初中数学弧、弦、圆心角例题讲解

教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日：00--- ：00 课题弧，弦，圆心角，弦心距之间的关系教学目标定理的内容及其证明教学重难点定理的内容在证明中都是应用教学过程【学习准备】动手画一圆1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是对称图形；2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个对称图形。

3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的不变性。

【解读教材】1、认识圆心角、弦心距、弧的度数1）圆心角的定义：。

2）弦心距的定义：。

3）弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成份时，每一份的圆心角是1°的角。

②因为在同圆中相等的圆心角所对的相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的叫做1°的弧。

③圆心角的度数和它们对的弧的相等。

2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和A'B'，弦AB和''BA，弦心距OM和''MO是否也相等呢？定理总结：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对弦的也相等。

ABM OA 'M 'B '3、命题的证明: 如图，已知：∠AOB=∠A ′OB ′，求证：弧AB 和A ′B ′，弦AB 和A ′B ′，弦心距OM 和OM ′相等。

问题：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,是否还有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。

举出反例： 。

归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

（简记：“知一推三”）【例题精析】 例题一：判断：1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) 2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( ) 3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( ) 4）相等的圆心角所对的弧相等。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.【答案】证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)∴∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】判断圆周角必须同时满足两条：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.【答案与解析】解法1：如图所示，∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°∴∠POB=180°-x°=(180-x)°又解法2：如图所示，连结AQ，则又∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°【总结升华】考查圆周角定理的应用.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】连结AD，易证∠ADB=90°，即AD是等腰三角形△ABC的高．再由三线合一的性质得出BD与CD的大小关系.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．举一反三：【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3． 变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。

