广东省执信中学2012-2013学年高二下学期期末数学理试题

相似题 纠错 收藏 详情
12 . 若二项式
的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中 的系数为 ．(用数字作答)
【知识点】二项式定理
难度：0.94 组卷：599 题型：填空题 更新：2013/7/22
13 . 观察下列不等式：
①
；②
；③
则第⑤个不等式为
．
【知识点】
；…
相似题 纠错 收藏 详情
难度：0.85 组卷：165 题型：填空题 更新：2013/9/7
相似题 纠错 收藏 详情
2 . 集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【知识点】集合的基本运算
难度：0.94 组卷：691 题型：单选题 更新：2013/7/22
相似题 纠错 收藏 详情
3 . 已知复数 在复平面内对应的点分别为
，则 （）
A．
B．
C．
D．
【知识点】复数的坐标表示 复数综合运算 复数的除法运算
版本
人教A版
人教B版
性别
男教师
女教师
男教师
女教师
人数
6
4
现从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的女教师的概率是 .且
.
（1）求实数 , 的值
（2）培训活动现随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望
.
【知识点】离散型随机变量的分布列
难度：0.94 组卷：753 题型：单选题 更新：2013/4/2
相似题 纠错 收藏 详情
4.设
，则“
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件

2012-2013学年广东省广州市执信中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）集合A={x|2012＜x＜2013}，B={x|x＞a}满足A∩B=∅．则实数a的取值范围是（）A．{a|a≥2012}B．{a|a≤2012}C．{a|a≥2013}D．{a|a≤2013}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据条件，可借助于数轴将集合A与集合B在数轴上表示出来，从而可求实数a的取值范围．解答：解：将集合A={x|2012＜x＜2013}，B={x|x＞a}画在数轴上根据A∩B=∅，∴a≥2013．故选C．点评：本题以集合为载体考查不等式运算，关键是利用集合运算，得出不等式，从而得解，属于基础题．2．（5分）（2012•福建）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）A．x=﹣B．x=﹣1 C．x=5 D．x=0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．解答：解：因为向量=（x﹣1，2），=（2，1），⊥，所以2（x﹣1）+2=0，解得x=0．故选D．点本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力．评：3．（5分）（2012•陕西）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53考茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．点：计算题．专题：直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．分析：解解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为：=46．答：众数是45，极差为：68﹣12=56．故选A．本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．点评：4．（5分）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．简单空间图形的三视图．考点：规律型．专题：根据几何体的正视图与侧视图，代入俯视图验证几何体的体积，判断即可．分析：解答：解：若俯视图为A，则V=1；若俯视图为B，则V=π；若俯视图为C，则V=；若俯视图为D，则V=，根据几何体的体积为，∴C正确．∴其直观图为：故选C．点评：本题考查几何体的三视图及利用三视图判断几何体的形状，求体积．5．（5分）设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式先判断a2+b2与2ab的关系，然后以此对选项作出筛选．解答：解：因为对任意a，b∈R，a≠b，有a2+b2＞2ab，所以＞ab，故排除A、C、D，故选B．点评：本题考查基本不等式的应用，属基础题．6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的s值为（）A．3B．1C．﹣1 D．0考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i是否继续循环循环前1 1/第一圈 3 2是第二圈 4 3是第三圈 1 4是第四圈 0 5否故最终的输出结果为：S=0故选D．点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．7．（5分）（2012•江西）观察下列各式：a+b=1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10=（ ）A ． 28B ． 76C ． 123D ． 199考点：归纳推理．专题：阅读型．分析： 观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．解答： 解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a 10+b 10=123，．故选C ．点评： 本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．8．（5分）（2012•福建）设函数则下列结论错误的是（ ）A ． D （x ）的值域为{0，1}B ． D （x ）是偶函数C ．