幂函数函数知识点归纳总结

1 幂函数知识要点

一． 定义：形如y=xa（是常数）的函数，叫幂函数。

二．图象 幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示：

a<0 01

p,q都是奇数

p是奇数，

q是偶数

p是偶数,

q是奇数

三．幂函数的性质：

n>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1)

(2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大

n<0时,(1)图象都通过(1，1） 2 (2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小

(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。

注意事项：

1．判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”

2．根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。

函数位于第一象限的图象在“n>1”时，往上翘；0

n>1 0

v<0

四．例析：

分析：底数分别不同而指数相同，可以看作是和。两个幂函数，利用幂函数的单调性质去理解。

解：(1)(0,+∞)是递增的 又∵1.1<1.4 ∴ 3

利用幂函数的性质比较数的大小。

例3．比较的大小。

分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。

启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。

分析：在指数运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法合成。

启示：此处化简过程可与初中代数式的运算联系。

4 五．自测题：

1.计算的值（）

2．下列命题中正确的是（ ）

A.当n=0时，函数y=xn的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点

C.若幂函数y=xn的图象关于原点对称，则y=xn在定义域内y随x的增大而增大

D.幂函数的图象不可能在第四象限

3．实数a,b满足0

A．ab

4．在幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第1象限的图象中(右图)，的大小关系为（）

A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a

指数幂函数知识点总结

一、指数幂函数的定义

指数幂函数是指函数y = a^x，其中a>0且a≠1，x可以是任意实数。底数a是常数，指数x是自变量。当x取不同值时，得到不同的函数值y，因此这个函数是定义在实数集上的。指数幂函数是一种常见的基本函数形式。

二、指数幂函数的图像特点

1. 当底数a>1时，

（1）当x趋近于负无穷时，函数值y趋近于0；

（2）当x趋近于正无穷时，函数值y趋近于正无穷；

（3）当x取正数时，函数值y是正数；

（4）当x取负数时，函数值y是小数；

（5）当x=0时，函数值y=1。

2. 当底数a<1时，

（1）当x趋近于负无穷时，函数值y趋近于正无穷；

（2）当x趋近于正无穷时，函数值y趋近于0；

（3）当x取正数时，函数值y是小数；

（4）当x取负数时，函数值y是正数；

（5）当x=0时，函数值y=1。

3. 当底数a=1时，

函数y=a^x是一个常数函数，其图像为一条水平直线，函数值恒等于1。

三、指数幂函数的性质

1. 增减性：当底数a>1时，指数幂函数是增函数；当0

2. 奇偶性：指数幂函数的奇偶性与底数a有关。当a为偶数时，指数幂函数是偶函数；当a为奇数时，指数幂函数是奇函数。这是因为偶次幂函数的图像关于y轴对称，奇次幂函数的图像关于原点对称。 3. 单调性：指数幂函数在定义域内是严格单调的，即底数大于1时是严格递增的，底数小于1时是严格递减的。

4. 过点性：当x=0时，指数幂函数的值为1，这是由指数函数的性质决定的。这个点（0,1）称为函数的特殊点。

四、指数幂函数的应用

1. 经济学中的复利：指数幂函数可以描述复利的增长规律。在利息按年复利的情况下，初始本金p经过n年后所得的本利和为p(1+r)^n，其中p为本金，r为年利率，n为年数。可以看出，这个本利和与年数n的函数关系符合指数幂函数的形式。

2. 生物学中的增长规律：生物群落的增长规律可以用指数幂函数来描述。比如种群的数量、体积、重量等随时间的增长规律，可以用指数幂函数来进行建模和预测。

幂函数知识点笔记总结

一、基本概念

1. 幂函数的定义

幂函数是指以底数为自变量，指数为常数的函数，一般形式为 f(x) = a*x^n，其中a为常数，n为整数。

特殊情况下，指数可以是分数或负数。

2. 幂函数的图像特征

当底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；

当底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降；

当底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数，图像在原点对称；

当底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。

3. 幂函数的定义域和值域

幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性，可以是整个实数集合、正实数集合或负实数集合。

4. 幂函数的奇偶性

当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；

当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。

二、函数性质

1. 增减性

当指数n为正数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；

当指数n为负数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降。

2. 奇偶性

当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；

当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。

3. 定义域和值域 幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性。

4. 图像特征

底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数；

底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数；

底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数；

底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。

5. 渐近线

当底数a为正数且指数n为正数时，幂函数的渐近线为y=0（x轴）；

当底数a为正数且指数n为负数时，幂函数的渐近线为x=0（y轴）；

其他情况下，幂函数没有渐近线。

三、常见变形

1. 幂函数的平移

对于幂函数 f(x) = a*x^n，当a>0时，平移y轴时，可以通过加减常数来实现；当a<0时，平移x轴时，也可以通过加减常数来实现。

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幂函数知识总结

幂函数知识总结

幂函数复习

y某(R)的函数称为幂函数，其中某是自变量，是一、幂函数定义：形如

常数。

注意：幂函数与指数函数有何不同？

【思考提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．观察图：

归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：

二、幂函数的性质

归纳：幂函数在第一象限的性质：

0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（0,）上单调递增。0，图像过定点（1,1），在区间（0,）上单调递减。

探究：整数m,n的奇偶与幂函数y某(m,nZ,且m,n互质)的定义域以及奇偶性有什么关系？

结果：形如y某(m,nZ,且m,n互质)的幂函数的奇偶性

（1）当m，n都为奇数时，f（某）为奇函数，图象关于原点对称；（2）当m为奇数n为偶数时，f（某）为偶函数，图象关于y轴对称；

（3）当m为偶数n为奇数时，f（某）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法：

关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；

指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；四、规律方法总结：

y某(0,1)的图像：1、幂函数

mnmn

y某(q,p,qZ,p,q互质)p的图像：

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2、幂函数

3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；