最新微积分 第六章练习题答案

第一章 函数极限与连续之吉白夕凡创作一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xx x f +=13arcsin)(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

练习题第六章 定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2． 函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章 不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章 导数应用1.计算极限 （1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章 导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章 函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。

优秀学习资料 欢迎下载《微积分下》第六章练习学院专业年级班级姓名学号一、单项选择题1． lim10 x ndxAnA . 0B .1C .D. 不存在2．dxsin t2dt DdxA . sin t 2B. cos x 2C. 2x cosx 2D. sin x 23．广义积分11D－1 x2 dxA.－2B .2 C.0D. 发散4．下列广义积分中发散的是CA .＋ dxB .e xdx＋dx1dx2C .D.21 x1x1 x5．下列广义积分中收敛的是CA .＋ln x dx B . edxC.dx 2 D.edxe xx ln xex(ln x)x ln x16． 2 tan(x)dxC2A .1ln 2B . 1ln 2C.1ln 2D.1ln 2227．经过变换 t9 xDx ，dx4x 1A . 9t dtB . 92t 2 dt C.3t dt D.32t 2 dt4t 14t 12t 12t 1＋1 exdx8．A1xA .2B .2 C. 2eD. 2eee9． 2(1 x 3 sin 2 x) dxC2A .2 2 x3 sin 2x dxB . 22(1 x 3 sin 2 x) dx C .D . 010．下列积分中，可直接用牛顿－莱布尼茨公式计算的是CA .2dxB .sin 2 xdx3dx1 dx1x ln xC.D .2225 x11 x二、填空题1．x 2e 2x 3dx1 062．设 Fx2( te tdt，则 F (x)2x 2 e x)x 2优秀学习资料欢迎下载3．设 xe x是 f (x) 的一个原函数，则1x f ( x) dx4．设 f ( x) 在 [a, a] 上连续，则 a[ f ( x) f (x)]dxsin xa5．若广义积分e kxdx2 ，则 k6．1x 2tan x1 2 dx－11 x三、计算题1．2cos x cos 3 xdx 232．2x(ln x)2dx 2ln 2 (ln 2 1)3 143．设 f ( x) 是连续函数，又f ( x)3x 2 x1f ( x)dx ，求 f (x)11dx1 2 ln 24． 31 x415．0(1 sin 3 x)dx436．2dx1 ln 9x 234x 2 57．2xdxln 220 1 cos x8．2 2x 2dx21229． (arcsin x) 2 dx4dx10．＋ex e x4e 112 2（ 3x 22x ）3111．设 f ( x) 是可导函数且 F ( x)xx f (t ) dt ，求 F (x) 。

