利用数学符号的暗示功能解题

数学符号及其寄义之五兆芳芳创作∈属于符号，暗示元素与荟萃之间的一种从属关系∏求积符号∑求和符号∕相当于除号÷√算术平方根，如±2的平方是4，那么4的算术平方根是2 ∝正比于，罕有于物理学，如a∝b说明当a增加，b也增加∞无穷暗示一种趋向，+∞暗示不竭变大的趋势∟直角符号∠角符号∣绝对值符号与除号‖平行刻画两直线的关系∧交符号逻辑根本符号，暗示两个命题同时产生则命题成立∨并符号逻辑根本符号，暗示两个命题有一个产生则命题成立∩交符号荟萃根本符号，暗示两个荟萃同时满足∪并符号荟萃根本符号，暗示至少满足一个荟萃∫不定积分符号微积分根本符号∮积分符号微积分根本符号∴所以∵因为∶比例符号∷比例∽属于符号荟萃根本符号刻画两个荟萃间的从属关系≈约等于符号≌相似符号刻画荟萃图形的根本特征≈约等号刻画两个关系式之间的关系≠不等号两者存在差别的地方≡同余符号数论根本符号，暗示两个整数除以同一个特定的整数余数相等，例如5=2×2+1，7=2×3+1，那么5≡7 (mod 2) ≤不大于关系符号前者小于或等于后者≥不小于关系符号前者大于或等于后者≤远小于等于关系符号前者远小于后者或与后者相等≥远大于等于关系符号前者远大于后者或与后者相等≮非小于同≥≯非大于同≤⊙圆⊙O暗示圆心为O的圆⊥垂直刻画两直线或空间间关系⊿三角形⌒反三角函数sin正弦函数Cos余弦函数tan正切函数cot余切函数sec正割函数csc余割函数log对数ln自然对数lg经常使用对数+加法-减法×乘法÷除法①②③④★☆♀☉ ● ◇ ╬ 〖〗【】〇￥＊﹡¤ ? ℃ ← ↑ → ↓ ↖↗↘↙ √ ═ ▇ █ ▓ ◆ ▲ △ ▼▽◎±(加减号) ——外码:jjh-(减号) ——外码:jh×(乘号) ——外码:ch÷(除法) ——外码:cf√(对号) ——外码:dh°(度) ——外码:du⌒(弧) ——外码:hu℃(摄氏度) ——外码:ssd∠(角) ——外码:jiao≡(恒等) ——外码:hd≌(全等) ——外码:qd≈(约等)——外码:yd∽(相似) ——外码:xs≠(不等) ——外码:bd≤(小于等于) ——外码:xydy≥(大于等于) ——外码:dydy ∵因为——外码:yw∴所以——外码:sy⊥垂直——外码:cz‖(平行) ——外码:pxΔ 三角形——外码:sjs⊙圆——外码:yuanπ 圆周率——外码:yzlφ 直径——外码:faiα 阿尔发——外码:aefβ 贝塔——外码:beidΩ 欧姆——外码:om∑ 西格玛——外码:xgm∞(无穷大) ——外码:wqd•符号意义∞ 无穷大PI 圆周率|x| 函数的绝对值∪集归并∩ 荟萃交≥ 大于等于≤ 小于等于≡ 恒等于或同余ln(x) 以e为底的对数lg(x) 以10为底的对数floor(x) 上取整函数ceil(x) 下取整函数x mod y 求余数{x} 小数部分x - floor(x)∫f(x)δx 不定积分∫[a:b]f(x)δx a到b的定积分P为真等于1不然等于0∑[1≤k≤n]f(k) 对n进行求和,可以拓广至良多情况如：∑[n is prime][n < 10]f(n)∑∑[1≤i≤j≤n]n^2lim f(x) (x->?) 求极限f(z) f关于z的m阶导函数C(n:m) 组合数,n中取mP(n:m) 排列数m|n m整除nm⊥n m与n互质a ∈ A a属于荟萃A#A 荟萃A中的元素个数。

初一代数易错练习1．已知数轴上的A 点到原点的距离为2，那么数轴上到A 点距离是3的点暗示的数为 2．一个数的立方等于它自己，这个数是。

3．用代数式暗示：每间上衣a 元，涨价10%后再降价10%以后的售价（ 变低，变高，不变 ）4．一艘轮船从A 港到B 港的速度为a,从B 港到A 港的速度为b,则此轮船全程的平均速度为 。

5． 青山镇水泥厂以每年产量增长10%的速度发展，如果第一年的产量为a,则第三年的产量为。

6．已知a b =43,x y =12,则代数式374by ax ay by +-的值为7．若|x|=-x,且x=1x，则x= 8．若||x|-1|+|y+2|=0,则xy=。

9．已知a+b+c=0,abc≠0,则x=||a a +||b b +||c c +||abc abc,根据a,b,c 分歧取值，x 的值为。

10．如果a+b<0,且b>0,那么a,b,-a,-b 的大小关系为。

11．已知m 、x 、y 满足：（1）0)5(2=+-m x ， （2）12+-y ab 与34ab 是同类项.求代数式：)93()632(2222y xy x m y xy x +--+-的值.12．化简-{-[-(+2.4)]}= ;-{+[-(-2.4)]}=13．如果|a-3|-3+a=0,则a 的取值范围是 14．已知－2<x<3,化简|x+2|－|x －3|=15．一个数的相反数的绝对值与这个数的绝对值的相反数的关系式 。

在有理数，绝对值最小的数是，在负整数中，绝对值最小的数是 16．由四舍五入得到的近似数17.0,其真值不成能是（ ） A 17.02 B 16.99 C 17.0499 D16.4917.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按尺度的80%）优惠卖出，结果每作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是18.已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水19．观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理由。

用数学表白的情话在浪漫的爱情世界里，表白是一件非常重要的事情。

有的人用花束和巧克力表达自己的感情，而有些人则希望以一种独特而特别的方式向心爱的人表白。

如果你是一个喜欢数学的人，那么用数学表白绝对是一个不错的选择。

下面，我将会用一些数学公式和符号来帮助你用数学的方式表白。

1. 加法是第一步在数学中，加法是最基本的运算之一。

它代表着两个数的相加运算。

那么，我们可以使用一个简单的数学公式来表达你对心爱的人的感情：心爱的人 = 你的心 + 我的心这个公式暗示了你们两个人的心灵可以通过相加来变得更加完整。

2. 用方程解开心扉数学中的方程是一种数学语句，它使用符号和未知数来表示等式。

我们可以利用方程来表达出你对心爱的人的感受：你是我的解方程，让我心心相印。

这句话隐含了需要对心爱的人进行一系列的计算和思考才能找到答案的意思。

3. 用三角函数勾勒爱情轨迹三角函数是数学中的重要概念，它描述了角度和长度之间的关系。

我们可以利用三角函数来勾勒出爱情的轨迹：爱情的轨迹 = cos(时间) + sin(你的拥抱)这个公式告诉了你心爱的人，你的爱情将会随着时间的推移而变得越来越强烈。

4. 用无限数列尽显思念之情无限数列是数学中的重要概念，它表示了一系列无限延伸的数字。

我们可以利用无限数列来表达你对心爱的人的思念：思念的数列 = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...其中，a表示你对心爱的人的思念的初始强度，r表示思念的变化率。

这个数列告诉了你心爱的人，你对他/她的思念将会一直延伸下去，永不停息。

5. 用矩阵传递爱的信息矩阵是数学中的重要工具，它由行和列组成。

我们可以利用矩阵来传递爱的信息：爱 = [[我对你的爱],[你对我的爱]]这个矩阵告诉了你心爱的人，爱情是相互的，你们之间的爱是互相传递的。

总结数学是一门充满魅力和美丽的学科，它可以用来表达我们对心爱的人的感情。

通过使用数学公式和符号，我们可以以一种独特而特别的方式向对方表达爱意。

浅谈暗示教学法在小学数学教学中的运用作者：张宏来源：《黑河教育》2010年第04期【摘要】暗示教学法是将暗示学原理应用于教学实践中,其特点是用含蓄的间接的暗示方法对人的心理和行为产生影响。

在小学数学教学中巧妙地运用暗示教学法,可以获得良好的课堂学习效果。

【关键词】暗示教学法;小学数学;应用暗示教学法是保加利亚教育家、医学家格奥尔吉?洛扎诺夫(Georgi Lomnov)多年理论和实践研究的成果。

暗示教学法就是对教学环境进行精心设计,用暗示、联想、练习和音乐等各种综合方式使学生建立起无意识的心理倾向,激发学生的学习需要和兴趣,充分发挥学生的潜力,获得良好的课堂学习效果。

一、数学符号的暗示“数学的世界是符号化的世界。

”“符号是意愿的标志,传播一定的意义,因此,符号能暗示信息。

”一般地说,数学符号大致有数字符号、字母符号、运算符号、性质符号、关系符号和图形符号等。

我们在平时的数学教学中,往往只教给学生用符号表达的结果,而常常忽视了对数学符号的“最原始”的暗示功能的挖掘。

笔者认为,搞好数学语言教学的关键是搞好数学符号语言的教学。

因此,在数学教学中要抓住数学符号创设的启发性原则,注意充分挖掘符号的暗示功能。

比如数字符号“0”,在整数、有理数和实数里,它的基本属性是表示唯一的中性数。

在“我有0元钱”里,“0”表示“没有”,在“现在的天气温度是0度”里,“0”表示了这一刻的温度的高低情况,而不是“没有”温度的意思了。

此外,“0”还可以表示零点、零元等。

二、环境暗示暗示教学法认为,暗示是个人和环境之间一个经常性的交流因素,倘若能达到“人——环境”之间的“共振”,人与环境间的不断交流就能达到最为和谐的境界。

我们生活在一个充满暗示的环境中,许多活动从本质上说都是人们无意识地对外界环境的各种暗示所做出的反应。

教学中的环境暗示,就是指通过营造某种场景、氛围来感染学生,使学生在潜意识的作用下自觉地投人学习,主动地参与活动,使学生在无对抗的状态下,乐意、顺利地接受环境的暗示信息,从而达到教育的目的。

