1.4.1正弦、余弦函数的图象-学案作业

必修四 第一章 三角函数1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象【自学目标】（1）学会用五点法作正弦函数、余弦函数图象，培养学生观察能力； （2）正弦函数与余弦函数图象之间的关系，提高学生分析问题能力； （3）培养观察能力和计算技能． 【教学重难点】（1）教学重点：五点法作正弦函数、余弦函数图象 （2）教学难点：五点法作正弦函数、余弦函数图象 【知识要点】．①“五点法”作简图：观察y =Sin x ，x ∈【0，2π】的图象，在作图连线过程中起关键作用的是哪几个点？ 能否利用这些点作出正弦函数的简图？关键五点：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（32π ，-1）、（2π，0）。

事实上，只要指出这五个点，y=Sinx ，x ∈【0，2π】的图象形状就基本定位了。

因此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。

注： 五个关键点中，重点应突出点的横坐标，纵坐标即相应函数值；画简图时应掌握曲线的形状及弯曲的“方向”。

【预习自测】例1．已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =--。

（1）在给定的坐标系中，作出函数()f x 在区间[]0,π上的图象 （2）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值。

变式：（2008执信A ）已知函数y=2sin （2)3x π+,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y=2sin （2)3x π+的图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.【课内练习】 2．将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x =C ．sin()6y x π=-D ．sin y x =变式：我们知道，函数sin 2y x =的图象经过适当变换可以得到cos2y x =的图象，则这种变换可以是A ．沿x 轴向右平移4π个单位 B ．沿x 轴向左平移4π个单位 C ．沿x 轴向左平移2π个单位D ．沿x 轴向右平移2π个单位【归纳反思】【巩固提高】如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式.变式：函数y=Asin(x+)(＞0,||＜,x ∈R )的部分图象如图，则函数表达式为( ) A. y=-4sin ()84x ππ-B. y=-4sin ()84x ππ+C. y=4sin ()84x ππ-D. y=4sin ()84x ππ+ωϕωϕωϕ2π答案：【预习自测】例1．解：（1）略 （2）当2x+4π=34π-，即x=-2π时，()f x 有最小值，()f x min =-1,当2x+4π=0，即x=8π-时，()f x 有最大值，()f x max变式：解 （1）y=2sin (2)3x π+的振幅A=2,周期T==π，初相=3π. （2）略（3）方法一 把y=sinx 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y=sin ()3x π+的图象，再把y=sin ()3x π+的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin (2)3x π+的图象，最后把y=sin (2)3x π+上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin (2)3x π+的图象.方法二 将y=sinx 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x 的图象；再将y=sin2x 的图象向左平移个单位； 得到y =sin2()6x π+=sin (2)3x π+的图象；再将y=sin (2)3x π+的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin (2)3x π+的图象.课内练习： 解：D ．变式：解析：cos2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+选B巩固提高：解 ： y=-sin (2)3x π+.ϕ21216π3变式：答案 B。

第一章三角函数三角函数1．4 三角函数的图象与性质1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．理解：利用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象．2．掌握“五点法”作图的方法，能熟练用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的图象．基础梳理一、正弦函数、余弦函数的图象1．正弦函数、余弦函数的概念：若对于任意给定的一个实数x，都有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应，则称由这个对应法则所确定的函数y＝sin_x(或y＝cos_x)为正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R．2．正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．(1)利用单位圆中的正弦线画函数y＝sin x的图象，其过程可以概括为以下两点：首先是等分单位圆、等分区间[0，2π]和正弦线的平移，进而得到函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图象．其次是利用终边相同的角有相同的正弦值，推知函数y＝sin x在区间[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z，k≠0)上的图象与函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图象形状完全一样，从而可以通过左右平移得到正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象．(2)用同样的方法可以画出余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象．思考应用1．你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗？解析：根据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，可以把正弦函数y ＝sin x (x ∈R)的图象向左平移π2单位即得余弦函数y ＝cos x (x ∈R)的图象．作简图如下：二、“五点法”作图画正弦函数和余弦函数在[0，2π]上的简图，在所作图形的精确度要求不太高时，我们常用“______”作简图：(1)对正弦函数y ＝sin x ，取五点：A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，C (π，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，E (2π，0)．这五点描出后，正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象就基本确定了．(2)对余弦函数y ＝cos x ，取五点：A (0，1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，C (π，－1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，E (2π，1)．这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象也就基本确定了．思考应用2．“五点法”作图的基本步骤有哪些？解析：五点作图法必须有三步：列表、描点、连线．连线时要注意曲线的光滑和凸凹． 自测自评1．下列各式中，值为－1的是(D )A ．sin π2B ．cos 3π2 C ．sin π D ．cos π解析：因为sin π2＝1，cos 3π2＝0，sin π＝0，cos π＝－1.故选D.2．下列函数图象相同的是(D ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(π＋x )B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x C ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x ) D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：∵sin(π＋x )＝－sin x ，∴A 错；∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，∴B 错； ∵sin(－x )＝－sin x ，∴C 错；∵sin(2π＋x )＝sin x ，∴D 正确．故选D. 3．函数y ＝2sin x ＋1的定义域为(A ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋7π6，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋7π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－76π，2k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－76，k π＋π6，k ∈Z 4．函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3，则y 的取值范围是－4解析：由sin(π－a )＝－13，得sin a ＝－13，又a 为第四象限角，∴cos a ＝223，tana ＝－24.基础提升1．在同一坐标系中，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象(B )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同2．在同一坐标系中，函数y ＝－cos x 的图象与余弦函数y ＝cos x 的图象(D ) A ．只关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点、x 轴对称 D ．关于原点、坐标轴对称3．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2， x ∈[0，2π]的图象和直线y ＝12的交点个数是(C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 4．不等式cos x ＜0，x ∈[0，2π]解集为(A ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π解析：由余弦函数图象得知，当cos x ＜0(x ∈[0，2π])时，π2＜x ＜3π2.故选A.5．画出下列函数的图象．(1)y ＝sin |x |，x ∈[－2π，2π]； (2)y ＝|sin x |，x ∈[－2π，2π]．分析：将函数式中的绝对值符号去掉，进行等价变形，然后作图．解析：(1)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ，－2π≤x ≤0，sin x ，0＜x ≤2π.(2)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，－2π≤x ≤－π或0≤x ≤π，－sin x ，－π＜x ＜0或π＜x ≤2π.所以y ＝sin|x |及y ＝|sin x |的图象如下图所示．巩固提高6．方程x 2＝cos x 的实根个数是________．解析：画出y ＝x 2和y ＝cos x 的图象，如图所示，它们的图象有2个交点，故方程x 2＝cos x 有2个根．答案：27．如果函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么这个封闭图形的面积为(D )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：由图可知，图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积可以等积地转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形＝2×2π＝4π.8．函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <3π2且x ≠π2的图象是下图中的(C )9．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列命题正确的是(D )A ．该函数的值域是[－1，1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数取得最大值1C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数取得最小值－1D ．当且仅当2k π＋π<x <2kx ＋3π2(k ∈Z)时，f (x )<0解析：画出此函数的图象，由图象容易看出：该函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1；当且仅当x ＝2k π＋π2或x ＝2k π，k ∈Z 时，函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π－π4或x ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，函数取得最小值－22；当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )<0知A 、B 、C 不正确，故选D.10．作出下列函数的简图： (1)y ＝2＋cos x ，x ∈[0，2π]； (2)y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]． 解析：(1)按五个关键点列表：(2)按五个关键点列表：1．画正弦函数、余弦函数的图象只要五个点描出后，图象的形状就基本确定了，因此，在图象的精确度要求不太高时，常用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图．2．数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学关系式转化为形象直观的图形，平时解题应注意运用并熟练掌握．。

