两岸四地同心在上面的算式中, 不同的汉字代表 0 - 9 中的不同的数字. 若已知“同心=10”, 问：振 + 兴 + 中 + 华 = ？【答案】 27. 【解答】由于1+++=++++振兴中华两岸四地同心,易知振+兴+中+华=两+岸+四+地+10,即（振+兴+中+华）-（两+岸+四+地）=10. ①但振+兴+中+华+两+岸+四+地+1+0=45,所以+（振+兴+中+华）（两+岸+四+地）=44. ② 因此, 由① + ②得振+兴+中+华=10445427.22+== 题24（群答5）给出字谜算式:()()+++2010⨯=华老百年华诞三年-(金坛+翻+番),其中不同的汉字代表0~9中的不同数字, 相同的汉字代表相同数字, 使得等式成立. 请你写出一种使等式成立的填数法.【答案】 ()(291028)50(3746)2010.++⨯-+++=【解答】()20106730(291028)50(3746).=⨯=++⨯-+++【注】常州日报2010年8月1日消息, 金坛市推出“3年翻番计划”, 将规划建设“二城一都”; 华罗庚科技新城和环钱资荡滨湖城, 同时, 全力打造“光伏之都”. 经济总量计划三年翻番.题25（抢答1）现在有11个齿轮如图A-79啮合在一起. 问这样一个齿轮系统能否转动起来？试说明理由.图A-79【答案】 不能.【解答】 齿轮要么逆时针转动, 要么顺时针转动. 一个齿轮不可能同时既逆时针转动又顺时针转动.如图A-80, 将齿轮依次编号, 假设1号轮为主动轮是逆时针转动, 那么2号轮则顺时针转动, 3号轮则逆时针转动, 4号轮则顺时针转动, 依次下去, 奇数号的轮逆时针转动, 偶数号的轮顺时针转动, 所以第11号轮应逆时针转动. 但第11号轮又将传动第1号轮, 于是第1号轮（相当于第12号轮）应顺时针转动. 这样, 第1号轮同时既要逆时针转动, 又要顺时针转动, 这是不可能的！ 所以图A-79中所示的11个齿轮的传动系统是不可能转动起来的！题26（抢答2）将某同学生日的月份数与31的乘积、日数与12的乘积相加, 得到和为376. 问这位同学的生日是几月几号.【答案】4月21日.【解答】设这个同学的生日为x 月y 日, 其中,x y 都是正整数, 112,x ≤≤131.y ≤≤ 且满足关系式3112376x y +=.由于376与12都被4整除, 所以31x 被4整除, 由于31与4互质, 所以x 被4整除, 因此x 只能取4或8或12. 376被3除余1, 12y 被3整除, 所以31x 被3除余1, 而31被3除余1, 所以只能x 被3除余1. 因此 4.x =图A-80而 12376314376124252,y =-⨯=-=所以25221.12y == 即这个同学的生日是 4月21日.题27（抢答3）将半径分别为1cm, 3cm, 5cm 的三个半圆形量角器的圆心重合于O , 直径也重合在一条直线上, 如图A-81所示. 记甲、乙两块阴影截扇形与半圆丙的面积分别为S S S 甲乙丙，，, 求 ::S S S 甲乙丙.【答案】::48:40:1S S S =甲乙丙【解答】因为211.22S ππ=⨯=丙21143.3223S πππ⎡⎤=⨯-=⎢⎥⎣⎦乙22111853.5225S πππ⎡⎤=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦甲所以84::::48:40:15.532S S S πππ==甲乙丙 题28（抢答4）某城市网上挑选机动车号牌编码规则为：号牌后五位必须有两个英文字母（其中字母I 、O 不可用）且最后一位必须为数字. 问：满足规定的编码共有多少个?图A-81图A-82图A-83【答案】3456000个.【解答】根据网上选号规则, 可供挑选的英文字母有26-2=24（个）, 且只能在第一至第四位上的两个位置出现, 而其余两个位置以及第五位则出现数字.两个字母为前4位中占2位, 共6种方法. 每个字母有24种选法, 其余3个位置是数码, 每个数码有10种选法. 所以满足规定的编码共有624241010103456000⨯⨯⨯⨯⨯=（个）.题29（抢答5）机器人在长为16米宽为8米的长方形场地上, 沿图A-82所示的小路按箭头的指向表演行走. 问当机器人从A 处走到B 处时共走了多少米的路程？假设图中相邻的两条平行小路之间的宽度都是1米 (B 点与竖直路段最近的距离也是1米). 【答案】152米.【解答】将横、竖各段路程长度加起来就会得到结果：16 + 8 + 16 + 7 + 15 + 6 + 14 + 5 + 13 + 4 + 12 + 3 + 11 + 2 + 10 + 1 + 9(116)161616178161361522+⨯=+=+⨯=+=（米）. 另法: 如图A-83所示, 将16×8的长方形各边都向外扩充0.5米, 成为一个17×9的长方形. 这样黑粗线成为了宽为1米的平行线的正中平行线, 其中只少了A , B 处两个白色的面积为0.5×1=0.5的小矩形. 所以设想的拖地板的服务员, 拖的地板面积比总面积少拖1平方米, 因此, 机器人走的总路程=17×9-1=152（米）.题30（抢答题6）图A-84为金坛市政区图, 现在用棕、绿、黄、粉四种颜色给该市未涂彩色的四个政区涂色. 