安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案 (1)

安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（文）试题参考公式：如果事件A 、B 互斥, 那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 互斥独立, 那么()()().P AB P A P B =第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}()(){}R2,1,0,1,2,|120A B x x x =--=-+≥，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}2,1,2- 2. 复数()()213i z a a =+-，若0z <，则实数a 的值是（ ）A 3． 1 C ．1- D ． 3-3. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？ ” (加增的顺序为从塔顶到塔底). 答案应为 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 4.已知函数()2112f x ax bx =++，其中{}{}2,4,1,3a b ∈∈，从()f x 中随机抽取1个，则它在(],1-∞-上是减函数的概率为 （ ） A ．12 B ．34 C. 16D ．0 5. 在ABC ∆中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -，给出ABC ∆满足条件，就能得到动点A 的轨迹方程下表给出了一些条件及方程：条件方程① ABC ∆周长为10 21:25C y =②ABC ∆面积为10()222:40C x y y +=≠③ABC ∆中，90A ∠=()223:1095x y C y +=≠则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ）A ．312,,C C CB ．123,,C C C C.321,,C C CD ．132,,C C C 6.已知x 的取值范围是[]0,8，执行下面的程序框图，则输出的3y ≥的概率为（ ）A ．13 B ．12 C. 23 D ．347. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43．424 D ．338.若圆()2231x y -+=上只有一点到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率为 （ ） A ．355 B ．3343 D 59. 已知21log 3252,1log 3,cos6a b c π-=-=-=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C. c a b << D ．b c a <<10.已知1,,m x y >满足约束条件405001x y mx y m x -+≥⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≤⎩,若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为3，则12a b+（ ）A ．有最小值11210+B 11210+C. 有最小值112103- D ．有最大值112103- 11. 函数()())ln 00x x f x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩与()1g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．RB ．(],e -∞- C.[),e +∞ D ． ∅ 12. 将函数34y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数()34y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象(如图) ，点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为（ ）A ．13-B ．23- C.13+ D ．23-+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知13,,1,2222a b a b ⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭，则b 在a 方向上的投影为 ．14.已知抛物线2:8C y x =，点()0,4P ，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，延长AF 交抛物线于点B ，则AOB ∆的面积为 ．15.已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图（1）将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立. 则短轴长为4cm ，长轴为6cm 的椭球体的体积为 3cm ．16.对正整数n ，设曲线()2ny x x =-在3x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和等于 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量 ()()3,1,cos 1,sin m n A A ==+，且m n 的值为23+. （1）求A ∠的大小； （2）若33,cos a B ==，求ABC ∆的面积. 18. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，13,PC M =在PC 上，且PA 面MBD .（1）求证:M 是PC 的中点； （2）求多面体PABMD 的体积.19. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数()AQI ，数据统计如下： 空气质量指数()3/g m μ050-51100-101150-151200-201250-空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数20 40m10 5（2）由頻率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（3）在空气质量指数分别为51100-和151200-的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率.20. 