高等数学-不定积分的计算 习题课

第四章 不 定 积 分

§ 4 – 1 不定积分的概念与性质

一.填空题

1．若在区间上)()(xfxF，则F(x)叫做)(xf在该区间上的一个 , )(xf的

所有原函数叫做)(xf在该区间上的__________。

2．F(x)是)(xf的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________.

3．因为dxxxd211)(arcsin,所以arcsinx是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该

曲线方程为__________?。

二．是非判断题

1． 若fx的某个原函数为常数，则fx0. [ ]

2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ]

3． dxxfdxxf. [ ]

4． 若fx在某一区间内不连续，则在这个区间内fx必无原函数. [ ]

5.yaxln与xyln是同一函数的原函数. [ ]

三．单项选择题

1．c为任意常数，且)('xF=f(x),下式成立的有 。

（A）dxxF)('f(x)+c; （B）dxxf)(=F(x)+c;

（C）dxxF)()('xF+c; (D) dxxf)('=F(x)+c.

2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)0，则下式成立的有 。

（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;

不定积分

内容概要

名称 主要内容

不

定

积

分

不

定

积

分

的

概

念 设()fx， xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有 ()()Fxfx

或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。

()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为

()()fxdxFxC

注：（1）若()fx连续，则必可积；（2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。

性

质 性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；

性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC；

性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。

计

算

方

法

第一换元

积分法

（凑微分法） 设()fu的 原函数为()Fu，()ux可导，则有换元公式：

(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC

第二类

换元积

分法 设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数()Ft，则

1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC

分部积分法 ()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux 有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。

本章

的地

位与

作用

在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！

不定定积分

(习题课)

题组一：基本积分法

解:求下列不定积分

1..

11dx

xx

11dx

xx

1(11)

2xxdx

1111

22xdxxdx

111(1)1(1)

22xdxxdx

2.224sin5cos.

1sinxxdx

x



解:224sin5cos

1sinxxdx

x



22(4sin5cos)(1sin)

(1sin)(1sin)xxxdx

xx



2

2(4cos)(1sin)

cosxxdx

x

2

2cos4sec41sin

cosdxxdxdxxdx

x

3.

35.

sincosdx

xx

解:

35sincosdx

xx222

35(sincos)

sincosxxdx

xx

533sin112

cossincossincosxdxdxdx

xxxxx

22

53

22

31sincoscos2cossincos

sincos

sincosxxdxdxxxx

xxdxxx





接3.

53

31cos1cos22coscossincos

1sin

sincossindxdxdxxxxx

dxdxxxx





4.1sin.xdx

解1:222(sincos)xxdx

22|sincos|xxdx

1sinxdx



解2:1sinxdx21sin

1sinxdx

x



|cos|

1sinxdx

x



5.25sinsin2.xexdx

解:25sinsin2xexdx25sin2sincos.xexxdx

25sin2sinxedx

6.1ln.xxxdx

解:1lnxxxdxln(ln)xxedxx

7.

21ln.

lnxdx

xx



解:21ln

lnxdx

xx



22ln1ln1.

1xxxdx

x



ln2ln1

1xxxxd

高等数学之不定积分的计算方法总结

不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重 点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分 方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是 三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积 分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习 题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。

不定积分的计算方法主要有以下三种：

(1) 第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法;

(2) 第二换元积分法

(3) 分部积分法 常见的几种典型类型的换元法:

金J犷- / .乍治阳必厶二如皿 盒.「宀丄" 名% =a仏找.』x二a沁沁r

年”十I '九久二严詈严妬

山二启虫•

常见的几种典型类型的换元法

题型一:利用第一换元积分法求不定积分 樂，Q? o

5inx八ic5兄厶整

I—炉

叶严

分析: 1-3 ❖ - IK）-忑.旦r x二）祝成）；网＞＜可久切

二2氐化如（長）寸a花不直押、朱 J 、

解：

2少弋協“尤十C__ 处匕反赴彳了遐J

-辿迪牆HJSm弟REff洱->1和弟r 直

-

—7朮呻' g丄UPAJ

齐—系卩£.§计一

H

a8~t

'

J 乂

u

Dy"

•朮•

portv卩

J(r

4

05*〉J" 卩»对渎t-k)+c

pT+Td

•

gT

+

c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私 jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型：

⑴卩"“dx J xn srnxdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx稽 是降低X的次数

是化夫 In 尢 9 arcsine arctanx.

例 11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ： 解：arctanf xdx等，方法是把疋；Jx" arcsm11 xdx