数学符号表之南宫帮珍创作数学上, 有一组常在数学表达式中呈现的符号.数学工作者熟悉这些符号, 不是每次使用都加以说明.所以, 对数学初学者, 下面的列表给出了很多罕见的符号包括名称、读法和应用领域.另外, 第三栏有一个非正式的界说, 第四栏有个简单的例子.注意, 有时候分歧符号有相同含义, 而有些符号在分歧的上下文中有分歧的含义.创作时间：二零二一年六月三十日x< y暗示x小于y. x> y暗示x年夜于y. 3 < 4 5 > 4序理论x≤ y暗示x小于或即是y.x≥ y暗示x年夜于或即是y. 3 ≤4；5 ≤ 5 5 ≥4；5 ≥ 5年夜于即序理论6 + 3 暗示 6 加 3. 6 + 3 = 9算术6 − 3 暗示 6 减 3. 6 − 3 = 3算术−3 暗示 3 的负数. −(−5) = 5 算术A−B暗示包括所有属于A但不属于B的元素的集合. {1,2,4} −{1,3,4} = {2}集合论6 × 3 暗示 6 乘以 3. 6 × 3 = 18算术X× Y暗示所有第一个元素属于X, 第二个元素属于Y的有序对的集合. {1,2} × {3,4} ={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}创作时间：二零二一年六月三十日集合论向量积u× v暗示向量u和v的向量积. (1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2) 向量积向量代数÷/ 除号6 ÷ 3 或 6 / 3 暗示 6 除以 3 或 3除 6.6 ÷ 3 = 212/4 = 3 除以算术根号暗示其平方为x的正数.…的平方根实数复根号若用极坐标暗示复数z = r exp(iφ)（满足 -π < φ ≤ π）, 则√z =√r exp(iφ/2).…的平方根复数| | 绝对值|x| 暗示实数轴（或复平面）上x和0的距离.|3| = 3, |-5| = |5||i| = 1, |3+4i| = 5 …的绝对值数! 阶乘n! 暗示连乘积1×2×…×n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24…的阶乘组合论~ 概率分布X ~ D暗示随机变量X概率分布为D. X ~ N(0,1)：标准正态分布满足分布统计学创作时间：二零二一年六月三十日A⇒B暗示A真则B也真；A假则B不定.→ 可能和⇒一样, 或者有下面将提到的函数的意思.⊃可能和⇒一样, 或者有下面将提到的父集的意思. x = 2 ⇒x2 = 4 为真, 但x2 = 4 ⇒x = 2 一般情况下为假（因为x可以是−2）.A⇔B暗示A真则B真, A假则B假.x+ 5 = y+2 ⇔x+ 3 = y 命题¬A为真当且仅当A为假.将一条斜线穿过一个符号相当于将"¬" 放在该符号前面. ¬(¬A) ⇔Ax≠y⇔¬(x= y)若A为真且B为真, 则命题A∧ B为真；否则为假. n< 4 ∧n>2 ⇔n= 3, 当n是自然数若A或B（或都）为真, 则命题A∨ B 为真；若两者都假则命题为假. n≥ 4∨n≤ 2⇔n≠ 3, 当n是自然数若A和B刚好有一个为真, 则命题A⊕ B为真.A⊻B的意义相同.(¬A) ⊕ A恒为真, A⊕ A恒为假.创作时间：二零二一年六月三十日∀x: P(x) 暗示P(x) 对所有x为真. ∀n∈ N: n2≥ n∃x: P(x) 暗示存在至少一个x使得P(x) 为真.∃n∈ N: n为偶数∃! x: P(x) 暗示有且仅有一个x使得P(x) 为真.∃! n∈ N: n+ 5 = 2nx:= y或x≡ y暗示x界说为y 的一个名字（注意：≡ 也可暗示其它意思, 例如全等）.P:⇔Q暗示P界说为Q的逻辑等价. cosh x:= (1/2)(exp x+ exp (−x))A XOR B:⇔(A∨B) ∧¬(A∧B){a,b,c} 暗示a, b,c组成的集合. N= {0,1,2,…}{x: P(x)} 暗示所有满足P(x) 的x{n∈ N: n2< 20} =创作时间：二零二一年六月三十日的集合.{x| P(x)} 和 {x: P(x)} 的意义相同. {0,1,2,3,4}集合论∅暗示没有元素的集合.{} 的意义相同. {n∈ N: 1 < n2< 4} = ∅空集集合论a∈ S暗示a属于集合S；a∉S暗示a不属于S. (1/2)−1∈ N 2−1∉N所有领域A⊆B暗示A的所有元素属于B.A⊂B暗示A⊆B但A≠ B. A∩ B⊆A；Q⊂R…的子集集合论A⊇B暗示B的所有元素属于A.A⊃B暗示A⊇B但A≠ B. A∪ B⊇B；R⊃Q…的父集集合论A∪ B暗示包括所有A和B的元素但不包括任何其他元素的集合. A⊆B⇔A∪ B= B集合论A∩ B暗示包括所有同时属于A和B 的元素的集合. {x∈ R: x2= 1} ∩ N= {1}集合论创作时间：二零二一年六月三十日A\ B暗示所有属于A但不属于B的元素的集合. {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}集合论f(x) 暗示f在x的值. f(x) := x2, 则f(3) = 32= 9. (x)集合论先执行括号内的运算. (8/4)/2 = 2/2 = 1；8/(4/2) = 8/2 = 4所有领域ƒ: X→ Y暗示ƒ从集合X映射到集合Y. 设ƒ: Z→ N界说为ƒ(x) = x2.集合论f o g是一个函数, 使得 (f o g)(x) = f(g(x)). 若f(x) = 2x, 且g(x) = x + 3, 则(f o g)(x) = 2(x + 3).集合论N暗示{1,2,3,…}, 另一界说拜会自然数条目. {|a| : a∈ Z} = NN数Z暗示{…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}.{a: |a| ∈ N} = Z Z数创作时间：二零二一年六月三十日ℤQ ℚ有理数Q暗示 {p/q: p,q∈Z,q≠0}.3.14 ∈ Qπ∉Q Q数R ℝ实数R暗示 {limn→∞an: ∀n∈N:an∈ Q, 极限存在}.π∈ R√(−1) ∉R R数C ℂ复数C暗示 {a+ bi: a,b∈R}. i= √(−1) ∈ C C数∞无穷∞ 是扩展的实数轴上年夜于任何实数的数；通常呈现在极限中.limx→01/|x| = ∞无穷数π圆周率π 暗示圆周长和直径之比. A= πr2是半径为r的圆的面积pi几何创作时间：二零二一年六月三十日||x|| 是赋范线性空间元素x的范数. ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| 线性代数∑k=1n ak暗示a1+ a2+ …+ a n.∑k=14k2= 12+ 22+ 32+ 42=1 + 4 + 9 + 16 = 30算术∏k=1n ak暗示a1a2···a n.∏k=14(k+ 2) = (1 + 2)(2 +2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4×5 × 6= 360算术∏i=0n Yi暗示所有(n+1)-元组(y0,…,y n). ∏n=13R = R n集合论f'(x)函数f在x点的倒数, 也就是, 那里的切线斜率. 若f(x) = x2, 则f'(x) = 2x微积分或反导数∫f(x) d x暗示导数为f的函数. ∫x2d x= x3/3 微积分∫a b f(x) d x暗示x-轴和f在x=a和x= b之间的函数图像所夹成的带符号面积. ∫b x2d x= b3/3;微积分∇f (x1, …, x n) 偏导数组成的向量 (df若f (x,y,z) = 3xy + z2则∇创作时间：二零二一年六月三十日1, …, df / dx n). f= (3y, 3x, 2z)f (x1, …, x n), ∂f/∂xi是f的对x i.若f(x,y) = x2y, 则∂f/∂x = 2xy暗示M的鸿沟∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : || x || = 2}暗示f(x)的次数( 也记作y暗示x垂直于y; 更一般的x正y.若l⊥m和m⊥n则l || n.x是最小的元素. ∀x: x∧ ⊥ = ⊥暗示A蕴含B, 在A成立的每个模, B也成立.A⊧A∨ ¬A暗示y由x导出. A→ B⊢¬B→ ¬A创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 ◅ 正则子群N ◅G 暗示 N 是G 的正则子群.Z (G ) ◅G 是…的正则子群 群论/ 商群G /H 暗示G 模其子群H 的商群.{0, a , 2a , b , b +a , b +2a } / {0, b } = {{0, b }, {a , b +a }, {2a , b +2a }} 模 群论≈ 同构G ≈ H 暗示 G 同构于 HQ / {1, −1} ≈ V , 其中 Q 是四元数群V 是 克莱因四群. 同构于 群论∝ 正比G H 暗示 G 正比于 H若Q V , 则 Q =K V 正比于 所有领域创作时间：二零二一年六月三十日。