24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆心角的概念．2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．教学重难点：圆的性质的综合应用．知识点一：圆的旋转不变性圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？【考点】B4：旋转．【专题】463：图形与变换．【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．【解答】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成9个完全相同的部分，每个部分对应的圆心角是=45度，因而最少旋转的度数是45度．答：如图所示的图形绕圆心旋转45度后能与自身重合．【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．变式．如图，△ABC是△O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则△B的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】先根据得出==，，最后根据△A=△B=△C即可得出△B的度数．【解答】解：△，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，△==，△，△△A=△B=△C=60°．故选D．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系和旋转的性质，解题的关键是根据等弧所对的圆周角相等进行解答．知识点二：圆心角定义：角的顶点在圆心的角例题．如图，MN为△O的弦，△M=50°，则△MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出△N，再根据三角形的内角和是180°即可得．【解答】解：△OM=ON，△△N=△M=50°．再根据三角形的内角和是180°，得：△MON=180°﹣50°×2=80°．故选D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．变式1．如图，已知：AB是△O的直径，C、D是上的三等分点，△AOE=60°，则△COE是（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出△BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【解答】解：△△AOE=60°，△△BOE=180°﹣△AOE=120°，△的度数是120°，△C、D是上的三等分点，△弧CD与弧ED的度数都是40度，△△COE=80°．故选C．【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是（）A．72°B．72°或144°C．144°D．144°或216°【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．【解答】解：△弦AB把圆周分成2：3的两部分，△弦AB所对的圆心角的度数=×360°=144°．故选D【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，△圆心角相等，△所对的弧相等，△所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题1．如图，在△O中=，△AOB=40°，则△COD的度数（）A．20°B．40°C．50°D．60°【分析】首先得到=，进而得到△AOB=△COD，即可选择正确选项．【解答】解：△=，△=，△△AOB=△COD，△△AOB=40°，△△COD=40°，故选B．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例题2．如图，在△O中，已知=，则AC与BD的关系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定【分析】由=，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．【解答】解：△=，△，△，△AC=BD．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．例题3．如图，AB是半圆的直径，△BAC=20°，D是的中点，则△DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△C=90°，继而求得△ABC 的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，△AB是半圆的直径，△△C=90°，△△BAC=20°，△△B=90°﹣△BAC=70°，△D是的中点，△△DAC=△ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．变式1．如图所示，在△O中，，△A=30°，则△B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出△B=△C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：△在△O中，，△△ABC是等腰三角形，△△B=△C；又△A=30°，△△B==75°（三角形内角和定理）．故选B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．变式2．如图，==，已知AB是△O的直径，△BOC=40°，那么△AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】由==，△BOC=40°，根据等弧所对的圆周角相等，可求得△EOD与△COD的度数，继而求得答案．【解答】解：△==，△BOC=40°，△△EOD=△COD=△BOC=40°，△AB是△O的直径，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=60°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图，已知△O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是△O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（）A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．△（已知），△△AOD=△DOC=△COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；△AB是直径，△△AOD+△DOC+△COB=180°，△△AOD=△DOC=△COB=60°；△OA=OD（△O的半径），△△AOD是等边三角形，△AD=OD=OA；同理，得OC=OD=CD，OC=OB=BC，△AD=CD=BC=OA，△四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB=5OA=5×2cm=10cm；故选B．【点评】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在△O上，D是上的点，E是上的点，若△BAC=50°．则△D+△E=（）A．220°B．230°C．240°D．250°°【分析】连接OA、OB、OC，由圆心角、弧、弦的关系定理得出△BOC=100°，得出△AOB+△AOC=260°，由圆周角定理得出△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），即可得出结果．【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示：△△BAC=50°，△△BOC=2△BAC=100°，△△AOB+△AOC=360°﹣100°=260°，△△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），△△D+△E=（△BOC+△AOC+△BOC+△AOB）=（260°+100°+100°）=230°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由圆周角定理得出角之间的关系是解决问题的关键．例题2．如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则△COF=（）A．90°B．100°C．108°D．120°【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出=，得出△COF=×180°=108°即可．【解答】解：△AC=CD=DE=EF=FB，△=，△△COF=×180°=108°；故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由弦相等得出弧相等是解决问题的关键．例题3．如图，AB是△O的直径，若△COA=△DOB=60°，等于线段AO长的线段有（）A．3条B．4条C．5条D．6条【分析】易知：△AOC=△COD=△BOD=60°，则△AOC、△COD、△BOD均为等边三角形，可据此判断出与OA相等的线段有几条．【解答】解：△△COA=△DOB=60°，△△AOC=△COD=△BOD=60°；又△OA=OC=OD=OB，△△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形；△OA=AC=OC=CD=OD=BD=OB；因此与OA相等的线段由6条，故选D．【点评】能够发现△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形是解答此题的关键．变式1．如图，AB是△O的直径，==，△COD=34°，则△AEO的度数是51°．【分析】由==，可求得△BOC=△EOD=△COD=34°，继而可求得△AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求△AEO的度数．【解答】解：如图，△==，△COD=34°，△△BOC=△EOD=△COD=34°，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=78°．又△OA=OE，△△AEO=△OAE，△△AEO=×（180°﹣78°）=51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．变式2．如图，AB是△O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若△O的半径为2，则PC+PD的最小值是2．