如果要求相邻（有公共边界）政区的颜色不同, 则共有多少种涂色方法？图A-84【答案】18种.【解答】分两种情况:（1）直溪镇与指前镇同色.给直溪镇与指前镇染色: 有3种情况; 给朱林镇染色: 2种情况;给薛埠镇染色: 2 种情况. 共计3×2×2=12种.（2）直溪镇与指前镇异色.给直溪镇与指前镇染色: 有6种情况; 给朱林镇染色: 1种情况;给薛埠镇染色: 1 种情况. 共计6×1×1=6种.总计：共有12+6=18种染色方法.题31（抢答7）由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000的自然数, 按照从小到大排列, 2010排在第几个？【答案】第30个.图A-85图A-86【解答】 由数字0、1、2生成的最高位为1的4位数共有3×3×3=27个, 其中大于1000的共有27-1=26个. 由0, 1, 2生成的最高位为2而不大于2010的自然数从小到大只有2000, 2001, 2002, 2010四个. 因此, 由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000且不超过2010的自然数, 总计有26 + 4=30个, 2010是其中最大的, 因此按照从小到大排列, 排在第30个.题32（抢答8）如图A-85, P 为正方形ABCD 内一点, 并且∠APB ＝90°, AC 、BD 交于O ．已知AP =3cm 、BP =5cm.求三角形OBP 的面积． 【答案】2.5 cm 2.【解答】连DP , 并将三角形ADP 绕A 点顺时针旋转90, 到三角形ABM 的位置, 见图A-86. 则AMBP 是直角梯形. 其面积等于(5+3)×3÷2=12, 即凹四边形ABPD 的面积是12. 又正方形ABCD 的面积为 2223534AB =+=. 从而三角形ABD 的面积为17.所以, 三角形PBD =（17－12）=5. 因此, 三角形OBP 的面积 = 2.5 cm 2.题33（共答4）如图A-87, 房间里有一只老鼠, 门外有一只小猫, 立在北墙跟第3块地板砖的右上角点. 整个地面由80块大小相同的正方形地砖铺成, 那么小猫能监控到的范围占整个地板面积的百分之多少?（小猫和老鼠分别看作两个点, 墙的厚度忽略不计）【答案】66.875%.【解答】设地板正方形边长为1, 则这个房间面积为80. 如图A-88,图A-88阴影部分区域为老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围. 这个范围的总面积为(27)52422S +⨯⨯=+= 26.5. 所以小猫能监控到的面积为8026.553.5.-=占房间总面积的53.50.6687566.875%.80== 题34（群众共答）在每个人心里都默记住两个不等于0的数. 算出这两个数和的平方, 其结果记做“共”; 算出这两个数差的平方, 其结果记做“迎”; 再算出这两个数的乘积, 记做“接”. 请用你的“共”, “迎”, “接”来计算式子2?-⎛⎫= ⎪⎝⎭共迎接 请大家一起同声回答！图A-87【答案】16.【解答】设想的两个非0数为,.a b 则222222()()4416.a b a b ab ab ab ⎛⎫-+--⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭共迎接。
世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛第 15 届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛5.如图，是一个正方体的表面展开图，折叠成正方体后与“国”字所在面相对的面的字是（ ）。
A.全B.学C.竞D.赛---------------------------------------------------------------------------------考场、线学校 准考证号父母姓名 、 联系电话_装 订姓名 年级---------------------------------------赛区考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共 120 分，选择题为单选，每小题 4 分，共 64 分；计算题每小题 4 分，共 16 分；解答题每小题 10 分，共 40 分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。
六年级地方晋级赛初赛 A 卷（本试卷满分 120 分 ，考试时间 90 分钟 ）一、选择题。
（本题为单选题，请将答案填入下图的方框中。
每题 4 分，共 64 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16答案1.有一种方便面的包装袋上明确标记，一袋方便面的标准重量是 120 克，合格范围是±5 克， 那么下面几袋方便面重量中不合格的是（ ）克。