D （x ）不是周期函数 D ． D （x ）不是单调函数考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：证明题．分析：由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断D结论错误，故选C解答：解：A显然正确；∵=D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故C错误；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，D正确；故选 C点评：本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义，属基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．（5分）比较大小：＞（用“＞”或“＜”符号填空）．考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：平方作差，可得（）2﹣（）2=2（﹣）＞0，进而可得其平方的大小，可得原式的大小．解答：解：（）2﹣（）2=13+2﹣（13+4）=2﹣4=2﹣2=2（﹣）＞0，故（）2＞（）2，故＞，故答案为：＞点评：本题考查平方作差法比较大小，属基础题．10．（5分）中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=1：2，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设a=2t，b=t，则c==t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==，故答案为：．点评：本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．11．（5分）（2013•茂名一模）已知等比数列{a n}的公比q为正数，且，则q= ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项，由等比数列的通项公式写出a3，a9，a5，代入后可直接求得q的值．解答：解：设等比数列的首项为a1，由，得：，即，∵a1≠0，q＞0，∴q=．故答案为．点评：本题考查了等比数列的通项公式，解答时注意等比数列中不含有为0的项，是基础的计算题12．（5分）函数有3个零点，则m的取值范围是．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可．解答：解：由函数有三个不同的零点，则函数有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；由y′=x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=3，x2=﹣1，所以函数y=f（x）的两个极值，当x∈（﹣∞，﹣1），f′（x）＞0，x∈（﹣1，3），f′（x）＜0，x∈（3，+∞），f′（x）＞0，∴函数的极小值f（3）=m﹣9和极大值f（﹣1）=m+．因为函数有三个不同的零点，所以，解之，得﹣＜a＜9．故实数a的取值范围是（﹣，9）．故答案为：．点评：本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想，计算能力．13．（5分）（2012•佛山一模）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为 1 ．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由题意可得A（2，2k+2），B（0，2），C（2，0）∴（d为B到AC的距离）==2k+2=4∴k=1故答案为：1点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题14．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．考点：正弦定理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．解答：解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a= c=符合题意因此最大值为2故答案为：2点评：本题主要考查了正弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）在△ABC中，，．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长．考点：两角和与差的正切函数；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据tanC=﹣tan（A+B），利用两角和的正切公式求出结果．（Ⅱ）根据，可得AB边最大为，又，所以∠A最小，BC边为最小边，求出sinA的值，由正弦定理求得BC的值．解答：解：（Ⅰ）∵C=π﹣（A+B），∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2'又∵0＜C＜π，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4'（Ⅱ）∵，∴AB边最大，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6'又，所以∠A最小，BC边为最小边．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8'由且，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10'由得：．所以，最小边．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12'点评：本题考查两角和的正切公式，正弦定理以及根据三角函数的值求角，判断∠A最小，BC边为最小边，是解题的关键．16．（12分）已知关于x的方程x2+2ax+b=0，其中，，b∈[0，2]．