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章参考答案一、选择题1. B ；2. D ；3. D ；4. B ； 二、填空题1.Cxe y =； 2.0=y ； 3.C x x y ++=232151； 4. t e t C C s 2521)(+=.三、解答题1.解 原方程为分离变量的微分方程，分离变量可得x d x ydy2=， 两边积分：⎰⎰=xdx y dy 2，得12ln C x y +=，其中1C 为任意常数， 整理有：2x Ce y =，其中C 为任意常数. 2.解： （1）该方程的通解为 ]s i n [11C dx e xx ey dxx dxx +⎰⎰=⎰-=]sin [ln ln C dx e x x ey x x +=⎰-=)sin (1⎰+C xdx x =)cos (1C x x+-， 又1)(=πy ，得1-=πC ，故满足条件1)(=πy 的特解为)1cos (1-+-=πx x y . （2）4121])([222++-=⎰⎰-+=-⎰x e Ce e dx e x e C y x x dx dx x， 将45)0(=y 代人，得2=C ，故所求特解为412122++-=x e e y xx ．3. 解：对所给方程接连积分三次得，12sin 21C x e y x+-=''，22cos 41C Cx x e y x +++='，)2( sin 81132212C C C x C x C x e y x =++++=.4. 解：原方程可变形为y dx dy38-=，分离变量可得dx ydy =-38，两边积分：1383ln C x y +-=-，其中1C 为任意常数，所以383+=-xCey ， 代入初始条件20==x y 有：32-=C ，则满足条件的特解为32833x y e -=-+. 5. 解：原方程所对应的齐次方程为04=-''y y ，其特征方程为042=-λ，解得特征根为2±=λ，所以方程04=-''y y 的通解为x x e C e C 2221+=-γ. 又x e x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，于是可设原方程的特解为x axe y 2*=. x e x a y 2)21()*(+='，x e x a y 2)1(4)*(+=''.代入原方程 x x x e a x e e x a 2224)1(4=-+， x x e ae 224=，于是41=a ， 所以xxe y 241*=，于是原方程的通解为x x x xe e C e C y y 2222141*++=+=-γ.6. 解：原方程所对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，其特征方程为0652=+-λλ，解得特征根为32或=λ，所以方程065=+'-''y y y 的通解为x x e C e C 3221+=γ. 又x xe x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，可设原方程的特解为x e b ax x y 2)(*+=.把它代入原方程，得 x b a ax =-+-22，比较等式两边同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212b a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，因此求得一个特解为xe x x y 2)121(*--=， 从而所求的通解为x xxe x x eC eC y y 223221)2(*+-+=+=γ.7. 解 对函数)()1(2x u x y +=求导，得)()1()()1(22x u x x u x y '+++='，将其与y 一起代入所给的微分方程，得32)1()()1(2)()1()()1(2+=+-'+++x x u x x u x x u x ，x x u +='1)(，故C x x u ++=2)1(21)(． 8. 解 （1）方程两边同时除以32y x ，并整理得22211)1(x yx y =⋅-'，由一阶微分方程的求解公式，有 32221][1x Cx C dx e x e yx dxx dx+=+⎰⎰=-⎰．（2）方程两边同时除以2y ，并整理得11)1(1)1(=⋅++'yx y ，由一阶微分方程的求解公式，有 211][111x x C e dx e C y x dxx dx+++=⎰⎰+=+-+⎰． 10. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'p p ，分离变量，得dx p dp=-21，两边积分，得C x p p +=-+2|11|ln ．将0)0(='y 代人，得0=C ，故x pp2|11|ln =-+，或1122+-=x x e e p ，故)1ln(112122x xx e x C dx e e y ++-=+-=⎰．将0)0(=y 代入，得2ln 1-=C ．故所求初值问题的解为chx e x y x ln )1ln(2ln 2=++--=．11. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'xp p x ，即211xp x dx dp =+，由一阶微分方程的求解公式，有 )(ln 1]1[12C x x C dx e xep x dxxdx +=+⎰⎰=⎰-．即 )(ln 1]1[12C x x C dx e xey x dxxdx+=+⎰⎰='⎰-，两边积分，得2121ln ln 21)(ln 1C x C x dx C x x y ++=+=⎰．12. 解 （1）该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为0542=--λλ，得两个不相等的实特征根1-和5，于是该方程的通解为x xe C eC y 521+=-．（2）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为042=-λλ，得两个不相等的实特征根0和4，故其对应齐次方程的通解为xe C C y 421+=．为了求得该方程的一个特解，设Ax y =*代人原方程，得054=--A ，45-=A ，于是该方程的通解为x e C C y x45421-+=．（3）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为0442=+-λλ，得两个相等的实特征根2，故其对应齐次方程的通解为x e x C C y 221)(+=．为了求得该方程的一个特解，设x e C Bx Ax x y 222)(*++=代人原方程，得121=A ，0=B ，0=C ，该方程的通解为xxe x e x C C y 24221121)(++=． （4）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为022=-+λλ，得两个不相等的实特征根2-和1，故其对应齐次方程的通解为x x e C e C y 221-+=．为了求得该方程的一个特解，设x B x A y 2sin 2cos *+=代人原方程，得 52-=A ，56-=B ，于是该方程的通解为 x x e C e C y x x 2sin 562cos 52221--+=-．。