【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则根据垂径定理得：E在△O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，△C是半圆上的一个三等分点，△△AOC=×180°=60°，△D是的中点，△△AOE=△AOC=30°，△△COE=90°，△CE=OC=2，即DP+CP=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．变式3．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，△AOC=40°，D是BC弧的中点，则△ACD=125°．【分析】连接OD，由△AOC=40°，可得出△BOC，再由D是BC弧的中点，可得出△COD，从而得出△ACD 即可．【解答】解：连接OD，△AB是△O的直径，△AOC=40°，△△BOC=140°，△ACO=70°，△D是BC弧的中点，△△COD=70°，△△OCD=55°，△△ACD=△ACO+△OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．变式4．如图，已知AB是△O的直径，PA=PB，△P=60°，则弧CD所对的圆心角等于60度．【分析】先利用PA=PB，△P=60°得出△PAB是等边三角形再求出△COA，△DOB也是等边三角形得出△COA=△DOB=60°可求△COD．【解答】解：连接OC，OD，△PA=PB，△P=60°，△△PAB是等边三角形，有△A=△B=60°，△OA=OC=OD=OB，△△COA，△DOB也是等边三角形，△△COA=△DOB=60°，△△COD=180°﹣△COA﹣△DOB=60度．【点评】本题利用了：有一角等于60度的等腰三角形是等边三角形的判定方法和等边三角形的性质求解．例题4．如图，在△O中，=，CD△OA于D，CE△OB于E，求证：AD=BE．【分析】连接OC，先根据=得出△AOC=△BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD△△COE，由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，△=，△△AOC=△BOC．△CD△OA于D，CE△OB于E，△△CDO=△CEO=90°在△COD与△COE中，△，△△COD△△COE（AAS），△OD=OE，△AO=BO，△AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是△O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB 的中点．求证：MC=NC．【分析】根据弧与圆心角的关系，可得△AOC=△BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC△△NOC，继而证得结论．【解答】证明：△弧AC和弧BC相等，△△AOC=△BOC，又△OA=OB M、N分别是OA、OB的中点△OM=ON，在△MOC和△NOC中，，△△MOC△△NOC（SAS），△MC=NC．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．变式1．如图，AB，CD是△O的两条直径，过点A作AE△CD交△O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．【分析】连接OE，可得△A=△OEA，再由AE△CD得△BOD=△A，△DOE=△OEA，从而得出△BOD=△DOE，则BD=DE．【解答】证明：连接OE，如图，△OA=OE，△△A=△OEA，△AE△CD，△△BOD=△A，△DOE=△OEA，△△BOD=△DOE，△BD=DE．【点评】此题主要考查了平行线的性质，在同圆中，等弦所对的圆心角相等．变式2．如图，AB是△O的直径，C，E是△O上的两点，CD△AB于D，交BE于F，=．求证：BF=CF．【分析】延长CD交△O于点G，连接BC，根据垂径定理证明即可．【解答】证明：延长CD交△O于点G，连接BC，△AB是△O的直径，CD△AB于D△=，△=△=△△BCF=△CBF，△BF=CF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，解此题的关键是作辅助线后根据定理求出△CBE=△BCE，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好．拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的综合应用例题1．如图，在△O中，若点C是的中点，△A=50°，则△BOC=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出△AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出△BOC=△AOB，代入求出即可．【解答】解：△△A=50°，OA=OB，△△OBA=△OAB=50°，△△AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，△点C是的中点，△△BOC=△AOB=40°，故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．例题2．如图，AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，给出下列结论：△AB=AC；△=；△AD△BC；△AB△AC．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，可得=，即可得AD△BC，继而求得：△AB=AC；△=．【解答】解：△AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，△=，△AD△BC，故△正确；△=，故△正确；△AB=AC，故△正确．无法判定AB△AC，故错误．故选C．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及弧与弦的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式1．如图，在△O中，直径CD△弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=AB B．△D+△BOC=90°C．△BOC=2△D D．△D=△B【分析】根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故A选项错误；B、△直径CD△弦AB，△，△对的圆周角是△ADC，对的圆心角是△BOC，△△BOC=2△D，不能推出△D+△BOC=90°，故B选项错误；C、△，△△BOC=2△D，△C选项正确；D、根据已知不能推出△DAB=△BOC，不能推出△D=△B，故D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．变式2．如图，AB是△O的直径，点C、D是△O上的点，若△CAB=25°，则△ADC的度数为（）A．65°B．55°C．60°D．75°【分析】由AB为△O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得△ACB=90°，又由△CAB=25°，得出△B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得△ADC的度数．【解答】解：△AB为△O的直径，△△ACB=90°，△△CAB=25°，△△ABC=90°﹣△CAB=65°，△△ADC=△ABC=65°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图是小明完成的．作法是：取△O的直径AB，在△O上任取一点C引弦CD△AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），△OCD的平分线与△O的交点必（）A．平分弧AB B．三等分弧ABC．到点D和直径AB的距离相等D．到点B和点C的距离相等【分析】先求出△DCE=△ECO，再利用内错角相等，两直线平行的OE△CD，再利用角的平分线的性质可解．【解答】解：设△OCD的平分线与△O的交点为E，连接OE，△OE=OC，△△E=△ECO，△△DCE=△ECO，△OE△CD，△CD△AB，△OE△AB，△有弧AE=弧BE，所以点E是弧AB的中点．故选A．【点评】本题利用了：1、等边对等角，2、内错角相等，两直线平行，3、角的平分线的性质求解．易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系例题．如图，△O中，如果△AOB=2△COD，那么（）A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC【分析】过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，可得△AOE=△BOE=△AOB，根据△COD=△AOB，知△AOE=△BOE=△COD，即CD=AE=BE，在△ABE中，由AE+BE＞AB可得2CD＞AB．【解答】解：如图，过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，△△AOE=△BOE=△AOB，又△△COD=△AOB，△△AOE=△BOE=△COD，△CD=AE=BE，△在△ABE中，AE+BE＞AB，△2CD＞AB，故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据△AOB=2△COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．变式1．在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．【解答】解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，△CD=DE，△CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，△CE＜AB，△＜．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．变式2．如图，已知点A，B，C均在△O上，并且四边形OABC是菱形，那么△AOC与2△OAB之间的关系是（）A．△AOC＞2△OAB B．△AOC=2△OAB C．△AOC＜2△OAB D．不能确定【分析】连接OB易证△OAB和△OBC是等边三角形，据此即可判断．【解答】解：连接OB．△四边形OABC是菱形，△OA=AB，又△OA=OB，△△OAB是等边三角形．同理△OBC是等边三角形．△△A=△AOB=△BOC=60°，△△AOC=2△OAB．【点评】本题考查了菱形性质以及等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．。