（1）求方程有实根的概率；（2）若a∈Z，b∈Z，求方程有实根的概率．考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，由一元二次方程的性质，可得x2+2ax+b=0有实根的充要条件为b≤a2，（1）由题意分析可得，这是几何概型，将表示为平面区域，进而可得其中满足b≤a2的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案．（2）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{﹣1，0，1}，{0，1，2}中任取的数字，易得一共可以得到9个不同方程；可得满足b≤a2的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案．解答：解：方程x2+2ax+b=0有实根⇔△≥0⇔4a2﹣4b≥0⇔b≤a2，（1）点（a，b）所构成的区域为，面积SΩ=；设“方程有实根”为事件A，所对应的区域为，其面积，这是一个几何概型，所以（2）因为a∈Z，b∈Z，所以（a，b）的所有可能取值有9个，分别是：（﹣1，0），（0，0），（1，0），（﹣1，1），（0，1），（1，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），其中，满足△≥0即b≤a2的有5个：（﹣1，0），（0，0），（1，0），（﹣1，1），（1，1）．设“方程有实根”为事件B，这是一个古典概型，所以答：（1）所求概率为；（2）所求概率为．点评：本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，注意两者的不同．17．（14分）（2013•茂名一模）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．解答：解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点∴MN∥AC，…（2分）又AC⊄面MDE，MN⊂面MDE，所以AC∥平面MDE．…（4分）（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以，，…（6分）设平面PAD的单位法向量为，则可取…（7分）设面PBC的法向量，则有即：，取z=1，则∴…（10分）设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，∴…（11分）∴θ=60°，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°…（12分）点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．18．（14分）（2012•佛山二模）已知椭圆E ：的一个交点为，而且过点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；椭圆的标准方程．分析：（Ⅰ）解法一：根据椭圆E ：的一个交点为，过点，可得a2﹣b2=3，，联立即可求得椭圆E的方程；解法二：椭圆的两个焦点分别为，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，同设圆G的圆心为，利用，即可得到线段OT的长度；解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），求出，，可得，由切割线定理可得线段OT的长度．解（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：的一个交点为答：，∴a2﹣b2=3，①∵椭圆过点．∴，②①②解得a2=4，b2=1，所以椭圆E的方程为．…（4分）解法二：椭圆的两个焦点分别为，由椭圆的定义可得，所以a=2，b2=1，所以椭圆E的方程为．…（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线PA1：，令y=0，得；直线PA2：，令y=0，得；设圆G 的圆心为，则r2=，而，所以，所以，所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），直线PA1：，令y=0，得；直线PA2：，令y=0，得；则，而，所以，所以，由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆为综合，考查线段长的求解，认真审题，挖掘隐含是关键．19．（14分）已知数列{a n}是等差数列，a1=1，a1+a2+…+a20=590 （1）求数列{a n}的通项a n；（2）设数列{b n}的通项（其中a＞0，且a≠1），记S n是数列{b n}的前n项和．试比较S n 与的大小，并证明你的结论．等差数列的通项公式；数列的求和．考点：等差数列与等比数列．专题：分析（1）设数列{a n}的公差为d ，由题意得，解之可得首项：和公差，可得通项公式；（2）可得S n=log a[（1+1）（1+）…（1+）]，=，问题转化为比较（1+1）（1+）…（1+）与，推测（1+1）（1+）…（1+）＞，下面由数学归纳法证明，可得最后结论．解答解：（1）设数列{a n}的公差为d ，由题意得：解得，所以a n=3n﹣2．（2）．由a n=3n﹣2，，知S n=log a（1+1）+log a（1+）+…+log a（1+）=log a[（1+1）（1+）…（1+）]，==要比较S n 与log a a n+1的大小，先比较（1+1）（1+）…（1+）与取n=1有（1+1）＞，取n=2有（1+1）（1+）＞，…，由此推测（1+1）（1+）…（1+）＞．①若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a＞1时，S n ＞log a a n+1；当0＜a＜1时，S n ＜log a a n+1下面用数学归纳法证明①式．（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞．那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞（1+）=（3k+2）．因为==，所以（3k+2）＞．