§3.2.2 函数模型的应用举例

第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用§3.2.2 函数模型的应用举例【学习目标】1.能够运用函数性质，解决某些简单的实际问题。

2.能够根据实际问题构建适当的函数模型，体会函数模型的广泛应用。

【预习提纲】1.函数模型的分类及其建立与应用根据实际应用问题提供的两个变量的数量关系是否确定，可把构建的函数模型分为两大类：第一类是确定函数模型，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的；第二类是近似函数模型，或称拟合函数模型，这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）.根据函数自身的种类，常见函数模型可分为一次函数模型、、、、、等.2.解答应用问题的程序概括为以下几点：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符合语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.【例题精讲】例1．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③C．②③D．①②例2. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象。

h例3.一种药在病人血液中得量保持在1500 mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险。

现给某病人的静脉注射了这种药2500 mg ，如果药在血液中以每小时%20的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到0.1 mg ）【归纳点拨】 实际问题的建模方法： 1.认真审题，准确理解题意；2.从实际问题出发，抓准数量关系，恰当引入变量或建立直角坐标系。

运用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式；3.研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出解答。

【课堂反馈】1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．)20000(8003.0≤≤+=x x yB ．)20000(16003.0≤≤+=x x yC ．)20000(8003.0≤≤+-=x x yD ．)20000(16003.0≤≤+-=x x y2．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则)(x f y =的图象大致为四个选项中的( )3．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变． 以上说法中正确的是________．4．依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过2 000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过2 000元部分需征税，设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为x ，x(1)若应纳税额为)(x f (2)某人2008年10月份工资总收入为4 200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？【总结思考】本节课你都学会了什么？有哪些收获？【巩固延伸】1.某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的关系式为40005+=x y ，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）Ａ．２００副 Ｂ．400副 Ｃ．600副 Ｄ．800副 2.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的43，要使存留的污垢不超过%1，则至少要洗的次数（ ） A. 3 B.4 C.5 D.63.以每秒a 米的速度从地面垂直向上发射子弹，t 秒后的高度x 米可由29.4t at x -=确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上（含245米）高度共有（ ） A ．4 秒 B ．5秒 C ．6秒 D ．7秒4.某市有绿地100平方千米，计划每年按%10的速度扩大绿地面积，则三年后该市的绿地为 平方千米.5.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .6.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数)0(≠+=k b kx y ，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数)0(≠+=k b kx y 的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为s 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？7．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求)(x f y =的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数)(x f y =的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？【挑战自我】1.某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=)400(80000)4000(21400)(2x x x x x R .（1）将利润表示为月产量的函数);(x f（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）2.有一批影碟机，原销售价格为每台800元，在甲乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440；乙商场一律按原价的%75销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？【参考答案】预习提纲 （略）例题精讲 例1.选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．例2.略（教材例题） 例3.略 教材107页6题 课堂反馈1.D.2.C.3. ①④.4.(1)第1级：f(x)＝x·5%＝0.05x第2级：f(x)＝500×5%＋(x －500)×10%＝0.1x －25第3级：f(x)＝500×5%＋1 500×10%＋(x －2 000)×15%＝0.15x －125.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0.05x (0<x≤500)0.1x －25 (500<x≤2 000)0.15x －125 (2 000<x≤5 000).(2)这个人10月份的纳税所得额为4 200－2 000＝2 200(元)， ∴f(2 200)＝2 200×0.15－125 ＝205(元)，即这个人10月份应纳个人所得税205元． 巩固延伸1.D2.B3.B4.133.15.π+446.解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1000. 所以，y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ， 成本总价＝成本单价×销售量＝500y ， 代入求毛利润的公式，得S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1000)－500(－x ＋1000)＝－x 2＋1500x －500000＝－(x －750)2＋62500(500≤x ≤800)．所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件． 7.解：(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2； …经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x(x ≥0)的图象，如图所示．作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值．因为8<x 0<9，则取x 0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．挑战自我1.（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-=)400(10060000)4000(2000030021)(2x x x x x x f ；（2）每月生产300台仪器器，利润最大，最大利润为25000元。

2.若买少于10台，去乙商场购买花费较少；若买10台，去甲、乙商场够买花费一样；若买超过10台，则去甲商场购买花费较少.。