第六章微积分微分⽅程初步（含答案）微分⽅程初步⼀、单项选择题1．微分⽅程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分⽅程222y x dxdy x +=是（ b ） A.⼀阶可分离变量⽅程 B.⼀阶齐次⽅程 C.⼀阶⾮齐次线性⽅程 D.⼀阶齐次线性⽅程3．下列⽅程中，是⼀阶线性微分⽅程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．⽅程x y xy =-'满⾜初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分⽅程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分⽅程y y x ='满⾜1)1(=y 的特解为（ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y7. 设21,y y 是⼆阶常系数线性齐次⽅程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性⽆关的解，21,C C 是两个任意常数，则下列命题中正确的是（ c ）（A ） 2211y C y C +是微分⽅程的特解。

（B ）2211y C y C +不可能是微分⽅程的通解。

（C ）2211y C y C +是微分⽅程的通解。

（D ）2211y C y C +不是微分⽅程的解。

8．微分⽅程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A ⼀阶微分⽅程B ⼆阶微分⽅程C 可分离变量的微分⽅程D ⼀阶线性微分⽅程9．微分⽅程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =⼆、填空题1．微分⽅程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分⽅程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分⽅程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分⽅程x y y e +'=的通解是()10,0x y e C e C ++=<；5. 微分⽅程03='+''y y x 的通解为 221xC C y +=; 6. n 阶微分⽅程的通解含有__n __个独⽴的任意常数。

微积分课后习题六答案微积分课后习题六答案微积分是一门重要的数学学科，它研究的是函数的变化和极限。

在学习微积分的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。

本文将为大家提供微积分课后习题六的答案，希望能帮助大家更好地理解和掌握微积分知识。

1. 求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。

解：根据定积分的定义，我们可以将区间[0,1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (1-0)/n = 1/n。

然后，我们在每个小区间中选择一个代表点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，并将其乘以小区间的长度Δx。

最后，将所有小区间的函数值乘以对应的长度Δx后相加，即可得到定积分的近似值。

当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋向于定积分的真实值。

即：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx= lim(n→∞) ∑[i=1,n] (xi)^2 * (1/n)= lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] (xi)^2由于区间[0,1]上的任意小区间长度都是相等的，所以我们可以将其简化为：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] (i/n)^2= lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] i^2/n^2= lim(n→∞) (1/n^3) * ∑[i=1,n] i^2根据数学公式∑[i=1,n] i^2 = n(n+1)(2n+1)/6，代入上式，得到：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) (1/n^3) * [n(n+1)(2n+1)/6]= lim(n→∞) (2n^3 + 3n^2 + n)/(6n^3)= 1/3所以，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为1/3。