九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距的关系人教四年制【本讲教育信息】一. 教学内容：圆心角、弧、弦、弦心距的关系二. 重点、难点：1. 等弧对等角、对等弦、对等弦心距。

2. 在同圆或等圆中，等角、等弦、等弦心距对等弧。

∴ 点A 、B 到DC 距离相等 ∴ AB ∥CD[例3] ABC ∆中，A ∠为直角，⊙O 与三边交于P 、Q 、R 、S 、K 、L ，若PQ=RS=KL ，求BOC ∠大小。

由勾股定理，2222)47(1)47(--=-x x 整理得02742=--x x 21=x ，412-=x （舍） ∴42==x AB[例6] 如图，C 、D 在以AB 为直径的半圆上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，DH ⊥OC 于H ，若AE=2cm ，EO=3cm ，求HF 长。

解：作出⊙延长DH ∴ HF=NK 21∵ CM ∥DK ∴⋂⋂⋂==CN MK CD∴⋂⋂=NK CM ∴ CM=NK ∴HF CM CE ==21又 ∵ OC=OA=5cm OE=3cm ∴ CE=4cm ∴ HF=4cm【模拟试题】（答题时间：45分钟）4. 如图3，在半径为2cm 的⊙O 内有长为cm 32的弦AB ，则此弦所对的圆心角AOB ∠为（ ）A. ︒60B. ︒90C. ︒120D. ︒1507. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，则OM 的长为（ ） A. cm 3 B. cm 2 C. cm 1 D. cm 38. 已知⊙O 的弦AB 长为8cm ，⊙O的半径为5cm ，则弦心距为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 39cm D. 392cm9. 如图6，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（ ） ︒=60AOB ；正确的是（ ）A. ①②③④⑤B. ①②④⑤C. ①②D. ②④⑤二. 填空题：11. 在圆中︒80的弧所对的圆心角的度数是。