A.115B.117C.125D.1102.欧欧用方格纸做了许多英文字母的卡片，图中“D”的面积占整张卡片面积的（ ）。
A.3%B.10%C.30%D.70%第 2 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图3.将一个圆柱形纸筒的侧面沿直线剪开，不可能出现的图形是（ ）。
A.长方形B.三角形C.正方形D.平行四边形4.某公司对客户的满意度进行了一次抽样调查，根据统计得到的条形统计图绘制成如图所示的扇形统计图，那原来的条形统计图可能是（ ）。
第十五届华杯赛总决赛一试试题及答案第十五届华杯赛总决赛一试试题及答案第十五届华杯赛总决赛一试试题一、填空题（共3题，每题10分）1、小兔和小龟从A 地到森林游乐园，小兔上午9点出发，1分钟向前跳40米，每跳3分钟就原地玩耍2分钟 ；小龟上午6点40分出发，1分钟爬行只有10米，但途中从不休息和玩耍。
已知小龟比小兔早到森林游乐园15秒，那么A 地到森林游乐园有 米。
【分析】常规题，解得2370米2、小林做下面的计算：37M ÷，其中M 是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数。
小林得到的结果是9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是 。
【分析】10.02737∙∙=，故37M 的循环节也是3位，且为纯循环小数。
因此，根据四舍五入的原则，正确计算结果只能是9.6486493、123,,,,na a a a 是满足1230na aa a <<<<<的自然数，且12313111114na a a a =++++，那么n的最小值是 。
【分析】若要使项数最小，则要使每一项都尽量小。
1230n a aa a >>>>>只是告诉我们没有任何两项的分母相同，为了便于表述，不妨设13114<，令12a=，则231111313114273n a a a +++=-=>，令23a=，则3113121732111n a a ++=-=>，令311a =，则4112112111231n a a ++=-=，所以4231a=所以，n 最小是4二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4、蓝精灵王国的,A B 两地的距离等于2010米，国王每分钟派一名信使从A 地向B 地送信。
第1号信使的速度是1米/分，以后每一名信使的速度都比前一名每分钟快1米，直到派出第2010号信使为止。
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B 解答（小学组）一、填空题1．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球.【答案】174.【解答】至少需要17423222120191615141311=+++++++++(个).2．有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、6元、9元、12元、15元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共有 种不同的价格.【答案】9.【解答】任意的搭配共有25种，其中有价格重复的情况.由于礼品和包装盒的价格都是公差为3的等差数列，故当礼品和包装盒可以组成一个5元，8元，11元，14元，17元，20元，23元，26元，29元，共有9种不同的价格.3. 汽车A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车B 、C 从乙站出发与A 相向而行开往甲站, 途中A 与B 相遇20分钟后再与C 相遇. 已知 A 、B 、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km.【答案】425.【解答】设A 与B 出发t 小时后相遇, 两地距离为s , 则s t =+)8090(, s t =++)31)(9060(. 解之得 4255.2170=⨯=s .4. 将21, 31, 41, 51, 61, 71和这6个分数的平均值从大到小排列, 则这个平均值排在第 位.【答案】 3.【解答】先从小到大排列这6个分数: 2131********<<<<<, 因为前三个分数之和比后三个分数之和小，因此这6个分数的平均值不可能排在它们的中间.因为416716151413121⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++417151-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==020171>-, 且⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⨯7161514131213160715143>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. 所以这6个分数的平均值大于14，小于13. 