高等数学教学教案
第4章 不定积分
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章 第1节 不定积分的概念与性质 课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
原函数与不定积分的概念 教学难点
原函数的概念
参考教材
同济七版《高等数学》 作业布置
课后习题
大纲要求
1．理解原函数概念，理解不定积分的概念。
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质
教 学 基 本 内 容
一．原函数
1.定义：设是定义在区间上的函数，若对任意的，都有，或
，则称是在区间上的一个原函数．
2.定理：（原函数存在定理）若函数在区间上连续，则在该区间上一定存在可导函数，使得
对任意都有，即区间上的连续函数一定有原函数．
3.若是在区间上的一个原函数，即=，则也是在区间上的原函
数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数是在区间上的一个原函数，那么在区间上的任意一个原函数可以表示
为，其中是任意常数．
二．不定积分的概念
定义：如果是在区间上的一个原函数，则在区间上带有任意常数的原函数
称为在区间上的不定积分，记作，即=，其中，称为积分号，
称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，任意常数称为积分常数．
三．不定积分的几何意义
对于确定的常数，表示坐标平面上一条确定的曲线；当取不同的值时，表示一簇)(),(xfxF
IIx)()(xfxF
xxfxFd)()(d)(xF)(xf
I
()fxI()Fx
xI
()()Fxfx
)(xF)(xfI)('xF)(xfCxF)()(xfI
()Fx()fxI()fxI
()FxCC
)(xF)(xf
I()fxICxF)(
)(xfI()dfxx
()dfxx
CxF)(
)(xf
()dfxxx
C
C
()FxCCCxF)(
曲线．由可知，的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平
定积分
面积、路程的计算
例1、计算pyx，OX轴和直线xb围成的图形的面积.
处理方法 首先把OX轴的闭区间0,b分成n等分，其中第k个等分是
1,kkbbnn
相应地把上述曲线图形分成n个等宽的条形
1,0pkkbxbyxnn
每一个条形的面积kS介于二个矩形条的面积之间
1ppkkbkbbSbnnnn
因此整个曲线图形的面积S应该介于以下的两个和数之间
111ppnnkkkbkbbSbnnnn
我们可以把矩形条面积之和11pnkkbbnn和1pnkkbbnn当做曲线图形面积S的近似值，所分的矩形条越细，这样的近似值的精确度就越高，事实上我们有
1111 ppnnppkkkbbbknnn＝111111pppppbncncnnp＝
1111ppccbpnn＝
111111111ppppnnppkkckbkbbcbnnnnnpnn
当n无限增大的时候，上面的两个和数的极限相等皆为11pbp，这个共同的极限应该看作所求的面积S，这样我们求得111pSbp
一般的情形，设函数yfx在闭区间,ab上有定义，且非负.曲线yfx与,,0xaxby围成一个图形，我们求图形的面积S I、 首先用一串分点
012naxxxxb
把闭区间分成了n段（注意，此处并不是等分），相应的将曲线图形分成n个条形，其中第j个条形为
1jjxxx，0yfx
II、 在闭区间1.jjxx上任取一点j，我们把高为jf，低长为1jjjxxx的矩形条的面积，当做曲线图形的第j个条形的面积的近似值.这样得到曲线图形面积的近似值
第八章定积分测试题
一、选择题
1、d
arctand()
db
axx
x=∫
21
()arctan()
1
()arctanarctan()0AxB
x
CbaD+
−． ．
． ．
2
、2
2
21cosxdxπ
π
−−=∫
（）。
()0()1
()2()4AB
CD
3、()db
aIfxx=∫设：，据定积分的几何意义可知
（）
()()0
()0()0
()()
()()AIyfxxaxbxI
BIfx
CIyfxxaxbx
DIyfxxaxbx===>
==
===
=== ．是由曲线及直线，与轴所围图形的面积，所以．
．若，则上述图形面积为零，从而图形的＂高＂．
．是曲线及直线，与轴之间各部分面积的代数和．
．是曲线及直线，与轴所围图形的面积．
4、[][]
()()fxabfxab函数在闭区间，上连续是在，上可积的
（）
() ()
() ()AB
CD ．必要条件 ．充分条件
．充分必要条件．既非充分也非必要条件．
5、[]
()()abyfxxaxbabx===
S=面积
（）[]()()d()()d
()()()
()()d()
2bb
aa
b
aAfxxBfxx
fbfaba
CfxxD+−∫∫
∫ ． ．
． ．
6
、 1
2
1xdx
−∫确定定积分的值
（）。
()0()1
1
()()2
2AB
CD
7
、0
131dxx
−+=∫
（）55
() ()
66
33
() ()
22AB
CD−
− ． ．
． ．
8、2
10
()()d
0xxx
fxfxx
ex
−≥⎧
==
⎨
<
⎩∫，
若 则
，（）
11
()3()3
()3()3AeBe
CeDe−−
−+
−+ ． ．
． ．
9、2
3
2()()fxxxfxdx=+∫
－设，则定积分的值等于
（）。
22
00()0 ()8
()() ()2()AB
CfxdxDfxdx∫∫
10、
[]
()()()d()()()x
afxabFxfxtaxbFxfx=≤≤∫设在，连续， ，则是的
（）
[]
[]()
()
()
()A
B
Cab
Dab ．原函数一般表示式
．一个原函数
．在，上的积分与一个常数之差
第八章定积分测试题
一、选择题
1、d
arctand()
db
axx
x=∫
21
()arctan()
1
()arctanarctan()0AxB
x
CbaD+
−． ．
． ．
2
、2
2
21cosxdxπ
π
−−=∫
（）。
()0()1
()2()4AB
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3、()db
aIfxx=∫设：，据定积分的几何意义可知
（）
()()0
()0()0
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()()AIyfxxaxbxI
BIfx
CIyfxxaxbx
DIyfxxaxbx===>
==
===
=== ．是由曲线及直线，与轴所围图形的面积，所以．
．若，则上述图形面积为零，从而图形的＂高＂．
．是曲线及直线，与轴之间各部分面积的代数和．
．是曲线及直线，与轴所围图形的面积．
4、[][]
()()fxabfxab函数在闭区间，上连续是在，上可积的
（）
() ()
() ()AB
CD ．必要条件 ．充分条件
．充分必要条件．既非充分也非必要条件．
5、[]
()()abyfxxaxbabx===
S=面积
（）[]()()d()()d
()()()
()()d()
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∫ ． ．
． ．
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−∫确定定积分的值
（）。
()0()1
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−+=∫
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66
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． ．
8、2
10
()()d
0xxx
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−≥⎧
==
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<
⎩∫，
若 则
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11
()3()3
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． ．
9、2
3
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－设，则定积分的值等于
（）。
22
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10、
[]
()()()d()()()x
afxabFxfxtaxbFxfx=≤≤∫设在，连续， ，则是的
（）
[]
[]()
()
()
()A
B
Cab
Dab ．原函数一般表示式
．一个原函数
．在，上的积分与一个常数之差