第三单元千克与克之羊若含玉创作一懂得千克和克.1. 明白用途：称一般物品有多重，经常使用千克作单位.称较轻物品有多重，经常使用克作单位.2. 明白写法：千克又叫做“公斤”，也可用符号“kg“暗示.克可用符号“g”暗示.3. 生活中的应用：以生活中的物品为例，1）知道哪些物品通经常使用“千克”做单位，哪些物品经常使用“克”做单位.2）能举例说明 1克重的物品有哪些（一枚两分硬币）1千克重的物品有哪些（一个柚子、大约5个苹果……）3）可以或许看图写出称上暗示的重量.要看清称上标出的单位. 如果称上数字没有全部标出，要看清一大格或一小格暗示若干.二千克与克的进率1. 1千克＝1000克（可以从字面“千”入手，引导孩子记忆进率）2. 进率转换时需要注意的问题－－0的个数.一定是在千克数量的基本上增加三个0或在克数量的基本上削减三个0.尤其注意90千克＝（）克10000克＝（）千克这样的题目.三正确填写单位名称1. 理清学习过的各类暗示单位的词.题目中往往不但仅出现重量单位，还可能搀杂着以前学习过的长度单位.分清用途，才干正确填空.2. 书上列举出的各类物品重量都是以什么作为单位名称的，要清楚.例如：一本数学书大约重300克.3. 具体答题时，不但要懂得物品的通例情况，更要注意题目给出的数量是若干.例如： 1个苹果重200（） 5个苹果重2（）1颗葡萄大约重3（）1串葡萄大约重1（）……四重量的大小比较1. 先统一单位，再比较.例如：2千克（）15000克单纯看单位，疏忽数字就有可能出错.2. 排序重量的排序，经常都是一些数字差未几的题目.既要注意数字、更要看清单位.少数孩子看题不细致，还会疏忽题目要求的排序顺序，排反的情况时有产生，因此重复读题很重要.在家里可以要求孩子把这样的题目读出声音来.五实际应用1.“合若干千克”.这样的问题往往出现在题目中最后求出的答案为“整千”克数.不克不及直接在答话中写出“合……千克”，而应填补一道算式：……克＝……千克，再答话.（不然扣分）2. 油桶问题（难点）一桶油连油带桶共重200千克，倒出一半油以后，连桶重110千克.问：原来油重若干千克？油桶重若干千克？解题思路：1）剖析前后两次重量的不同.相同点：都是连桶带油.不合点：重量轻了.2）为什么会轻？（解题的症结）因为倒出了油（要强调，倒出的是纯油的重量，没有其它的重量包含在内.）3）再看已知条件：倒出若干油？（重复强调只有油的重量）一半油－－－－求出全部油的重量最后求出油桶的重量3. 估量重量问题（难点、积年必考题）1）用直尺画线的办法帮忙估量（注意画线的位置，应从水面椭圆形图的中间开端）.2）对于不是一半数量的断定，可以运用到学习过的分数知识，也可以用平均分的思维方法帮忙断定.3）要注意题目标要求：空杯？水？照样“水＋杯”的重量？（题目比较灵巧，建议多练.）4. 简略的等量代换第四单元加和减应知应知一．估量得数是几十多.症结1：估量得数是几十多时，可以先把两个数十位上的数相加、减，再依据个位上相加、减后是否进位或退位，最落后行断定.症结2：估量的得数应用“汉字”暗示.例如：35＋32（六十多）37＋55（九十多）85－63（二十多） 50－37（一十多）二．口算进位加法，掌握口算的办法.症结：将两个加数的十位、个位分离相加，再看个位之和如果要进位，就在十位之和上加1.27＋35（先算20＋30＝50，再算7＋5＝12，12满10进1所以27＋35＝62）三．口算退位减法，掌握口算的办法.症结：先盘算个位相减，如果不敷减，向十位借1，最后再盘算十位相减.50－37（先算0－7，不敷减，向十位5借1，再算十位4－3＝1，合起来就是13）四．一千几百、整百数加减整百数的口算办法.症结：盘算时可以将末尾的0先放在一边，进行其它数字盘算后，有几个0就在得数的末尾添上几个0.例如：700＋400 500＋600 900＋300五．实际应用（两步盘算）.1.选择路线问题：例：估量，熊猫馆到山君馆走哪条路最近？说一说你是怎样估量的.解答：估量的办法有两种：一种是知识估量，也就是“直线距离”最短，应此选择35＋44＝79（米）别的一种，可以联合加法的估算成果来进行比较.54＋42（九十多）、35＋44（七十多）、38＋52（九十）因此照样选择35＋44的路线为最近.注：在实际答题时，作为解决问题，不成以直接写答话，无论采取的是哪一种比较的办法，都应该把暗示旅程的算式列出来，同时在答话中加以说明.症结：1）能准确看清线段图中1份数和几份数之间的关系.2）要注意问题最后要求的到底是什么.3）可以或许用两种办法解决此类型的题目.例：办法1：先求出第二条线段：5×4＝20（米）再求出总和：5＋20＝25（米）办法2：先求出总“份数”：1＋4＝5再依据一份数是“5”，求出总和：5×5＝25（米）例：办法1：先求出长线段：16＋7＝23（米）再求出总和：16＋23＝39（米）办法2：假设：两条线段一样长，总长为：16×2＝32（米）再加上实际增加的“7米”：32＋7＝39（米）3.依据题目，画出线段图，再解答.症结：1）线段图的每份数要基底细等2）已知条件必须全部标清：①种类；②数量3）所求问题要标出，即“？”标在哪里.例：鸭有18只，鸡的只数是鸭的2倍，鸡和鸭一共有若干只？请你画出这道题的线段图.例：大汽车有45辆，小汽车比大汽车多17辆，小汽车和大汽车一共有若干辆？请你画出这道题的线段图.1）第一小组有3人，每人要做8朵；第二小组有3人，一共要做26朵，两个小组一共要做若干朵？症结：第一组提供的是人数和平均数，而第二组提供的是总数.2）5只山公一共采了64个桃子，分离装在3个篮子和一个筐里，已知筐里装了28个桃子，平均每个篮子里装了若干个桃子？症结：篮子里的桃子是装完筐里的28个后再平均分的.3）黑天鹅有28只，白日鹅的只数比黑天鹅的3倍多9只，白日鹅有若干只？4）三年级一班借书28本，二班借书33本，三班借书的本数比一班和二班的总和少24本，三班借书若干本？5）妈妈比女儿大27岁，又恰好是女儿年纪的4倍.问：妈妈和女儿各若干岁？（差倍问题，也是书上的思考题，用画线段图的办法帮忙懂得.）第五单元 24时记时法应知应会一．依据时间画出钟面上的指针.症结1：时针→ 粗而短分针→ 细而长症结2：钟面一大格→ 1小时/5分钟1时 12时05分二．普通记时法与24时记时法的区别.一天的24小时，习惯上有两种记时法.1.普通记时法：把24小时分成两段，每段12小时.从子夜0时→ 中午12时是第一段.从中午12时→ 子夜12时是第二段.2.24时记时法：0时→ 24时 .如：下午1时就是 13时夜里12时就是 24时，又叫0时.三．普通记时法与24时记时法转换的办法.1.普通记时法：从0时→12时为止，数字不超出12.必须在时刻前写出“上午、中午、下午、晚上、清晨”这样的时间段.例如：上午8时中午12时30分清晨0时晚上12时2.24时记时法：从0时→24时为止.中午12时以后的时刻，就加上12时.书写时不写出暗示时间段的词语.如果没有超出中午12时或下午1时（13时），写的时候只要把暗示时间段的词语去失落就可以了.例如：20时 12时30分 24时 19时演习：（普通记时法→24时记时法）上午8时________ 中午12︰30________下午2时________ 傍晚6︰25________晚上9时________ 晚上12时________演习（ 24时记时法→普通记时法）9时30分___________ 12︰30___________16时___________ 18︰00___________23时___________ 0︰00____________四．小时与时的区别应用.1.小时：又可称为时间.通常，时间暗示有起点，又有终点的一个进程.例如：妈妈上班工作8小时.2.时：又可称为时刻.只暗示时间进程中的一个点.例如：妈妈8时上班.例：某科技馆上午9时开馆，下午4时闭馆，天天开放时间为7小时.暗示时刻的：上午9时下午4时暗示时间的：7小时五．求经由时间的应用题.症结1：注意记时法的统一.（便利盘算）例：商店的营业时间：上午8时–下午5时，盘算商店的营业时间.下午5时=17时 17时-8时=9（小时）5-8=9（小时）错误症结2：盘算的进程中，每一个时间都要把“时、分”这样的单位名称写清楚.例：盘算售票处一天的营业时间 6︰30～11︰30； 13︰30 ～ 20︰30 上午：11时30分-6时30分=5（小时）下午：20时30分-13时30分=7（小时）共：7+5=12（小时）症结3：盘算成果的单位名称要注意.（小时/时/分）例：片子下午2时30离开端，放映2小时，停止时间是？下午2时30分+2小时=下午4时30分例：妈妈上午9时上班，下午5时下班，一天工作多久？下午5时=17时17时-9时=8（小时）症结4：如果遇到不敷减或要进位的情况，应以60为进、退位尺度.（1小时=60分）例：8时35离开端上课，9时15停止，上课时间多长？9时15分=8时75分8时75分-8时35分=40（分钟）例：足球比赛，从下午4点开端，经由130分钟，比赛停止时间是几点？130分=2小时10分下午4时+2小时10分=下午6时10分症结5：盘算时出现跨天到次日，应以24时为尺度，先算出前一天的时间，再加上次日的时间.例：火车晚上8时出发，次日上午9时到达目标地，行驶了几小时？晚上12时-晚上8时=4（小时）……前一天4+9=13（小时）例：盘算娱乐场合营业时间：21时～次日7时24时-21时=3（小时）……前一天3+7=10（小时）特殊的时间问题：1. 列车时刻表到站（出发）时间-开车时间=运行时间2.停电通知星河一村 9︰00～13︰30星河二村 13︰00 ～ 16︰00小林在下午2时回到家，发明家里停电，你知道她家住在哪儿吗？还需要多长时间才会来电？下午2时=14时家住星河二村16时-14时=2（小时）还需要2小时才会来电16时-13时=3（小时）×（因为小林下午2时到家，这里问的“需要多长时间”指的是小林在家里还需要等多长时间才会来电）。