设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y D a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于,A B 两点，1F 到直线AB 的距离为3D 的四个顶点得到的菱形面积为5（1）求椭圆D 的方程；（2）设过点2F 的直线l 被椭圆D 和圆()()22:224C x y -+-=所截得的弦长分别为,m n ，当m n 最大时，求直线l 的方程.21.已知函数()()21x f x ax x e =+-. （1）若0a <时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()ln xg x ef x x -=+，过()0,0O 作()yg x =切线l ，已知切线l 的斜率为e -，求证：22222e e e a -++-<<-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为221sin ρθ=+，过点()1,0P 的直线l 交曲线C 于,A B 两点. （1）将曲线C 的极坐标方程的化为普通方程；（2）求PA PB 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()2,1f x x g x x x =-=+-. （1）解不等式()()f x g x >；（2）若存在实数x ，使不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈能成立，求实数m 的最小值.安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5:BDDBA 6-10: BCACA 11-12：CD二、填空题13.14- 14.4516π 16.1332n +-三、解答题17. 解：(1)3cos 3sin 2sin 33m n A A A π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭sin 136A A ππ⎛⎫∴+=⇒= ⎪⎝⎭.(2)36cos sin B B =∴=,由sin sin b a B A=得6332212b ==())112sin 322sin 6sin cos cos sin 322ABC S ab C A B A B A B ∆∴==+=+=.18. 解：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.ME ABCD 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴是PC 的中点.(2)取AD 中点O ，连OC .则PO AD ⊥，由面PAD ⊥底面ABCD ，得PO ⊥面ABCD ，,13310,1013PO OC OC CD ∴⊥=-=∴=-=，1113333323323,23,233322222P ABCD M BCD PABMD V V V --∴====∴=-=.19. 解：(1)200.00450,100,2040105100,25n m m n⨯=∴=++++=∴=, 40251050.008;0.005;0.002;0.00110050100501005010050====⨯⨯⨯⨯.(2)平均数95 ，中位数87.5.(3) 在空气质量指数为51100-和151200-的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天中，将空气质量指数为51100-的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为151200-的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10种，其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共6种，所以事件A “两天都为良”发生的概率是()63105P A ==. 20. 解：(1)设1F 坐标为(),0c -，2F 坐标为()(),0,0c c >，则直线AB 的方程为)3y x c =-，即333323,231c cx y c c ---===+；又2212225,5,5,12S a b ab a b ==∴=∴==， ∴椭圆D 的方程为2215x y +=.(2)易知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为2x ty =+，则圆心C 到直线l 的距离为221t d t =+，所以22222222115x ty n d x y t =+⎧⎪=-=⎨+=+⎪⎩，得()225410t y ty ++-=，)2212225115t m t y y t +∴=+-=+，222285185254511t m n t t t +∴==≤+++2211t t +=+即3t =等号成立），所以直线方程为320x -=或320x +-=.21. 解：(1) 由已知得：()()()2'2121x xf x ax a x e x ax a e ⎡⎤=++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦. ①若102a -<<，当12x a >--或0x <时，()'0f x <；当102x a<<--时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. ②若()211,'022x a f x x e =-=-≤，故()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；③若12a <-，当12x a <--或0x >时，()'0f x <；当120x a--<<时，()'0f x >；所以()f x 的单调递增区间为12,0a ⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. 综上，当102a -<<时，()f x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为(),0-∞，12,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭. 