1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案一、教学目标：1.了解正弦函数和余弦函数的定义和性质；2.掌握正弦函数和余弦函数的变化规律；3.学会画出正弦函数和余弦函数的图像。

三、教学准备：1.教材、教具：教科书、黑板、粉笔、投影仪等；2.学生准备：课本、笔、纸等。

四、教学过程：1.引入新知识（5分钟）通过问题引入新知识，“你们平时都见过些什么周期性的现象呢？”让学生思考并回答。

然后引导学生回忆圆的周长和半径的关系，引出正弦函数和余弦函数的定义。

最后介绍正弦函数和余弦函数的性质。

2.探究正弦函数和余弦函数的图像（15分钟）通过投影仪展示正弦函数和余弦函数的图像，让学生观察并思考：（1）正弦函数和余弦函数的周期是多少？为什么？（2）正弦函数和余弦函数的图像曲线有什么特点？（3）正弦函数和余弦函数的图像有哪些基本形态？然后让学生进行小组讨论，交流归纳出正弦函数和余弦函数的图像特点和基本形态。

4.练习画出正弦函数和余弦函数的图像（20分钟）让学生根据给定的函数式画出对应的正弦函数和余弦函数的图像，并找出最大值、最小值、零点等重要点，并用函数式表达。

5.总结归纳（5分钟）通过讲解和练习，让学生总结正弦函数和余弦函数的图像特点和变化规律。

6.课堂练习（15分钟）出示一些正弦函数和余弦函数的问题，让学生分组进行讨论，解决问题。

然后进行板书总结。

五、布置作业：1.完成课堂练习的剩余部分；2.预习下一节课的内容。

六、教学反思：通过引入问题，让学生了解正弦函数和余弦函数的定义和性质；通过观察图像，让学生探究正弦函数和余弦函数的图像特点和基本形态；通过引导观察和讲解，让学生掌握正弦函数和余弦函数的变化规律；通过练习画图和解答问题，让学生巩固所学知识。

整节课设计合理，学生参与度高，能够较好地达到教学目标。

R 其定义域是______
知识回顾
三角函数线
α的 终边 P
sinα、cosα的几何表示.
想一想?
y
1
正弦线MP 即sin=MP
o
注意：三角 函数线是有 向线段！
M
1
x
余弦线OM 即cos=OM
三角问题
几何问题
思考？如何在直角坐标系中作点( 3
y
sin )？ ， 3
3 1.通过代数计算得三角函数值. 如 sin ≈0.8660 3 2
1 -4 -3 -2 -
正弦曲线
2
o
-1

3
4
5
6
x
沿着x轴向右和向左连续地平行移动
每次移动的距离为2π
思考？你能做出余弦函数的图象？能否通过正弦
函数的图象变换得到？
y
y=sinx

1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
) 描点 ( 3 ,0.8660
1
x
O
-1

思考
在直角坐标系中如何作点(
3
，sin )？ 3
2.作三角函数线得三角函数值.
作 3 的正弦线MP, sin =MP， 将MP平移, 定点( 3 ，MP) 3
y
P
3
1
C( 3 , sin ) 3
x

-1
M O
知识探究：正弦函数y=sinx的图象
2
x
-1
o
-1 -
与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)