小学数学中罕有的数学思惟办法有哪些？1.对应思惟办法对应是人们对两个聚集身分之间的接洽的一种思惟办法,小学数学一般是一一对应的直不雅图表,并以此孕伏函数思惟.如直线上的点（数轴）与暗示具体的数是一一对应.2.假设思惟办法假设是先对标题中的已知前提或问题作出某种假设,然后按照题中的已知前提进行推算,根据数目消失的抵触,加以恰当调剂,最后找到准确答案的一种思惟办法.假设思惟是一种有意义的想象思维,控制之后可以使要解决的问题更形象.具体,从而丰硕解题思绪.3.比较思惟办法比较思惟是数学中罕有的思惟办法之一,也是促进学生思维成长的手腕.在教授教养分数应用题中,教师擅长引诱学生比较题中已知和未知数目变更前后的情形,可以帮忙学生较快地找到解题门路.4.符号化思惟办法用符号化的说话（包含字母.数字.图形和各类特定的符号）来描写数学内容,这就是符号思惟.如数学中各类数目关系,量的变更及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母暗示数,以符号的浓缩情势表达大量的信息.如定律.公式.等.5.类比思惟办法类比思惟是指根据两类数学对象的类似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁徙到另一类数学对象上去的思惟.如加法交换律和乘法交换律.长方形的面积公式.平行四边形面积公式和三角形面积公式.类比思惟不但使数学常识轻易懂得,并且使公式的记忆变得顺水推舟的天然和简练.6.转化思惟办法转化思惟是由一种情势变换成另一种情势的思惟办法,而其本身的大小是不变的.如几何的等积变换.解方程的同解变换.公式的变形等,在盘算中也经常应用到甲÷乙=甲×1/乙.7.分类思惟办法分类思惟办法不是数学独有的办法,数学的分类思惟办法表现对数学对象的分类及其分类的尺度.如天然数的分类,若按可否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数.又如三角形可以按边分,也可以按角分.不合的分类尺度就会有不合的分类成果,从而产生新的概念.对数学对象的准确.合理分类取决于分类尺度的准确.合理性,数学常识的分类有助于学生对常识的梳理和建构.8.聚集思惟办法聚集思惟就是应用聚集的概念.逻辑说话.运算.图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思惟办法.小学采取直不雅手腕,应用图形和什物渗入渗出聚集思惟.在讲述公约数和公倍数时采取了交集的思惟办法.9.数形联合思惟办法数和形是数学研讨的两个重要对象,数离不开形,形离不开数,一方面抽象的数学概念,庞杂的数目关系,借助图形使之直不雅化.形象化.简略化.另一方面庞杂的形体可以用简略的数目关系暗示.在解应用题中经常借助线段图的直不雅帮忙剖析数目关系.10.统计思惟办法：小学数学中的统计图表是一些根本的统计办法,求平均数应用题是表现出数据处理的思惟办法.11.极限思惟办法：事物是从量变到质变的,极限办法的本质恰是经由过程量变的无穷进程达到质变.在讲“圆的面积和周长”时,“化圆为方”“化曲为直”的极限朋分思绪,在不雅察有限朋分的基本上想象它们的极限状况,如许不但使学生控制公式还能从曲与直的抵触转化中萌发了无穷逼近的极限思惟.12.代换思惟办法：他是方程解法的重要道理,解题时可将某个前提用此外前提进行代换.如黉舍买了4张桌子和9把椅子,共用去504元,一张桌子和3把椅子的价格正好相等,桌子和椅子的单价各是若干？13.可逆思惟办法：它是逻辑思维中的根本思惟,当顺向思维难于解答时,可以从前提或问题思维寻求解题思绪的办法,有时可以借线段图逆推.如一辆汽车从甲地开往乙地,第一小时行了全程的1/7,第二小时比第一小时多行了16千米,还有94千米,求甲乙之距.14.化归思维办法：把有可能解决的或未解决的问题,经由过程转化进程,归结为一类以便解决可较易解决的问题,以求得解决,这就是“化归”.而数学常识接洽慎密,新常识往往是旧常识的引申和扩大.让学生面临新知会用化归思惟办法去思虑问题,对自力获得新知才能的进步无疑是有很大帮忙.15.变中抓不变的思惟办法：在纷纷庞杂的变更中若何掌控数目关系,抓不变的量为冲破口,往往问了就水到渠成.如：科技书和文艺书共630本,个中科技书20%,后来又买来一些科技书,这时科技书占30%,又买来科技书若干本？16.数学模子思惟办法：所谓数学模子思惟是指对于实际世界的某一特定对象,从它特定的生涯原型动身,充分应用不雅察.试验.操纵.比较.剖析分解归纳分解等所谓进程,得到简化和假设,它是把生涯中实际问题转化为数学问题模子的一种思惟办法.造就学生用数学的眼力熟悉和处理四周事物或数学问题乃数学的最高境界,也是学生高数学素养所寻求的目的.17.整体思惟办法：对数学问题的不雅察和剖析从宏不雅和大处着手,整体掌控化零为整,往往不掉为一种更便捷更省时的办法.2. 小学生应当形成的根本运动经验有哪些？1.收集信息.提出问题的经验2.收集交换.剖析问题的经验3.收集着手操纵.懂得问题的经验4.收集积聚自立摸索.解决问题的经验5.收集积聚生涯中的经验6.收集着手操纵.懂得问题的经验7.收集着手操纵.懂得问题的经验3. 扼要谈谈学业评价具有哪些功效？一方面要强调评价对学科教师教授教养的鼓励感化.诊断感化和促进感化.另一方面要留意弱化评价的提拔与甄别功效.评价成果要有利于激发学生的内涵进修念头,帮忙学生明白本身的缺少和尽力偏向,促进学生进一步的成长.要尽量弱化评价对学生的提拔与甄别功效,减轻评价对学生造成的压力.教师也要根据评价的反馈成果,反思教授教养进程,改良教授教养办法,进步教授教养才能.慢慢地形成评价与教授教养的互相促进感化.4. 具体谈谈学业评价具有哪些特点？一要尊敬每一个学生,帮忙每一个学生形成健康的价值不雅我们体育先生在教授教养中,要积极地应用多种教授教养手腕创设情境,调动学生积极介入实践运动和互相交换,鼓励学生勇于表达自已的不雅念和倾听他人的思惟.实践运动为学生的合作与交换供给了充分的机遇,学生可以根椐本身的专长和兴致自由联合,选择本身爱好的方法开展实践运动,充分展现情绪.立场和价值不雅.教师要在学生的实践运动中实时评价学生的情绪.立场和价值不雅,以引诱学生在实践运动中可以或许得到很好教练和收成.二要承认个别的差别,帮忙每一个学生成长自身的多元潜能每一个学生都具有不合于他人的先天本质和生涯情形,都有本身的快活爱好.长处和缺少.学生的差别不但表示在学业成绩上,还表示在心理特色.心理特点.念头兴致.快活爱好专长等各个方面.是以,我们在对每一个学生进行评价时应多看他的长处,为每一个学生提出合适他本身的有针对性的建议.三要进步自身的程度,帮忙每一个学生科学健康快活地成长新课程请求我们体育教师在教授教养中帮忙学生树立优越的进修立场,造就学生的进修自动性和创造性.为此教师应把鼓励性评价贯串于教授教养的每一个环节,如教师对学生的一个微笑.一个眼神.这些看似微缺少到的神色赐与学生的倒是信念和动力.实施鼓励性评价,可以充分施展每一个学生的主体意识和才能,加强学生进修的自负念,激发学生自立进修的积极性,对学生的心理健康有很大的促进感化.5. 教师若何经由过程学业评价促进学生公平成长？（1）改变教室教授教养不雅念.教室教授教养不雅念是教师教室行动的指点思惟,要建构公平的教室就必须改变教室教授教养的不雅念,由“选择合适教导的学生”到“创造合适学生的教导”是现代教导不雅念的重大改变.（2）加强师德扶植.英语教师在实施学业评价时,要做到公平忘我,要周全收集反应学生进修状况的原始材料,如学生的功课.磨练试卷.问卷查询拜访表.小论文.运动进程记录等.评价者要明白学业评价对学生的鼓励和促进感化,要意识到学业评价对学生的重要影响,要卖力规范.谨严过细地做好评价工作,使每个学生都得到客不雅.真实的评价.在学业评价中,要杜绝轻视.压抑.排斥.成见等评价行动.（3）树立科学的学业评价系统.①强调成长性评价,表现学业评价的鼓励性.②凸起分解性评价,表现学业评价的科学性.③实施弹性评价,表现学业评价的灵巧性.6. 数学功课有哪些功效？一.设计功课时,要有味味性,让学生在快活中求知.兴致是进修的最好先生,当学生的兴致进步了,进修愿望天然而然就进步了.是以,教师在设计功课时,特殊要在“寓做于兴致之中”高低工夫,也就是说最好把数学常识编成故事.童话.游戏等情势,使学生一看到功课的内容就来劲,就伎痒,激发了学生的求知欲.有味,使学生同意做.乐于做.二.设计功课时,要有实践性,让学生在实践中求知.“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”,获取常识非要逼真的体验不成.为此,教师要联合有关的教授教养内容,接洽实际生涯中的实际问题,安插有实践性的功课,让学生在亲自实践中去体验所学的常识,在实践中应用常识.盘活常识,经由过程实践使之再进修.再摸索.再进步最终使学生形成解决实际问题的才能.让学生用所学的常识解决实际生涯中的问题,同时在实践中巩固所学的常识.学生在完成这一系列实践功课的进程中,不但造就了与人合作.收集信息.学乃至用等多种才能,并且学生的创造性思维也得到了不合程度的进步.三.设计功课时,要具有凋谢性,让学生在运动中求知.教师在设计功课时要擅长探讨常识中的潜在身分,合理.恰当.奇妙.灵巧地设计一些凋谢性功课,对学生的思维进行求“新”.求“全”.求“活”的调控,让学生发散思维,敢于别具一格,提出各类问题,大胆创新.凋谢性的功课,能让学生对所获信息采纳不合的处理办法,会得到不合的解决成果,并从中发明最有用的解决问题的办法,闪耀着学生奇特的创新精力,从而造就学生的创新才能. 7. 简述试题的编制进程.试题编制必须根据国度课程尺度,杜绝设置偏题.怪题,要采取情势多样的测验方法,周全斟酌学生的基本性成长目的和学科进修目的,既要看重学生的进修成绩,也要看重学生的思惟品格以及多方面潜能的成长,重视学生的创新才能和实践才能,尽力拓展试题思维的空间,增长试题的多样性和选择性,多给学生自立选择的权力,让不合层次.进修才能有差别的学生各取所需,力图让每个学生的专长和潜能在测验中都能得到充分地展现,以周全呵护他们进修的自负念和积极性,促进学生的共性成长.要充分应用测验促进每个学生的进步,进而使其整体本质得到晋升.(1) 制订测验解释.(2) 拟定编题筹划.(3) 肯定双向细目表 .（4) 草拟试题.(5) 筛选组卷.(6) 拟定参考答案及评分细则.8. 若何做好分解本质评价？在进行分解本质评价时,先生会给学生们分发测评表,起首学生须要给本身打分,然后撰写自我评价和学期总结.随后,全班同窗会依次上台朗读自我评价,朗读完毕后,台下的同窗们就会开端给被测评同窗提看法或给五个维度打分.班干部或班主任会记录全班同窗的打分,最终数据成果是全班同窗评分的平均数.或为了公平起见,班主任会分发给学生一张打分表,上面记录着全班同窗的姓名和五个维度,以匿名的方法给全班同窗（包含本身）打分,然后上交至班主任,整顿数据.然后,学生们还要去请求班主任或代课先生为本身撰写学期评价.九年级的”分解本质评价“数据将计入中考档案和学生档案,作为中考和升学的帮助参考数据.最终成果的组成来自于50%的同窗互评和50%的师评.自评不算入个中,只能作为测评参考数据但存档.9. 盘算题命题时的要点.选择题因为其题短小.检讨面宽.解法灵巧.评分客不雅.批阅便利.宜于机读等特色越来越多地为人们所采取.本文给出选择题命题的要点, 1题干要简练.清楚明了,防止应用学生未接触过的或难明的名词或术语. 2题干与备选答案(或称选择支)之间要有独一的对应性.10. 若何盘算试题的难度系数？把试题收录到试题库前,往往须要先辈行多次测试,相符请求的才录入.而断定的根据重要有二：难度系数和差别系数. 别的,每一次考完试后,先生也应当对试卷从难度和差别力长进行剖析,以帮忙找出教授教养和命题中的缺少. 什么是试题难度系数？难度系数反应试题的难易程度,即考生在一个试题或一份试卷中的掉分程度. 测验难度系数盘算公式如下： Dc=1-A/T Dc：难度系数A：考生平均得分（如盘算总体难度系数,则为全卷平均分;如盘算单题难度系数,则为本题平均分） T：满分举例：总体难度系数：一份满分100分的试卷,考生平均得分78分,则难度系数为1-78/100=0.22 单题难度系数：一道题值2分的试题,考生平均得分1.5分,则难度系数为1-1.5/2=0.25 至于一道题或一份试卷的难度系数到底若干为宜,要根据不合的命题须要来选择.并且,即使统一套试题,不合的答题人群做完后盘算出的难度系数也是不合的.幻想的难度系数以控制在0.2阁下为宜. 什么是试题差别系数？区分系数反应试题区分不合程度受试者的才能,即可否考出学生的不合程度,把优良.一般.差三个层次的学生真正分别开. 试题差别系数盘算公式如下：先把成绩从高到低排序,前50%的考生为高分组,后50%为低分组,（样本大的时刻,也可以取前.后各20%.） Dr=2（Ah-Al）/T Dr：差别系数 Ah：高分组平均分 Al：低分组平均分 T：满分举例：总体差别系数：一份满分100分的试卷,高分组平均得分90分,低分组平均得分60分,则差别系数为2（90-60）/100=1.7 单题难度系数：一道题值2分的试题,高分组平均得分1.5分,低分组平均得分0.5分,则差别系数为2（1.5-0.5）/2=1 因为受多种随机身分如：遗传.智力.共性.时光.教师.尽力的程度等的影响,测验成绩一般应呈正态散布.区分系数高的测验,优良.一般.差三个层次的学生都有必定比例,假如某一分数区间学生相对分散,高分太多或不合格太多的测验,区分系数则低.幻想的差别系数以控制在1.5阁下为宜.某些重要的.学生应知应会的必考常识点,单题难度系数许可为“0”.。