专题2.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】【苏科版】【题型1 圆心角、弧、弦的概念】 (1)【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 (4)【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 (6)【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 (9)【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 (12)【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 (16)【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 (19)【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】 (22)【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】 (25)【题型1 圆心角、弧、弦的概念】【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．故选：A．【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（ ）A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB=AD D．∠BCA＝∠DCA【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到BC=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝CD．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，∴BC=CD，∴BC＝CD，故选：B．【变式1-2】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是　①②③④　（填序号）．【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【解答】解：在⊙O中，AB=CD，∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴AC=BD故④正确；∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF=DF；②HC＝BF：③MF＝FC：④DF+AH=BF+AF，其中成立的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：∵F为CBD的中点，∴CF=DF，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴CH=BF，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴AH的度数+CF的度数＝180°，∴CH的度数+AF的度数＝180°，∴AH+CF=AH+DF=CH+AF=AF+BF，故④正确，故选：C．【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）A．32°B．60°C．68°D．64°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AE=BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．【解答】解：∵AE=BD，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，AB=CD，∠1＝45°，则∠2＝（ ）A．60°B．30°C．45°D．40°【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．【解答】解：∵AB=CD，∴∠2＝∠1＝45°，故选：C．【变式2-2】（2022秋•天河区期末）如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝　120°　．【分析】证明AC=BD可得结论．【解答】解：∵AC＝BD，∴AC=BD，∴∠BOD＝∠AOC＝120°，故答案为：120°．【变式2-3】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠AEO 的度数是　51°　．【分析】由BC=CD=DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵BC=CD=DE，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，×（180°﹣78°）＝51°．∴∠AEO=12故答案为：51°．【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】【例3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝R的长为（ ）A．1B C．2D．【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得AC=BD，继而可得BC=AD，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=，由此即可解决问题．【解答】解：连接OA，OD，∵弦AC＝BD，∴AC=BD，∴BC=AD，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD，∵AD＝∴R＝2，故选：C ．【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt △ACB 中∠ACB ＝60°，以直角边AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE 的中点，OM 交AC 于点D ，⊙O 的半径是6，则MD 的长度为（ ）A B ．32C ．3D ．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A ＝30°，根据垂径定理求出OD ⊥AE ，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD ，再求出MD 即可．【解答】解：∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝60°，∴∠A ＝30°，∵M 为弧AE 的中点，OM 过圆心O ，∴OM ⊥AD ，∴∠ADO ＝90°，∴OD =12OA =12×6=3，∴MD ＝OM ﹣OD ＝6﹣3＝3，故选：C ．【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙O 于点F ，若AE ＝2，⊙O 的直径为10，则AC 长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据垂径定理求出DE ＝EF ，AD =AF ，求出ADC =DAF ，求出AC ＝DF ，求出EF 的长，再求出DF 长，即可求出答案．【解答】解：连接OF ，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF==4，∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．AB，直径BC＝BD=CD，则AD＝　【变式3-3】（2022秋•曾都区期中）如图，在⊙O中，AC=12【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形DEAF是正方形，可得AD=，想办法求出AF，可得结论．【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵BC＝AB＝2AC，∴AC＝2，AB＝4，∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∴四边形DEAF是正方形，∴AD，∵∠DAB＝∠DAC，∴BD=CD，∴BD＝CD，∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF，∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，∴AF＝3，∴AD＝故答案为：【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】【例4】（2022秋•龙口市期末）如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且AD=DC=CB，则四边形ABCD的周长等于（ ）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．