【全国百强校】广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学（理）试题

广东省执信中学2018
5 执信中学2} 和N= { x |x +2x 0} 关系的韦恩（Venn）图是
2下列n的取值中，使 =-1(i是虚数单位）的是
A n=3
B n=4 c n=5 D n=6
3给定下列四个命题
①若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
②若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行；
③垂直于同一平面的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ c．③和④ D．②和④
4 “ ”是“ 共线”的（）
A．充分非必要条 B．必要非充分条
c．非充分非必要条 D．充要条
5 已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（）
Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，
6若函数是函数的反函数，且，则
A． B． c． D．
7 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ,则 =
A5 B6 c7 D8
8在棱锥中，侧棱PA、PB、Pc两两垂直，Q为底面内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的。

广东省实验中学2018届高三上学期10月段测试数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知．故本题答案选．2.等差数列中，，为等比数列，且，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的定义与性质，求出的值，再利用等比数列的性质求出的值．【详解】等差数列中，，又，所以，解得或（舍去），所以，所以．故选．【点睛】本题考查了等差与等比数列的性质与应用问题，考查了计算能力，是基础题目．3.已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 4.下面给出四种说法：①设、、分别表示数据、、、、、、、、、的平均数、中位数、众数，则；②在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好； ③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ④设随机变量服从正态分布，则．其中不正确的是（ ）． A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】C 【解析】 【分析】对于A ，根据数据求出的平均数，众数和中位数即可判断； 对于B ，相关指数R 2越接近1，表示回归的效果越好； 对于C ，根据频率分布直方图判定；对于D ，设随机变量ξ服从正态分布N （4，22），利用对称性可得结论； 【详解】解：①将数据按从小到大的顺序排列为： 、、、、、、、、、，中位数：；；这组数据的平均数是．因为此组数据中出现次数最多的数是， 所以是此组数据的众数； 则；②越接近于，表示回归的效果越好，正确；③根据频率分布直方图的意义，因为小矩形的面积之和等于，频率之和也为， 所以有各小长方形的面积等于相应各组的频率；故③错； ④∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∴．故④正确．故选．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．5.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．【详解】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为的圆柱的一半，．故选．【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.对于实数，若函数图象上存在点满足约束条件，则实数的最小值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，观察图形可得函数的图象与直线x﹣y+3＝0交于点（﹣1，2），当点A与该点重合时图象上存在点（x，y）满足不等式组，且此时m达到最小值，由此即可得到m的最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，其中，再作出指数函数的图象，可得该图象与直线交于点，因此，当点与重合时，图象上存在点满足不等式组，且此时达到最小值，即的最小值为．故选．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题．7.有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为．已知球的半径，则此圆锥的侧面积为（）．A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】由题意列方程求出圆锥的高h，再求出圆锥的母线长l，即可求出圆锥的侧面积．【详解】圆锥，是底面圆心，为球心，，∴，①如图①，，[在上]，∴，．②如图②，，∴，∴．故选．【点睛】本题考查了丁球内接圆锥的侧面积问题，求出圆锥的高是关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．8.已知双曲线，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB的斜率k==1，即可求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），则x1+x2=24，y1+y2=30，由，两式相减得：=，则==，由直线AB的斜率k==1，∴=1，则=，双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率为，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的离心率公式，考查中点坐标公式，考查点差法的应用，考查直线的斜率，考查计算能力，属于中档题．9.在正方体中，，分别是棱，的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，则直线，的夹角为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图象，可得m即为CF，进而根据线面平行的判定定理和性质定理可得m∥n．【详解】如图所示：∵，分别是棱，的中点，故，则面即为平面与平面相交于，即直线，由，可得平面，故面与面相交于时，必有，即，即直线，的夹角为．故选．【点睛】本题考查的知识点是空间直线的夹角，线面平行的判定定理及性质定理，难度中档．10.已知函数，给出下列四个命题：①函数的图象关于直线对称；②函数在区间上单调递增；③函数的最小正周期为；④函数的值域为．其中真命题的个数是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于函数，由于，，∴，故的图象不关于直线对称，故排除①．在区间上，，，单调递增，故②正确．函数，，∴，故函数的最小正周期不是，故③错误．当时，，故它的最大值为，最小值为；当时，，综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．故选．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．11.在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，．整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为．由几何概型知所求概率为．故本题答案选．12.若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】函数在(0,2)上存在两个极值点，等价于在(0,2)上有两个零点，令f′(x)=0,则，即，∴x−1=0或，∴x=1满足条件,且 (其中x≠1且x∈(0,2)；∴ ,其中x∈(0,1)∪(1,2)；设t(x)=ex⋅x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)；则t′(x)=(x2+2x)e x>0，∴函数t(x)是单调增函数，∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)，∴a∈.本题选择D选项.点睛：2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，，则，，的大小是__________．【答案】【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得：a b，c log67．即可得出．【详解】解：a b，c log67．∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知平面向量，的夹角为，且，．若平面向量满足，则__________．【答案】【解析】由题可设,,设,由题,解得，.15.展开式中，常数项是__________．【答案】60【解析】解：因为展开式中，通项公式为，令x的次数为零可知常数项为60.16.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________．【答案】【解析】构造，则由题意可得：故数列是为首项，为公差的等差数列，，，以上个式子相加可得解得，则点睛：本题考查了等差数列的通项公式及数列的递推式的应用，考查了累加求和的方法，裂项求和方法的应用，解答本题的关键是熟练掌握通项公式的求法，考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题。

高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合错误！未找到引用源。

，集合错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A考点：解不等式，集合的运算.2.设复数错误！未找到引用源。

为纯虚数，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值为（）A． 3 B． -3 C．1 D．-1【答案】C【解析】试题分析：错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

,复数错误！未找到引用源。

为纯虚数，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

,选C.考点：复数的概念，复数的运算.3.下面是2018年3月安徽省芜湖楼市商品住宅板块销售对比饼状图，由图可知，戈江区3月销售套数为（）A．350 B．340 C．330 D． 318【答案】D【解析】试题分析：根据饼状图，鸠江区销售234套，占13％，所以2018年3月安徽省芜湖楼市商品住宅板块共销售楼房错误！未找到引用源。

％=1800套，戈江区3月销售占比1-27％-8％-35％-13％=17％，则戈江区3月销售套数为1800错误！未找到引用源。

17％错误！未找到引用源。

套.选D.考点：统计基础4.若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于（）A. 错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】A考点：诱导公式，同叫三角函数关系，二倍角公式.5.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

数学参考答案一、选择题二、填空题13.【参考答案】3519 14.【参考答案】-215.【参考答案】6223+16.【参考答案】).,1()0,(∞+-∞三、解答题(本大题6小题,共70分) 17.(本小题10分)【解析】选择条件①(1)11,71cos ,7=+-==b a A c , )71(7)11(27)11(cos 2222222-⋅⋅--+-=∴-+=a a a A bc c b a ,8=∴a(2)71cos -=A ,734cos 1sin ),,0(2=-=∴∈A A A π,由正弦定理得：23sin ,sin 77348,sin sin =∴=∴=C C C c A a ,36238)811(21sin 21=⨯⨯-==C ba S ,选择条件②(1)),0(,,169cos ,81cos π∈==B A B A , 873cos 1sin 2=-=∴A A ,1675cos 1sin 2=-=B B , 由正弦定理得：6167511873sin sin =∴-=∴=a aa Bb A a ，，.(2)47811675169873cos sin cos sin )sin(sin =⨯+⨯=+=+=A B B A B A C , 4715476)611(21sin 21=⨯⨯-==C ba S .18.【解】(1)因为4,,432-a a a 成等差数列,所以42423-+=a a a ,所以4828111-+=a a a ,解得21=a ,所以.2nn a =(2)因为n n a 2=,所以)1(2log )1(log )1(22+=+=+=n n n a n b nn n ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++=+22222)1(112)1()12(224n n n n n b n n , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22222)1(112312122112n n T n , .)1(22)1(112)1(11312121122222222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n n n n19.(1)因为平面⊥PAD 平面ABCD ,AD AB ⊥,所以⊥AB 平面PAD ,所以PD AB ⊥,又因为PD PA ⊥,所以⊥PD 平面PAB .(2)取AD 的中点O ,连结,,CO PO因为PD PA =,所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ,平面⊥PAD 平面ABCD , 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ,所以CO PO ⊥. 因为CD AC =,所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -,由题意得,)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ,则.2,1-==y x 所以).2,2,1(-=n又)1,1,1(-=PB ,所以.33,cos -=<PBn PB n 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.3320.(1)因为一个顶点为)1,0(B ,故1=b ,又离心为23,故23=ac 即2312=-a a ,所以2=a ,故椭圆方程为：.1422=+y x(2)若直线l 的斜率不存在,则设),,(),,(n m N n m M -此时41411112222m mm n m n m n k k BNBM =-=--⨯-=,与题设条件矛盾,故直线l 斜率必存在. 设m kx y MN +=:,),(),,(2211y x N y x M ,联立,4422⎩⎨⎧=++=y x mkx y 化为,0448)41(222=-+++m kmx x k0)14(1622>+-=∆m k ,221418k kmx x +-=+∴,22214144k m x x +-=⋅∴.2111212121122211=--+=-⋅-=⋅x x x x y x y x x y x y k k BN BM , 0)1())(1(21221212=-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m x x m k x x k ,0)1(418)1(41442122222=-++--++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m k km m k k m k , 化为0322=-+m m ,解得3-=m 或1=m (舍去).即直线过定点)3,0(-21.解：(I)依题意,2.05010)8040(1==<<=X P P , 7.05035)12080(2==≤≤=X P P ,1.0505)120(3==>=X P P ,由二项分布,在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：.9477.0101)109(4)109()1()1(34333144304=⨯⨯+=-+-=P P C P C P(II)记水电站年总利润为Y (单位：万元)①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1, 对应的年利润5000=Y ,.500015000=⨯=EY ②安装2台发电机.当8040<<X 时,一台发电机运行,此时42008005000=-=Y ,因此2.0)8040()4200(1==<<==P X P y P ,当80≥X 时,两台发电机运行,此时1000025000=⨯=Y ,因此8.0)80()10000(21=+=≥==P P X P Y P .由此得Y 的分布列如下：所以14200+⨯=EY ③安装3台发电机.依题意,当8040<<X 时,一台发电机运行,此时340016005000=-=Y , 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P ;当12080≤≤X 时,两台发电机运行,此时920080025000=-⨯=Y , 此时,7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P 当120>X 时,三台发电机运行,此时1500035000=⨯=y , 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P , 由此得Y 的分布列如下：所以3400⨯=EY 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.22.解：(I)x ax x x f +--=2ln )(,xx ax ax x x f 12121)('2+--=+--=,………2分令a 81-=∆.当81≥a 时,0≤∆,0)('≤x f ,)(x f 在),0(∞+单调递减.………4分 当810<<a 时,0>∆,方程0122=+-x ax 有两个不相等的正根21,x x ,不妨设21x x <, 则当),(),0(21∞+∈x x x 时,0)('<x f ,当),(21x x x ∈时,0)('>x f ,这时)(x f 不是单调函数.综上,a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,81. ………………………6分(II)由(I)知,当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a 时,)(x f 有极小值点1x 和极大值点2x ,且.21,212121ax x a x x ==+ 2222121121ln ln )()(x ax x x ax x x f x f +--+--=+.141)2ln(1)(21)ln(2121++=+++-=aa x x x x …………………9分令141)2ln()(++=a a a g ,⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a , 则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈81,0a 时,)(,0414411)('22a g a a a a a g <-=-=在⎪⎭⎫⎝⎛81,0单调递减, 所以2ln 23)81()(-=>g a g ,即.2ln 23)()(21->+x f x f ………………………12分。