因而（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞．这就是说①式当n=k+1时也成立．由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：当a＞1时，S n ＞log a a n+1；当0＜a＜1时，S n ＜log a a n+1由于①等价于k＜g（α），k∈Z∴k的最大值为2本题考查等差数列的通项公式，涉及数学归纳法的应用，属中档题．点评：20．（14分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当x∈（﹣∞，0）时，求f（x）的单调区间；（3）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f'（x）+x+1＞0，求k的最大值．利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．考点：专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，建立方程，可求a的值；（2）对a分类讨论，利用导数的正负，可得当x∈（﹣∞，0）时，求f（x）的单调区间；（3）由题意，x＞0时，不等式等价于，求出右边函数的值域，即可求k的最大值．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=e x﹣a，则∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，解得a=e；（2）f′（x）=e x﹣a若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；若a＞0，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna①当0＜a＜1时，x=lna＜0，∴函数的单调递减区间是（﹣∞，lna）；单调增区间是（lna，0）；②当a≥1时，x=lna＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；（3）由于a=1，∴（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1，∴x＞0时，不等式等价于①令g（x）=，则由①知，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0 ∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，∴g′（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为α，则α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）∵g′（α）=0，∴eα=α+2∴g（α）=α+1∈（2，3）∵①等价于k＜g（α）．k∈Z∴k的最大值为2．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查函数的值域，属于中档题．。

广东省广州市执信中学2021 -2021学年高二数学下学期期末考试试题 文〔含解析〕一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.〕 1.设集合{0,1,2,3}A =，{1,2,3}B =，那么A B =〔 〕A ．{0,1,2,3}B ．{0,3}C ．{}3,2,1D ．φ 【答案】C 【解析】试题分析：由{0,1,2,3}A =，{1,2,3}B =，得{}3,2,1=⋂B A ，应选C. 考点：交集运算.2.i 是虚数单位，那么(2)(3)i i ++=〔 〕A ．55i -B ．55i +C ．75i -D ．75i + 【答案】B 【解析】试题分析：()()i i i 5532+=++,应选B. 考点：复数运算.3.先后抛掷质地均匀硬币三次，那么至少一次正面朝上概率是〔 〕A ．18 B ．38C ．58D ．78【答案】D考点：互斥事件与对立事件.0:1p x ∃>，使得20210x x -+-≥，那么p ⌝为〔 〕 A ．1x ∀>，使得2210x x -+-≤ B ．01x ∃>，使得200210x x -+-< C ．1x ∀>，使得2210x x -+-< D ．1x ∀≤，使得2210x x -+-< 【答案】C 【解析】试题分析：由特称命题否认是全称命题可得：命题0:1p x ∃>，使得200210x x -+-≥否认为1x ∀>，使得2210x x -+-<，应选项为C.考点：全称命题与特称命题否认.5.如下图，一个空间几何体正视图与侧视图都是边长为1正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体外表积是〔 〕A ．πB ．32πC ．2πD ．52π【答案】B 【解析】考点：由三视图求面积、体积.n S 为等比数列{}n a 前n 项与，2580a a +=，那么52S S =〔 〕 A ．11 B ．5 C ．-8 D ．-11 【答案】D试题分析：设公比为q ，由2580a a +=，得08322=⋅+q a a ，解得2-=q ，所以．应选D ．考点：等比数列前n 项与.sin ()y x x R =∈图象上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点横坐标伸长到原来2倍〔纵坐标不变〕，得到图象函数表达式为〔 〕 A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】8.函数图象大致为〔 〕 【答案】A 【解析】试题分析：令，∵()()()x f xx x f xx x x -=-=--=---226cos 226cos ，∴函数为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除C ，D ；又当+→0x ，+∞→y ，故可排除B ；应选A ．考点：〔1〕余弦函数图象；〔2〕奇偶函数图象对称性.111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 中心，那么AD与平面11BB C C 所成角大小是〔 〕A ．