即这六个分数的平均值排在第3位. 5. 若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有 个.【答案】9.【解答】设符合条件的两位数是ab . 两位数ab 的平方的十位上的数字等于2ab 个位上的数与2b 的十位上的数字之和的个位数字，为 0. 因为ab 的平方只有十位上的数字为0，所以0≠b .当b 取1～9时,2b 的十位上的数字分别为 0、0、0、1、2、3 、4、6、8.ab 2个位上的数字如下：当a 为 1时，分别为2、4、6、8、0、2、4、6、8；当a 为2时，分别为4、8、2、6、0、4、8、2、6；当a 为3时，分别为3、6、9、2、5、8、1、4、7；当a 为4时，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2；当a 为5时，分别为0、0、0、1、2、3、4、6、8；当a 为6或7时，分别与1或2时相同；当a 为8时，分别为6、2、8、4、0、6、2、8、4；当a 为9时，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2.所以这样的两位数有47，48，49，51，52，53，97，98，99，共9个.6. 图A-16所示的立体图形由10个棱长为1的立方块搭成, 这个立体图形的表面积为 .【答案】34. 【解答】 从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积分别为 6, 6, 5, 5, 6, 6, 总和为 34 .7. 数字卡片“3”、 “4”、 “5”各10张，从中任意选出8张，它们的数字和是31，则最多有 张是卡片“3”.【答案】4.【解答】假设摸出的8张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，与实际的和31相差8，这是因为将摸出的卡片“4”、 “5”都当成是卡片“3”的缘故. 用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2和1. 为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”，现在8÷2＝4，因此可用4张卡片“5”换卡片“3”，这样8张卡片的数字之和正好等于32. 所以最多可能有4张是卡片“3”.8. 能同时表示成连续9个、10个和11个非零自然数的和的最小自然数是 .【答案】495.【解答】设所求的正整数为A ，则由题意得：A =459)9()3()2()1(+=++++++++p p p p p ， ①A =5510)10()3()2()1(+=++++++++m m m m m ， ②A =6611)9()3()2()1(+=++++++++n n n n n ， ③其中p , m , n 均为整数. 由①、②可得：5510459+=+m p ，所以)1(109+=m p . ④由②、③可得：66115510+=+n m ，所以)1(1110+=n m . ⑤因为10与11互质，所以由⑤可知，m 是11的倍数，由④可知，1+m 是9的倍数，所以m 是11的倍数，且被9除的余数为8，于是m 的最小值为44，A 的最小值为495554410=+⨯.二、解答下列各题9. 图A-17中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成图A-17中4×5的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由.【答案】不能.【解答】 假设能拼成4×5的长方形, 如图A-18小方格黑白相间染色. 其中黑格、白格各10个.将五块纸板编号, 如图A-19所示, 除纸板④之外, 其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格, 而④盖住3个黑格或一个黑格. 这样一来, 由4个1×1的小正方 ① ②③④ ⑤图A-19图A-18格组成的不同形状的5个硬纸板, 只能盖住9或11个黑格, 与10个黑格不符.10. 图A-20中，ABCD 是一个梯形，且CD AB //，三角形ABO 和三角形OCD 的面积分别是16和4，求DC AB. 【答案】12. 【解答】由三角形面积公式，BCO OCD ABO AOD S S OC S S AO∆∆∆∆==. 又有AOD BCO S S ∆∆=，故416BCO BCOS S ∆∆=. 所以8BCO BCO S S ∆∆==.设梯形高为h , 因为, 22ABC DAC h AB h CD S S ∆∆⨯⨯==， 所以DAC ABC S CD S AB∆∆=. 又因为24, 12ABC ABO BCO DAC OCD AOD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+==+=,所以12DC AB =.图A-2011. 长度为L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【答案】28，72L . 