绝密★启用前 试卷类型：A广东省2018届高三年级四校联考理科数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟， 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．集合2{|560},{|210}≥A x x x B x x =-+=->，则A B = （ ） A ．(,2][3,)-∞+∞ B ．1(,3)2C ．1(,3]2D ．1(,2][3,)2+∞1．答案：D解析：2{|560}{|(2)(3)0}(,2][3,),A x x x x x x =-+=--=-∞+∞ ≥≥11{|210},,(,2][3,)22B x x A B ⎛⎫=->=+∞∴=+∞ ⎪⎝⎭．2．i 是虚数单位，则复数2iiz -=在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．答案：C 解析：22i (2i)i 2i 112i i i 1z --+====---，在复平面上对应的点(1,2)--位于第三象限． 3．若实数,x y 满足条件6321≤≤≥x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，则23x y +的最大值为（ ）A ．21B ．17C ．14D ．53．答案：B解析：作可行域为如图所示的ABC △，其中(1,5),(1,1),(4,2)A B C ，设23z x y =+，则2233y x z =-+，表示斜率为23-，纵截距为3z 的直线，作直线23y x =-并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点(1,5)A 时，z 取得最大值，max 213517z =⨯+⨯=．6=x4．已知两个单位向量,a b的夹角为120k R ︒∈，，则a kb - 的最小值为（） A ．34B C ．1 D ．324．答案：B解析：222222222cos1201a kb a ka b k b a k a b b k k -=-⋅+=-⋅︒+=++21324k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当12k =-时，a kb - 解法2：如图，,,OA a OB b OC kb ===，因为k R ∈，所以点C 在直线OB 上运动，则a kbAC -= ，显然，当AC OB ⊥时，AC 取得最小值2，此时12k =-．B5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4和2，则输出v 的值为（ ） A ．32B ．64C ．65D ．1305．答案：C解析：4,2,1n c v ===→是6,3v n →==→是15,2v n →==→是32,1v n →==→是65,0v n →==→否，输出65v =．6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．83正视图侧视图俯视图6．答案：C解析：该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．7．已知函数3214()33f x x x x =+++，若函数()y f x a b =++为奇函数，则a b +的值为（ ） A ．5-B ．2-C ．0D ．27．答案：B解析：2()21,()22f x x x f x x '''=++=+，令()0f x ''=，得1x =-，又(1)1f -=，所以函数()f x 的对称中心为(1,1)-，所以函数()y f x a b =++的对称中心为(1,1)a b --+， 根据题意可得10,10a b --=+=，解得1,1a b =-=-，所以2a b +=-． 8．已知函数()sin()(0)ωϕωf x x =+>的图象的一个对称中心为(,0)2π，且1()42πf =，则ω的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．28．答案：A 解析：当2x π=时，11,2x k k Z πωϕωϕπ+=+=∈，当4x π=时，2246x k ππωϕωϕπ+=+=+或2526k ππ+，2k Z ∈，两式相减，得12(2)46k k ππωπ=--或125(2)6k k ππ--，12,k k Z ∈，即1224(2)3k k ω=--或12104(2)3k k --，12,k k Z ∈，又因为0ω>，所以ω的最小值为102433-=． 解法2：直接令5,246πππωϕπωϕ=+=+，得46ππω=，解得23ω=．9．已知关于x 的方程sin()sin()2x x m ππ-++=在区间[0,2)π上有两个根12,x x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．D ．[0,1)9．答案：D解析：sin()sin()2x x m ππ-++=，即sin cos x x m +=),4x m π+=sin()4x π+=，作出函数sin(),[0,2)4y x x ππ=+∈的图像，由图可知，要使得方程在区间[0,2)π上有两个根12,x x ，且12x x π-≥，则022m <≤，即01m <≤．10．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点(,9)2pM -， (,1)2pN --，连结OM ，ON 分别交抛物线E 于点,A B ，且,,A B F 三点共线，则p 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．答案：C解析：直线OM 的方程为18y x p =-，将其代入22y px =，解得321629p x py ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故32,1629p p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ON 的方程为2y x p =，将其代入22y px =，解得322p x y p ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故32,2p B p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2918,481AB AF p k k p p ==-，因为,,A B F 三点共线，所以AB AF k k =，即2918481pp p =-，解得3p =．BANMFO本题使用了抛物线的性质：设抛物线2:2(0)C y px p =>，AB 是过焦点(,0)2pF 的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，准线:2pl x =-，AN l ⊥于N ，BM l ⊥于M ，则： ①221212,4p y y p x x =-=；②,,A O M 三点共线，,,B O N 三点共线．证明：①设直线AB 的方程为2p x my =+，代入22y px =，得：2220y pmy p --=，由韦达定理可得212y y p =-，所以22221212122()2244y y y y p x x p p p =⋅==． ②21221222(,),2OM p y y ppM y k p p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-∴=-=-=，而11211122OA y y p k y x y p===， 所以OM OA k k =，所以,,A O M 三点共线，同理可证,,B O N 三点共线．11．e 为自然对数的底数，已知函数1,1()8ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-⎩≥，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e ≤≤ C ．1a >-或2198a e <<D ．1a >-或98a >11．答案：A解析：作出函数()f x 的图像如图所示，其中9(1,),(1,1)8A B -，则9,18OA OB k k ==-，设直线y ax =与曲线ln 1(1)y x x =-≥相切，则ln 1ax x =-，即ln 1x a x-=，设ln 1()x g x-=，则221(ln 1)2ln ()x x g x ---'==，当2x e =时，()0g x '=，分析可知，A ．3B ．4πC ．12πD ．312．答案：D解析：取AB 中点D ，连接,PD CD ，则AD 1PD ，所以60,120APD APB ∠=︒∠=︒，设APB △外接圆圆心为1O ，半径为r ，则24sin120ABr ==︒所以2r =．同理可得：1,120,CD ACB ABC =∠=︒△的外接圆半径也为2，因为1PC PD CD ===，所以PCD △是等边三角形，60PDC ∠=︒，即二面角P AB C --为60︒，球心O 在平面PCD 上，过平面PCD 的截面如图所示，则11O D r PD =-=，所以1133OO D ==，所以22211113433OF OO O F =+=+=，即2133R =，所以外接球的表面积25243S R ππ==．PABCDF GC PDO 1O 2O第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．如图是一组数据(,)x y 的散点图，经最小二乘法计算，y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ1ybx =+，则ˆb = ．13．答案：0.8 解析：01340.9 1.9 3.2 4.42, 2.644x y ++++++====，将(2,2.6)代入ˆˆ1ybx =+，解得：ˆ0.8b=． 14．41(1)(1)x x x-+-的展开式中3x 的系数为 ． 14．答案：1 解析：443211(1)(1)(1)(4641)x x x x x x x x x-+-=-+-+-+，所以展开式中3x 的系数为 6141--=．15．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为． 15．答案：解析：双曲线的渐近线方程为by xa=±，根据题意可得2ba<，所以离心率cea===e的取值范围是．16．如图在平面四边形ABCD中，45,60,150,24A B D AB BC∠=︒∠=︒∠=︒==，则四边形ABCD的面积为．DCB16．答案：6解析：连接AC，则2222cos6012,AC AB BC AB BC AC=+-⋅︒=∴=，此时222AC BC AB+=，90,30,15ACB BAC DAC DAB BAC∠=︒∠=︒∠=∠-∠=︒，所以15DCA∠=︒，取AC中点E，连接DE，则tan15(2DE CE=⋅︒，13(262ACDS AC DE=⨯⨯==-△，12ABCS AC BC=⨯⨯=△所以6ACD ABCABCDS S S=+=△△四边形DECBA三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（本小题满分12分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，1(0)aλλ=>，11()na n N*+=∈．（1）求λ的值；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．【解析】（1）因为11n n n a S S ++=-，代入11n a +=，可得：11n n S S +-=， ………………………………2分整理可得21n S +，因为0n S >1=，……………………3分所以数列1的等差数列，…………………………………4分2(1)1,(1)n n n S n -==，…………………………5分当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=+，…………………………………………6分当1n =时，1a λ=，………………………………………………………………………7分 因为12n n a a +-=，所以，若数列{}n a为等差数列，则有2112a a λ-=-=，解得1λ=．…………………………………………………………………………………8分 （2） 由（1）可得21n a n =-，所以111111=(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭……………………10分所以12231111n n n T a a a a a a +=+++， 即11111111112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ． 18．（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元． 现此企业有如下三种应对方案：18．【解析】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：12()(0.020.050.06)50.65,()(0.040.02)50.30P A P A =++⨯==+⨯=，3()0.0150.05P A =⨯=．………………………………………………………………3分记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以123()0.1,()0.2,()0.6P B P B P B ===．…………………………………………4分 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件B ．则112233112233()()()()()()()()()()P B P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B =++=++0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155．……………………………………6分（2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：500,100,1000--，由（1）知11(500)0.650.90.300.750.0500.81,(100)0.155,P X P X ==⨯+⨯+⨯==-= 1(1000)0.6500.300.050.050.400.035P X =-=⨯+⨯+⨯=．1X 的分布列为则该企业在8月份的利润期望1()5000.81(100)0.155(1000)0.035354.5E X =⨯+-⨯+-⨯=（万元）．…………8分 选择方案二，则2X （万元）的取值为：460,1040-，由（1）知，22(460)0.810.1550.965,(1040)0.035P X P X ==+==-=，2X 的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望2()4600.965(1040)0.035407.5E X =⨯+-⨯=（万元）…………………………10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：3()500100400E X =-=（万元）………11分 由于231()()()E X E X E X >>，因此企业应选方案二．…………………………………12分 19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PBH =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC =，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．PABCDMNH（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O = 且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =， 所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．…………………………………………5分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以1,2AO PA PO PA ==，因为PA =，所以BO =．……8分分别以OA ，OB ，OP为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,(2O A B C D P H --，所以3(0,,0),(,0,(1,(3223DB AH AB AP ==-=-=- ．记平面AMHN 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111103022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令10x =，则110,y z =1(1n =，记平面PAB 的法向量为2222(,,)n x y z =，则22222200n AB x y n AP x ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ， 令21x =，则22y z ==，所以2n = ，…………………………11分记二面角P AM N --的大小为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅． 所以二面角P AM N --的余弦值为13．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，圆222:(0)O x y r r +=>与x 轴交于点M N 、，P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN △（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）圆O 的切线l 交椭圆于点A B 、，求AB 的取值范围．20．【解析】（1）由题意得12c e a a ===，解得：2b =①……………1分 因为2PM PN a +=，所以，点M N 、为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==………2分 设00(,)P x y ，则0b y b -≤≤，所以0012PMN S r y a y =⋅=△，当0y b =时， ()max 12PMN S ab ==△……………………………………………………………………3分 代入①解得2a =，所以1b c =，……………………………………………………4分所以，圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………5分 （2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x kx m B x kx m ++ 因为直线l1=，即221m k =+，…………………………6分联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得222(43)84120k x kmx m +++-=， 2222121222841248(43)48(32)0,,4343km m k m k x x x x k k -∆=+-=+>+=-=++，AB ==24k ==+=令2134t k =+，则2140334t k <=+≤，所以403AB t =<≤，所以AB =33AB <≤11分 ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =±，解得331,,1,,322A B AB ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，AB的取值范围是3⎡⎢⎣⎦．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)16xa f x x e =--+，其中 2.718e = 为自然对数的底数，常数0a >．（1）求函数()f x 在区间(0,)+∞上的零点个数；（2）函数()F x 的导数()()()x F x e a f x '=-，是否存在无数个(1,4)a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点？说明理由．21．【解析】（1）()()6xaf x x e '=-，……………………………………………………1分 当06a x <<时，()0()f x f x '<，单调递减；当6ax >时，()0()f x f x '>，单调递增； ……………………………………2分因为()(0)0,(1)10666a a a f f f <=-<+=>，所以存在0,166aa x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使0()0f x =， 且当00x x <<时，()0f x <，当0x x >时，()0f x >．故函数()f x 在区间(0,)+∞上有1个零点，即0x ．………………………………4分 （2）（法一）当1a >时，ln 0a >．因为当(0,ln )x a ∈时，0xe a -<；当(ln ,)x a ∈+∞，0xe a ->． 由（1）知，当0(0,)x x ∈时，()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x >． 下证：当(1,)a e ∈时，0ln a x <，即证(ln )0f a <．2(ln )(ln 1)1ln 166a a f a a a a a =--+=--+，记2()ln 1,[1,]6x g x x x x x e =--+∈……………………………………………………6分 3()ln ,()033x xg x x g x x -'''=-=>，所以()g x '在(1,)e 单调递增，由1(1)0,()1033eg g e ''=-<=->，………………………………………………7分所以存在唯一零点0(1,)t e ∈，使得0()1g t '=，且0(1,)x t ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，0(,)x t e ∈时，()0,()g x g x '>单调递增．…………………………………………8分所以当(1,)x e ∈时，()max{(1),()}g x g g e <．……………………………………9分由216(1)0,()066e g g e -=-<=<，得当(1,)x e ∈时，()0g x <． 故0(ln )0,0ln f a a x <<<．……………………………………………………11分 当0ln x a <<时，0,()0,()()()0,()x x e a f x F x e a f x F x '-<<=->单调递增； 当0ln a x x <<时，0,()0,()()()0,()x xe af x F x e a f x F x '-><=-<单调递减． 所以存在(1,)(1,4)a e ∈⊂，使得ln a 为()F x 的极大值点．…………………………12分 （2）（法二）因为当(0,ln )x a ∈时，0xe a -<；当(ln ,)x a ∈+∞，0xe a ->． 由（1）知，当0(0,)x x ∈时，()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x >．所以存在无数个(1,4)a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点，即存在无数个(1,4)a ∈，使得0ln a x <成立， ①…………………………………………………………………………6分 由（1），问题①等价于，存在无数个(1,4)a ∈，使得(ln )0f a <成立，因为2(ln )(ln 1)1ln 166a a f a a a a a =--+=--+， 记2()ln 1,(1,4)6x g x x x x x =--+∈……………………………………………………7分 ()ln ,(1,4),3x g x x x '=-∈因为3()3x g x x -''=，当3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，所以()g x '在3,22⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，因为3312ln 0,(2)ln 202223g g ⎛⎫''=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一零点03,22t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得0()0g t '=，且当03,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x '<单调递减；当0(,2)x t ∈时，()0,()g x g x '>单调递增；所以，当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20min 0000()()ln 16t g x g t t t t ==--+， ②…………………9分由0()0g t '=，可得00ln 3t t =，代入②式可得2min 00()()16t g x g t t ==-+，当03,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，220000(3)11()106628t t g t t -=-+=--<≤，……………………11分 所以，必存在3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0g x <，即对任意3,2,(ln )02a f a ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭有解， 所以对任意3,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，函数()F x 存在极大值点为ln a ．……………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[0,2)ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线:(0)l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OBOA 的最大值．22．【解析】（1）曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=，即sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． …………………………3分曲线2C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．………………………………………………………………………………5分（2） 由（1）知1,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ====+，………………6分4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭……8分 由02πα≤≤知52+444πππα≤≤，当242ππα+=， 即8πα=时，OB OA有最大值2+．…………………………………………10分23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数2()1f x x x a =-++，其中a R ∈．（1）当a =()6f x ≥的解集；（2）若存在0x R ∈，使得0()4f x a <，求实数a 的取值范围．23．【解析】（1）当a =21,2()12=3,2121,1x x f x x x x x x -+-⎧⎪=-++-<<⎨⎪+⎩≤≥， 所以2()6216x f x x -⎧⇔⎨--⎩≤≥≥或2136x -<<⎧⎨⎩≥或1216x x ⎧⎨+⎩≥≥，解得72x -≤或52x ≥，因此不等式()6f x ≥的解集的7522x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或≤≥……………………5分（2）2222()1(1)()11f x x x a x x a a a =-++--+=+=+≥，且2(1)1f a =+，所以2min ()1f x a =+，所以存在0x R ∈，使得0()4f x a <，等价于241a a >+， 所以2410a a -+<，解得22a <<所以实数a的取值范围是(2…………………………………………10分。