030B ．045C ．060D ．090 【答案】C 【解析】考点：空间中直线与平面之间位置关系.,a b ，定义a b ⊗算法原理如程序框图所示，设a 为函数223()y x x x R =-+∈ 最小值，b 为抛物线28y x =焦点到准线距离，那么计算机执行该运算后输出结果是〔 〕A ．23B ．32C ．72D ．12【答案】B 【解析】【思路点晴】此题主要考察了选择构造，根据流程图分析出计算类型是解题关键，属于根底题．分析程序中各变量、各语句作用，再根据流程图所示顺序，可知：该程序作用是计算并输出分段函数函数值，由可求函数223()y x x x R =-+∈最小值2=a ，抛物线28y x =焦点到准线距离4=b ，即可得解．12,e e 对任意实数λ都有，那么向量12,e e 夹角为〔 〕A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】C 【解析】试题分析：设单位向量12,e e 夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即θλθ2cos 41222212221e e e e -+≤++，即θλλθcos 21cos 4112-+≤++，即0cos 41cos 22≥⎪⎭⎫⎝⎛+--θθλλ恒成立，∴0cos 414cos 42≤⎪⎭⎫⎝⎛++=∆θθ，整理可得，再由可得，∵[]πθ,0∈，∴应选：C.考点：数量积表示两个向量夹角.R 函数()f x 对任意x 都有(2)(2)f x f x +=-，且其导函数'()f x 满足，那么当24a <<，有〔 〕A ．2(2)(log )(2)a f f a f <<B ．2(log )(2)(2)a f a f f <<C ．2(2)(2)(log )a f f f a <<D ．2(log )(2)(2)a f a f f << 【答案】A 【解析】【方法点晴】此题主要考察了导数运算，以及奇偶函数图象对称性与比拟大小，同时考察了数形结合思想，该题有一定思维量，属于根底题之列．先根据条件求出函数对称轴为2=x ，根据x -2符号，再求出函数单调区间，然后判定2、a 2log 、a 2大小关系，根据单调性结合图象比拟()2f 、()a f 2log 、()a f 2大小即可．第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分．〕13.双曲线渐近线方程为____________. 【答案】x y 3±= 【解析】试题分析：令方程右边为0，得，即x y 3±=，故答案为x y 3±=. 考点：双曲线性质.ax y e =在点(0,1)处切线与直线310x y ++=垂直，那么a =___________.【答案】3 【解析】()f x 在某点()00,y x 处切线步骤：①对()f x 求导；②求()0x f '值；③利用点斜式得到切线方程()()000x x x f y y -'=-，结合与直线310x y ++=垂直，利用斜率之积为1-，得结果.15.假设变量,x y 满足约束条件，且2z x y =+最小值为6-，那么k =____________.【答案】2- 【解析】试题分析：作出不等式对应平面区域，〔阴影局部〕由y x z +=2，得z x y +-=2，平移直线z x y +-=2，由图象可知当直线z x y +-=2经过点A时，直线z x y +-=2截距最小，此时z 最小．目标函数为62-=+y x ，由，解得，即()2,2--A ，∵点A 也在直线k y =上，∴2-=k ， 故答案为：2-． 考点：简单线性规划.16.对大于或等于2自然数3次方可以做如下分解：33235,37911=+=++，3413151719=+++，根据上述规律，310分解式中，最大数是____________. 【答案】109 【解析】【方法点晴】归纳推理一般步骤是：〔1〕通过观察个别情况发现某些一样性质；〔2〕从一样性质中推出一个明确表达一般性命题〔猜测〕．注意观察各个数分解时特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续奇数之与；当底数是3时，可以分解成三个连续奇数之与．那么当底数是4时，可分解成4个连续奇数之与，进而求出32到310分解式用奇数个数，进而求出答案．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.等差数列{}n a 中，2474,15a a a =+=. 〔1〕求数列{}n a 通项公式； 〔2〕设，求12310b b b b ++++值.【答案】〔1〕2+=n a n ；〔2〕3910. 【解析】〔2〕∵2n a n =+，∴11111(2)(3)23n n n b a a n n n n +===-++++ 考点：〔1〕等差数列通项公式；〔2〕数列求与. 18.〔本小题总分值12分〕空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够浓护问题.当空气污染指数〔单位：3/g m μ〕为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状年8月某日某省x 个监测点数据统计如下：〔1〕根据所给统计表与频率分布直方图中信息求出,x y 值，并完成频率分布直方图；〔2〕在空气污染指数分别为50~100与150~200监测点中，用分层抽样方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A “两个都为良〞发生概率是多少？ 【答案】〔1〕100x =，35y =；〔2〕53. 【解析】频率分布直方图如下图：19.〔本小题总分值12分〕如图，直角三角形ABC 中，060A =，沿斜边AC 上高BD ，将ABD ∆折起到PBD ∆位置，点E 在 线段CD 上.〔1〕求证：PE BD ⊥；〔2〕过点D 作DM BC ⊥交BC 于点M ，点N 为PB 中点，假设//PE 平面DMN ，求DEDC值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕31. 【解析】【方法点晴】此题考察了空间中平行与垂直关系应用问题，也考察了空间想象能力与逻辑推理能力应用问题，是综合性题目．