【解答】（1）易知,红线与蓝线重合的条数是 31)12,8(=-；红线与黑线重合的条数是 1121)18,8(=-=-；蓝线与黑线重合的条数是 51)18,12(=-；红线、蓝线、黑线都重合的条数是 1121)18,12,8(=-=-.由红线7条，蓝线11条，黑线17条确定的位置的个数是271)513(17117=+++-++.因此，依不同位置的线条锯开一共得到28127=+（段）.（2） 最小公倍数72362]9,3,4[2]18,12,8[=⨯=⨯=.因此，将木棍等分成72段时，至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两条之间，并且再短（段数更多）时就做不到了. 所以锯得的木棍最短的一段的长度是72L . 12. 华罗庚爷爷出生于1910年11月12日. 将这些数字排成一个整数, 并且分解成=⨯19101112116316424, 请问这两个数1163和16424中有质数吗? 并说明理由.【答案】1163是质数.【解答】1163是质数, 理由如下:（1）显然16424是大于2的偶数, 是合数.（2）如果1163是合数, 但不是完全平方数, 则至少有2个不同的质因数, 因为31113311163=>, 所以, 如果1163有3个以上不同的质因数, 必有一个小于11. 但是显然2, 3, 5, 7都不能整除1163, 11也不能整除1163, 因此1163仅有2个不同的大于11的质因数. 大于11的质数有:13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 等等.既然237116337311147<<⨯=, 1163的两个不同的质因数一定有一个小于37, 另一个大于11. 计算97131261116311578913⨯=<<=⨯；73171241116311566817⨯=<<=⨯；67191273116311596119⨯=<<=⨯；53231219116310814723⨯=<<=⨯；41291189116310733729⨯=<<=⨯；41311271116311433731⨯=<<=⨯.所以1163是质数.三、解答下列各题13. 一批货物重13.5吨，每包货物重量不超过350千克，请问：能否用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明.【答案】能.【解答】一种方案如下：把11辆货车顺序编号为1，2，3，…，11. 先把1至8号车装上货物，每车一直装到不超过1.5吨为上限, 只要再装一包便超过1.5吨为止，并把这8个最后一包分成两组，每组4包，每组重量不超过14004350=⨯千克5.1<吨，用9，10号车可将这两组8包货物运走，这样1至10号车共装运了超过1.51213=5.-吨，这128=⨯（吨）货物，还剩下的货物的重量不超过5.1样可以用11号车把剩下的货物运走.14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数.【答案】11，12，15，24，36.【解答】两位自然数共有90个，一个一个地去试算检验它是不是满足条件，工作量太大，显然需要开动脑筋，缩小试算范围.设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a，b. 显然a, b不等于0.因为10=+，10a bab a b+能+能被ab整除意味着10a b+能被a整除且10a b被b整除. 如果10a b+能被a整除，说明b能被a整除；如果10a b+能被b整除，说明10a能被b整除. 这就是说，数字a，b同时要满足两个条件：（1）a整除b，（2）b整除10a。
2010“华夏杯”初赛试题六年级（时间：75分钟 ， 分数：120分）一、简体：计算题（每题8分，共16分） 繁體：计算题（每题8分，共16分）1、120052004200520032004-⨯⨯+ =2、 20912731+--+-4213301156157217+=二、简体：填空题（每题6分，共66分） 繁體：填空題（每題6分，共66分）1、简体：有一个三角形的三个内角都不相等，其中最小的角是45°，这个三角形是（ ）三角形。
繁體：有一個三角形的三個內角都不相等，其中最小的角是45°，這个 三角形是（ ）三角形。
2、简体：一只挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从上午8时到下午2时分针尖端“走了”（ ）厘米，时针“扫过”的面积是（ ）平方厘米。
（14.3=π）繁體：一隻掛鐘的時針長5厘米，分針長8厘米，從上午8時到下午2時分針尖端“走了”（ ）釐米，時針“掃過”的面積是（ ）平方厘米。
（14.3=π）3、简体：甲2小时做14个零件，乙做一个零件61小时，丙每小时做8个零件，这三个人中工作效率最高的是（ ）。
繁體：甲2小時做14個零件，乙做一個零件61小時，丙每小時做8個零件，這三個人中工作效率最高的是（ ）。
4、简体：图中A ，B 两点分别是长方形的长和宽的中点， 阴影部分占长方形面积的（ ）。