当12a =-时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时，()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ；单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭,()0,+∞. (2)()()2221ln 1,'ax x g x ax x x g x x ++=++-=,设切点()20000,ln 1x ax x x ++-，斜率为200021ax x e x ++=- ① 所以切线方程为()2200000001ln 1()ax x y ax x x x x x ++-++-=- ，将()0,0代入得：()20000ln 1ax x x ex -++-= ② 由 ① 知002012ex x a x ---=代入②得： ()0012ln 30e x x ++-=，令()()12ln 3u x e x x =++-,则()2'10u x e x =++>恒成立， ()u x ∴在()0,+∞单增，且()011120,0,1u e u x e e⎛⎫=-><∴<< ⎪⎝⎭，200200011111222ex x e a x x x ⎛⎫⎛⎫--+∴==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令01t x =，则1t e <<，则()21122e a t t t +=-- 在()1,e 递减，且()()2222221,,2222e e e e e e a a e a ++++=-=-∴-<<-. 22. 解：(1)由221sin ρθ=+得()221sin 2ρθ+=，得曲线C 的普通方程为2212x y +=. (2)由题意知，直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2212x y +=得()222cos 2sin 2cos 10t t ααα++-=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t ααα⎡⎤===∈⎢⎥++⎣⎦，PA PB ∴的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 23. 解：（1）由题意不等式()()f x g x >可化为21x x x -+>+，当1x <-时，()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()()f x g x >的解集为{|31x x -<<或}3x >.（2）由不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈可得()min 21,21m x x m x ≥-++∴≥-++，()21213,3x x x x m -++≥--+=∴≥，故实数m 的最小值是3.。

2 2
） D． （1，2）
B． （﹣∞，1）
C． （0，1）
【解答】解：∵A＝{x|x ＜2x}＝（0，2） ，B＝{x|x﹣1＜0}＝（﹣∞，1） ， ∴A∩B＝（0，1） ， 故选：C． 2． （5 分）命题“∃x0∈（1，+∞） ，x0 +2x0+2≤0”的否定形式是（ A． B． C． D． 【解答】解：命题“∃x0∈（1，+∞） ，x0 +2x0+2≤0”的否定形式是： “∀x∈（1，+∞） ，x +2x+2＞0” ． 故选：A． 3． （5 分）已知角 α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°） ，则 α ＝（ ） B．225° C．235° D．245°
11． （5 分）△ABC 内一点 O 满足 A． 12． （5 分）曲线 B．
，直线 AO 交 BC 于点 D，则（ C． D．
的一条切线 l 与 y＝x，y 轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△
第 2 页（共 16 页）
OAB 外接圆面积的最小值为（ A． B．
） C． D．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13． （5 分）已知{an}是等比数列，a3＝1，a7＝9，则 a5＝ 14． （5 分）计算： （ ﹣x）dx＝ ． ． ．
15． （5 分）已知 y＝f（x+1）+2 是定义域为 R 的奇函数，则 f（e）+f（2﹣e）＝ 16． （5 分）在△ABC 中， 则 AD＝ ．
，过 B 点作 BD⊥AB 交 AC 于点 D．若 AB＝CD＝1，

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． （10 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边长是 a，b，c 公差为 1 的等差数列，且 a+b ＝2ccosA． （Ⅰ）求证：C＝2A； （Ⅱ）求 a，b，c． 18． （12 分）已知等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，若 S9＝99，且 a4，a7，a12 成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 19． （12 分）已知 （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和最大值； （Ⅱ）若 m（m∈R）的零点个数． ，画出函数 y＝g（x）的图象，讨论 y＝g（x）﹣ ，证明： ． ．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}0322>--=x x x A ，集合{}40<<=x x B ，则=B A C R )(（ ）A ．]3,0(B ．)0,1[-C ．]3,1[-D ．)4,3( 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}31,13≤≤-=-<>=x x A C x x x A R 或,{}30)(≤<=x x B A C R ,故选A. 考点:集合运算． 2.若复数i z +=2，则2i zz ⋅等于（ ） A ．5 B ．5- C ．i 5 D ．i 5- 【答案】B考点：复数的运算．3.若双曲线)0(12222>=-a by a x 的一条渐近线为x y 3=，则离心率e 等于（ ）A ．2B ．23C ．3D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：双曲线12222=-by a x 的一条渐近线为x y 3=，故3=a b ，因为1222222-=-==e aa c ab a b ，解得312=-e ，则2=e ，故选D. 考点:双曲线的简单几何性质．4.已知向量)1,2(),6,32(=--=b k a ，且⊥，则实数k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：因为b a ⊥，所以0=⋅b a ，即0)6(2)32(=-+⨯-k ，解得3=k . 考点：平面向量垂直关系的坐标表示．5.数字“2016”中，各位数字相加和为9，称该数为“长久四位数”，则用数字6,5,4,3,2,1,0组成的无重复数字且大于2016的“长久四位数”有（ ）个A ．39B ．40C ．41D ．42 【答案】C考点：排列、组合与计数原理．6.