在第一问中主要通过线面垂判定定理得到线面垂直，然后得到线线垂直，线线垂直与线面垂直之间互化是在证明垂直过程中常用手段；在第二问中首先根据线面平行性质定理，得到//PE NF ，根据长度与角关系得到DEF ∆是等边三角形，可得解. 20.〔本小题总分值12分〕如图，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点〔点M 在点N 下方〕，且 〔1〕求圆C 方程；〔2〕过点M 任作一条直线与椭圆相交于两点,A B ，连接,AN BN ，求证：ANM BNM ∠=∠.【答案】〔1〕22525(2)()24x y -+-=；〔2〕证明见解析.【解析】考点：直线与圆方程应用.【方法点晴】此题考察了圆方程求法及圆锥曲线与直线交点问题，化简比拟复杂，通过根与系数关系简化运算，要细心，属于中档题．第一问中利用常见弦长一半，圆半径以及圆心到弦距离构成直角三角形，从而求得圆方程；第二问中把角相等转化为两直线斜率之与为0,通过联立直线方程与椭圆方程，根据维达定理，利用整体代换得到结果. 21.〔本小题总分值12分〕 函数()ln 3(0)f x x ax a =--≠. 〔1〕求函数()f x 极值；〔2〕假设对于任意[1,2]a ∈，假设函数23'()[2()]2x g x x m f x =+-在区间(,3)a 上有最值，求实数m 取值范围.【答案】〔1〕当0a <时，()f x 无极值，当0a >时，()f x 有极大值，无极小值；〔2〕. 【解析】∴()f x 在(0,)+∞单调增，()f x 无极值； 当0a >时， 由得：，那么得：，∴()f x 在上单调递增，在上单调递减. ∴()f x 极大值，无极小值. 综上：当0a <时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值，无极小值.〔2〕23'32()[2()]()22x m g x x m f x x a x x =+-=++-， 考点：〔1〕利用导数研究函数单调性；〔2〕导数在最大值、最小值问题中应用.【方法点晴】此题是个中档题．考察利用导数研究函数单调性与最值问题，表达了对分类讨论与化归转化数学思想考察，特别是问题〔2〕设置很好考察学生对题意理解与转化，创造性分析问题、解决问题能力与计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程'()0g x =在(,3)a 上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为'22()3(2)1510g a a m a a a ma =++•-=+-<恒成立，利用别离参数得解.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.解答时请写清题号.22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 直径，AC 是弦，BAC ∠平分线AD 交圆O 于点D ，DE AC ⊥，交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F .〔1〕求证：DE 是圆O 切线；〔2〕假设060CAB ∠=，圆O 半径为2，1EC =，求DE 值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕DE =【解析】考点：与圆有关比例线段.23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l参数方程为〔t为参数〕，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆=.C极坐标方程为ρθ〔1〕写出圆C直角坐标方程；〔2〕P为直线l上一动点，当P到圆心C距离最小时，求P直角坐标.【答案】〔1〕22+-=；〔2〕(3,0).(3x y【解析】〔2〕设，又C，那么PC==故当0t=时，PC取得最小值，此时P点坐标为(3,0)考点：〔1〕点极坐标与直角坐标互化；〔2〕直线与圆位置关系.。

2012-2013学年度第一学期高二级数学科(文科)期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题0,:≥∈∀x R x p ，则 p ⌝是A.0,<∈∃ x R xB. 0,≥∈∃ x R xC. 0,≥∈∀ x R xD. 0,<∈∀x R x 2. 函数x x x f 3)(3-=的递减区间是A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-26,或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,26 B. ()1,1-C. ()1,-∞-或()+∞,1D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,263.命题p ：直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点；命题q ：直线l 与抛物线C 相切.则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要4.过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，如果12x x +=6，则=PQA ．8B ．9C ．10D ．115.一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的侧面积为 A.18 B. 318 C. 36 D. 3126.曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为A. 430x y ++=B.450x y +-=C. 430x y -+=D. 430x y --=7．设实数x , y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥-+222022y x y y x ,则22y x +的取值范围是正视侧视俯视A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,54 B. []22,1 C. []8,1 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,5528.