繁體：圖中A，B兩點分別是長方形的長和寬的中點，陰影部分占長方形面積的（）。
5、简体：参加某选拔赛第一轮比赛的男女生人数之比是4：3，所有参加第二轮比赛的91人中男女生人数之比是8：5，第一轮中被淘汰的男女生人数之比是3：4，那么第一轮比赛的学生共（）人。
繁體：參加某選拔賽第一輪比賽的男女生人數之比是4：3，所有參加第二輪比賽的91人中男女生人數之比是8：5，第一輪中被淘汰的男女生人數之比是3：4，那麼第一輪比賽的學生共（）人。
6、简体：用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图所示，那么粘成这个立体最多需要（）块小立方体。
第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题（小学组）一、选择题（每小题 10 分，满分60分. 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的. 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1. 如图Q-1所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ( ).（A ） 21 （B ）32 （C ）52 （D ）125 2. 两条纸带，较长的一条为23cm ，较短的一条为15cm. 把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍,那么剪下的长度至少是 ( ) cm.(A) 6 （B ）7 （C ）8 （D ）93. 两个水池内有金鱼若干条, 数目相同. 亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5:3. 那么每个水池内有金鱼( ) 条.(A) 112 （B ）168 （C ）224 （D ）3364. 从21,31,41,51,61中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与76最接近，去掉的两个数是 ( ).（A ） 21,51 （B ）21,61 （C ）31,51 （D ）31,41 5. 恰有20个因数的最小自然数是 ( ).(A) 120 （B ）240 （C ）360 （D ）4326. 图Q-2的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成， B , C 是两个格点. 若请你在其它的格点中标出一点A ，使得△ABC 的面积恰等于3平方厘米，则这样的A点共有 ( ) 个.（A ）6 （B ）5 （C ）8 （D ）10二、填空题 (每小题 10 分，满分40分) 7. 算式 4.03.13.0241325.0721-⨯+⨯+-的值为 . 8. “低碳生活”从现在做起，从我做起. 据测算，1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨. 如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃，相应每年减排二氧化碳21千克. 某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3台空调计，该市家庭约有 万户. (保留整数)9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是 .10. 图Q-3是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连接B 或者C . 小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道的周长是3米. 开始时，A 连接C ，火车从A 点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A 点时用了 分钟.第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解答（小学组）一、选择题1. 如图A-1所示, 平行四边形内有两个大小一样的正六边形,那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ( ).（A ） 21 （B ）32 （C ）52 （D ）125 【答案】A.【解答】由图可知, 左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行四边形内正六边形的面积, 因此阴影部分的面积占平行四边形面积的21. 2. 两条纸带, 较长的一条为23cm, 较短的一条为15cm. 把两条纸带剪下同样长的一段后, 剩下的两条纸带中, 要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍, 那么剪下的长度至少是 ( ) cm.(A) 6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【答案】B.