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z = A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i2．设集合301x A x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥ A ．A B IB ．A B UC ．()()A B R R U 痧D ．()()A B R R I 痧 3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为 A ．45 B ．35 C ．25 D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S = A ．920 B ．49 C ．29 D ．940 5．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．45 B ．35C ．45-D ．35- 6．已知二项式212n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是 A ．84- B ．14- C ．14 D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为A ．44223++B ．1442+C ．104223++D ．4 8．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为 A ．12 B ．14 C ．12- D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为 A ．()3,3- B ．()11,4- C ．()4,11- D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =uu u r uuu r ，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．1012．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．12- B ．1- C ．32- D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．D CA B E13．已知向量(),2m=a，()1,1=b，若+=+a b a b，则实数m=．14．已知三棱锥P ABC-的底面ABC是等腰三角形，AB AC⊥，PA⊥底面ABC，1==ABPA，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()()2cos2cos0a Bb A cθθ-+++=，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为n S，如11S=，22S=，32S=，44S=，……，则126S=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS，数列nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nb满足()121215452nnnaa anb b b⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭L，求数列{}nb的前n项和nT．图②图①18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表： x （岁） 12 3 4 5 6 7 8 9 10 y ()cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y ()1021x x i i ∑-= ()1021y y i i ∑-= ()()101x x y y i i i ∑--=5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ， 2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．()()()121n x x y y i i i b n x x i i =--∑=-∑=$D C BS20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N ，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r ．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于 x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集； （2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．参考答案1-5：ADBDD6-10：ACDBC11-12：AA13、214、3315、－1216、6417、18、（2）。

广东省百校联盟2018届高三第二次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()(1)1z i i +-=，则z = （ ）A.2B.3 C.2 D. 12.已知{}2|log (31)A x y x ==-，{}22|4B y x y =+=，则AB =（ ）A. 1(0,)3B. 1[2,)3-C. 1(,2]3D. 1(,2)33. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C 的数据一览表已知该城市的各月最低温与最高温具有线性相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是 （ ） A. 最低温与最高温为正相关B. 每月最高温与最低温的平均值前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 4. 已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若3sin x =2cos 2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ） A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 5. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin A B =，5c =，且5cos 6C =，则a =（ ） A. 22 B. 32 C. 3D. 46. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A .84225++ B. 64245++ C. 62225++ D. 82225++7. 将曲线1:sin()6C y x π=-上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线2:()C y g x =，则()g x 在[),0π-上的单调递增区间是（ ） A. 5[,]66ππ-- B. 2[,]36ππ-- C. 2[,0]3π-D. [,]6ππ--8. 执行如图所示的程序框图，若输入4t =，则输出的i =（ ）A. 16B. 13C. 10D. 79. 设,x y 满足约束条件22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2y x z x y =-的取值范围是（ ） A. 7[,1]2-B. 7[2,]2-C. 77[,]23--D. 3[,1]2-10. ()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A.B.C .D.11. 过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A. 2)B. (2,22)+C. 2,)+∞D.2)(22,)⋃++∞12. 已知函数23()x f x e -=，1()ln 42xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（） A.1ln 22+ B. ln 2 C. 12ln 22+ D. 2ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量m 与向量n 互相垂直，且2(11,2)m n -=-，若5m =，则||n =__________． 14. 在二项式61(22xx -的展开式中，第3项为120，则x = __________.15. 如图，E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为______．16. 已知点A 是抛物线C ：22x py =（0p >）上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,8)M 为圆心，||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题（60分）17. 已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，它的制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为12，45，35，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为45，12，23. （1）求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品件数为X ，求随机变量X 的数学期望.19. 如图，四边形ABCD 是矩形33,3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,6ABCD PE =（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长是短轴长的2倍，且椭圆C 经过点2(2,2A ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，22MN =l 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21. 函数()2ln(1)f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：2112()2ln 2f x x x >-+ .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）． （1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M到直线l 距离的最小值．23. 已知2()23f x x a x a =-+++． （1）证明：()2f x ≥；（2）若231,{1,22x y ax y x y ax y+=-+=+=的二元一次方程组的解满足则的值为，求实数a的取值范围．。

广东省百校2018届高三第二次联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()(1)1z i i +-=，则z = （ ）A B C D ．1 2.已知222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=，则A B = （ ） A ．1(0,)3 B ．1[2,)3- C ．1(,2]3 D ．1(,2)33. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C 的数据一览表.椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）A ．最低温与最高温为正相关B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4. 已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若sin x =，则2cos 2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若s i n 3s i n ,A B c =，且5c o s 6C =，则a =（ ）A ．B ．3C ．D ．46.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A．8+ B．6+ C．6+ D．8+7. 将曲线1:sin()6C y x π=-上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线()2:C y g x =，则()g x 在[,0]π-上的单调递增区间是（ ） A ．5[,]66ππ-- B ．2[,]36ππ-- C ．2[,0]3π- D ．[,]6ππ-- 8. 执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．169. 设,x y 满足约束条件22026020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2y x z x y =-的取值范围是（ ） A ．7[,1]2-B ．7[2,]2-C ．77[,]23--D ．3[,1]2- 10. 函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．)+∞ 12. 已知函数()()231,ln 42x xf x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 22+ B ．ln 2 C ．12ln 22+ D ．2ln 2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量m 与向量n 互相垂直，且2(11,2)m n -=-，若5m = ，则n = ．14.在二项式6的展开式中，其3项为120，则x = ．15.如图，E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1BCF ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为 ．16. 已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,8)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题（60分）17. 已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列11{}n na b + 的前n 项和n T .18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143,,255，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为412,,523. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.19.如图，四边形ABCD 是矩形，3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,ABCD PE （1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的C 经过点A . （1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，MN =l 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21.函数()2ln(1)f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：2112()2ln 2f x x x >-+ .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）（1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )4ρθθ-=，若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 上在2C ，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值.23.已知()223f x x a x a =-+++ .（1）证明：()2f x ≥；（2）若3()32f -<，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5: ACBAB 6-10: CBDAD 11、D 12：A二、填空题13. 5 14.215.516.23三、解答题17.解：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以，()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时，12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知111111()2(1)21n na b n n n n +==-++，所以11111111[(1)()()()]22233412(1)n n T n n n =-+-+-++-=++ . 18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则11214211313()25525525550P E =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25p =， 所以随机变量(3,0.4)X B ， 所以()30.4 1.2E X np ==⨯=. 19.（1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD是矩形，3,2AB BC DE EC ===,所以CE BCCE BC AB==,又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆∆∠=∠ ,因为2BEC ACE ACB ACE π∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PE BE E = ，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,A B C P -,则(3,AB BP CB ==-= ,设平面APB 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111030x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取1110,13x y z ===，即1(3n =设平面BPC 的法向量2222(,,)n x y z =，则22223030x x =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取2110,1x y z ===，即1n =设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅由图可知二面角为钝角，所以cos θ=.20.解：（1）因为a =，所以椭圆的方程为222218x y b b+=，把点(2,2A 的坐标代入椭圆的方程，得221118b b +=，所以221,8b a ==，椭圆的方程为2218x y +=. （2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，联立方程组2218x y y kx m⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 得222(18)16880k x kmx m +++-=，由22225632(1)(18)0m m k --+>，得2218m k <+，所以21212221688,1818km m x x x x k k--+==++，所以MN ==由218k =+2222(81)(34)4(1)k k m k +-=+， 令221(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以223284494t t m t-+-=，24921(8)214m t t=-+≤-m ≤ 当且仅当4984t t =，即8t =时，上式取等号，此时288k =，27(38m -=，满足2218m k <+， 所以m21.解：函数()f x 的定义域为()222(1,),1x x mf x x++'-+∞=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上，12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11()022g m -=-+≥，即12m ≥时，()0g x ≥，即()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，②当102m <<时，由()222g x x x m =++，得12112222x x =--=-+，因为()10g m -=>，所以1111222x -<<--<-，当12x x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，当11x x -<<或2x x >时，()0g x >，即()0f x '>，综上，当102m <<时，()f x 在11(2222---+上递减，在1(1,22---和1()22-++∞上递增，当12m ≥时，在(1,)-+∞上递增.（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在1(1,)x -和2(,)x +∞上递增，则2()(0)0f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根， 所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证2112()2ln 2f x x x >-+又2222221222()22ln(1)24ln(1)f x x m x x x x x =++=++22222222224(1)ln(1)(1)2(1)ln 212(1)ln 2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证22222224(1)ln(1)(1)(12ln 2)0x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立，设()2124(1)ln(1)(1)(12ln 2),(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()44(12)ln(1)lnx x x e ϕ'=-++- 当102x -<<时，4120,ln(1)0,ln 0x x e+>+<>，故()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在1(,0)2-上递增， 故()11111()24ln (12ln 2)024222x ϕϕ>=⨯-⨯⨯--=， 所以22222224(1)ln(1)(1)(12ln 2)0x x x x x -++-+->，所以2112()2ln 2f x x x >-+.22.解：（1）1C 的普通方程为22(1)1x y +-=，它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， 2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆. （2）由已知得(0,2)P ，设(2cos ,sin )Q θθ，则1(cos ,1sin )2M θθ+， 直线:240l x y --=，点M 到直线l的距离为d == ，所以d ≤= ，即M 到直线l的距离的最小值为5. 23.（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+ 而2222323(1)22x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥.（2）因为222323,3334()232222,4a a a f a a a a a ⎧++≥-⎪⎪-=+++=⎨⎪-<-⎪⎩ ，所以234233a a a ⎧≥-⎪⎨⎪++<⎩或23423a a a ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩， 解得10a -<<，所以a 的取值范围是(1,0)-.。