2. 求函数f(x) = e^x在区间[0,2]上的定积分。

解：与上题类似，我们可以将区间[0,2]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。

第六章习题6-11. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a<b ）及x 轴所围成的图形的面积. 解 因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取2,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n nξξ---=+==++, 于是21122221222()[()1]1()[()2()1]111(1)1()[()(1)(21)2()]62Δ nni i i i ni b a b a f x a i n ni i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n nξ===--=++=-+-+-++=-+-⋅⋅+++-⋅⋅+⋅∑∑∑ 故面积 22211(1)l i m ()()[()()1]3d Δnbi i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞==+==-+-+-+∑⎰ 331()()3b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1)12d x x ⎰;(2)x ⎰（a ＞0）.解 (1)根据定积分的几何意义知, 102d x x ⎰表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以12d x x ⎰=1.(2)根据定积分的几何意义知,0x ⎰表示由曲线0,y x x a ===及x轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014πx a =⎰.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)12d x x ⎰与13d x x ⎰； (2)1e d xx ⎰与1(1)d x x +⎰.解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230d d x x x x >⎰⎰.(2)令()1,()1e e x xf x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,从而()(0)0f x f ≥=,说明1e xx ≥+,又ex1+x .所以11(1)e d d xx x x >+⎰⎰.4. 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰.解 (1)在区间[1,4]上,函数2()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰, 即 4216(1)51d x x ≤+≤⎰.(2)令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值m f ==,所以2arctan 93ππd x x =≤≤=即2arctan 93ππd x x ≤≤. (3)令2()e x f x -=,则2()2e x f x x -'=-,令()0f x '=得驻点x =0,又(0)1f =，2()()e a f a f a -=-=,a >0时, 21e a -<,故()f x 在[-a,a ]上的最大值M =1,最小值 2e a m -=,所以2222e e d aa x aa x a ---≤≤⎰.(4)令2()ex xf x -=,则2()(21)e xxf x x -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2e ef f -==,从而()f x 在[0,2]上的最大值2e M =,最小值14e m -=,所以 212242ee d e x x x --≤≤⎰,而2222ed e d x xx x x x --=-⎰⎰,故 21024222e ed ex xx ---≤≤-⎰.习题6-21. 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰； (3) cos 2sin cos()d xxt t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0). 解220(1)()d d x t x x'⋅=⎰5353ln 2(2)d e d e d x tx t t x x --=⎰cos cos sin 222sin 00cos sin 220022222(3)cos()cos()cos()cos()cos()cos(cos )(cos )cos(sin )(sin )cos(cos )sin cos(sin )cos cos(sin )sin πd πd πd πd πd πππππx x xx xx t t t t t t t t t tx x x x x x x x x x ''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''=⋅-⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰22cos(sin )cos (sin cos )cos(sin )ππx x x x x =-2222sin sin sin (4)cos sin sin cos .ππd d d d d d d d d d xx t t x t t xt x x x t x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=-=⎰⎰ 2. 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x →⎰; (2) 2020sin 3d lim e d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰.解 ()022000021a r c t a n a r c t a n a r c t a n11(1)l i m l i ml i m l i m 222d d x xx x xxt t t t x x x xx →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰ 2220030003300222200sin 3sin 3sin 32(2)lim lim lim 2sin 3sin 3lim lim 663d d e e d e d e e x x x x x x x t x t x xx x t t t t x x x t t t t x x x x-→→→--→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=='⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰()()[]222222222222222200002000022000200022(3)lim lim lim lim 222lim lim lim 2122e d e d e d e e d e e e d e d e d e e e e xxx x t t t x tx x x x x x x t x t x t x x x x x x x t t t t x x t tt t t x x x x →→→→→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数.解 方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-. 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-. 