暗示数学太差的文案短句暗示数学太差的文案短句为题目录：1. 数学，你与我无缘2. 数学符号，我永难理解3. 转角遇到数学题，我害怕得发抖4. 算数难题，我的心都碎了5. 数学公式，简直就是外星文6. 数学考试，我的噩梦开始了7. 数学老师，我真的需要你的帮助1. 数学，你与我无缘说到数学，我实在是无从下手。

就算是最基础的加减乘除，我也总会搞错，让人无法理解。

看到数学题，我就像是被关在了一个迷宫中，找不到出口。

不管怎么努力，我与数学似乎永远无缘。

2. 数学符号，我永难理解那些看似简单的数学符号，在我的眼里却宛如天书。

加号、减号、乘号、除号，每一个都让我感到头疼。

更别提那些复杂的函数符号，我简直无法理解它们到底代表着什么。

每次看到这些符号，我都感到内心的恐惧。

3. 转角遇到数学题，我害怕得发抖每当我转个弯，突然面对一道数学题，我就感到全身的颤抖。

我的大脑仿佛瞬间瘫痪，无法思考。

问题越简单，我越是紧张。

每一道数学题都成为了我心中的噩梦，让我恐惧不已。

4. 算数难题，我的心都碎了算术题本应该是小学生的游戏，可对于我来说却是一种无法逾越的障碍。

无论是加减乘除，还是四则混合运算，我总是判若两人。

答案总是与我的预期相差甚远，让我心碎不已。

我宛如一个被数学击败的战士，无法找到战胜的方法。

5. 数学公式，简直就是外星文一看到数学公式，我就仿佛置身于一个陌生的星球。

那些字母、数字和符号的组合，让我完全看不懂。

无论是贝叶斯公式、勾股定理，还是复杂的微积分公式，它们就像是一种神秘的外星文，让我感到无比的茫然和绝望。

6. 数学考试，我的噩梦开始了一到考试的日子，我就感到整个世界都变得灰暗起来。

数学题堆积在我的眼前，仿佛是一座高大的山峰，我无法攀登。

每一道题都让我束手无策，我简直不知道从何下手。

数学考试成为了我噩梦的开始，让我感到无尽的恶梦。

7. 数学老师，我真的需要你的帮助面对漫长的数学之旅，我逐渐认识到我需要一位悉心引导的数学老师。

毕业论文文献综述小学教育六年级学生数学符号语言的理解国内外对数学语言各个方面的研究都必然会或多或少的涉及到数学符号。

事实上，针对数学符号语言各方面进行的研究也有许多，中外学者在这方面都有丰硕的研究成果。

一、国内研究现状：1.数学符号语言的内涵“数学本身是一种语言，一种简约的科学语言”。

(张奠宙，2003)从数学符号的角度来看，数学语言是表达数学对象之间的关系和形式的符号系统。

数学符号是数学语言的主要成分。

(张乃达，1990)有学者提出，数学语言是符号与记号组成的语言。

(刘云章，1993)同时，数学语言是以数学符号为主要词汇，数学公理、定理、公式等为语法规则构成的一种科学语言(肖翠娥，1998)。

数学语言是用数学符号和数理式子加上文字来描述事物的实质定义，或事物数量的发展变化过程，或各事物间的数量关系的。

(庄晓琼，2005)从语言与思维的关系的角度，有学者提出，数学语言是表达数学思维的科学语言。

从数学语言构成的角度，有学者提出，数学语言是指运用数学术语、符号和图象表达的语言(万国全，2001)。

还有学者提出，数学学科中按照一定的规则表达数学意义、交流数学思想的符号、图形和图像就是数学语言(管梅，2002)。

2.数学符号语言的分类李士琦先生从来源上将上述符号分为两类:一类是纯粹按照约定方式表示特别的内涵，例如，e表示一个数2.718…；n！表示式子n(n一l)(n一2)…·3·2·l等等。

李士绮认为，“这些符号本身不带初始意义，”一般只能在学习过程中逐步地根据规定来熟悉、记忆和使用。

”另一类是有一定出处的符号，例如，h是出自于英文heigh(高)的缩写(首字母);直角三角形RtΔ也是出于英文Right(直角）的缩写；∫是sum(和）首字母S拉长的变形。

他认为，我们日常数学符号教与学可以充分利用这一点。

(李士琦，2001)刘云章先生也在其著作《数学符号学概论》中对数学符号的分类进行了探讨，认为数学符号可以分为以下四类:①元素符号:表示数和几何图形的符号。

关于数学符号的小故事故事的主人公是一个叫小明的学生，他在学校学习数学时遇到了一个难题，求一个三角形的面积。

他知道三角形的面积公式是S=1/2底边高，但是他不知道如何求出底边和高。

于是，他向老师求助。

老师告诉他，可以利用三角形的高和底边来求面积，而高可以通过垂直于底边的线段来求得。

小明听了老师的话后，感到有些困惑，他问老师，“老师，为什么要用这些符号来表示呢？为什么不能直接用文字来描述呢？”老师笑着回答说，“小明，符号是数学语言中非常重要的一部分，它们能够简洁地表达数学概念，让我们能够更清晰地理解和解决问题。

”。

小明听了老师的解释，恍然大悟。

他意识到，数学符号的使用不仅能够简化表达，还能够提高数学问题的解决效率。

于是，他开始努力学习数学符号的使用方法，希望能够更好地理解和应用数学知识。

在接下来的学习中，小明发现了许多有趣的数学符号。

比如，他发现了希腊字母π，它代表着圆周率，是一个无理数，它的值约为3.14159。

他还发现了平方根符号√，它表示一个数的平方根，能够帮助我们求解平方根的值。

除此之外，他还发现了许多其他的数学符号，它们都能够帮助我们更好地理解和解决数学问题。

通过不断地学习和实践，小明终于掌握了利用数学符号解决问题的方法。

他发现，数学符号的使用能够让数学问题变得更加简单和直观，让人们能够更轻松地理解和应用数学知识。

通过这个小故事，我们不难看出，数学符号在数学学习和应用中起着非常重要的作用。

它们能够简洁地表达复杂的数学概念，帮助我们更好地理解和解决问题。

因此，我们应该努力学习和掌握数学符号的使用方法，让它们成为我们解决数学问题的得力工具。

在数学的世界里，符号是一种非常重要的语言，它们能够简洁地表达复杂的数学概念，帮助我们更好地理解和解决问题。

今天，我想和大家分享一个关于数学符号的小故事。

故事的主人公是一个叫小明的学生，他在学校学习数学时遇到了一个难题，求一个三角形的面积。

他知道三角形的面积公式是S=1/2底边高，但是他不知道如何求出底边和高。

浅谈数学语言教学策略作者：安瑞杰来源：《科教导刊·电子版》2013年第31期摘要懂得数学就意味着会用它去解决生活中、各科学技术领域以及实践活动中产生的各种问题，那么，十分清楚，数学教学也就是数学语言的教学。

因此，我们必须加强数学语言的教学，了解学生数学学语言障碍的类型。

关键词数学语言教学策略中图分类号：G633.6 文献标识码：A1学生数学语言障碍的类型所谓数学语言障碍，就是学习者在接受或运用数学语言信息时不能顺利进行识别、理解、组织、转换等活动的一种状态。