广州市执信中学2018届高三数学（理）三模一、选择题：1.已知全集U=R ，则正确表示集合M= { x |x 2+2x>0}和 N= {-2，－1，0}关系的韦恩（Venn ）图是（ ）2. 已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件3. 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222=+y x 的位置关系是（ ） A.相离 B.相切 C.相交 D.随k 的变化而变化4.复数21z i=-+的共轭复数．．．．对应的点在（ ）A.第一象限 .B 第二象限 C.第三象限 D.第四象限5. 若log 1m n =-，则3m n +的最小值为( )A.2 C. 526. 已知数列{}n a 满足()1112,1n n a a n N a +-==∈+,则2014a = ( ) A. 2 B. 13- C. 32- D. 237. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.38π B. 328π C. π28 D. 332π8. 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是( )A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D.()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 * .10.从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分配到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有 * .11.函数1()sin 2f x x =([0,]x π∈)的图像如图，其中B在()f x 的图像与x 在⊿ABO 内的概率为 * .12.若双曲线22116y x m-=的离心率e=2，则它的焦点坐标为 * .13．不等式组2230204x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域D 的面积是 * .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线1C ：cos sin ρθθ+（）=1与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =* .15. （几何证明选讲选做题）过半径为2的⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ．已知AC =4，AB=则tan DAB ∠= * .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题12分）已知函数1()cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c，且()1c f C ==， 求三角形ABC 的外接圆面积.17．（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题13分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→ （1）证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；（2）当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的余弦值．19．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．20. (本小题满分14分)已知点F 是椭圆22211x y a+=+(0a >)的右焦点，，动点P 到点F 的距离等于到直线x a =-的距离． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x a =-分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 21．(本小题满分14分)已知'''*010211(),()(),()(),,()(),x n n f x xe f x f x f x f x f x f x n N -====∈(1)请写出()n f x 的表达式(不需要证明)，并求()n f x 的极小值；(2)设2()2(1)88n g x x n x n =--+-+， ()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ，证明：4a b e --≥；（3）设20()|ln[()]1|,(0)x x a f x x a ϕ=+-->，若3(),[1,)2x a x ϕ≥∈+∞恒成立，求a 的取值范围.广州市执信中学2018届高三数学三模参考答案1-8．CACB CABA 9. 60；10. 2400；11. 4π；12.±（0，8）；13.2π；14. 1；. 1. C 【解析】解得M={}02x x x ><-或，M N ⋂=Φ,所以选C 2. A 【解析】“2k =-”可以推导出 “,a b 共线”，但反之不成立，2k =±3.C 【解析】直线1y kx =+过圆内一定点(0,1)所以相交.4. B 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212，共轭复数为i z +-=1，所对应的点在第二象限.5. C 【解析】log 11m n mn =-⇒=，则3m n +≥=6. A 【解析】123420141132,,,2,232a a a a a a ==-=-=∴==7. B 【解析】用与球心距离为1的平面去截球，截面半径为1，则328π8. A 【解析】()41f x x =-的零点为x=41,()2(1)f x x =-的零点为x=1,()1x f x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因为g(0)= -1,g(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A.9. 60【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为2,3,4,6,4,x x x x x x ，则234641x x x x x x +++++=，解得120x =，所以前三组数据的频率分别是234,,202020， 故前三组数据的频数之和等于234202020n n n ++=27，解得n=60. 10. 2400 【解析】2231454544()2400C C C C A +=11. 4π 【解析】11224ABO S ππ=⋅⋅=, 设()f x 的图像与x 轴所围成的区域为S,则S=01sin 12xdx π=⎰ 4P π∴=12. ±（0，8） 【解析】根据双曲线方程：12222=-b x a y 知， m b a ==22,16，在双曲线中有：222c b a =+，∴离心率e=a c =2⇒422=ac =1616m+⇒m=48，所以双曲线的焦点坐标为±（0，8）13.2π 【解析】D 是圆心角为4π，半径为2的扇形，故面积为22=82ππ⋅ 14. 1 【解析】曲线1C 的直角坐标方程是x+y=1，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y=0得x=1，知a =1.15.4【解析】由切割线定理232484AB AC AD AD AD CD =⋅∴=⨯∴=∴=, CD ∴是直径，过O 做AB的垂线，垂足为B ，tan tanDAB OAB ∴∠=∠==16.解：(1)11()cos cos 22cos 22f x x x x x x =⋅-=- =sin(2)6x π- (2)分1sin(2)16x R x π∈∴-≤-≤()f x ∴的最小值是-1 (4)分22T ππ∴==，故其最小正周期是π ………6分(2) ()1sin(2)00222662f C C C C ππππ=∴-=<<∴-=且,3C π∴= ………9分由正弦定理得到：2R=2sin c C ==(R 为外接圆半径)，1R ∴= ………11分设三角形ABC 的外接圆面积为S,∴S=π ………12分 17.（1）2112122(1)(1),02a q q q a a a q a +=+>⇒== ………2分22263351564(1)(1)64a q q q q a a a q a ++=++⇒== ………4分11,2a q ∴==⇒12n n a -= ………6分(2)1211111(2)4224n n n n n b ----=+=++, ………8分 2121111(1444)(1)2444n n n T n --=++++++++++ (9)分1111(1)4(1)1(14)414444221211433314nn n n n n n n n ------=++=++=++-- .........11 (12)分 ………13分 (4)分.........6分 (8)分………12分直线PN 与平面ABC 13分 19.（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有95)1(22=-+p p ． 解得32=p 或31=p ． …………6分 21>p ， 32=∴p ． …………7分（Ⅱ）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，8． ………… 8分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有5(2)9P ξ==， 5520(4)(1)9981P ξ==-=， 55580(6)(1)(1)999729P ξ==--⋅=， 55564(8)(1)(1)(1)1999729P ξ==---=．………12分∴随机变量ξ的分布列为：………… 12分 故520806425222468981729729729E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………… 14分20、解：（1） 椭圆22211x y a+=+右焦点F 的坐标为(,0)a ，………………1分由抛物线定义知，点P 的轨迹C 是以点F 为焦点、直线x a =-为准线的抛物线，……3分C 的方程为24y ax =． ………5分（2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a，则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=．…………6分由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．…………………………8分214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． ………9分由⎩⎨⎧=+=ax y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-．……………………11分 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分(法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩ 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--． 由2,y x x a=-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=． ………………………………………7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a yA 、),4(222y ayB ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． …………………………………10分由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．……………………11分 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分21.解：(1)f n (x )＝(x ＋n )·e x (n ∈N *)． …………2分因为f n (x )＝(x ＋n )·e x ，所以f ′n (x )＝(x ＋n ＋1)·e x.因为x ＞－(n ＋1)时，f ′n (x )＞0；x ＜－(n ＋1)时，f ′n (x )＜0， …………3分所以当x ＝－(n ＋1)时，f n (x )取得极小值f n (－(n ＋1))＝－e －(n ＋1) ．………4分(2)由题意 b ＝f n (－(n ＋1))＝－e －(n ＋1)，又a ＝g n (－n ＋1)＝(n －3)2，………5分所以a －b ＝(n －3)2＋e －(n ＋1)．令h (x )＝(x －3)2＋e －(x ＋1)(x ≥0)， 则h ′(x )＝2(x －3)－e －(x ＋1)，又h ′(x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以h ′(x )≥h ′(0)＝－6－e －1.又h ′(3)＝－e －4＜0，h ′(4)＝2－e －5＞0，所以存在x 0∈(3，4)使得h ′(x 0)＝0. …………6分所以当0≤x ＜x 0时，h ′(x )＜0；当x ＞x 0时，h ′(x )＞0. 即h (x )在区间[x 0，＋∞)上单调递增，在区间[0，x 0)上单调递减，………7分所以h (x )min ＝h (x 0)．又h (3)＝e －4，h (4)＝1＋e －5，h (4)＞h (3)， 所以当n ＝3时，a －b 取得最小值e －4，即a －b ≥e －4. …………8分（3）.由条件可得2()|ln 1|x x a x ϕ=+-,【以下所有f 换成ϕ】 ①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xa x x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立,)(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当e x =时，2min )(e e f y == …………9分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x xxa x x f -+=-='， （i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数,故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <2=e …………10分(ii)当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数,所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数,故当2ax =时，2ln 223min a a a y -=，且此时)()2(e f af <2=e …………11分 (iii)当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数，故当e x =时，2min )(e e f y == …………12分综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min 2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y …………13分所以当312a a +≥时,得02a <≤;当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时,无解； 当232e a ≥ （22a e ≥）时,得a ≤不成立.综上,所求a 的取值范围是02a <≤. ………14分。

广东省百校联盟2018届高三第二次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则：.本题选择A选项.2. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，故选C.3. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温的数据一览表.椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A. 最低温与最高温为正相关 B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前个月不是逐月增加，错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在月，正确；由表格可知月至月的月温差（最高温减最低温）相对于月至月，波动性更大，正确，故选B.4. 已知命题是的必要不充分条件；命题若，则，则下列命题为真命题的上（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由对数的性质可知：，则命题是真命题；由三角函数的性质可知：若，则：，且：，命题是真命题.则所给的四个复合命题中，只有是真命题.本题选择A选项.5. 在中，角的对边分别为，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有：，不妨设，结合余弦定理有：，求解关于实数的方程可得：，则：.本题选择B选项.6. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为，另两个侧面为直角三角形面积都为，可得这个几何体的表面积为，故选C.7. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度可得，令，得，再令，得，则在上的单调递增区间是，故选B.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，1不是质数，；，4不是质数，；，7是质数，；，10不是质数，；，13是质数，，，故输出的.选D.9. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查的几何意义：可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则，令，换元可得：，该函数在区间上单调递增，据此可得：，即目标函数的取值范围是.本题选择A选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10. 函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】为奇函数，图象关于原点对称，排除；当时，，排除；当时，，排除；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由通径公式有：，不妨设，分类讨论：当，即时，为钝角，此时；当，即时，应满足为钝角，此时：，令，据此可得：，则：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；...........................12. 已知函数，若成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则：，令，则，导函数单调递增，且，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合函数的单调性有：，即的最小值为.本题选择A选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设平面向量与向量互相垂直，且，若，则__________.【答案】【解析】由平面向量与向量互相垂直可得所以，又，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 在二项式的展开式中，第3项为，则__________.【答案】其中，结合题意有：，计算可得：，即：.15. 如图，是正方体的棱上的一点，且平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】不妨设正方体的棱长为，设，如图所示，当点为的中点时，，则平面，据此可得为直线与所成的角，在中，边长：，由余弦定理可得：.即异面直线与所成角的余弦值为.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是__________.【答案】【解析】点A在线段OM的中垂线上，又，所以可设，由的坐标代入方程有：解得：点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题（60分）17. 已知正项数列满足，数列的前项和满足. （1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)，.(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，利用前n项和与通项公式的关系可得的通项公式为.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列的前项和.试题解析：（1）因为，所以，，因为，所以，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以.（2）由（1）可知，所以.18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为，求随机变量的数学期望.【答案】(1)；(2)1.2.【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为；(2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量的数学期望为1.2.试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件,（1）设事件表示第一次烧制后恰好有一件合格，则.（2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以随机变量，所以.19. 如图，四边形是矩形，平面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合题意可证得平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的余弦值为. 试题解析：（1）证明；设交于，因为四边形是矩形，,所以,又，所以,因为,所以，又平面.所以，而，所以平面平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得,则,设平面的法向量，则，取，即设平面的法向量，则，取，即设平面与平面所成的二面角为，则由图可知二面角为钝角，所以.20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可求得，则椭圆的方程为.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线在轴上的截距的最大值为.试题解析：（1）因为，所以椭圆的方程为，把点的坐标代入椭圆的方程，得，所以，椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，联立方程组得，由，得，所以，所以由，得，令，所以，，即，当且仅当，即时，上式取等号，此时，，满足，所以的最大值为.21. 函数 .（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得，分类讨论可得：当时，在上递减，在和上递增，当时，在上递增.(2)由题意结合函数的性质可知：是方程的两根，结合所给的不等式构造对称差函数，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式.试题解析：函数的定义域为，（1）令，开口向上，为对称轴的抛物线，当时，①，即时，，即在上恒成立，②当时，由，得，因为，所以，当时，，即，当或时，，即，综上，当时，在上递减，在和上递增，当时，在上递增.（2）若函数有两个极值点且，则必有，且，且在上递减，在和上递增，则，因为是方程的两根，所以，即，要证又，即证对恒成立，设则当时，，故，所以在上递增，故，所以，所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，点上在，点为的中点，求点到直线距离的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数，即可得到，的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2），利用点到直线距离公式可得到直线的距离，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆，的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．（2）由已知得，设，则，直线：，点到直线的距离，所以，即到的距离的最小值为．23. 已知 .（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出的最小值为，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为而，所以.（2）因为，所以或，解得，所以的取值范围是.。