【解答】设剪下的长度为x cm, 那么有：)15(223x x -≥-,解得7≥x . 因此, 剪下的长度至少为7 cm.3. 两个水池内有金鱼若干条, 数目相同. 亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一个水池内的金鱼被捞完时, 亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时, 亮亮比第一次多捞33条, 与红红捞到的金鱼数目比是5:3. 那么每个水池内有金鱼 ( ) 条.(A) 112 （B ）168 （C ）224 （D ）336【答案】B.【解答】解法1：这是一道工程问题的变形, 每个水池内有金鱼168343355(33=+-+÷（条）. 解法2：可以认为是比例应用题, 设亮亮第一次捞到3n 条, 则红红第一次捞到4n 条, 依题意, 有35334333=-+n n , 解得n =24, 因此水池内共有金鱼7n =168条. 4. 从21,31,41,51,61中去掉两个数, 使得剩下的三个数之和与76最接近, 去掉的两个数是 ( ).（A ） 21,51 （B ）21,61 （C ）31,51 （D ）31,41 【答案】D.【解答】通分21=420210, 31=420140, 41=420105, 51=42084, 61=42070, 76=420360. 显然, 210+84+70=364最接近360.5. 恰有20个因数的最小自然数是 ( ).(A) 120 （B ）240 （C ）360 （D ）432【答案】B.【解答】因为20=2×10=4×5=2×2×5, 因此, 具有20个因数的自然数是3与9个2的乘积, 即:3×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1536; 或者是3个3与4个2的乘积, 即: 3×3×3×2×2×2×2=432; 或者是3, 5与4个2的乘积, 即: 3×5×2×2×2×2=240, 因此最小的自然数为240.6. 如图A-2的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成, B , C 是两个格点. 若请你在其它的格点中标出一点A , 使得△ABC 的面积恰等于3平方厘米, 则这样的A 点共有( ) 个.（A ）6 （B ）5 （C ）8 （D ）10【答案】C.【解答】 从最上面的水平线开始将水平线分别记为第1、第2、…、第10条水平线, 每条水平线均由左至右判断哪个格点符合题目要求. 以此穷举法可以得到：第1条水平线上没有格点符合要求, 第2条水平线上仅有7A 符合要求. 如图A-3所示, 类似可以得到格点2A ,1A ,6A 符合要求, 对称地, 可以得到5A ,4A ,3A ,8A 符合要求. 故答案是C.二、填空题 7. 算式 4.03.13.0241325.0721-⨯+⨯+-的值为 . 【答案】1218. 【解答】 4.03.13.0241325.0721-⨯+⨯+-=10953434175++=75+32=1218. 8. “低碳生活”从现在做起, 从我做起. 据测算, 1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨. 如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃, 相应每年减排二氧化碳21千克. 某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3台空调计, 该市家庭约有 万户. (保留整数)【答案】556.【解答】 25000⨯14⨯1000÷（21⨯3）≈5555555.6.9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中, 选出九个数字, 组成一个两位数、一个三位数和一个四位数, 使这三个数的和等于2010, 那么其中未被选中的数字是 .【答案】6.【解答】由于和为2010 所以四位数首位只能为1, 设四位数、三位数、两位数分别为abc 1, ,def gh . 设没有被选的数字为x , 那么100()10()()1010a d b e g c f h +++++++=.两边同时减去h g f e d c b a +++++++, 由于451=+++++++++x h g f e d c b a , 则x g e b d a +=++++966)(9)(99.两边都可以被9整除, 因此6=x .事实上, 由去掉6以后的9个数码0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9可以组成一个两位数, 一个三位数, 一个四位数: 78, 540, 1392, 满足78 + 540 + 1392 = 2010.【说明】1) 另一解法. 设四位数、三位数、两位数分别为abc 1, ,def gh , 既然他们的和是2010, 三个整数的个位、十位和百位相加, 一定都有进位, 所以进位的数目至少是3, 设为k . 