4. 当x 为何值时，I (x )=2e d xt t t -⎰有极值?解 2()e x I x x -'=,令()0I x '=得驻点0x =,又22()(12),(0)10e x I x x I -''''=-=>, 所以当x =0时,I (x )有极小值,且极小值为I (0)=0.5. 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩ (4) {}222max 1,d x x -⎰.解433322233222(1)(43)(8333x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰201222221101(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22220022(3)()sin 1cos 82ππππππππd d d xf x x x x x x x =+=+=+-⎰⎰⎰(4)由于22221()max{1,}11112x x f x x x x x ⎧-≤<-⎪==-≤<⎨⎪≤≤⎩,于是 21121212223312122111120max{1,}333d d 1d d x x x x x x x x x x -------=++=++=⎰⎰⎰⎰ 6. 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u tx →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.解 []222222222222()()()()limlim lim lim (2)2(2)2(2)(2)d d d d d d x xx x t t x x x x t f u u t f u u f u u f u u x x x x →→→→''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦===--''-⎡⎤-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()113lim lim ()(2)2222x x f x f x f →→-==-=-=-.习题6-31. 计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)xx 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰;(6)2e 1⎰;(7)1;(8)x ;(9)ln 3ln 2d e ex xx--⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)21x ⎰;(12) 22x ππ-⎰.解 333(1)sin()d sin()d()[cos()]x x x x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+= 12332221d 1d(511)151(2)(511)(115)5(511)10512x x x x x 11---+==-=+++⎰⎰1111(3)4)14x x--=-==⎰⎰2334220011(4)sin cos d cos dcos cos44ϕϕϕϕϕϕπππ=-==-⎰⎰22222π2π61cos211(5)cos d d d cos2d22241πππ1sin226264uu u u u u uuππππππππ6666+==+⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰222e e11(6)1)===⎰⎰(7)令x=tan t,则d x=sec2t d t,当x=1时,π4t=;当x=,π3t=,于是ππ33π21π44cos1dsin sinttt t==-=⎰(8)令x t,则d dx t t=,当x=0时,t=0;当x=,π2t=,于是πππ222200π12cos d(1cos2)d(sin2)22x t t t t t t==+==+⎰⎰.(9)令e x t=,则1ln,d dx t x tt==,当ln2x=时,2t=;当ln3x=时,3t=,于是3ln3332ln2222d d1113111d ln lne e12222111x xx t ttt t t t--⎛⎫====-⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰.3 333222222d d11111(10)()d ln19231232()241211(ln ln)ln2ln53543x x xxx x x x xx-==-=+--+++-=-=-⎰⎰⎰(11)t=,则65,d6dx t x t t==,当x=1时,t=1;当x=2,t于是2111611d6()d1x t tt t t t==-++⎰6(ln ln(7ln26ln(1t t=-+=-220202(12)d sin )d sin d x x x x x x x x xπ-π-π-==-+=-⎰⎰⎰33022202224cos cos 333x x ππ-=-= 2. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰.解((1)()l n f x x =+是奇函数.(ln 0d aax x -∴=+⎰.3242sin (2)()21x xf x x x =++ 是奇函数.325425sin 021d x x x x x -∴=++⎰4(3)()cos f θθ= 是偶函数.4422222022202020222004cos 24cos 2(1cos )2(12cos 2cos 2)312(2cos 2cos 4)22(34cos 2cos 4)1332sin 2sin 442ππππππππππd d d d d d θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-∴==+=++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰π3. 证明下列等式： (1)2321()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)；(3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰.证 (1)令x 2=t ,则d x x t ==,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =a 2, 于是2223200011()()()()22d d d aa a a x f x x t t tf t t xf x x ===⎰⎰⎰⎰即2321()()2d d aa x f x x xf x x =⎰⎰.(2)令1x t=则21d d x t t -=,1111111222231111111111111d d d d d t xx t tx t t t x x t t x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰ 即 1122111d d xx x x x x =++⎰⎰. 4. 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明0()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数.证 令0()()d xF x f t t =⎰.若f (t )为奇函数,则f (-t )=- f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x -==---==⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是偶函数.