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 3±=，则双曲线的离心率是 A.332 B. 2 C. 34D. 4 9. 已知21,,,a y x a 成等差数列, 21,,,b y x b 成等比数列.则()221221-+b b a a 的取值范围是A. (]2,0B. [)(]2,00,2⋃-C. (][)+∞⋃-∞-,22,D. (][)+∞⋃-∞-,11, 10.设三次函数)(x f 的导函数为)(x f '，函数)(x f x y '⋅=的图象的一部分如图所示，则正确的是A.)(x f 的极大值为)3(f ，极小值为)3(-fB.)(x f 的极大值为)3(-f ，极小值为)3(fC.()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -D.)(x f 的极大值为)3(-f ，极小值为)3(f第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置． 11.=- 15sin 15cos 22 ___***_____.12．如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ***_ ．13.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点 重合，则p 的值为___***_____.14. 设θ是三角形的一个内角，()()1,1,cos ,sin ==θθ 且31=⋅，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示的曲线是焦点在_***_轴上的__***__（填抛物线、椭圆、双曲线的一种）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1． （1）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和最大值; （2）如何由函数)4(π-x f 的图象得到函数)2(x f 的图象.16．（本题满分12分）某校高二（17）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （1）求全班人数；（2）求分数在)90,80[之间的人数；并计算频率分布直方图中)90,80[间的矩形的高； （3）若要从分数在]100,80[之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在]100,90[之间的概率.17．（本题满分14分）如图，三角形ABC 中，ABED AB BC AC ,22==是边长为1的正方形， 平面⊥ABED 底面ABC ，若F G ,分别是BD EC ,的中点． （1）求证：//GF 底面ABC ； （2）求证：AC ⊥平面EBC ;（3）求几何体ADEBC 的体积V ． 18．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，点P 是x 轴上方椭圆E 上的一点，且211F F PF ⊥, 132PF =, 252PF =．（1）求椭圆E 的方程和P 点的坐标；（2）判断以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系.19．（本题满分14分）BCAE D GF已知二次函数2()f x ax bx =++c 的图象通过原点，对称轴为n x 2-=，()n ∈*N .()f x '是()f x 的导函数，且(0)2,f n '=()n ∈*N . （1）求)(x f 的表达式（含有字母n ）；（2）若数列{}n a 满足)(1n n a f a '=+，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）条件下，若212nn a a n n b -+⋅=，n n b b b S +++= 21，是否存在自然数M ,使得当M n >时n n S n -⋅+1250>恒成立?若存在,求出最小的M ；若不存在,说明理由.20．（本题满分14分）ks5u已知函数)0(ln 3)(>-+=x x xaax x f ． （1）当a = 2时，求f (x ) 的最小值；（2）若f (x )在[1，e ]上为单调减函数，求实数a 的取值范围．17．（本题满分14分）解：BC AE D GF2012-2013学年度第一学期高二级数学科(文科)期末试题答案一、选择题：ABBAD DABCC 二、填空题： 11．2312．49 13．4 14． y 、椭圆 三、解答题 15．解：（Ⅰ）函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1sincos122m ππ∴+= 1m ∴= …………………….2分()sin cos )4f x x x x π∴=+=+ ………ks5u …….4分 ∴函数的最小正周期2T π= ks5u.5分当2()4x k k Z ππ=+∈时， ()f x ，…………………….6分（2）因为x x f sin 2)4(=-π ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-42sin 2)42(ππx x f ………………8分 先把x x f sin 2)4(=-π图象上每一点向左平移4π得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin 2πx 的图象.10分 再把函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin 2πx 的图象上任一点纵坐标不变，横坐标变为原来的21， 得⎪⎭⎫ ⎝⎛+42sin 2πx )42(π-=x f 的图象………………12分ks5u （可以先伸缩，后平移，相应得分）16．解：（1）由茎叶图知：分数在)60,50[之间的频数为2.