函数212)(x x f -=的部分图象大致是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：∵)(2)(21x f x f x ==--，∴函数)(x f 为偶函数，排除A ，B ，∵02)(21>=-x x f ，排除D ，故选C.考点：函数图象与函数性质．7.某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则此几何体的体积是（ ） A ．324 B ．38 C ．316 D ．16【答案】B考点：三视图与几何体的体积．8.程序框图如图所示，则该程序输出的结果为（ ）A ．1110 B ．5536 C ．115D ．5572【答案】B 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求1191421311⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=S 的值， 由)11191(21)4121(21)311(211191421311-+⋅⋅⋅+-+-=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=S 5536)111101211(21)11141319131211(21=--+⨯=-⋅⋅⋅---+++⨯=，故选B. 考点：程序框图中的循环结构． 9.函数)(x f y =的图象向左平移12π个单位后与函数)22cos(x y -=π的图象重合，则)(x f y =的解析式为（ ）A ．)22cos(π-=x y B ．)62cos(π+=x y C ．)32cos(π+=x yD ．)62sin(π-=x y【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得，把函数x x y 2sin )22cos(=-=π的图象向右平移12π个单位后，可得函数)62sin()12(2sin )(ππ-=-==x x x f y 的图象,故选D. 考点:函数图象的平移变换. 10.4)11(++xx 展开式中常数项为（ ） A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 【答案】B考点：二项式展开式的系数．【方法点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的系数问题，属于基础题.本题给出了一个三项式求展开式的常数项，解答时首先通过分组化为二项式，分组时要根据三项式的特征把1x x +作为一个整体，用二项式定理展开，再在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭根据二项式定理分别求得其常数项，通过计数原理即可得到原式的常数项，本质上就是多次使用二项式定理的过程. 11.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于B A ,两点，则BFAF 等于（ ）A ．3B ．25C ．35D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：设),(),,(2211y x B y x A ，则3860sin 2221p p p x x AB ==++= ，∴4221p x x =+，解得6,2321p x p x ==，∴32221=++=px px BF AF ，故选A. 考点：直线与抛物线的位置关系．【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单几何性质特别是其焦点弦问题，解答时应重点把握好抛物线定义的应用.设出,A B 两点坐标，利用抛物线的焦半径公式求出AB ,结合抛物线焦点弦的性质得到2124p x x =，求出,A B 两点坐标，根据抛物线焦半径公式即可求得BFAF .12.函数⎩⎨⎧≤++>=0,140,log )(22x x x x x x f ，若实数a 满足1))((=a f f ，则实数a 的所有取值的和为（ ）A ．1B ．51617-C ．1516- D ．2- 【答案】C考点:函数与方程.【方法点睛】本题主要考查了函数与方程，考查了分类讨论的思想和运算能力，属于难题.为方便理解可对1))((=a f f 进行换元处理，设)(a f t =，则1)(=t f ，先通过分段函数解析式，结合讨论求出t 的解，再进一步解方程)(a f t =，即可求得a 的解，解答的过程中，要注意分段函数各解析式的适用范围，保证正确解题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知命题p ：“0>∀x ，有12≥x成立”，则p ⌝为_______.【答案】12,0<>∃x x 成立 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以原命题的否定p ⌝为“12,0<>∃x x 成立”. 考点:全称命题及其否定．14.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则y x z -=2的最小值为______.【答案】2-考点：简单的线性规划．15.若圆8)2()1(:22=-++y x C 关于直线062=++by ax 对称，则由点),(b a M 向圆所作的切线长的最小值是________. 【答案】10 【解析】试题分析：由题意知直线062=++by ax 过圆心)2,1(-C ，所以03=--b a .当点),(b a M 到圆心距离最小时，切线长最短，18)2(22682)2()1(2222+-=+-=-++=a a a b a MC ，∴2=a 时，切线长最小，此时1-=b ，切线长等于1022=-r MC .考点：直线与圆的位置关系．【方法点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.本题解答的关键是根据“圆C 关于直线062=++by ax 对称”即直线062=++by ax 经过圆心()1,2C -，得到,a b 的关系，根据勾股定理列出切线长与,a b 的关系，通过消元构造二次函数，利用配方法求出切线长的最小值.16.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2,3==b a ，且C B a C c B b A a sin sin 776sin sin sin =-+，则c 的值为______. 【答案】2考点：正弦定理和余弦定理解三角形.【方法点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.本题中给出了ABC ∆中边,,a b c 和角C B A ,,的混合式，而且式子中均有一个内角的正弦，应该首先考虑利用正弦定理把左边的sin ,sin ,sin A B C 用,,a b c 代替，这样左边得到222a b c +-，结合余弦定理右边应该保留sin C ,消去sin B 即可求得tan C 和cos C ，再利用余弦定理即可求得边c .