∵AD=DC=CB（已知），∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；∵AB是直径，∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；∵OA＝OD（⊙O的半径），∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝OA；同理，得OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，∴AD＝CD＝BC＝OA，∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；故选：B．【变式4-1】（2022秋•海口期末）如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长等于　12　．【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠AOB＝120°，得到△AOC和△BOC都是等边三角形，再求出四边形AOBC的周长．【解答】解：∵C是AB的中点∴∠AOC＝∠BOC，而∠AOB＝120°∴∠AOC＝∠BOC＝60°∴△AOC和△BOC都是等边三角形∴OA＝OB＝CA＝CB＝3所以四边形AOBC的周长等于12．故填12．【变式4-2】（2022秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为　9cm　．【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB∵AB＝3cm，∴△AOB的周长为3+3+3＝9（cm）．故答案为：9cm．【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝⊙O的周长为【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出BC=AD，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC=1（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直2角三角形求出AO，再求出答案即可．【解答】解：连接AB，AO，DO，∵⊙O的弦AC＝BD，∴ABC=BAD，∴BC=AD，∴∠BAC＝∠ABD，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，（180°﹣∠AEB）＝45°，∴∠ABD＝∠BAC=12∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝AO2+OD2＝AD2，∴AO＝∴⊙O的周长是2×π×，故答案为．【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）A ．25B ．CD 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC ＝∠BOC ＝60°，易得△OAC 和△OBC 都是等边三角形，即可解决问题．【解答】解：连OC ，如图，∵C 是AB 的中点，∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，又∵OA ＝OC ＝OB ，∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形，∴S 四边形AOBC ＝2×12×52故选：D ．【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S 甲表示甲的面积，则S 甲＝　25π2　．【分析】由题意得到AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，求得S 弓形AD ＝S 弓形BC ，S 弓形AB ＝S 弓形CD ，根据三角形的面积公式得到S △ABE +S △DEF ＝S △BEF +S △CDF ，于是得到结论．【解答】解：如图，AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴S 弓形AD ＝S 弓形BC ，S 弓形AB ＝S 弓形CD ，∵S △ABE +S △DEF ＝S △BEF +S △CDF ，∴S甲＝S乙=12S圆=25π2，故答案为：25π2．【变式5-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC=BC，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，OC＝1，∴OD=12∴CD×OD×CD∴△OCD的面积=12×OE×CE同理可得，△OCE的面积=12∴四边形DOEC的面积=【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）A B C D【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直AF AG=Rt△AGC中，角三角形，可得FA=Rt△AGF中，GF=12CG＝AG ACF面积．【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，∵AB＝OA＝OB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴弧AB 的度数＝60°，又∵AB ＝BC ＝CD ，∴弧AB ＝弧BC ＝弧CD ，∴弧ABD 的度数＝3×60°＝180°，∴AD 为⊙O 的直径，∠CFA ＝60°，∵AN ＝AF ＝OE AD 平分NF ，∴EF 过O 点，∴弧FD ＝弧FA ，∴△FAD 为等腰直角三角形，∴∠FCA ＝∠FDA ＝45°，FA在Rt △AGF 中，GF =12AF AG =在Rt △AGC 中，CG ＝AG∴S △ACF =12CF •AG =12××=故选：D ．【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC 的顶角∠CAB 为50°，以腰AB 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AC 于点E ，则DE 的度数为（ ）A ．50°B ．25°C ．80°D ．65°【分析】连接AD ，取AB 的中点O ，连接OE ，OD ．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠DOE ＝50°，可得结论．【解答】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥CB，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠DAC=1∠BAC＝25°，2∴∠DOE＝2∠DAC＝50°，∴DE的度数为50°，故选：A．【变式6-1】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）A．28°B．64°C．56°D．124°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴BD的度数为56°．故选：C．【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为　50°　．【分析】连接BC，如图，由弧AD＝100°得到∠ACD＝50°，再证明AB=CD得到AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，则CD＝ED，所以∠DEC＝∠DCE＝50°，然后计算出∠ECB的度数，从而得到弧AB的度数．【解答】解：连接BC，如图，∵弧AD＝100°，∴∠ACD＝50°，∵AC＝BD，∴AC=BD，即AB+AD=AD+CD，∴AB=CD，∴AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，∵AB＝ED，∴CD＝ED，∴∠DEC＝∠DCE＝50°，∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝2∠ECB，∠DEC＝25°，∴∠ECB=12∴弧AB的度数为50°．故答案为：50°．【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC 的度数是（ ）A．120°B．135°C．150°D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，BO，AB∥DC，由题意可得：EO=12可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故BC的度数是150°．故选：C．【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】【例7】（2022秋•顺义区期末）如图，在⊙O中，如果AB=2AC，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【分析】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2BD，由已知条件AB=2AC，得出AD=BD= AC，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根据三角形三边关系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC．【解答】解：如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB=2AD=2BD，∵AB=2AC，∴AD=BD=AC，∴AD＝BD＝AC．在△ABD中，AD+BD＞AB，∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．故选：D．【变式7-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：连接OC，OD，∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，∴AB＞CD．【变式7-2】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+ CD=EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EFC．AB+CD＞EF D．大小关系不确定【分析】在弧EF 上取一点M 使弧EM ＝弧CD ，推出弧FM ＝弧AB ，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB ＝FM ，CD ＝EM ，根据三角形的三边关系定理求出FM +EM ＞FE 即可．【解答】解：如图，在弧EF 上取一点M 使弧EM ＝弧CD ，则弧FM ＝弧AB ，∴AB ＝FM ，CD ＝EM ，在△MEF 中，FM +EM ＞EF ，∴AB +CD ＞EF ．故选：C ．【变式7-3】（2022天河区一模）如图，AB 为半圆的直径，点C 、D 在半圆上．（1）若BC =3AD ，CD =2AD ，求∠DAB 和∠ABC 的大小；（2）若点C 、D 在半圆上运动，并保持弧CD 的长度不变，（点C 、D 不与点A 、B 重合）．试比较∠DAB 和∠ABC 的大小．【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小；（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系．【解答】解：（1）∵BC =3AD ，CD =2AD∴∠BOC ＝3∠AOD ，∠COD ＝2∠AOD∵∠BOC +∠COD +∠AOD ＝180°∴∠AOD ＝30°，∠BOC ＝90°，∠COD ＝60°∴∠DAB =12∠BOD =12（∠BOC +∠COD ）＝75°∠ABC =12∠AOC =12（∠AOD +∠COD ）＝45°（2）①若AD ＜CB ，则∠DAB ＞∠ABC ；②若AD =CB ，则∠DAB ＝∠ABC ；③若AD＞CB，则∠DAB＜∠ABC【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】【例8】（2022秋•自贡期末）如图，AB为⊙O的直径，BE=CE，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接CB．求证：BC＝CF．【分析】证明：连接AE，利用圆心角、弧与弦的关系证明即可．【解答】证明：连接AE∵CE=BE∴∠A＝∠FBC，∵AB为直径，∴∠E＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∵CD⊥AB于D，∴∠FDB＝90°，∴∠CFB+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CFB，∴∠FBC＝∠CFB，∴BC＝CF．【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：BD=BE．（用两种不同的方法证明）【分析】方法一：由CE∥AB知AC=BE，再由∠BOD＝∠AOC知AC=BD，据此可得证；方法二：连接OE，知∠OCE＝∠OEC，根据AB∥CE知∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，从而得∠BOD＝∠BOE，继而可得证．【解答】证明：方法一：∵CE∥AB，∴AC=BE，∵∠BOD＝∠AOC，∴AC=BD，∴BD=BE；方法二：连接OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB∥CE，∴∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，∴∠BOD＝∠BOE，∴BD=BE．【变式8-2】（2022秋•福清市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为AC的中点．【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．【解答】证明：∵OB＝OC，∴∠B＝∠C，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，∴∠AOD＝∠COD，∴AD=CD，即D为AC的中点．【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）AD=BC；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD，推出AB=CD，推出AD=CD．（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝CD，∴AB=CD，∴AC+BC=AD+AC，∴AD=BC．（2）∵AD=BC，∴AD ＝BC ，∵∠ADE ＝∠CBE ，∠AED ＝∠CEB ，∴△ADE ≌△CBE （AAS ），∴AE ＝EC ．【题型9 圆心角、弧、弦的的倍数关系】【例9】（2022•原州区期末）在⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ，则CE 与BE 之间的等量关系是什么？请证明你的结论．【分析】连接OE ，证出OD =12CO =12OE ，得出∠DEO ＝30°，求出∠DOE ＝60°，∠BOE ＝30°，即可得出结论．【解答】解：CE =2BE ，理由如下：连接OE ，如图所示：∵CO ⊥AB ，∴∠BOC ＝90°，∵DE ∥AB ，∴DE ⊥CO ，∴∠ODE ＝90°，∵D 是CO 的中点，∴OD =12CO =12OE ，∴∠DEO ＝30°，∴∠DOE ＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOE ＝90°﹣60°＝30°，∴CE =2BE ．【变式9-1】（2022•铁岭模拟）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，把半圆沿弦AC 折叠，AC 恰好经过点O ，则BC 与AC 的关系是（ ）A ．BC =12ACB ．BC =13AC C ．BC =ACD ．不能确定【分析】连接OC ，BC ，过O 作OE ⊥AC 于D 交圆O 于E ，根据折叠的性质得到OD =12OE ，根据圆周角定理得到∠ACB ＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD =12BC ，求得∠COB ＝60°，得到∠AOC ＝120°，于是得到结论．【解答】解：如图，连接OC ，BC ，过O 作OE ⊥AC 于D 交圆O 于E ，∵把半圆沿弦AC 折叠，AC 恰好经过点O ，∴OD =12OE ，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴OD ∥BC ，∵OA ＝OB ，∴OD =12BC ，∴BC ＝OE ＝OB ＝OC ，∴∠COB ＝60°，∴∠AOC ＝120°，AC，∴BC=12故选：A．【变式9-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）A．1：3B．2：3C．1：4D．1：2×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=14过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．×360°＝90°；则弦所对的圆心角∠AOB=14∴△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB于C，AB，∴OC=12∴弦心距与弦长的比为1：2，故选：D．【变式9-3】（2022•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）A．AC＝3BC B．AC=C．AC+1）BC D＝BC【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=，计算AC和BC的比可得结论．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC=3BC，∴∠AOC＝135°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝22.5°，∵OD是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝22.5°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=，∴BCAC∴AC+1）BC．故选：C．。