按照不同的表达形式，数学语言障碍可分为文字语言障碍、图表语言障碍和符号语言障碍。

根据数学语言能力的组成成分，按照层次、表现的不同，它又可分为以下几种情况：1.1数学语言识别障碍它是指学生不能识别数学语言的基本届性及其暗尔的信息。

数学语言识别障碍包括两个层次：①不能识别数学语言的基本届性及其所表示的数学对象；②不能识别符号语言的暗示功能。

例如，当学生面对一组数2，0.12，3.14159时，必须识别哪些是整数、小数、有理数、无理数。

假如该生把3.14159当成是€%i，那么这就发生了数学语言识别障碍。

有些学生不能识别符号语言的暗示功能，从而不能根据符早的暗示信息采取正确的解题策略。

1.2数学语言理解障碍它是指学生在理解数学词语、数学命题等数学语言信息时产生了困难，从而不能完全理解数学语言，木能把握它们之间的关系。

数学语言理解障碍包括3个层次：①未能正确理解数学词语；②难以理解各个数学语言信息块；③未能正确理解数学语言信息块之间的关系。

在数学语言的理解过程中，学生应该重视体现自己的已有知识对语言理解的程度。

缺乏有关的信息，或者未能激活记忆中的相关信息，就会导致数学语言理解障碍。

例如，如果学生对线段的垂线、线段的中点不理解，就不能理解线段的垂直平分线。

人们在语言信息的加工过程中常需进行推理，因此，推理能力弱也会导致数学语言理解障碍。

1.3数学语言转换障碍它是指学生在不同表达形式的数学语言之间，或在同一种表达形式的数学语言的内部进行转换时产生了困难。

《红楼梦》中数学思想的研究1. 引言1.1 研究背景《红楼梦》是中国古典文学史上的经典之作，被誉为中国古典小说四大名著之一。

这部小说不仅在文学方面有着极高的艺术成就，同时也蕴含着丰富的哲理和数学思想。

数学思想在《红楼梦》中的体现成为了学术界和文学界关注的焦点之一。

研究《红楼梦》中的数学思想不仅有助于深入理解小说本身，还可以为我们带来对数学思维的启示和启发。

探讨《红楼梦》中数学思想的研究背景具有重要的理论和实践意义。

为了更好地揭示《红楼梦》中数学思想的内涵和特点，有必要对这些数学思想进行深入剖析和探讨。

通过对《红楼梦》中数学思想的研究，可以更全面地了解这部文学巨著的内涵与价值，同时也有助于我们更好地认识数学在文学作品中的重要性和作用。

1.2 研究目的本文旨在通过对《红楼梦》中数学思想的深入探讨，揭示其中蕴含的数学奥秘及其在文学作品中的重要性。

通过分析小说中数学符号与象征的运用、数学问题对人物性格的分析以及数学意义在情节中的展现，探讨数学思想在小说中的具体体现及启示。

本研究旨在探讨《红楼梦》中的数学思想对现代数学教育的启示，希望能够为数学教育的发展提供新的思路和启发。

通过这些研究，更加深入地理解《红楼梦》这部经典文学作品，同时也为数学与文学之间的跨学科研究提供新的视角和理论基础。

1.3 研究意义数学思想不仅在《红楼梦》中扮演着重要角色，更展现了这部文学作品对于数学的深刻理解和独特创意。

通过研究《红楼梦》中数学思想的体现，可以丰富我们对于文学作品的解读和理解，同时也有助于我们更好地把握古代文学中蕴含的数学思想，进一步挖掘文学作品的深层内涵和价值。

2. 正文2.1 数学思想在《红楼梦》中的体现一、数字的象征意义在《红楼梦》中，数字经常被用来代表人物的命运、性格和命运的变化。

贾宝玉的名字中就包含着数字"8"，代表着兴盛和亨通。

贾宝玉的遭遇和经历也与数字"8"相关联，这种数字的象征意义使得人物形象更加丰满。

全等三角形的重难点一、确定全等三角形的对应关系在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角，是解决与全等三角形相关的问题的关键.全等三角形有许多对应的元素，怎样寻找这些对应元素呢？1.根据全等符号暗示的信息找对应符号语言是数学思维的载体，教材中说，“记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上”，此要求同学们在学习中要严格遵循，养成按对应顶点表示全等三角形的习惯，并且按“对应顶点记位置”的特点找全等三角形的对应边、对应角，达到无需看图也能迅速找出两个全等三角形的对应边和对应角的目的.例1已知△ABC≌△BAD，如果AB=8，BD=9，AD=11，那么AC= .【分析】一般情况下，在用符号≌表示两个三角形全等时，我们是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，根据这个规则可知：对应位置上的字母就是表示对应顶点的字母，对应位置上的字母表示的线段就是对应边，表示的角就是对应角.由题设已知中所给△ABC≌△BAD符号表示可知：AC与BD是对应边（如图1），所以AC=BD=9.例2已知△ABC与△DEF全等，∠A=30°，∠B=50°，则∠D=（）.A.30°B.50°C.100°D.以上三种情况都有可能【分析】注意本题与上例的区别，题目只说△ABC与△DEF全等，并没有给出对应法则（即没有用全等关系的符号）表示，所以会出现三种可能，选择D.2.观察图形特征暗示的信息找对应①有公共边的，公共边是对应边；②有公共角的，公共角是对应角；③有对顶角的，对顶角是对应角；④两个三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角的夹边是对应边；⑤两个三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边的夹角是对应角；⑥两个三角形中，一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边；⑦两个三角形中，一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.二、灵活选择运用判定方法三角形全等的证明有三条公理、一条推论以及直角三角形特有的斜边直角边公理.每个公理和推论都有自己的符号表示形式，如SAS、ASA、AAS、SSS、HL 等，在学习中可以充分考虑已知条件和图形的结构特点，利用公理及推论的字母表示形式去寻找解题思路，培养解题能力.如：（1）已知条件中有两边对应相等时，找两边的夹角或第三边对应相等（SAS、SSS）；（2）已知条件中有两角对应相等时，找两角的夹边或任何一组等角的对边相等（ASA、AAS）；（3）已知条件中有一边和一角对应相等时，找夹等角的另一组边对应相等，或任何一组角对应相等（SAS、AAS）.例3如图2，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为：.你得到的一对全等三角形是：.【分析】本例是一道条件探索型试题，需从结论出发，执果索因，考虑要图中存在全等三角形，现已有哪些条件，逆推还需添加什么条件，同时本例又是一道开放性试题，答案不唯一，从图中也可以直观地看出可能有△ACE与△ADE，△ABC与△ABD，△BCE与△BDE三对三角形全等.若要△ACE≌△ADE，现已有AC=AD，又AE=AE（公共边），故还需添加CE=DE（从边的角度考虑用SSS）或∠CAE=∠DAE（从角的角度考虑，已有两边，考虑两边的夹角用SAS）；若要△ABC≌△ABD，现已有AC=AD，又AB=AB（公共边），故还需添加BC=BD或∠CAB=∠DAB；当然由△ACE≌△ADE或△ABC≌△ABD，也可推得△BCE≌△BDE.故所添条件为：CE=DE，或∠CAE=∠DAE（∠CAB=∠DAB），或BC=BD.由此得到的一对全等三角形是：△ACE≌△ADE，或△ABC≌△ABD，或△BCE≌△BDE.三、熟悉三角形全等的基本图形在全等三角形的学习中，有很多的基本图形，我们通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察分析，看出其中一个三角形是由另一个三角形经过平移、翻折、旋转变换后形成的，我们将常见的三角形全等的基本图形整理如下：1.平移型：图3的图形属于平移型图形.它们可看成是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而证得.2.对称型：图4属于对称型图形.它们的特征是可沿某一直线对折，且这直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.3.旋转型：图5属于旋转型图形.它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中.这些基本图形都是由三角形经过图形的运动得到的，只有熟悉了这些图形，才能学会从复杂的图形中分离出题目需要的基本图形，对今后解决有关问题是大有益处的.在具体解题时，如能抓住基本图形，就比较容易找到解决问题的途径和方法.四、复杂图形拆分为基本图形当图形复杂时，我们可把不需要的线段、角隐藏，也可将图形分离、涂色等.图形分离就是面对一个较为复杂的图形时，我们从解题的需要出发，在保持图形中各元素（点、线、角等）相对位置不变的情况下，提取出原图形的一部分来分析问题的解决方法.分离出来的基本图形比原图形简捷，少了许多来自不相干的图形元素的干扰，看着简化后的图形，结合基本知识，诸多问题可迎刃而解.例4如图6，已知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，且B、C、E在同一直线上，求证：BD=AE.【分析】BD是△BED或△BCD的边，AE是△ABE或△ACE的边，显然△BED和△ABE不全等，故转而考虑△BCD和△ACE，将△BCD和△ACE涂色，特别关注这两个三角形，它们有BC=AC，CD=CE，尚需一个条件，即BC和CD 的夹角与AC和CE的夹角是否相等.因∠BCD=60°+∠ACD=∠ACE，故△BCD≌△ACE，从而BD=AE.【点评】当我们利用全等三角形证明线段或角相等时，首先观察线段或角在哪两个可能全等的三角形中，将它们涂色后加以特别的关注，然后再分析等的这两个三角形中，已知什么条件，还缺少什么条件，想方设法证得所缺条件。