广州市执信中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 2． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80D ．S 21＝843． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝10，则输出的i ＝（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=15． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．6． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．C ．D ．37． 函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（ ）8． 函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A ．2sin(2)3y x π=+B ．22sin(2)3y x π=+C ．2sin()23x y π=-D ．2sin(2)3y x π=-9． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 10．某几何体的三视图如图所示，则此几何体不可能是（ ）A． B ． C． D．11．已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.12．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]A ．10B ．51C ．20D ．30二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，则S 6= ．14．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A．5- BC．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．15．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．1310 B ．3 C ．4 D ．2110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

广东省实验中学2018届高三上学期10月段测试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知．故本题答案选．2.等差数列中，，为等比数列，且，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的定义与性质，求出的值，再利用等比数列的性质求出的值．【详解】等差数列中，，又，所以，解得或（舍去），所以，所以．故选．【点睛】本题考查了等差与等比数列的性质与应用问题，考查了计算能力，是基础题目．3.已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.4.下面给出四种说法：①设、、分别表示数据、、、、、、、、、的平均数、中位数、众数，则；②在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于，表示回归的效果越好；③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；④设随机变量服从正态分布，则．其中不正确的是（）．A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】【分析】对于A，根据频率分布直方图判定；对于B，相关指数R2越接近1，表示回归的效果越好；对于C，设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），利用对称性可得结论；对于D，根据数据求出的平均数，众数和中位数即可判断；【详解】解：①将数据按从小到大的顺序排列为：、、、、、、、、、，中位数：；；这组数据的平均数是．因为此组数据中出现次数最多的数是，所以是此组数据的众数；则；②越接近于，表示回归的效果越好，正确；③根据频率分布直方图的意义，因为小矩形的面积之和等于，频率之和也为，所以有各小长方形的面积等于相应各组的频率；故③错；④∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∴．故④正确．故选．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．5.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．【详解】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为的圆柱的一半，．故选．【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.对于实数，若函数图象上存在点满足约束条件，则实数的最小值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形ABC，观察图形可得函数的图象与直线x﹣y+3＝0交于点（﹣1，2），当点A与该点重合时图象上存在点（x，y）满足不等式组，且此时m达到最小值，由此即可得到m的最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，其中，再作出指数函数的图象，可得该图象与直线交于点，因此，当点与重合时，图象上存在点满足不等式组，且此时达到最小值，即的最小值为．故选．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题．7.有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为．已知球的半径，则此圆锥的侧面积为（）．A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】由题意列方程求出圆锥的高h，再求出圆锥的母线长l，即可求出圆锥的侧面积．【详解】圆锥，是底面圆心，为球心，，∴，①如图①，，[在上]，∴，．②如图②，，∴，∴．故选．【点睛】本题考查了圆内接圆锥的侧面积问题，求出圆锥的高是关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．8.已知双曲线，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB的斜率k==1，即可求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），则x1+x2=24，y1+y2=30，由，两式相减得：=，则==，由直线AB的斜率k==1，∴=1，则=，双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率为，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的离心率公式，考查中点坐标公式，考查点差法的应用，考查直线的斜率，考查计算能力，属于中档题．9.在正方体中，，分别是棱，的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，则直线，的夹角为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图象，可得m即为CF，进而根据线面平行的判定定理和性质定理可得m∥n．【详解】如图所示：∵，分别是棱，的中点，故，则面即为平面与平面相交于，即直线，由，可得平面，故面与面相交于时，必有，即，即直线，的夹角为．故选．【点睛】本题考查的知识点是空间直线的夹角，线面平行的判定定理及性质定理，难度中档．10.已知函数，给出下列四个命题：①函数的图象关于直线对称；②函数在区间上单调递增；③函数的最小正周期为；④函数的值域为．其中真命题的个数是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于函数，由于，，∴，故的图象不关于直线对称，故排除①．在区间上，，，单调递增，故②正确．函数，，∴，故函数的最小正周期不是，故③错误．当时，，故它的最大值为，最小值为；当时，，综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．故选．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．11.在抛物线与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，则直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，．整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为．由几何概型知所求概率为．故本题答案选．12.若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】函数在(0,2)上存在两个极值点，等价于在(0,2)上有两个零点，令f′(x)=0,则，即，∴x−1=0或，∴x=1满足条件,且(其中x≠1且x∈(0,2)；∴,其中x∈(0,1)∪(1,2)；设t(x)=ex⋅x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)；则t′(x)=(x2+2x)e x>0，∴函数t(x)是单调增函数，∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)，∴a∈.本题选择D选项.点睛：2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，，则，，的大小是__________．【答案】【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得：a b，c log67．即可得出．【详解】解：a b，c log67．∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知平面向量，的夹角为，且，．若平面向量满足，则__________．【答案】【解析】由题可设,,设,由题,解得，.15.展开式中，常数项是__________．【答案】60【解析】解：因为展开式中，通项公式为，令x的次数为零可知常数项为60.16.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________．【答案】【解析】构造，则由题意可得：故数列是为首项，为公差的等差数列，，，以上个式子相加可得解得，则点睛：本题考查了等差数列的通项公式及数列的递推式的应用，考查了累加求和的方法，裂项求和方法的应用，解答本题的关键是熟练掌握通项公式的求法，考查了学生的推理能力和计算能力，属于中档题。

广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学（文）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求是）1.设全集，，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】,选C.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因为复数在复平面内对应的点分别为，所以，，故选B.3.已知命题，总有，则为（）．A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，总有【答案】B【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：，总有，则为：，使得．故选：B．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4.一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班名同学成绩的平均数为，乙班名同学成绩的中位数为，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，由，得，，故选C.5.已知，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式可得，从而化简所求即可得解．【详解】解：∵，∴，．故选．【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.函数在区间的图像大致为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.8.已知函数的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心可能为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由图可知,，，当时，，该对称中心为时，，当时，，所以对称中点为，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.9.已知等比数列中，，，成等比数列，设为数列的前项和，则等于（）．A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】因为，，成等差数列，，整理可得，，或，当时，则，当时，则，故选B.10.如图，网格纸上小正方形的长为，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体可以看作是三棱柱割出一个三棱锥形形成的，故11.已知函数是定义在上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】设在上是增函数，易得是偶函数，故选A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数与方程、函数与不等式、导数的应用，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先在上是增函数，易得是偶函数，故选A.12.已知正方形的边长为，是的中点，以点为圆心，长为半径为圆，点是该圆上的任一点，在的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】为原点建立如图所示的坐标系，则，设，以，故选D.【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其坐标运算运算、以及最值问题，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．本题解答的关键是将向量问题转化为解析几何问题，利用三角汉顺的有界性进行解答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置）13.已知，，，则__________．【答案】【解析】【分析】利用垂直关系得到值，利用坐标求模即可.【详解】解：由知，，所以，．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查垂直的坐标表示，及利用坐标求向量的模，属于基础题. 14.若，满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z,由图象可知当直线y=3x﹣z经过点(0,1)时，直线y=3x﹣z的纵截距-z最大，z最小，的最小值为3×0-1=-1.故填-1.15.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】双曲线的渐近线为y＝±x.直线x＋2y－1＝0的斜率为y＝－.因为y＝x与直线x＋2y－1＝0垂直，所以·＝－1，即b＝2a.所以c2＝a2＋b2＝5a2，即e2＝5，e＝.16.若函数的图像在处的切线与圆相离，则与圆的位置关系是__________．【答案】点P在圆内【解析】【分析】根据题意利用导数求出切线的斜率以及切点，进而求出切线方程，结合切线与圆相切，得到，即可得出结果.【详解】因为,所以;又因为切点为,所以切线的方程为即,所以圆心到直线的距离,所以，所以点P(a,b)在圆内.【点睛】本题主要考查点与圆位置关系，属于基础题型.三、解答题17.已知中，，，的对边分别是，，，且，．（）求角和的值．（）若，求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式、配角公式化简条件求出角B，再根据正弦定理及三角形内角关系将条件转化为关于角C的条件，进而得到的值；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形面积公式求的面积．试题解析：（1），即：所以或（舍），即，根据正弦定理可得：,经化简得：（2）根据余弦定理及题设可得：解得：18.某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析，将名学生编号为，，，，采用系统抽样的方法等距抽取名学生，将名学生的两科成绩（单位：分）绘成折线图如下：（）若第一段抽取的学生编号是，写出第五段抽取的学生编号．（）在这两科成绩差超过分的学生中随机抽取人进行访谈，求人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率．（）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由.【答案】（1）是086（2）（3）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）算出组距是20，因此第5段抽取的编号为，即086；（Ⅱ）这两科成绩差超过20分的学生共5人，其中语文成绩高于英语成绩的共3人，记为a，b，c，另2人记为1，2.用列举法可得任取2人的基本事件个数，也能得出语文成绩高于英语成绩所含基本事件的个数，由概率公式可得概率；（Ⅲ）根据折线图可以估计该校高二年级语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定.试题解析：（Ⅰ）第五段抽取的编号是086号；（Ⅱ）记：“2人成绩均是语文成绩高于英语成绩”为事件A，这两科成绩差超过20分的学生共5人，其中语文成绩高于英语成绩的共3人，记为a，b，c，另2人记为1，2.在5人中随机取2人共有：（a，b）（a，c）（a，1）（a，2）（b，c）（b，1）（b，2）（c，1）（c，2）（1，2）10种取法；其中2人成绩均是语文成绩高于英语成绩共3种.由古典概型公式得：所以2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率为；（III）根据折线图可以估计该校高二年级语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定.其他结论合理即可得分．19.如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为等腰直角三角形，．（）证明：为直角三角形．（）若四棱锥的体积为，求的面积．【答案】（1），，平面平面，平面平面，平面，平面，，在等腰直角三角形中，，平面，平面，，为直角三角形；（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，去证明平面即可；（2）根据已知的边长，求出其它边长，根据AB的长度表示四棱锥底面积，根据体积求出AB长度，进而求出的面积.【详解】（1），，平面平面，平面平面，平面，平面，，在等腰直角三角形中，，平面，平面，，为直角三角形.（2）如图，过点作.平面平面，平面平面，平面，故四棱锥以为高.在等腰直角三角形中，，，由（1）可知平面，又平面，则，，.【点睛】本题考查线线垂直的证明方式，可由线面垂直推导线线垂直，已知体积可利用其求边长、高等线段长度，注意结合平面几何的性质.20.已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，．（）求，的标准方程．（）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．【答案】（1），（2）或．【解析】【分析】(1)根据题意布列关于待定系数的方程组，解之即可;(2)设直线l：y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线l的斜率k的取值范围．【详解】解：（）由题意抛物线的顶点为原点，所以点一定在椭圆上，且，则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于，所以也在椭圆上，，，故椭圆标准方程，所以点、在抛物线上，且抛物线开口向右，其方程，，，所以方程为．（）①当直线斜率不存在时，易知三点共线，不符题意．②当斜率存在时，设，，，，，，令，，，或，，，，,,,，令，即，或．综上：或．【点睛】本题考查抛物线、椭圆的标准方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，考查抛物线、椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21.已知函数．（）讨论的单调性．（）若，，求的取值范围．【答案】(1) 当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】试题分析：（1）对函数求导，再根据分类讨论，即可求出的单调性；（2）将化简得，再根据定义域，对分类讨论，时，满足题意，时，构造，求出的单调性，可得的最大值，即可求出的取值范围.试题解析：（1），当时，，所以在上递增，当时，令，得，令，得；令，得，所以在上递增，在上递减.（2）由，得，因为，所以，当时，满足题意，当时，设，所以在上递增，所以，不合题意，当时，令，得，令，得，所以，则，综上，的取值范围是.点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22.在极坐标系中，曲线的方程为，点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．（）求直线的参数方程的标准式和曲线的直角坐标方程．（）若直线与曲线交于，两点，求的值．【答案】（1）（为参数），；（2）.【解析】试题分析：（1）利用条件，求得直线的参数方程，把曲线的方程为化为直角坐标方程；（2）联立方程，借助韦达定理，表示目标，得到结果.试题解析：（1）∵化为直角坐标可得，，∴直线的参数方程为：∵，∴曲线的直角坐标方程：，得：，∴，，∴．考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．23.已知，不等式的解集是．（）求的值．（）若存在实数解，求实数的取值范围．【答案】(1) ,(2) .【解析】试题分析：（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；（2）根据不等式的性质求出最小值，得到关于k的不等式，解出即可．解析：（1）由，得，即，当时，，所以，解得；当时，，所以无解.所以.(2)因为，所以要使存在实数解，只需，所以实数的取值范围是.点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，以及函数恒成立求参的方法．。