若f (t )为偶函数,则f (-t )=f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x --==---=-=-⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是奇函数.5※. 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增.证 00()()()2()()2()d d d x xxF x f t t xf x xf x xf t t tf t x '⎡⎤'==+--⎣⎦⎰⎰⎰()()()()[()()]d xf t t xf x f x xf x x f f x ξξ=-=-=-⎰,其中ξ在x 与0之间.当x >0时,x >ξ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≤,即()0F x '≤;当x <0时,ξ> x ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≥,即()0F x '≤;综上所述知F (x )单调不增.习题6-41. 计算下列定积分： (1)10e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx x ππ⎰; (5) 220e cos d x x x π⎰; (6)221log d x x x ⎰;(7)π20(sin )d x x x ⎰; (8)e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰. 解 (1)1111000e d de e e d x x x xx x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰ 111012e e e e e 1ex----=--=--+=-.e e e 22222ee 11111111111(2)ln d ln d ln d e (e 1)222244x x x x x x x x x x ==-=-=+⎰⎰⎰444441111(3)2ln 28ln 28ln 24x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰33332444434(4)d dcot cot cot d sin π131πln πlnsin 492249xx x x x x x xx x ππππππππππ=-=-+⎛=-+=+- ⎝⎭⎰⎰⎰22222222000π2π222220π220(5)e cos d e dsin e sin 2e sin d e 2e dcos e 2e cos 4e cos d e 24e cos d xxxx xxx x x x x xx xx x x x x xππππππππ==-=+=+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2π201e cos d (e 2)5x x x π=-⎰.()2222222111111(6)log d ln d ln d 2ln 22ln 2133(4ln 2)22ln 224ln 2x x x x x x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰πππ2232π000033ππ2π0003ππ0033π01111(7)(sin )d (1cos 2)d (dsin2)2232π1π1(sin 22sin2d )dcos26464π1(cos 2cos d )64ππ1ππsin 264864x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x =-=-=--=-=--=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ee e111ee11e1(8)sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d esin1cos(ln )sin(ln )d esin1ecos11sin(ln )d x x x x x x x x x x x x=-=--=-+-⎰⎰⎰⎰故e11sin(ln )d (esin1ecos11)2x x =-+⎰. 222222322000011(9)e d de e e d 22111ln 2ln 2e ln 2222x x x x x x x x x x==-=-=-=-1112122222220000111222200012011111(10)ln d ln d ln d 121211111111ln 3(1)d ln 3()d 818211111131ln 3ln ln 3822281x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+----=++=++---+-=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰2. 已知f (2)= 12,f ′(2)=0, 2()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰.解222222200()d d ()()2()d x f x x x f x x f x xf x x '''''==-⎰⎰⎰222004(2)2d ()2()2()d 14(2)21420.2f x f x xf x f x xf '=-=-+=-+⨯=-⨯+=⎰⎰3※. 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰.证 令0()()d uF u f x x =⎰则()()F u F u '=,则(())()()()d d d d xu x xx f x x u f u u uF u uF u u '==-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()d d d d d d d d x x xx x x xxxF x uf u u x f x x uf u ux f u u uf u u xf u u uf u u x u f u u=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即等式成立.习题6-51. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ; (5) y =1x,x 轴与直线y =x 及x =2; (6) y =(x -1)(x -2)与x 轴； (7) y =e x ,y =e -x 与直线x =1; (8) y =ln x ,y 轴与直线y =ln a ,y =ln b , (0)a b <<. 解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积eee111d ln d (ln )1S x y y y y y y ===-=⎰⎰图6-1 图6-2(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得0,0x x x y y y ⎧⎧===⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩即三次抛物线3y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(-,它们所围成的图形的面积3342240112)d )d ()(244S x x x x x x x x x x =-+-=-+-=⎰.(3)解方程234y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 4233440011116()d ()43163S x x x x x =-=-=⎰.