有寓意的数学符号
在数学中，符号是一种抽象的表达，可以帮助我们更清楚地理解数学原理和规律。

它们也是一种普遍存在的语言，少数人掌握着它们的隐秘力量。

但究竟有哪些有寓意的数学符号呢？以下是一些著名的符号：
□：这是一个四边形，代表统一，也代表长久的成功。

⊙：它结合了圆的形状和正方形的形状，表示完美和完全的统一。

∴：这是一个非常常用的符号，表示“所以”。

它还可以表示道德解析和克服困难的力量。

≌：它表示两个等同数值或两个量代表同一结果，它也可以表示两个变量之间的相等关系。

Δ：这是一个很古老的三角形符号，它表示变化、力量和物质之间的变化。

∩：它代表交集，也就是两个集合之间的元素都存在于另一个集合中。

这也代表着社会间的相互关系，即每个人都有责任在团队或组织中建立相互信任的关系。

泰勒符号：它是一个弧状的符号，象征着时间的流逝，也暗示着一种持续的努力和执着的态度。

∞：这是一个无限的符号，表示永无止境，从而激励我们去追求更高的目标。

除了数学中的符号，生活中也有许多有寓意和启发性的符号，例如，心形，它可以表达爱情和情感；净化之火，代表清洁和纯净；恩
典之翼，表示礼貌和关爱他人。

另外，还有一些标志符号，例如禁止，它代表着禁令和礼仪；和平，它暗示着良善和和平；福，表示祝福和欢乐。

因此，在生活中，许多符号都具有某种寓意和启发性，它们不仅可以帮助我们理解问题，而且可以引导我们洞悉世界的秘密。

用符号来帮助我们理解生活，更能使我们活得有意义！。

高考笼统函数技巧总结之迟辟智美创作由于函数概念比力笼统，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部份知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质.现将罕见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量暗示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式经常使用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力.例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.对付法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 暗示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法.例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x xx x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数.例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比力系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的界说域关于原点对称，故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,无妨用-x 代换()f x +()g x =11x -………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =- 5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例6：设()f x 的界说域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解：∵()f x 的界说域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数.证明：令x =0, 则已知等式酿成()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.例8：奇函数()f x 在界说域（-1，1）内递加，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围.解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递加，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式的有关题目例9：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比力(1)(2)(4)f f f 、、的年夜小 解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)五类笼统函数解法1、线性函数型笼统函数线性函数型笼统函数，是由线性函数笼统而得的函数.例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f （y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域.分析：由题设可知，函数f（x）是的笼统函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性.解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数.在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］.例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f （x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解.分析：由题设条件可猜想：f（x）是y＝x＋2的笼统函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解. 解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调增函数.∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3.2、指数函数型笼统函数例3、设函数f（x）的界说域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立.求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负.分析：由题设可猜想f（x）是指数函数的笼统函数，从而猜想f （0）＝1且f（x）＞0.解：（1）令y＝0代入，则，∴.若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1.（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立.例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f （x）的解析式，如不存在，说明理由.分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜想存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确.（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确.综上所述，x为一切自然数时.3、对数函数型笼统函数对数函数型笼统函数，即由对数函数笼统而获得的函数.例5、设f（x）是界说在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：由题设可猜想f（x）是对数函数的笼统函数，f（1）＝0，f（9）＝2.解：（1）∵，∴f（1）＝0.（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故，解之得：8＜x≤9.例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.分析: 由题设条件可猜想y＝f（x）是对数函数的笼统函数，又∵y＝f （x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的笼统函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确.解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g （m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g （m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别取代上式中的m、n即得g （a＋b）＝g（a）·g（b）.4、三角函数型笼统函数三角函数型笼统函数即由三角函数笼统而获得的函数.例7、己知函数f（x）的界说域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是界说域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是界说域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由.（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由.分析: 由题设知f（x）是的笼统函数，从而由及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）.解：（1）∵f（x）的界说域关于原点对称，且是界说域中的数时有，∴在界说域中.∵，∴f（x）是奇函数.（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数.又，∵f（a）＝－1，∴，∴f （2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f （x）＞0.设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均年夜于零.f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数.综上所述，f （x）在（0，4a）上是增函数.5、幂函数型笼统函数幂函数型笼统函数，即由幂函数笼统而获得的函数.例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，那时，.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围.分析：由题设可知f（x）是幂函数的笼统函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数.解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数.（2）设，∴，，∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数.（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故.笼统函数罕见题型解法综述笼统函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于笼统函数暗示形式的笼统性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就笼统函数罕见题型及解法评析如下：一、界说域问题例1. 已知函数的界说域是［1，2］，求f(x)的界说域.解：的界说域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的界说域是［1，4］评析：一般地，已知函数的界说域是A，求f(x)的界说域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题.例2. 已知函数的界说域是，求函数的界说域.解：的界说域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的界说域是评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的界说域是A，求函数的界说域.正确理解函数符号及其界说域的含义是求解此类问题的关键.这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x 的取值范围.例2和例1形式上正相反.二、求值问题例3. 已知界说域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值.解：取，得因为，所以又取得评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来.赋值法是解此类问题的经常使用技巧.三、值域问题例4. 设函数f(x)界说于实数集上，对任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域.解：令，得，即有或.若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有.由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处置笼统函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的需要手段.四、解析式问题例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式.解：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键.通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保管一个变量，是实现这种转化的重要战略.五、单调性问题例6. 设f(x)界说于实数集上，那时，，且对任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数.证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有那时，；那时，而所以又那时，所以对任意，恒有设，则所以所以在R上为增函数.评析：一般地，笼统函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联.六、奇偶性问题例7. 已知函数对任意不即是零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性.解：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数.七、对称性问题例8. 已知函数满足，求的值.解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称.根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称.所以将上式中的x用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形.八、网络综合问题例9. 界说在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1.（1）判断f(x)的单调性；（2）设，，若，试确定a的取值范围.解：（1）在中，令，得，因为，所以.在中，令因为那时，所以那时而所以又当x=0时，，所以，综上可知，对任意，均有.设，则所以所以在R上为减函数.（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以即有又，根据函数的单调性，有由，所以直线与圆面无公共点.因此有，解得.评析：（1）要讨论函数的单调性肯定涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论.这是解题的关键性步伐，完成这些要在笼统函数式中进行.由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决.界说在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值.解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44故f x ()是周期为8的周期函数，例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且那时x >0，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.解：设x x 12< 且x x R 12，∈， 则x x 210->，由条件那时x >0，f x ()>0 又f x f x x x ()[()]2211=-+∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在笼统函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在界说域内的增减性，去失落“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数界说域的作用.例3 已知f x ()是界说在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围. 解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a . （1）那时a =2，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立.（2）那时32<<a ，（3）那时25<<a ，综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， .例4 已知f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔ 对x R ∈恒成立， 三. 解不等式这类不等式一般需要将常数暗示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去失落函数符号“f ”，转化为代数不等式求解.例5 已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，那时x >0，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.解：设x x R 12、∈且x x 12< 则x x 210-> ∴->f x x ()212， 即f x x ()2120-->， 故f x ()为增函数， 又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13. 四. 证明某些问题例6 设f x ()界说在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期.分析：这同样是没有给出函数表达式的笼统函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T. 证明： f x f x f x ()()()()=+-+121()()12+得f x f x ()()()=-+33由（3）得f x f x ()()()+=-+364 由（3）和（4）得f x f x ()()=+6.上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6. 例7 已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且那时x <0，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数.证明： 对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅.且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=， 现设x >0，则-<x 0，f x ()->1， 而f f x f x ()()()01=⋅-=∴<<01f x ()，设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<-<f x x ()，∴>f x f x ()()12，即f x ()为减函数. 五. 综合问题求解笼统函数的综合问题一般难度较年夜，常涉及到多个知识点，笼统思维水平要求较高，解题时需掌控好如下三点：一是注意函数界说域的应用，二是利用函数的奇偶性去失落函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去失落函数符号“f ”.例8 设函数y f x =()界说在R 上，那时x >0，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，那时m n ≠f m f n ()()≠.（1）证明f ()01=；（2）证明：f x ()在R 上是增函数； （3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满足的条件.解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅， ∴=f ()00或f ()01=.若f ()00=，那时m ≠0，有fm fm f ()()()+=⋅00，这与那时m n ≠，f m f n ()()≠矛盾， ∴=f ()01. （2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f fx f x ()()()011=⋅- （3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()由f a x b y c ()++=1得a x b y c ++=0（2） 从（1）、（2）中消去y 得()a b x a c x c b 2222220+++-<，因为AB =∅ ∴=-+-<∆()()()24022222a c ab cb ， 即a bc 222+<例9 界说在（-11，）上的函数f x ()满足（1），对任意x y ，，∈-()11都有f x f y f x yx y()()()+=++1，（2）那时x ∈-()10，，有f x ()>0，（1）试判断f x ()的奇偶性；（2）判断f x ()的单调性；（3）求证f f f n nf ()()()()15111131122+++++>…. 分析：这是一道以笼统函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题.解：（1）对条件中的x y ，，令x y ==0，再令y x =-可得f f f f x f x f f x f x ()()()()()()()()000000+=+-=⎧⎨⎩⇒=-=-⎧⎨⎩，所以f x ()是奇函数. （2）设-<<<1012x x ，则fx fx fx f x f x x x x ()()()()()121212121-=+-=-- x x x x 1212001-<<<，， ∴--<x x x x 121210，由条件（2）知f x xx x ()121210-->，从而有f x f x ()()120->，即f x f x ()()12>，故f x ()()在，-10上单调递加，由奇函数性质可知，f x ()在（0，1）上仍是单调减函数. （3） f n n ()1312++ 笼统函数问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为笼统函数.近年来笼统函数问题频频呈现于各类考试题中，由于这类问题笼统性强，灵活性年夜，大都同学感到困惑，求解无从下手.本文试图通过实例作分类解析，供学习参考. 1. 求界说域这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解.例1. 函数y f x =()的界说域为(]-∞，1，则函数y f x =-[l o g ()]222的界说域是___.分析：因为l o g()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以l o g()2221x -≤，解得 22<≤x 或-≤<-22x . 例2. 已知f x ()的界说域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的界说域是______.分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以 (1)那时-≤≤120a ，则x a a ∈-+()，1 (2)那时012<≤a ，则x a a ∈-()，12. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系. 例3. 已知f x ()的界说域为R ，且对任意实数x ，y 满足fx y fx f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数.