由频率分布直方图知：分数在)60,50[之间的频率为08.010008.0=⨯.所以，全班人数为2250.08=人.…4分（2）解：分数在)90,80[之间的人数为42107225=----人 …故分数在)90,80[之间的频率为16.0254=所以频率分布直方图中)90,80[间的矩形的高为016.01016.0=. …………………8分 （3）将)90,80[之间的4个分数编号为4,3,2,1；]100,90[之间的2个分数编号为6,5.则在]100,80[之间的试卷中任取两份的基本事件为：)2,1(，)3,1(，)4,1(，)5,1(，)6,1(，)3,2(，)4,2(，)5,2(，)6,2(，)4,3(，)5,3(，)6,3(，)5,4(，)6,4(，)6,5(共15个. …其中，至少有一个在]100,90[之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在]100,90[之间的概率是53159=.………………………12分 17（1）证：取BE 的中点H ，连结HF 、GH ，∵G 、F 分别是EC 和BD 的中点∴HG//BC ，HF//DE ，……………… 2分又∵ADEB 为正方形 ∴DE//AB ，从而HF//AB∴HF//平面ABC ，HG//平面ABC, HF ∩HG=H,∴平面HGF//平面ABC ∴GF//平面ABC ………………5分(证明GF//AC,相应得分)（2）∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，………………6分又∵平面ABED ⊥平面ABC ，交线是AB,∴BE ⊥平面ABC ………………7分∴BE ⊥AC 又∵CA 2+CB 2=AB 2∴AC ⊥BC,∵BC ∩BE=B, ∴AC ⊥平面BCE …ks5u ……10分（3）取AB 的中点N ，连结CN ，因为AC=BC ，∴CN ⊥AB ， ……………… 11分又平面ABED ⊥平面ABC ，交线是AB,CN 平面ABC ，∴CN ⊥平面ABED ………… 12分∵三角形ABC 是等腰直角三角形，∴1122CN AB ==， ………………13分∵C —ABED 是四棱锥,∴V C —ABED =13ABED S CN ⋅=1111326⨯⨯= ………ks5u …14分 18．解: (1)P 在椭圆E 上 1224,2a PF PF a ∴=+==, ……………….2分 211F F PF ⊥ ,22222122153()()4,22F F PF PF ∴=-=-= ks5u ……….3分 22,1c c ==, 23b ∴=.所以椭圆E 的方程是：22143x y += ………………6分 12(1,0),(1,0)F F -，211F F PF ⊥ 3(1,)2P ∴- ……….8分 （2）线段2PF 的中点3(0,)4M ∴ 以3(0,)4M 为圆心2PF 为直径的圆M 的方程为22325()416x y +-= 圆M 的半径54r = …………….10分 以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y +=，圆心为(0,0)O ，半径为2R =…11分圆M 与圆O 的圆心距为35||244OM R r ==-=-…….13分 所以两圆内切．…….14分19．（I ）由已知，可得0=c ，()2f x ax b '=+， …… 1分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==n a b n b 222 解之得12a =，n b 2= ks5u …3分 nx x x f 221)(2+=∴ …… 4分 （II ） n a a n n 21+=+ …… 5分11223211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n +-+-++-+-=∴---=442)1(24)1321(22+-=+-⨯=+-++++n n n n n …… 8分 （III ）n n n n n a a n n 2)4(4)1()1(221=+--++-+=-+n a a n n n b nn 2221⋅=⋅=∴-+ …… 10分n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= （1）1332242322212+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S （2）（1）—（2）得：111212222222+++⋅--=⋅-++=-n n n n n n n S …… 12分 ∴n n S n -⋅+12=50221>-+n ，即5221>+n ,当5≥n 时，5221>+n …… 13分4=∴M 存在，使得当M n >时，n n S n -⋅+1250>恒成立 …… 14分20. (1) 当a = 2时，f (x ) = 2x + 2x －3ln xf ' (x ) = 2－2x 2 －3x = 2x 2－3x －2x 2 ………………………………………2分令 f ' (x ) = 0得x = 2或－12 （∵x >0，舍去负值）………………………………3分………………………………………5分∴ 当a = 2时，函数 f (x ) 的最小值为5－3ln 2．…………………………………6分(2)∵ f ' (x ) = ax 2－3x －a x 2 ， 令 h (x ) = ax 2－3x －a = a (x －32a )2－9+4a 24a ，………………………………8分 要使f (x )在[1，e ]上为单调递减函数，只需f ' (x )在[1，e ]内满足： f ' (x ) ≤ 0恒成立， ∵ h (1) = －3<0∴ h (e ) = ae 2－3e －a ≤0，∴a ≤3e e 2－1 ………ks5u …11分 ① 当0≤a ≤ 3e e 2－1 时，f ' (x ) ≤ 0恒成立② 当a < 0时，x = 32a ∉ [1,e ], ∴h (x )<0 (x ∈ [ 1, e ])∴ f ' (x ) <0, 符合题意． ………………………………………13分综上可知，当a ≤ 3e e 2－1 时，f (x ) 在[1，e ]上为单调函数．………………… 14分 （分离变量法，相应得分）。