数列的函数特征(北师大版)

1.1.2数列的函数特性教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n项和与的关系；4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点：理解递推公式与通项公式的关系内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….是数列的第n项⒊数列的一般形式：，或简记为，其中an⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7．有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8．无穷数列：项数无限的数列.二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1 4＝1+3第2层钢管数为5；即：2 5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3 6＝3+3第4层钢管数为7；即：4 7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5 8＝5+3第6层钢管数为9；即：6 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 10＝7+3表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 1≤n≤7）若用an运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系:自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 即依此类推：（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要定义：1．递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式说明：递推公式也是给出数列的一种方法如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：2．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为 .表示前1项之和： =表示前2项之和： =……表示前n-1项之和： =表示前n项之和： = .∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.3．与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，；当n≥2时，，即说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解例1已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项解：由已知得例3已知，写出前5项，并猜想．法一：法二：例4已知数列的前n项和，求数列的通项公式：⑴an =n2 +2n；⑵an =n -2n-1.解：⑴①当n≥2时， an=- =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，an =1 +2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴ an =2n+1为所求.⑵①当n≥2时， an = (n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3；②当n=1时，an =1 -2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴ an = 为所求.四、练习：1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2) ＝1, ＝(n∈N)；(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴＝(n－1) ;(2) ＝1, ＝ , ＝ , ＝ , ＝ , ∴＝ ;(3) ＝3＝1+2 , ＝7＝1+2 , ＝19＝1+2 ,＝55＝1+2 , ＝163＝1+2 , ∴＝1＋2·3 ;2．．已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式(1) ＝2n －3n; (2) ＝－2.解：(1) ＝－1,=- ＝2n －3n－[2(n－1) －3(n－1)]＝4n－5,又符合＝4·1－5, ∴＝4n－5;(2) ＝1, =- ＝－2－( －2)＝2· ,∴＝五、小结:1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.3． an的定义及与n 之间的关系作业：P9 第4题。

《数列的函数特性》◆教材分析本章以利于学生重视用函数的思想方法来学习和研究数列，把数列融于函数之中．本节内容对全章的学习有着指导作用，因为本章中对数列内容的处理，始终将函数作为主线贯穿其中，突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系。

认识到函数是高中数学的核心内容，这种基本思想也是贯穿教材前后的一条主线。

◆教学目标【知识与能力目标】通过本节学习，理解数列是一种特殊的函数，理解数列的图像表示，了解数列的增减性。

【过程与方法目标】理解数列与函数的关系，会用函数的方法处理数列内容。

【情感态度价值观目标】通过对日常生活实例的探究、思考、交流、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度。

◆教学重难点◆【教学重点】数列的函数特性、数列的图像表示、数列的增减性。

【教学难点】数列的图像表示电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分 1． 叫数列。

2．数列的一般形式是 3．数列的通项公式)(n f a n 反映了数列的 和 的对应关系。

二、研探新知，建构概念探究1.阅读教材P 6～P 7“例3”以上部分，完成下列问题。

1．数列的函数特性数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法 2．数列的单调性名称 定义判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它前面的一项 a n ＋1＞a n 递减数列 从第2项起，每一项都小于它前面的一项 a n ＋1＜a n 常数列各项都相等a n ＋1＝a n新知练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列的图像与函数的图像相同。

( ) (2)常数列不具有增减性。

( )◆课前准备 ◆◆教学过程(3)数列的通项公式就是数列的函数解析式。

( ) (4)数列1，12，13，14，15是递减数列。

( )【解析】 (1)因为数列的定义域是N ＋(或它的子集{1,2,3，…，n })，所以其图像为无限个或有限个孤立的点。