图6-3 图6-4(4)可求得2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:121122012231201(2)d (2)d d (2)d 117()236S x x x x x x x x x x xx x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰(5) 1y x =与y x =的交点为(1,1),1y x=,x 轴与直线x =1,及x =2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:2121201111d d ln ln 222x S x x x xx =+=+=+⎰⎰.图6-5 图6-6(6) 231(1)(2)()24y x x x =--=--,顶点坐标为31(,)24-,与x 轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,由231()24y x =--得32x =所求面积0143021433d 2222112364S y y y --⎡⎤⎛⎛=-=⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭⎰⎰(7)可求得曲线e x y =与e x y -=的交点(0,1),曲线e x y =,e x y -=与x =1所围成的图形如图6-7阴影所示,其面积:10)() 2.101(e e d e e e ex x x x S x --=-=+=+-⎰图6-7 图6-8(8)曲线ln ,y x y =轴与直线ln ,ln y a y b ==所围成的图形如图6-8阴影所示,其面积:ln ln ln ln ln ln .d e d e bby yb aaaS x y y b a ====-⎰⎰2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴； (2) y =x 3,x =2,x 轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) y =x 2,x =y 2，绕y 轴； (4) y 2=2px ,y =0,x =a (p ＞0,a ＞0),绕x 轴； (5) (x -2)2+y 2≤1,绕y 轴.解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.222111(ln )(ln )2(ln )22(1)2(ln )eee11ee1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤=⋅⋅-=--⎣⎦⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦⎰⎰⎰722262000128(2)7ππd πd π7x x V y x x x ===⋅=⎰⎰25882283336428323255πππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=⎰⎰.图6-9 图6-10(3)解方程组22y xx y⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积2511410031025πdπdππxx xV x x x x⎛⎫=-=⋅=-⎪⎝⎭⎰⎰.图6-11 图6-1222300(4)2πdπdππa aaxV y x px x p x pa===⋅=⎰⎰.(5)所求旋转体的体积是由右半圆2x=2x=x轴旋转生成的旋转体的体积之差,即((122122281641dπππyV yy yπ-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦===⎰⎰⎰图6-133. 已知曲线y=(a＞0)与y(x0,y0)处有公共切线，求：(1) 常数a及切点(x0,y0);(2) 两曲线与x轴围成的平面图形的面积S.解(1)由题意有点00(,)x y在已知曲线上,且在点00(,)x y处两函数的导数相等.即有00x xyy==⎧=⎪⎪==即12yyx⎧=⎪⎪=⎨=解得211eexya⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.(2)由(1)知两曲线的交点为2(,1)e,又在区间(0,1)上,曲线y=y=方,它们与x轴所围成的平面图形的面积122231221111()6223d ee ee e yyS y yy⎛⎫===-⎡⎤-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.(由ey==得2()x ey=,由y=得2e yx=).4※. 设2()lim1e nxnxf xx→+∞=+-,试求曲线y=f(x),直线y=12x及x=1所围图形的面积.解2200()lim101nxnxxf x xx e xx→∞≥⎧⎪==⎨+-<⎪+⎩解方程2121y xxyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得交点为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭,且易知当(1,0)x∈-时,12y x=位于21xyx=+的上方.所围图形如阴影部分所示,其面积2221111111111ln2ln(1)22422142dxS xx x xx--⎛⎫⎡⎤=+⨯⨯=+=--+⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰.5. 一抛物线y=ax2+bx+c通过点(0，0)、(1，2)两点，且a＜0，试确定a,b,c的值，使抛物线与x轴所围图形的面积最小.解由抛物线过(0,0),(1,2)点,有c=0,a+b=2,又由抛物线方程2y ax bx=+得与x轴的两交点为(0,0), ,0ba⎛⎫-⎪⎝⎭,抛物线与x轴所围图形的面积.2220()6d b ab S ax bx x a-=+=⎰,由2a b +=得2b a =-,代入上式有32(2)6a S a -=, 23(2)(4)6a a S a--+'=,令0S '=得2a =或4a =-, 由已知0a <得4a =-,从而26b a =-=, 所以4,6,0a b c =-==.6. 已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数f (t )=2t +5,t ≥0,问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解 设产品产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50.d d Q f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 第2个5月的总产量为10252055()(25)(5)100.d d tQ f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 7. 某厂生产某产品Q (百台)的总成本C (万元)的变化率为C ′(Q )=2(设固定成本为零)，总收入R (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数R ′(Q )=7-2Q .问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=, Q =2.5百台时,总利润最大,此时的总成本2.5 2.52.50()225d d C C Q Q Q Q'====⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5百台时,总利润最大,最大利润是6.25万元.(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26d d C C Q Q Q '===⎰⎰,总收入3323000()(72)(7)12d d R R Q Q Q Q Q Q '==-=-=⎰⎰, 总利润为1266L R C =-=-=(万元).