广东省广州实验中学、执信中学联考2018届高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、填空题1．（5分）设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（）A．{﹣2，0} B．{﹣2，0，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，2} 2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），则=（）A．B．C．D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x≥1，则¬p为（）A．∃x0≤0，使得B．∃x0＞0，使得C．∃x0＞0，使得D．∀x≤0，总有4．（5分）一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x﹣y=（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣45．（5分）已知sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．6．（5分）函数y=sin x+ln|x|在区间[﹣3，3]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．248．（5分）已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g（x）=A cos（φx+ω）图象的一个对称中心可能为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等比数列{a n}中，3a2，2a3，a4成等差数列，设S n为数列{a n}的前n项和，则等于（）A．B．3或C．3 D．10．（5分）如图，网络纸上小正方形的长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，设函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意x＞0都有2f（x）+xf'（x）＞0成立，则（）A．4f（﹣2）＜9f（3）B．4f（﹣2）＞9f（3）C．2f（3）＞3f（﹣2）D．3f（﹣3）＜2f（﹣2）12．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．（5分）已知，，，则=14．（5分）若x，y满足，则z=3x﹣y的最大值为．15．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，则曲线的离心率等于．16．（5分）若函数的图象在x=0处的切线l与圆C：x2+y2=1相离，则点P（a，b）与圆C的位置关系是．三、解答题17．（14分）已知△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且2cos2=sin B，a=3c．（Ⅰ）求角B和tan C的值；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积．18．（14分）某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析．将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩（单位：分）绘成折线图如下：（Ⅰ）若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；（Ⅱ）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；（Ⅲ）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由．19．（16分）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别为（3，﹣2），（﹣2，0），（4，﹣4），（，）．（Ⅰ）求C1，C2的标准方程；（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l与椭圆C1交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=﹣ax2+ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]21．（10分）在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2cos2θ=9，点P（2，），以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线OP与曲线C交于A、B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]22．已知f（x）=|ax﹣1|，不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}．（1）求a的值；（2）若存在实数解，求实数k的取值范围．【参考答案】一、填空题1．C【解析】全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则A∩B={﹣2，0}，∴∁U（A∩B）={﹣1，1，2}．故选：C．2．B【解析】由复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），得z1=1﹣i，z2=﹣2+i，则=．故选：B．3．C【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x≥1，则¬p 为∃x0＞0，使得．故选：C．4．C【解析】已知甲班6名同学成绩的平均数为82，即80+（﹣3﹣8+1+x+6+10）=82，即（6+x）=2，则6+x=12，x=6，乙班6名同学成绩的中位数为77，若y=0，则中位数为=76，不满足条件．若y＞0，则中位数为（70+y+82）=77，即152+y=154，则y=2，则x﹣y=6﹣2=4，故选：C5．C【解析】∵sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，∴sinθ=﹣2cosθ，∴==．故选：C．6．A【解析】设f（x）=sin x+ln|x|，当x＞0时，f（x）=sin x+ln x，f′（x）=cos x+，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，1）上单调递增，排除B；又当x=1时，f（1）=sin1＞0，排除D；∵f（﹣x）=sin（﹣x）+ln|﹣x|=﹣sin x+ln|x|≠±f（x），∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，排除C；故选A．7．C【解析】该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C．8．C【解析】根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2，=2（6+2），∴ω=．再根据五点法作图可得•6+φ=π，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+）．则函数g（x）=A cos（φx+ω）=2cos（x+）图象的一个对称中心可能（﹣，0），故选：C．9．B【解析】设等比数列{a n}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，∴2×2a3=3a2+a4，∴4a2q=3，化为q2﹣4q+3=0，解得q=1或3．q=1时，==3．q=2时，==．故选：B．10．A【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为六面体ABCEFG，其体积V=．故选：A．11．A【解析】根据题意，令g（x）=x2f（x），其导数g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），又由对任意x＞0都有2f（x）+xf'（x）＞0成立，则当x＞0时，有g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]＞0成立，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），则有g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=x2f（x）=g（x），即函数g（x）为偶函数，则有g（﹣2）=g（2），且g（2）＜g（3），则有g（﹣2）＜g（3），即有4f（﹣2）＜9f（3）；故选：A．12．D【解析】由题意，建立平面直角坐标系，如图则A（0，0），C（2，2），D（0，2），E（2，1），P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，=（x，y），=（2，﹣1），所以=2x﹣y=z，则y=2x﹣z，当此直线与圆相切时使得在y轴的截距取得最值，所以，解得z=2，所以的取值范围是[2﹣，2+]；故选D．二、填空题13．（﹣5，5）【解析】根据题意，，，若，则•=x+6=0，解可得x=﹣6，则，，则=（﹣5，5）；故答案为：（﹣5，5）．14．2【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距小，此时z最大，由得A（2，4），z=3×2﹣4=2，则z=3x﹣y的最大值为：2．故答案为：2．15．【解析】∵双曲线的渐近线方程为．又直线x+2y﹣1=0可化为，可得斜率为．∵双曲线的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，∴，得到．∴双曲的离心率e==．故答案为．16．点P在圆内【解析】由题意可得：函数，所以，所以切线的斜率为．根据题意可得切点为（0，），所以切线的方程为：．所以圆心（0，0）到直线的距离为：d=．因为切线l与圆C：x2+y2=1相离，所以，即，所以点P（a，b）与圆C的位置关系是点P在圆内．故答案为：点P在圆内．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵2cos2=sin B，∴1+cos B=sin B∴2（sin B﹣cos B）=1，即：sin（B﹣）=所以B﹣=或（舍），即B=，∵a=3c，根据正弦定理可得：sin A=3sin C，∵sin（B+C）=sin A，∴sin（+C）=3sin C，经化简得：cos C=sin C，∴tan C=．（Ⅱ）∵B=，∴sin B=，cos B=，根据余弦定理及题设可得：，解得：c=，a=，∴S△ABC=ac sin B==．18．解：（Ⅰ）第一段抽取的学生编号是006，间隔为20，第五段抽取的学生编号为086；（Ⅱ）这两科成绩差超过20分的学生，共5人，语文成绩高于英语成绩，有3人，从中随机抽取2人进行访谈，有=10种，2人成绩均是语文成绩高于英语成绩，有3种，故2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率是；（Ⅲ）根据折线图，可以估计该校高二年级学生的语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定．19．解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px，（p≠0），则，把四个点（3，﹣2），（﹣2，0），（4，﹣4），（，）分别代入验证，得到（3，﹣2），（4，﹣4）在抛物线上，∴2p==4，∴抛物线C2的标准方程为：y2=4x．设椭圆C1的标准方程为=1（a＞b＞0），把（﹣2，0），（）分别代入，得：，解得a=2，b=1，∴椭圆C1的标准方程为=1．（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l与椭圆C1交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），直线x=0不满足条件，设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，∵△=（16k）2﹣4×12（1+4k2）＞0，∴k∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞），①，，∵∠AOB为锐角，∴=x1x2+y1y2＞0，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，∴（1+k2）×+2k×+4＞0，解得﹣2＜k＜2．②由①②，得﹣2＜k＜﹣或＜k＜2．∴直线l的斜率k的取值范围是（﹣2，﹣）∪（，2）．20．解：（1）由f（x）=﹣ax2+ln x，得f′（x）=﹣2ax+=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得=﹣＜0，=＞0，∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（2）当a≤0时，若x∈（1，+∞），则f（x）+a=﹣ax2+ln x+a=a（1﹣x2）+ln x＞0，满足题意；当a＞0时，由（1）知，当，即a时，f（x）在（1，+∞）上为减函数，此时f（x）max=f（1）=﹣a，﹣a＞﹣a不成立；当，即0＜a＜时，f（x）在（1，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，此时=，由，得1+ln2a＜2a，令g（a）=1+ln2a﹣2a，则g′（a）=，则g（a）在（0，）上为增函数，∴g（a）＜g（）=0，即1+ln2a＜2a恒成立，∴0＜a＜．综上，若∃x∈（1，+∞），使得f（x）＞﹣a，a的取值范围为a．21．解：（1）∵点P（2，），∴化为直角坐标得P（3，），，∴直线OP的参数方程为，∵曲线C的方程为ρ2cos2θ=9，即ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=9，∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2=9．（2）直线OP的参数方程为代入曲线C，得：t2+4t﹣6=0，∴，∴===．22．解：（1）由|ax﹣1|≤3，得﹣3≤ax﹣1≤3，即﹣2≤ax≤4，当a＞0时，，所以，解得a=2；当a＜0时，，所以无解，所以a=2．（2）因为，所以要使存在实数解，只需，所以实数k的取值范围是．。