已知：所有加数数字之和＝和的数字之和＋9×k ＝3＋9k , 由于012945++++=, 故有：363945k ≤+<, 33423599k <≤<<, 所以4k =, 三个整数abc 1, ,def gh 的数字和是3939k +=, 因此没有被选的数字为6.2) 可以询问：有多少不同的 {abc 1, ,def gh } 满足它们的和是2010呢？从条件可知：20c f h ++=或10c f h ++=. 如果20c f h ++=, 则19b e g ++≠, 否则39c f h b e g +++++=, 这是不可能的；当10c f h ++=时,9b e g ++≠, 否则9937c f h b e g +++++++=, 也是不可能的, 因为38a b cdefgh +++++++=. 故有20 (1)9 (2)9 (3)c f h b e g a d ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩用穷举法, (1)的解是{3,8,9},{4,7,9},{5,7,8};(2)的解是{0,2,7},{0,4,5},{2,3,4}；(2)的解是{0,9},{2,7},{4,5}；8个数字,,,,,,,a b c d e f g h 所取的数字各不相同, 并且0,0d g ≠≠故有1. {},,c f h ={3,8,9}, {}{}{}{},,0,2,7,,4,5b e g a d ==, 有不同的642=48⨯⨯组解；2. {},,c f h ={3,8,9}, {}{}{}{},,0,4,5,,2,7b e g a d ==, 有不同的642=48⨯⨯组解；3. {}{}{}{}{}{},,5,7,8,,,2,3,4,,0,9c f h b e g a d ===, 有不同的661=36⨯⨯组解,即当20c f h ++=时共有132组解.类似, （1）和（2）交换, 此时8=+d a ,有108组解答.因此, 共有240组答案.10. 图A-4是一个玩具火车轨道, A 点有个变轨开关,可以连接B 或者C . 小圈轨道的周长是1.5米, 大圈轨道的周长是3米. 开始时, A 连接C , 火车从A 点出发, 按照顺时针方向在轨道上移动, 同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟10米, 则火车第10次回到A 点时用了 分钟.【答案】 2.1.【解答】根据条件, 在小圈火车行驶一圈用时15.0105.1=÷分钟, 在大圈火车行驶一圈用时3.0103=÷分钟. 设回到A 点时用时为t 分钟, 这样我们有下表：下面我们给出一个一般的解答.设玩具火车绕小圈轨道m 圈, 绕大圈轨道n 圈, 则玩具火车运动路程是1.53S m n =+, 时间是1.5310m n +. 如果 1.5310m n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦是偶数, 则变轨开关AC 连通, 如果 1.5310m n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦是奇数, 则变轨开关AC 连通. 我们寻找最小的m n +, 使1.5310m n +是偶数. 无妨设 1.5310m n K +=, 或3620m n K +=,这里K 是偶数, 并且有3为约数, 是玩具火车运动的时间, 因此最小的K 是6. 即求m 和n 使240m n +=.当n ＝3, 3010n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 故开始玩具火车绕大圈轨道4圈之后进入小圈, 时间是12 1.210=（分钟）；当n ＝4, m ＝5时, 7.512110+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 912210+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 故玩具火车绕小圈轨道6之后再次进入大圈轨道, 此时1.5310m n +＝1.56342.110⨯+⨯=（分钟）（可以称为一个拟循环） 将玩具火车再次进入大圈运行, 运行圈数记为2n . 2n ＝3时,1.5637310⨯+⨯=（分钟）, 玩具火车应当再次进入小圈运行, 运行圈数记为2m , 既然1.57 1.5611010⨯⨯>>, 故玩具火车绕小圈运行7圈后, 应再次进入大圈运行, 此时1.53 1.51337 4.051010m n +⨯+⨯==（分钟）. 将玩具火车再次进入大圈运行, 运行圈数记为3n . 既然1.513311 1.51331051010⨯+⨯⨯+⨯>>, 故玩具火车绕大圈运行4圈后, 应再次进入小圈运行, 此时1.53 1.513311 5.251010m n +⨯+⨯==（分钟）, 则玩具火车绕大圈运行5圈后,1.53 1.51831161010m n +⨯+⨯==(分钟). 结论玩具火车第29次回到A 时, 变轨开关AC 连通, 即回到原始状态.。