减少了6.25-6=0.25万元.即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.8. 某项目的投资成本为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5％，试求这10年中该投资的纯收入的现值. 解 投资后T 年中总收入的现值(1)e rt ay r-=-,由题意知 25,5%0.05,10.a r T ====所以0.051025(1)196.730.05e y -⨯=-= 纯收入的现值为196.73-100=96.73.即这10年中该投资的纯收入的现值为96.73万元.习题6-61. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41d xx +∞⎰; (2)1+∞⎰; (3)0e d axx +∞-⎰ (a ＞0); (4)0cos d x x +∞⎰;(5)0e sin d x x x +∞⎰; (6)2d 22xx x +∞-∞++⎰; (7)21⎰; (8)10ln d x x ⎰;(9)e1⎰(10)22d (1)xx -⎰;(11)1⎰解 (1)1431d 1133x x x +∞+∞=-=⎰,此广义积分收敛.(2)1+∞==+∞⎰,此广义积分发散. (3)111e d e ax axx aa+∞--+∞=-=⎰,此广义积分收敛. (4)1cos d sin lim sin sin 0lim sin x x x x xx x +∞+∞→+∞→+∞==-=⎰不存在,所以,此广义积分发散.00(5)e sin d e d cos e cos e cos d e cos e dsin e cos e sin e sin d 11e sin d (e sin e cos )e (sin cos )22e sin d lim e sin d lim x x x x x x x x x x x x x b x x b b x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x +∞→+∞→=-=-+=-+=-+-∴=-=-∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 01e (sin cos )211 lim e (sin cos )22x b b b x x b b +∞→+∞⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦不存在,此广义积分发散.22d d(1)(6)arctan(1)π22(1)1xx x x x x +∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰,收敛.23222110013202(7)lim lim (1)3222lim 2,.2333收敛x x εεεεεε++++→→+→⎡==-+⎢⎣⎛==-- ⎝⎰⎰111011eee1111222220100(8)ln d ln d ln 1 ln d lim ln d lim (ln 1)1,.π(9)arcsin(ln ),.211d d d (10)lim (1)(1)(1)收敛收敛x x x x x x x x x x x x x x x x εεσεεεεεεεεεεεε+++→→-+→=-=--∴==--=-===⎛⎫+= ⎪---⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰120100112 lim lim ,211xxεεεεε++-+→→⎛⎫⎛⎫===+∞+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭此广义积分发散.)211-00001(11)lim lim 2lim 1,1εεεεε+++-→→→==-=-=⎰⎰此广义积分收敛. 2. 当k 为何值时，广义积分+2d (ln )kxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这广义积分发散?又当k 为何值时，这广义积分取得最小值? 解 当k =1时,++222d dln ln(ln )ln ln x x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211d (ln )(1)(ln 2)(ln )dln (ln)11kk kk k x x k x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-==⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以,当k >1时,此广义积分收敛,当k ≤1时,此广义积分发散.记1()(1)(ln 2),k f k k -=-11()(ln 2)(1)(ln 2)lnln 2k k f k k --'=+-.令()0f k '=得11ln ln 2k =-. 又 1()(ln 2)lnln 2[2(1)lnln 2]k f k k -''=+-,且 1ln ln 21(1)(ln 2)ln ln 20ln ln 2f -''-=<, 故()f k 在11ln ln 2k =-有极大值,而()f k 只有一个驻点,所以当11ln ln 2k =-时()f k 取得最大值,因而11ln ln 2k =-时,这个广义积分取得最小值.3. 利用递推公式计算反常积分+0e d n x n I x x ∞-=⎰.解 ++110de e e d n x n xn x n n I x x n x x nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰又 +10de e e 1x x xI x x ∞---+∞+∞=-=--=⎰故 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= 4. 求120(1)d n n I x x =-⎰(n 0,1,2,…).解 设x =sin t ,则d x =cosd t ,π2120cos d n n I t t +=⎰而 ππ2200(21)!!π2(2)!!2sin d cos d (2)!!21(21)!!n n k n kk x x x x k n k k -⎧⋅=⎪⎪==⎨⎪=+⎪+⎩⎰⎰所以 π221220(2)!!(!)cosd 2 (0,1,2,)(21)!!(21)!n nn n n I t t n n n +====++⎰.6. 用Γ函数表示下列积分：(1)e d nx x +∞-⎰ (n ＞0)； (2)101(ln )d x x α⎰ (α＞-1)； (3) 0e d n m x x x +∞-⎰1(>0)m n +; (4)220e d n x x x +∞-⎰ （12n >-）.解 (1)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed e d e d ()nx tt n n x t t t t n n n n --∞∞∞---=⋅==Γ⎰⎰⎰.(2)令1lnt x =,则e ,d e d .t t x x t --==- 于是 10+(1)1001(ln )d e d e d (1).a a t a tx t t tt a x∞-+--+∞=-==Γ+⎰⎰⎰ (3)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed ()e d e d ()nm m x m tt n n n m x x t t t t t n n n n+-∞∞∞---+=⋅⋅=⋅=Γ⎰⎰⎰.(4)令2x t =,则x x t ==,于是21+++2220011+201ed e e d 2111e d ()222n n x ntt n t x x t t tt t n ∞∞∞----⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭=⋅===Γ+⎰⎰⎰⎰。