分析：在fx y fx f y ()()()=+中，令x y ==1， 得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-= 于是fx f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数.例4. 若函数y f xf x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数y f x =()是偶函数.证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x=-()的图象关于原点对称， ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，又y f x 00=() 即对函数界说域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数.3. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解.例5. 如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最年夜值为-5 C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最年夜值为-5 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B.图1例6. 已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论.分析：如图2所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取xx x x 121200<<⇒->-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是偶函数，所以f x f xf x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数. 图24. 探求周期性这类问题较笼统，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解.例7. 设函数f x()的界说域为R，且对任意的x，y有f x y f x y f x f y()()()()++-=⋅2，并存在正实数c，使f c()2=.试问f x()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x=c o s满足题设条件，且cosπ2=，猜想f x()是以2c为周期的周期函数.故f x()是周期函数，2c是它的一个周期.5. 求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解.例8. 已知f x()的界说域为R+，且fxy fx fy()()()+=+对一切正实数x，y 都成立，若f()84=，则f(2)=_______.分析：在条件fxy fx fy()()()+=+中，令x y==4，得f f f f()()()()844244=+==，又令x y==2，得f f f(4)(2)(2)=+=2，例9. 已知f x()是界说在R上的函数，且满足：f x f x f x()[()]()+-=+211，f()11997=，求f(2001)的值.分析：紧扣已知条件，并屡次使用，发现f x()是周期函数，显然f x()≠1，于是f x f x f x()() ()+=+ -211，所以f xf x f x()()()+=-+=81 4故f x ()是以8为周期的周期函数，从而 6. 比力函数值年夜小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解.例10. 已知函数f x ()是界说域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的年夜小关系是_______. 分析： x x 1200<>，且||||x x 12<， 又x <0时，f x ()是增函数，f x ()是偶函数，故f x f x ()()->-12 7. 讨论方程根的问题例11. 已知函数f x ()对一切实数x 都满足f x f x ()()11+=-，而且f x ()=0有三个实根，则这三个实根之和是_______.分析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴. 又f x ()=0有三个实根，由对称性知x 11=必是方程的一个根，其余两根x x 23，关于直线x =1对称，所以x x 23212+=⨯=，故x x x 1233++=. 8. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号.例12. 已知函数f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式fk x fk x (s i n )(s i n)-≥-22恒成立，求k 的值.分析：由单调性，脱去函数记号，得由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立，则有9. 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解.例13. 若函数y f x =+()2是偶函数，则y f x =()的图象关于直线_______对称.分析：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象，而y f x =+()2是偶函数，对称轴是x =0，故y f x =()的对称轴是x =2.例14. 若函数f x ()的图象过点（0，1），则f x ()+4的反函数的图象必过定点______.分析：f x ()的图象过点（0，1），从而f x ()+4的图象过点()-41，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-. 10. 求解析式例15. 设函数f x ()存在反函数，g x f x h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称，则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --f x 1()D. ---f x 1()分析：要求y h x =()的解析式，实质上就是求y h x =()图象上任一点Px y ()00，的横、纵坐标之间的关系.点Px y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1()，即-=-x g y 00(). 又gxf x ()()=-1， 即h x f x ()()=--，选B. 笼统函数的周期问题2001年高考数学（文科）第22题：设f x ()是界说在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称.对任意x x 12012，，∈[]都有f xx f xf x ()()()1212+=⋅. （I ）设f ()12=，求f f ()()1214，； （II ）证明f x ()是周期函数. 解析：（I ）解略.（II ）证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称 故f x f x x R ()()=-∈2， 又由f x ()是偶函数知 将上式中-x 以x 代换，得这标明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称 又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数 且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们获得思考一：设f x ()是界说在R 上的偶函数，其图象关于直线x aa =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期. 证明： f x ()关于直线xa =对称 又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈， 将上式中-x 以x 代换，得∴f x ()是R 上的周期函数且2a 是它的一个周期思考二：设f x ()是界说在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x ba b =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明：f x ()关于直线x a x b ==和对称将上式的-x 以x 代换得∴f x ()是R 上的周期函数且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？经过探索，我们获得思考三：设f x ()是界说在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称.证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.，证明： f x ()关于x =1对称∴=-∈fx f x xR ()()2， 又由f x ()是奇函数知f x f x x R f x f x x R()()()()-=-∈∴-=--∈，，2将上式的-x 以x 代换，得∴f x ()是R 上的周期函数 且4是它的一个周期f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点（0，0）中心对称，又f x ()的图象关于直线x =1对称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.由此进行一般化推广，我们获得思考四：设f x ()是界说在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x bb a =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于点M a ()，0对称 ∴-=-∈f a x f x x R ()()2， f x ()关于直线x b =对称∴=-∈∴-=--∈f x f b x x R f b x f a x x R()()()()222，，将上式中的-x 以x 代换，得f b x f a x x Rf x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()][()][()]()2242242242222+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数 且4()b a -是它的一个周期由上我们发现，界说在R 上的函数f x ()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x ()是R 上的周期函数.进一步我们想到，界说在R 上的函数f x ()，其图象如果有两个对称中心，那么f x ()是否为周期函数呢？经过探索，我们获得思考五：设f x ()是界说在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于Ma Nb ()()，，，00对称 ∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R f b x f x x Rf a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式中的-x以x 代换，得 f a x f b x x Rf x b a f b x a f a x a f x x R()()[()][()][()]()2222222+=+∈∴+-=+-=+-=∈，，∴f x ()是周期函数且2()b a -是它的一个周期笼统函数解法例谈笼统函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的界说域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部份的难点,也是年夜学高等数学函数部份的一个衔接点,由于笼统函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比力困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解笼统函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究笼统函数问题, 一:函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,笼统函数也是如此,只有充沛挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,笼统函数问题才华转化,化难为易,经常使用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等. 二:特殊化方法1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x 换成-x 或将x 换成等 2在求函数值时,可用特殊值代入3研究笼统函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.总之,笼统函数问题求解,用惯例方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采纳特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感. 1． 已知函数f(x)对任意x 、y ∈R 都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1 ①若t 为自然数,(t>0)试求f(t)的表达式②满足f(t)=t 的所有整数t 能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理由 ③若t 为自然数且t≥4时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m 的最年夜值. 2． 已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)界说域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)=g(m+n)(m 、n ∈R) 求证：①f(x)是R 上的增函数②当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n 解: ①设x1>x2g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0 ∴ g(x1) > g(x2) >0 ∴g(x1)+1 > g(x2)+1 >0∴1)(22+x g >1)(21+x g >0∴1)(22+x g -1)(21+x g >0∴f(x1)- f(x2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0∴ f(x1) >f(x2)∴ f(x)是R 上的增函数②g(x) 满足g(m) · g(n)= g(m+n)(m 、n ∈R) 且g(x)>0 ∴ g(n)=[ g(1)]n=2n 当n ∈N,n≥3时, 2n>n ∴f(n)=1212+-n n＝1-122+n ，1+n n ＝1-11+n2n ＝（1+1）n ＝1+n+…+i nC +…+n+1>2n+1 ∴ 2n+1>2n+2∴122+n<11+n ,即1-122+n>1-11+n∴当n ∈N,n≥3时,f(n)>1+n n3． 设f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对(0,+∞)上的任意两相异实数x1, x2恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|①求证：f (x)在(0,+∞)上单增. ②设F(x)=x f (x), a>0、b>0. 求证：F(a+b)> F(a)+F(b) . ①证明:设 x1>x2>0f1(x) 在(0,+∞)上单增f1(x1)－ f1(x2)>0∴| f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|∴f1(x2)- f1(x1)<f2(x1)－ f2(x2)< f1(x1)－ f1(x2) ∴f1(x1)+f2(x1)> f1(x2)+ f2(x2) ∴f(x1)> f(x2)f (x)在(0,+∞)上单增 ②F(x)=x f (x), a>0、b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+∞)上单增∴F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4． 函数y ＝f(x)满足 ①f(a+b)＝f (a)·f (b)，②f(4)＝16, m 、n 为互质整数，n≠0 求f(nm)的值 f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)∴f(0) =0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(矛盾)∴f(1)=1f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16f(1)=f2(21)≥0 ∴f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)是非负函数.f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)∴f(-a)=)(1a fn ∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(n 1+n 1+…+n 1)=fn(n1)=2 ∴f(n 1)= n12∴f(nm )=[f(n1)]m= nm 25． 界说在（-1，1）上的函数f (x)满足 ① 任意x 、y ∈（-1，1）都有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1)，②x ∈（-1，0）时， 有f(x) >01) 判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由 2) 判定f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明3) 求证：f (1312++n n )＝f (11+n )－f (21+n ) 或f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21) (n ∈N*)解:1)界说在（-1，1）上的函数f (x)满足任意x 、y ∈（-1，1）都有f(x)+ f(y)＝f (xyyx ++1),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x) ∴f(0)=0当-x=y 时, f(x)+ f(-x)＝f(0)∴f(x)是（-1，1）上的奇函数2) 设0>x1>x2>-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=)1(2121x x xx f --0>x1>x2>-1 ,x ∈（-1，0）时，有f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0∴)1(2121x x xx f -->0即f(x)在（-1，0）上单调递增.3)f (1312++n n )=f(12312-++n n )=f()2)(1(11)2)(1(1++-++n n n n )=f(211112111+•+-+-+n n n n )=f(11+n )-f(21+n ) ∴f (51)+f (111)+…+f (1312++n n ) =f(21)-f(31)+f(31)-f(41)+f(41)+…+f(11+n )-f(21+n )= f(21) -f(21+n )=f(21)+f(-21+n )x ∈（-1，0）时，有f(x) >0∴f(-21+n )>0, f(21)+f(-21+n )>f(21)即f (51)+f (111)+…+f (1312++n n )> f (21)6． 设 f (x)是界说在R 上的偶函数,其图像关于直线x=1对称, 对任意x1、x2∈[0,12]都有f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且f(1)=a>0. ①求f (12)及 f (14);②证明f(x)是周期函数③记an=f(2n+12n ), 求lim ∞→n (lnan)解: ①由f (x)= f (x 2 + x2)=[f(x)]2≥0,f(x)a= f(1)=f(2n·12n )=f(12n +12n +…+12n )＝[f (12n )]2解得f (12n)=n a 21∴ f (12)=21a,f (14)=41a . ②f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称, ∴f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).∴f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x). ∴f(x)是以2为周期的周期函数.③ an=f(2n+12n )= f (12n)=na 21∴lim ∞→n (lnan)= lim ∞→n aa 2ln =07． 设)(x f y =是界说在R 上的恒不为零的函数，且对任意x 、y ∈R 都有 f(x+y)＝f(x)f(y)①求f(0)，②设当x<0时，都有f(x)>f(0)证明当x>0时0<f(x)<1,③设a1=21,an=f(n)（n ∈N* ），sn 为数列｛an ｝前n 项和，求lim ∞→n sn.解：①②仿前几例，略.③ an ＝f(n)， ∴ a1＝f(1)＝21an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝21an ∴数列｛an ｝是首项为21公比为21的等比数列 ∴sn ＝1-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ∴lim ∞→n sn ＝18． 设)(x f y =是界说在区间]1,1[-上的函数，且满足条件：（i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，那时]1,1[-∈x ，有,1|1|)1()(|)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）证法一：对任意的 1.|v -u ||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,≤≤≤--∈有时当v u v u当0,u ,1|v -u |<⋅>v 时无妨设,0<u 则1,u -0>>v v 且 所以，|1||1||)1()(||)1()(||)()(|-++≤-+--≤-v u f v f f u f v f u f .1)(211<--=-++=u v v u 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f 证法二：由（Ⅰ）可得，当.||11)1()(||)(|,]0,1[x,-1f(x),]1,0[x x f x f x f x x -=+≤--=-∈≤∈时时 所以，当.||1)(|,]1,1[x x f x -≤-∈时因此，对任意的],1,1[,-∈v u 那时1||≤-v u ，.1|||)()(|≤-≤-v u v f u f 那时1||>-v u ，有0<⋅v u 且.2||||||1≤+=-<v u v u所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|≤+-=-+-≤+≤-v u v u v f u f v f u f 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f （Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数)(x f 满足条件，则由],1,21[,|,||)()(|∈-=-v u v u v f u f得.21|121||)1()21(|=-=-f f 又,0)1(=f 所以.21|)21(|=f ① 又因为)(x f 为奇数，所以.0)0(=f 由条件],21,0[,|,||)()(|∈-<-v u v u v f u f得 .21|)0()21(||)21(|<-=f f f ②①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.。