2018届高三年级华附、省实、深中、广雅四校联考数学（理科）本试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1． 集合}065|{2≥+-=x x x A ，}012|{>-=x x B ，则=B A IA ．),3[]2,(+∞-∞YB ．)3,21(C ．]3,21(D ．),3[]2,21(+∞Y2． i 为虚数单位，则复数iiz -=2在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 若实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+,1,23,6x y x y x ，则y x 32+的最大值为A ．21B ．17C ．14D ．54． 已知两个单位向量b a ,的夹角为︒120，R k ∈，则||kb a -的最小值为A ．43 B ．23C ．1D ．235． 秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为 A ．32 B ．64 C ．65 D ．1306． 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．32 B ．1 C ．34D ．38 7． 已知函数3431)(23+++=x x x x f ，若函数b a x f y ++=)(为奇函数，则b a +的值为 A ．5- B ．2-C ．0D ．28． 已知函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象的一个对称中心为)0,2(π，且21)4(=πf ，则ω的最小值为 A ．32 B ．1C ．34 D ．29． 已知关于x 的方程m x x =++-)2sin()sin(ππ在区间)2,0[π上有两个实根21,x x ，且π≥-||21x x ，则实数m 的取值范围为A ．)1,(5-B ．]1,5(-C ．)5,1[D ．)1,0[10．已知抛物线)0(2:2>=p px y E 的焦点为F ，O 为坐标原点，点)9,2(pM -，)1,2(--pN ，连结OM ，ON 分别交抛物线E 于点B A ,，且F B A ,,三点共线，则p 的值为A ．1B ．2C ．3D ．411． e 为自然对数的底数，已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=1,1ln 1,18)(x x x xx f ，则函数ax x f y -=)(有唯一零点的充要条件是A ．1-<a 或21e a =或89>aB ．1-<a 或2181ea ≤≤ C ．1->a 或8912<<a eD ．1->a 或89>a12．在三棱锥ABC P -中，2====BC AC PB PA ，32=AB ，1=PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为A ．34π B ．π4C ．π12D ．352π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图是一组数据),(y x 的散点图，经最小二乘法计算，y 与x 之间的线性回归方程为1ˆˆ+=x b y，则=b ˆ ． 14．4)1)(11(-+-x xx 展开式中3x 的系数为 ． 15．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为 ． 16．如图在平面四边形ABCD 中，︒=∠45A ，︒=∠60B ，︒=∠150D ，42==BC AB ，则四边形ABCD 的面积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，)0(1>=λλa ，).(12*1N n S a n n ∈+=+(Ⅰ)求λ的值； (Ⅱ)求数列}1{1+n n a a 的前n 项和.n T依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．(Ⅰ)以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；(Ⅱ)该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：方案 防控等级 费用（单位：万元）方案一 无措施 0 方案二 防控1级灾害 40 方案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由． 19．（本小题满分12分）已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为菱形，PB PD =，H 为PC 上的点，过AH的平面分别交PD PB ,于点N M ,，且//BD 平面.AMHN (Ⅰ)证明：PC MN ⊥；(Ⅱ)当H 为PC 的中点，AB PC PA 3==，PA 与平面ABCD 所成的角为︒60，求二面角N AM P --的余弦值．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为21，圆)0(:222>=+r r y x O 与x 轴交于点N M 、，P 为椭圆E 上的动点，a PN PM 2||||=+，PMN ∆面积最大值为.3 (Ⅰ)求圆O 与椭圆E 的方程；(Ⅱ)圆O 的切线l 交椭圆E 于点B A 、，求||AB 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数1)61()(+--=xe ax x f ，其中Λ718.2=e 为自然对数的底数，常数.0>a (Ⅰ)求函数)(x f 在区间),0(+∞上的零点个数；(Ⅱ)函数)(x F 的导数)()()(x f a e x F x-='，是否存在无数个)4,1(∈a ，使得a ln 为函数)(x F 的极大值点？说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1=+y x C 与曲线⎩⎨⎧=+=.sin 2,cos 22:2ϕϕy x C （ϕ为参数，)2,0[ πϕ∈）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)写出曲线21,C C 的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，已知点A 是射线)0(:≥=ραθl 与1C 的公共点，点B 是l 与2C的公共点，当α在区间]2,0[π上变化时，求||||OA OB 的最大值． 23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数|||1|)(2a x x x f ++-=，其中.R a ∈ (Ⅰ)当2=a 时，求不等式6)(≥x f 的解集；(Ⅱ)若存在R x ∈0，使得a x f 4)(0<，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．0.8； 14．1； 15．)5,1(； 16．.36-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17．（本小题满分12分）[解析](Ⅰ)因为n n n S S a -=++11，代入121+=+n n S a 可得：121+=-+n n n S S S ，……2分整理可得21)1(+=+n n S S ，因为0>n S ，所以11=-+n n S S ，……3分 所以数列}{n S 是首项为λ，公差为1的等差数列， ……4分 所以1)1(-+=-+=λλn n S n ，2)1(-+=λn S n ，……5分 当2≥n ，3221-+=-=-λn S S a n n n ，……6分 当1=n ，λ=1a ，……7分因为，21=-+n n a a ，所以，若数列}{n a 为等差数列，则有21212=-+=-λλa a ，解得.1=λ……8分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得12+=n a n ， 所以)321121(21)32)(12(111+-+⨯=++=+n n n n a a n n ，……10分所以13221111++++=n n n a a a a a a T Λ，即.64161)32112171515131(21+-=+-+++-+-⨯=n n n T n Λ ……12分18．（本小题满分12分）[解析](Ⅰ)依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件1A ，“水位在40米至50米之间”为事件2A ，“水位大于50米”为事件3A ，它们发生的概率分别为：65.05)06.005.002.0()(1=⨯++=A P ，30.05)02.004.0()(2=⨯+=A P ， .05.0501.0)(3=⨯=A P……3分记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ， 所以1.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，.6.0)(3=B P……4分记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件.B)()()()()()()()()()(332211332211B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B P ⋅+⋅+⋅=++=155.060.005.020.030.010.065.0=⨯+⨯+⨯=．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155，……6分(Ⅱ)以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X （万元）的取值为：1000,100,500--，由(Ⅰ)知81.0)500(1==X P ，155.0)100(1=-=X P ，035.0)1000(1=-=X P ， 1X 的分布列为，则该企业在8月份的利润期望5.354035.01000155.010081.0500)(1=⨯-⨯-⨯=X E （万元）……8分选择方案二，则2X （万元）的取值为：1040,460-，由(Ⅰ)知965.0)460(2==X P ，035.0)1040(2=-=X P ，2X 的分布列为，P0.965 0.035则该企业在8月份的平均利润期望5.407035.0)1040(965.0460)(2=⨯-+⨯=X E（万元）……10分选择方案三，则该企业在8月份的利润为：400100500)(3=-=X E （万元）……11分由于)()()(132X E X E X E >>，因此企业应选方案二……12分19．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：连结AC 交BD 于点O ，连结.PO因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为BD AC 、的中点， 因为PB PD =，所以BD PO ⊥，因为O PO AC =I 且⊂PO AC 、平面PAC ，所以⊥BD 平面PAC ，因为⊂PC 平面PAC ，所以PC BD ⊥， 因为//BD 平面AMHN ，且平面I AMHN 平面MN PBD =，所以MN BD //， 所以.PC MN ⊥ ……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC BD ⊥且BD PO ⊥，因为PC PA =，且O 为AC 的中点， 所以AC PO ⊥，所以⊥PO 平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以︒=∠60PAO ，所以PA AO 21=，PA PO 23=， 因为AB PA 3=，所以.63PA BO =……8分以OP OB OA ,,分别为z y x ,,轴，建立如图所示空间直角坐标系． 记2=PA ，所以),0,0,1(),0,0,0(A O),0,33,0(),0,0,1(),0,33,0(--D C B ),23,0,21(),3,0,0(-H P所以),23,0,23(),0,332,0(-==AH DB ).3,0,1(),0,33,1(-=-=AP AB记平面AMHN 的法向量为),,(1111z y x n =，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011AH n DB n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=023230332111z x y ，令11=x ，解得01=y ，31=z ，所以，)3,0,1(1=n ，记平面PAB 的法向量为),,(2222z y x n =，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-030332222z x y x ， 令12=x ，解得32=y ，332=z ，所以，)33,3,1(2=n ， ……11分记二面角N AM P --的大小为θ，所以，.1339||||||,cos |cos 212121==><=n n n n n n θ所以二面角N AM P --的余弦值为1339．……12分20．（本小题满分12分）[解析](Ⅰ)由题意2122=-a b a ，解得，a b 23=，①，……1分因为，a PN PM 2||||=+，所以，点N M 、为椭圆的焦点，所以，222241a b a r =-=， ……2分设),(00y x P ，所以b y b ≤≤-0，因为，||21||00y a y r S PMN =⋅=∆， 当b y =||0时，321)(max ==∆ab S PMN ， ……3分 代入①解得2=a ，所以，3=b ，1=r ，……4分所以，圆O 的方程为122=+y x ，椭圆E 的方程为.13422=+y x ……5分(Ⅱ)(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为m kx y +=，),(11m kx x A +，),(22m kx x B +，因为，直线l 与圆O 相切，所以有：11||2=+km ，即221k m +=，②……6分联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,13422m kx y y x ，消y 可得：01248)34(222=-+++m kmx x k ， 因为21,x x 为此方程的根，0)23(48)34(48222>+=-+=∆k m k ，所以，348221+-=+k kmx x ，341242221+-=k m x x ③， 因为，2122122124)(1||1||x x x x k x x k AB -++=-+=，代入③式可得：3434134||2222+-+⋅+⋅=k m k k AB……8分代入②式可得：43)41)43(3)(4143(334)23)(1(34||222222+-+++⋅=+++⋅=k k k k k k AB所以，343121)43(11613||222++⋅++-⋅=k k AB ， 令4312+=k t ，所以，3443102≤+=<k t ，所以，3211613||2+⋅+-⋅=t t AB ，340≤<t ， 因为，4)4(1613||2+--⋅=t AB ，所以，364||3≤<AB……11分(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1±=x ，解得：)23,1(),23,1(μB A ±，或)23,1(),23,1(μ-±-B A ，所以，.3||=AB综上，||AB 的取值范围为]364,3[ ……12分21．（本小题满分12分）[解析](Ⅰ)xe a x xf )6()(-='……1分当60a x <<时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；当6ax >时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；……2分因为06)0()6(<-=<a f a f ，01)61(>=+a f ，所以存在)61,6(0aa x +∈，使0)(0=x f ；且当00x x <<时，0)(<x f ，当0x x >时，.0)(>x f 故函数)(x f 的有1个零点，即.0x ……4分(Ⅱ)（法一）当1>a 时，0ln >a ．因为当)ln ,0(a x ∈，0<-a e x；当),(ln +∞∈a x ，.0>-a e x由(Ⅰ)知，当),0(0x x ∈，0)(<x f ；当),(0+∞∈x x ，.0)(>x f 下证：当),1(e a ∈时，0ln x a <，即证.0)(ln <a f16ln 1)61(ln )(ln 2+--=+--=a a a a a a a a f ，记16ln )(2+--=x x x x x g ，],1[e x ∈……6分3ln )(x x x g -='，033)(>-=''x xx g ，所以)(x g '在),1(e 单调递增，由031)1(<-='g ，031)(>-='ee g ，……7分所以存在唯一零点),1(0e t ∈，使得0)(0='t g ，且),1(0t x ∈时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；),(0e t x ∈时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增．……8分 当),1(e x ∈时，)}.(),1(max{)(e g g x g <……9分由061)1(<-=g ，066)(2<-=e e g ，得当),1(e x ∈时，.0)(<x g 故0)(ln <a f ，.ln 00x a <<……11分当a x ln 0<<时，0<-a e x，0)(<x f ，0)()()(>-='x f a e x F x，)(x F 单调递增；当0ln x x a <<时，0>-a e x，0)(<x f ，0)()()(<-='x f a e x F x，)(x F 单调递减．所以存在)4,1(),1(⊂∈e a 时，a ln 为)(x F 的极大值点．……12分(Ⅱ)（法二）因为当)ln ,(a x -∞∈，0<-a e x；因为当),(ln +∞∈a x ，.0>-a e x由(Ⅰ)知，当),(0x x -∞∈，0)(<x f ；因为当),(0+∞∈x x ，0)(>x f ．（0x 的意义同(Ⅰ)）存在无数个)4,1(∈a ，使得a ln 为函数)(x F 的极大值点， 即存在无数个)4,1(∈a ，使得0ln x a <成立，①……6分由(Ⅰ)，问题①等价于，存在无数个)4,1(∈a ，使得0)(ln <a f 成立，因为，16ln 1)61(ln )(ln 2+--=+--=a a a a a a a a f ， 记16ln )(2+--=x x x x x g ，)4,1(∈x……7分3ln )(xx x g -='，)4,1(∈x ，因为，033)(>-=''xx x g ，所以)(x g '在)2,23(单调递增，由02123ln )23(<-='g ，0322ln )2(>-='g ，所以存在唯一零点)2,23(0∈t ，使得0)(0='t g ，且),23(0t x ∈时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；且)2,(0t x ∈时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；所以，]2,23[∈x 16ln )())((200000min +--==t t t t t g x g ，②……9分由0)(0='t g ，可得3ln 00t t =，代入②式可得16)())((0200min +-==t t t g x g ，当)2,23(0∈t ，081216)3(16)(200200<-≤--=+-=t t t t g ， ……11分所以，必存在)2,23(∈x ，使得0)(<x g ，即对任意)2,23(∈a ，0)(ln <a f 有解，所以，对任意)2,23(∈a ，函数)(x F 存在极大值点为.ln a……12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）[解析] (Ⅰ)曲线1C 的极坐标方程为1)sin (cos =+θθρ，……3分即.22)4sin(=+πθρ……3分曲线2C 的普通方程为4)2(22=+-y x ，即.0422=-+x y x 曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知θθρsin cos 1||+==A OA ，θρcos 4||==B OB ，……8分)42sin(222)2sin 2cos 1(2)sin (cos cos 4||||παααααα++=++=+=OA OB ……10分由20πα≤≤知45424ππαπ≤+≤，当242ππα=+，即8πα=时，||||OA OB 有最大值.222+……12分23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）[解析](Ⅰ)当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤<--≤--=++-=.1,12,12,3,2,12|2||1|)(x x x x x x x x f⎩⎨⎧≥---≤⇔≥61226)(x x x f 或⎩⎨⎧≥<≤-6312x 或276121-≤⇔⎩⎨⎧≥+≥x x x 或25≥x ……4分因此不等式6)(≥x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2527x x x 或……6分(Ⅱ)1|1||)()1(||||1|)(2222+=+=+--≥++-=a a a x x a x x x f ， 且1)1(2+=a f ，所以.1)(2min +=a x f ……10分存在R x ∈0，使得a x f 4)(0<等价于.32320141422+<<-⇔<+-⇔+>a a a a a所以实数a 的取值范围是).32,32(+-……12分。