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，已知11=a ，且1452,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n n a b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12-=n a n ；（2）)32(261-+=+n T n n . 【解析】考点：等差数列的通项公式与乘公比错位相减法求和．18.（本小题满分12分）M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作；180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分才能担任助理工作. （1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？（2）若从所有甲部门人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的男生人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望.【答案】（1）1413；（2）分布列见解析，95.【解析】试题分析：（1）根据分层抽样和茎叶图可知甲乙两部门选中的人数均为4人，要求“至少有一人是甲部门人选的概率”，可求其对立事件“选中的3人都是乙部门”的概率即可；（2）设选毕业生中能担任助理工作的男生人数X ，其可能的取值分别为3,2,1,0，根据超几何分布求出X 取各值的概率，得其分布列和期望.（2）依据题意，所选毕业生中能担任助理工作的男生人数X 的取值分别为3,2,1,0，301)0(3103604===C C C X P ，103)2(3102604===C C C X P ，21)3(3101634===C C C X P ，61)3(3100634===C C C X P ，因此X 的分布列如下：X 0123P301 1032161 数学期望5961321210313010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 考点：茎叶图、对立事件的概率及离散型随机变量的分布列和期望．19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，O BD AC = ，⊥O A 1底面ABCD ，21==AA AB .（1）证明：⊥BD 平面CO A 1；（2）若60=∠BAD ，求直线C A 1与平面D D AA 11所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）721. 试题解析：（1）∵⊥O A 1底面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，∴BD O A ⊥1. ∵ABCD 是菱形，∴BD CO ⊥.又O CO O A = 1，∴⊥BD 平面CO A 1.（2）由（1）知1,,OA OB OA 两两垂直，则以1,,OA OB OA 分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵60=∠BAD ，21==AA AB ，∴1,3,11====OA AO OD OB，则(0,1,0),A D -(C 1(0,0,1)A ，)1,0,3(),1,0,3(),0,1,3(11--=-=--=C A AA AD ，设平面D D AA 11的一个法向量为),,(z y x n =，由⎩⎨⎧=+-=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03,03001z x y x AA n 得x z y 3-=-=，令1=x ，得3-=y ，3=z ，所以)3,3,1(-=，∵7217232,cos 1-=⨯-=>=<C A n ，∴直线C A 1与平面 D D AA 11所成角的正弦值为721. 考点：空间中直线与平面垂直关系的证明及直线与平面所成的角. 20.（本小题满分12分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为21,F F ，线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ，且21B AB ∆是面积为4的直角三角形. （1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过1B 作直线交椭圆于Q P ,两点，使21QB PB ⊥，求Q PB 2∆的面积.【答案】（1142022=+y x ；（2【解析】试题分析：（1）根据21B AB ∆是面积为4的直角三角形，21AB AB =，可知21AB B ∠为直角，从而2OB OA =，即2c b =，又222c a b =-，消去b 即得离心率，2121422cS B B OA b b ==⋅==可得22,b a ，从而求得椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程为2-=my x ，代入椭圆方程可得0164)5(22=--+my y m ，根据韦达定理，可得121222416,55m y y y y m m -+==++，写出22,B P B Q 的坐标，由于22,PB QB ⊥220QB PB ∴⋅= ，据此可求得m 的值，因为Q PB 2∆的面积121212S B B y y =-，所以求出12y y -=Q PB 2∆的面积.（2）由（1）知)0,2(),0,2(21B B -，由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为2-=my x ，代入椭圆方程，消元可得0164)5(22=--+my y m ，① 设516,54),,(),,(2212212211+-=+=+∴m y y m m y y y x Q y x P ，∵),2(),,2(222112y x B y x B -=-=，∴56416)2)(2(22212122+--=+--=⋅m m y y x x B B ，∵0,2222=⋅∴⊥PB QB QB PB ，∴05641622=+--m m ，∴2±=m ，当2±=m 时，①可化为016892=-±y y ， ∴10984)(2122121=-+=-y y y y y y ， ∴Q PB 2∆的面积109161098421212121=⨯⨯=-=y y B B S . 考点：椭圆的标准方程与几何性质及直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和运算能力，属于中档题.