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论.二、知识要点：1. 弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵CD.OABCD2. 圆周角（1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.③②①（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点：本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：（1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝AC.B分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC.解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC.（2）由（1）得︵BD ＝︵AC ，∴BD ＝AC.例2. 如图所示，C 是︵AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的弧为︵AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.C解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.例4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，优弧ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC ＝150°，∴∠ABC ＝12∠AOC ＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，∴∠ADC ＝12∠α＝105°，∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝CD.分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF. ∴AB ＝CD.(1)解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D. ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD.(2)(3)解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.例6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到AB 的距离OE 等于12AB ，求∠C 的度数.分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.BB m解：如图（1）所示，连结AO 、BO.因为OE ⊥AB ，所以EB ＝AE ＝12AB.又OE ＝12AB ，所以EB ＝OE ＝AE.所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.所以∠C ＝12∠AOB ＝12（∠AOE ＋∠EOB ）＝12×90°＝45°.如图（2）所示，由（1）得∠AOB ＝90°，所以优弧A m B 所对的圆心角是270°，所以∠C ＝135°.即∠C 的度数为45°或135°.评析：图（1）中，△ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（2）中，△ABC 为钝角三角形，圆心O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】1. 圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性. 利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2. 在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3. 圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握. 同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【预习导学案】（点和圆的位置关系）一、预习前知1. 圆可以看作是到__________的距离等于__________的点的集合，也就是说圆上的点到圆心的距离都等于__________.2. 圆的内部可以看作是到__________的距离小于半径的点的集合.3. 圆的外部可以看作是到__________的距离大于半径的点的集合.二、预习导学1. ⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离OD ＝3cm . 点A 、B 、C 在直线l 上，若AD ＝23cm ，BD ＝4cm ，CD ＝5cm . 则点A 在⊙O__________，点B 在⊙O__________，点C 在⊙O__________.2. 下列条件中，可以画一个圆，并且只可以画一个圆的条件是（ ） A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知三点 D. 过直线上两点和直线外一点3. 三角形外接圆的圆心是（ ） A. 三内角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三中线的交点 D. 三高线的交点4. 用反证法证明：“在△ABC 中，至少有两个内角是锐角”时，第一步假设__________成立.反思：（1）点和圆有哪些位置关系？（2）经过不在同一直线上的三点画圆的时候，如何确定圆心？（3）反证法的基本思路和一般步骤是怎样的？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（ ）A. 150°，210°B. 75°，105°C. 60°，120°D. 120°，240°2. 已知AC 为⊙O 的直径，弦AB ＝10cm ，∠BAC ＝30°，那么⊙O 的半径为（ ）A. 5cmB. 52cmC. 1033cmD. 2033cm3. 如图所示，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，已知∠ECB ＝60°，∠AED ＝65°，那么，ADE的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 55°D. 65°*4. 如图所示，劣弧︵AE 所对的圆心角为40°，则∠B ＋∠D 等于（ ） A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°D5. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，∠ACD ＝15°，则∠BAD 的度数为（ ） A. 75° B. 72° C. 70° D. 65°6. 如图所示，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120°D. 130°**7. 已知⊙O 的半径为6cm ，⊙O 的一条弦AB 的长为63cm ，则弦AB 所对的圆周角是（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°二、填空题1. 如图所示，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 弧长的大小关系是__________.2. 如图所示，点A 、B 、C 、E 都在圆周上，AE 平分∠BAC 交BC 于点D ，则图中相等的圆周角是__________.3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，︵BC ＝︵BD ，∠A ＝30°，则∠BOD ＝__________.AB4. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，圆周角∠ABC ＝30°，则弦AC 的长是__________.5. 如图所示，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是︵AC 上任意一点，那么∠D 的度数是__________.A**6. 如图所示，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上顺次五点，且AB ＝BC ＝CD ，如果∠BAD ＝50°，那么∠AED ＝__________.B三、解答题1. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. （1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？︵AB 与︵CD 的大小关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？BD2. 如图所示，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ＝CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？*3. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC ＝PC. PB 的延长线交⊙O 于D. 求证：AC ＝DC.P*4. 如图所示，已知A 、B 、C 、F 、G 是⊙O 上的五点，AF 交BC 于点D ，AG 交BC 于点E ，且BD ＝CE ，∠1＝∠2. 求证：AB ＝AC.试题答案一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题 1. 相等2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，所以AB ＝CD. 因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，所以AE ＝CF. 又因为OA ＝OC ，所以R t △OAE≌R t △OCF. 所以OE ＝OF. （2）如果OE ＝OF ，那么AB ＝CD ，︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为OA ＝OC ，OE ＝OF ，所以R t △OAE ≌R t △OCF. 所以AE ＝CF ，又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD. 所以AB ＝2AE ，CD ＝2CF. 所以AB ＝CD. 所以︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD.2. BE ＝CE. 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE.3. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝12AP.∴AC ＝DC.4.∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G. ∴⌒AB ＝⌒AC ，∴AB ＝AC.。