广东省百校联盟2018届高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．复数满足()()11z i i +-=，则z = （ ）A.2 B.3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】由题意可得： 1112i z i i ++==-，则： 2211112,22222z i z ⎛⎫⎛⎫=-∴=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项.2．已知(){}2|log 31A x y x ==-， {}22|4B y x y =+=，则A B ⋂=（ ） A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为(){}2|log 31A x y x ==-1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{}22|4B y x y =+=[]12,2,,23A B ⎛⎤=-∴⋂= ⎥⎝⎦，故选C.3．下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C o的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ） A. 最低温与最高温为正相关 B. 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D. 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加， B 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月， C 正确；由表格可知1 月至4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至10 月，波动性更大， D 正确，故选B. 4．已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若3sin x =2cos2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】由对数的性质可知： 222log 4log 5=<，则命题p 是真命题；由三角函数的性质可知：若3sin 3x =，则： 2231sin 3x ==⎝⎭， 且： 211cos212sin 1233x x =-=-⨯=，命题q 是真命题.则所给的四个复合命题中，只有p q ∧是真命题.本题选择A 选项.5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin ,5A B c ==，且5cos 6C =，则a =（ ） A. 22 B. 3 C. 32 D. 4 【答案】B【解析】由正弦定理结合题意有： 3a b =，不妨设(),30b m a m m ==>，结合余弦定理有： 222222955cos 266a b c m m C ab m +-+-===， 求解关于实数m 的方程可得： 1m =，则： 33a m ==.本题选择B 选项.6．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 84225++B. 64245++C. 62225++D. 82225++ 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为放在正方体的四棱锥E ABCD -，如图，正方体的边长为2，该三棱锥底面为正方形，两个侧面为等腰三角形，面积分别为2,22，5 ，可得这个几何体的表面积为62225+ C. 7．将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线2C ： ()y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A. 5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】将曲线1C ： sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度可得()522266g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令5222262k x k πππππ-≤+≤+，得()236k x k k Z ππππ-≤≤-∈，再令0k =，得236x ππ-≤≤-，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选B. 8．执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）A. 7B. 10C. 13D. 16 【答案】D【解析】1i =，1不是质数， 0114S =-=-<； 4i =，4不是质数， 1454S =--=-<； 7i =，7是质数， 5724S =-+=<； 10i =，10不是质数， 21084S =-=-<； 13i =，13是质数， 81354S =-+=<， 16i =，故输出的16i =.选D.9．设,x y 满足约束条件220{260 20x y x y y --≤+-≥-≤，则2y xz x y=-的取值范围是（ ） A. 7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 72,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 77,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查yx的几何意义： 可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，则1,14y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令y t x =，换元可得： 12z t t =-，该函数在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，据此可得： min max 174,21122z z =-=-=-=， 即目标函数的取值范围是7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 本题选择A 选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．10．函数()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】()()()2,2x xe ef x f x f x x x ---==-∴+-Q 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当()0,1x ∈时， ()()()021x xe ef x x x --=<++-，排除B ；当()1,x ∈+∞时， ()0f x >，排除C ；故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点， D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A. (B.C.)2 D. ()⋃+∞【答案】D【解析】由通径公式有： 22b AB a =，不妨设()22,,,,0,b b A c B c D b a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分类讨论：当2b b a >，即1ba <时， DAB ∠为钝角，此时1e <<当2b b a >，即e >ADB ∠为钝角，此时： 442222220,2b b DA DB c b a b a a ⋅=-+<∴+<u u u v u u u v ，令22b t a=，据此可得： 2210,1t t t -->∴>则： e >本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数()()231,ln 42x xf x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A. 1ln22+B. ln2C. 12ln22+ D. 2ln2【答案】A 【解析】设()231ln 042m nek k -=+=>，则： 143ln ,222k k m n e -=+=， 令()14ln 3222k k h k n m e-=-=--，则()141'22k h k e k-=-， 导函数()'h k 单调递增，且1'04h ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则函数()14ln 3222k k h k e-=--在区间10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 结合函数的单调性有： ()min11ln242h k h ⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎣⎦⎝⎭，即n m -的最小值为1ln22+. 本题选择A 选项.二、填空题13．设平面向量m v 与向量n v 互相垂直，且()211,2m n -=-v v ，若5m =v ，则n =v__________． 【答案】5【解析】由平面向量m v 与向量n v 互相垂直可得0,m n ⋅=v v 所以()2222125,4125m n m n -=∴+=v vv v，又5,5m n =∴=v v，故答案为5.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=v v v v ，二是1212a b x x y y ⋅=+vv ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a b θ⋅=v v v v （此时a b ⋅v v 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a v 在b v 上的投影是a b b⋅v v v ；（3）,a bv v 向量垂直则0a b ⋅=vv ;(4)求向量ma nb +vv的模（平方后需求a b ⋅vv ）.14．在二项式6⎫的展开式中，第3项为120，则x = __________. 【答案】2【解析】结合二项式定理的通项公式有：()()66216611222rrrrxr r r x T C C t --+-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中20rt =>，结合题意有：()2262262120C t-⨯=，计算可得： 24t =，即： 24,2xx =∴=.15．如图， E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CF ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为__________.【答案】15 【解析】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设11B C BC O ⋂=，如图所示，当点E为11C D 的中点时， 1BD OE P ，则1BD P 平面1B CE ， 据此可得OEC ∠为直线1BD 与CE 所成的角， 在OEC V 中，边长： 5,2,3EC OC OE ===， 由余弦定理可得： 15cos 5235OEC ∠==⨯. 即异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为155.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点， O 为坐标原点，若,A B 是以点()0,8M 为圆心， OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是__________． 【答案】23【解析】,MA OA =∴Q 点A 在线段OM 的中垂线上， 又()0,8M ，所以可设(),4A x ，由0tan30,4x x A ⎫=∴=∴⎪⎭的坐标代入方程22x py =有： 16243p =⨯ 解得： 2.3p = 点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题17．已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+.（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1) n a n =， 2n b n =.(2) ()21n nT n =+.【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列，则n a n =，利用前n 项和与通项公式的关系可得{}n b 的通项公式为2n b n =.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和()21n nT n =+. 试题解析：（1）因为2211n n n n a a a a +++=-，所以， ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项， 1为公差的等差数列， 所以n a n =，当2n ≥时， 12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()111111111222334121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 18．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143,,255，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为412,,523. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.【答案】(1)1350；(2)1.2. 【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为1350； (2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量X 的数学期望为1.2. 试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则()1121421131325525525550P E =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25p =， 所以随机变量()3,0.4X B ~， 所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.19．如图，四边形ABCD 是矩形， 33,3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,6ABCD PE =.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 55-. 【解析】试题分析：(1)由题意结合题意可证得AC ⊥平面PBE ，结合面面垂直的判断定理可得平面PAC ⊥平面PBE ；(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角A PB C --的余弦值为5. 试题解析：（1）证明；设BE 交AC 于F ，因为四边形ABCD 是矩形， 33,3,2AB BC DE EC ===, 所以3,CE BCCE BC AB==, 又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆~∆∠=∠,因为2BEC ACE ACB ACE π∠=∠=∠+∠=,所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD .所以AC PE ⊥，而PE BE E ⋂=，所以平面PAC ⊥平面PBE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得()()()()3,23,0,3,3,0,0,3,0,0,0,6A B C P -,则()()60,33,0,3,3,6,,0,13AB BP CB ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v ,设平面APB 的法向量()1111,,n x y z =u v，则1111330{3360y x y z =--+=，取1116,0,1x y z ===，即16,0,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u v 设平面BPC 的法向量()2222,,n x y z =u u v，则222230{3360x x y z =--+=，取2110,2,1x y z ===，即()10,2,1n =u v设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ，则1212125cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅u v u u vu v u u v u v u u v 由图可知二面角为钝角，所以5cos 5θ=-.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长是短轴长的22且椭圆C 经过点22,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点， 22MN =l 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【答案】(1) 2218x y +=.(2)【解析】试题分析：(1)结合题意可求得221,8b a ==，则椭圆的方程为2218x y +=.(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线l 在y轴上的截距的最大值为试题解析：（1）因为a =，所以椭圆的方程为222218x y b b+=，把点A ⎛⎝⎭的坐标代入椭圆的方程，得221118b b +=， 所以221,8b a ==，椭圆的方程为2218x y +=. （2）设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+，联立方程组22{ 1 8x y y kx m+==+ 得()2221816880k x kmx m +++-=，由()()222256321180m m k --+>，得2218m k <+，所以21212221688,1818km m x x x x k k --+==++，所以MN ====()()()2222813441k k m k +-=+， 令221(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以223284494t t m t-+-=，249218214m t t ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭m ≤当且仅当4984t t=，即8t =时，上式取等号，此时2k =(2738m -=，满足2218m k <+，所以m21．函数()()2ln 1f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()21122ln2f x x x >-+ . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得()2221x x mf x x ++'=+，分类讨论可得：当102m <<时， ()f x在112222⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，在11,2⎛-- ⎝⎭和12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增. (2)由题意结合函数的性质可知： 12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，结合所给的不等式构造对称差函数()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式. 试题解析：函数()f x 的定义域为()()2221,,1x x mf x x++-+∞'=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上， 12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11022g m ⎛⎫-=-+≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时， ()0g x ≥，即()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，②当102m <<时，由()222g x x x m =++，得121122x x =-=-+，因为()10g m -=>，所以111122x -<<-<-，当12x x x <<时， ()0g x <，即()0f x '<，当11x x -<<或2x x >时， ()0g x >，即()0f x '>，综上，当102m <<时， ()f x 在1122⎛--+ ⎝⎭上递减，在11,2⎛--- ⎝⎭和12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，当12m ≥时，在()1,-+∞上递增. （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在()11,x -和()2,x +∞上递增，则()()200f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证()21122ln2f x x x >-+又()()()222222122222ln 124ln 1f x x m x x x x x =++=++()()()()()222222222241ln 1121ln2121ln2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()()()4412ln 1ln x x x eϕ=-++-' 当102x -<<时， ()4120,ln 10,ln 0x x e +>+，故()0x ϕ'>，所以()x ϕ在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上递增， 故()()1111124ln 12ln2024222x ϕϕ⎛⎫>=⨯-⨯⨯--=⎪⎝⎭， 所以()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->， 所以()21122ln2f x x x >-+.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{1x cos y sin θθ==+（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2,{ x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）．（1）将1C ， 2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．【答案】（1）()2211x y +-=表示以()0,1为圆心，1为半径的圆， 2214x y +=表示焦点在x 轴上的椭圆；（2.【解析】试题分析：（1）分别将曲线1C 、2C 的参数方程利用平方法消去参数，即可得到1C ， 2C 的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2）1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，利用点到直线距离公式可得M 到直线l的距离d =，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）1C 的普通方程为()2211x y +-=，它表示以()0,1为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．（2）由已知得()0,2P ，设()2cos ,sin Q ϕϕ，则1cos ,1sin 2M ϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线l ： 240x y --=，点M 到直线l的距离d ==所以5d ≥=，即M 到l． 23．已知()223f x x a x a =-+++ . （1）证明： ()2f x ≥； （2）若332f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) ()1,0-.【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为223a a ++，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于a 的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+ 而()2222323122x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥.（2）因为222323,33342{32222,4a a a f a a a a a ++≥-⎛⎫-=+++= ⎪⎝⎭-<-， 所以23{ 4233a a a ≥-++<或23{ 423a a a <--<，解得10a -<<，所以a 的取值范围是()1,0-.。