求椭圆的离心率通常根据条件求,,a b c 的一个关系即可，求椭圆方程通常采用待定系数法.研究圆锥曲线中三角形的面积时通常采用分割的方法把要求面积的三角形分成两个同底的三角形，根据韦达定理求12y y -，本题中，先根据向量的垂直关系求出参数的值，再求12y y -，这是圆锥曲线中最常见的题型之一. 21.（本小题满分12分）已知函数x x a ax x f ln )2()(2++-=.（1）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为2-，求a 的取值范围；（2）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈，且22112)(2)(x x f x x f +<+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1≥a ；（2）80≤≤a .试题解析：（1）函数x x a ax x f ln )2()(2++-=的定义域是),0(+∞.当0>a 时，)0(1)2(21)2(2)(2>++-=++-='x x x a ax x a ax x f ，令0)(='x f ，得0)1)(12(1)2(2)(2=--=++-='xax x x x a ax x f ，所以21=x 或a x 1=.当110≤<a，即1≥a 时，)(x f 在],1[e 上单调递增，所以)(x f 在],1[e 上的最小值是2)1(-=f ；当e a <<11时，)(x f 在],1[e 上的最小值是2)1()1(-=<f af ，不合题意； 当e a≥1时，)(x f 在),1(e 上单调递减，所以)(x f 在],1[e 上的最小值是2)1()(-=<f e f ，不合题意， 综上：1≥a .考点：利用导数研究函数的单调性和给定区间上的最值及函数的恒成立．【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和给定区间上的最值及函数的恒成立，考查了分类讨论的数学思想和转化的数学思想，属于中档题.本题（1）中，求函数在给定区间上最值，通过比较两个极值点的大小得到其单调性，判断出最小值点，验证是否符合题意；（2）根据22112)(2)(x x f x x f +<+的形式构造函数x x f x g 2)()(+=，也就是函数()g x 在()0,+∞上单调递增，即()0g x '≥恒成立，分别讨论0a =及0a >两种情况，求出a的范围即可.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，CF 是ABC ∆边AB 上的高，AC FQ BC FP ⊥⊥,，垂足为Q P ,. （1）证明：Q P B A ,,,四点共圆；（2）若354,1,4===PF AQ CQ ，求CB 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）6．（2）解：20542=⨯=⨯=CA CQ CF ，直角三角形CPF 中，310)354(20222=-=-=PF CF CP ， 又6,22==-⨯CPCF CB CF CB CP . 考点：四点共圆的应用与直角三角形的基本性质. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点)4,4(π，直线为1)4sin(=+πθρ.（1）求点)4,4(π的直角坐标系下的坐标与直线的普通方程； （2）求点)4,4(π到直线1)4sin(=+πθρ的距离.【答案】（1）0x y +=；（2）3． 【解析】试题分析：（1）根据cos ,sin x y ρθρθ==可把点)4,4(π化成直角坐标，根据两角和的正弦公式把1)4sin(=+πθρ展开，代换即得直线的普通方程；（2）在（1）化直角坐标方程的基础上，利用点到直线的距离公式即可求得结论.考点：点与直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数1)(+=x x f .（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； （2）设M b a ∈,，证明：)()()(b f a f ab f -->. 【答案】（1）{}11>-<=x x x M 或；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）分1-≤x ，211-<<-x ，21-≥x 三种情况分别去掉绝对值符号，解出不等式的解，取并集即得集合M ；（2）1()(1)ab ab b b +=++-根据绝对值的三角不等式可证得()111f ab ab b b b a b ≥+--=+--，结合01,1>+>a b 可得b a ab f --+>11)(.试题解析：（1）当1-≤x 时，原不等式可化为221--<--x x ，解得1-<x ，此时原不等式的解是1-<x ；当211-<<-x 时，原不等式可化为221--<+x x ，解得1-<x ，此时不等式无解；考点：绝对值不等式的解法与绝对值中的三角不等式.。

2020届安徽省黄山市2017级高三下学期二模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★参考公式:球的表面积公式:24S R π=球的体积公式:343V R π=第I 卷(选择题满分60分)一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分｡在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡请在答题卷的相应区域答题.)1.已知集2{|650},{|A x x x B x y =-+≤==，则A∩B=A.[1，+∞)B.[1，3]C.(3，5]D.[3，5] 2.若复数z 满足(z-1)(i-1)=i ，则z 对应的点在第()象限｡A.一B.二C.三D.四 3.已知155222log ,,()5,555c a b === A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b4.已知变量x ，y 满足约束条件2240,240x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为1A.B 7.2C 9.2D 5.已知函数f(x)的定义域为D ，满足:①对任意x ∈D ，都有f(x)+f(-x)=0，②对任意12,x x D ∈且12,x x ≠都有1212()()0,f x f x x x ->-则称函数f(x)为“成功函数"，下列函数是“成功函数”的是A.f(x)=tanxB.f(x)=x+sinx 2.()ln 2x C f x x -=+ .()x x D f x e e -=-6.任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数｡如果反复使用这个变换，我们就会。