幂函数知识点

1 幂函数知识要点

一． 定义：形如y=xa（是常数）的函数，叫幂函数。

二．图象 幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示：

a<0 01

p,q都是奇数

p是奇数，

q是偶数

p是偶数,

q是奇数

三．幂函数的性质：

n>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1)

(2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大

n<0时,(1)图象都通过(1，1） 2 (2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小

(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。

注意事项：

1．判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”

2．根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。

函数位于第一象限的图象在“n>1”时，往上翘；0

n>1 0

v<0

四．例析：

分析：底数分别不同而指数相同，可以看作是和。两个幂函数，利用幂函数的单调性质去理解。

解：(1)(0,+∞)是递增的 又∵1.1<1.4 ∴ 3

利用幂函数的性质比较数的大小。

例3．比较的大小。

分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号。

启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特殊值，如0，1或其他数来解决。

分析：在指数运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法合成。

启示：此处化简过程可与初中代数式的运算联系。

4 五．自测题：

1.计算的值（）

2．下列命题中正确的是（ ）

A.当n=0时，函数y=xn的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点

C.若幂函数y=xn的图象关于原点对称，则y=xn在定义域内y随x的增大而增大

D.幂函数的图象不可能在第四象限

3．实数a,b满足0

A．ab

4．在幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第1象限的图象中(右图)，的大小关系为（）

A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a

幂函数知识点笔记总结

一、基本概念

1. 幂函数的定义

幂函数是指以底数为自变量，指数为常数的函数，一般形式为 f(x) = a*x^n，其中a为常数，n为整数。

特殊情况下，指数可以是分数或负数。

2. 幂函数的图像特征

当底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；

当底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降；

当底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数，图像在原点对称；

当底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。

3. 幂函数的定义域和值域

幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性，可以是整个实数集合、正实数集合或负实数集合。

4. 幂函数的奇偶性

当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；

当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。

二、函数性质

1. 增减性

当指数n为正数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；

当指数n为负数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降。

2. 奇偶性

当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；

当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。

3. 定义域和值域 幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性。

4. 图像特征

底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数；

底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数；

底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数；

底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。

5. 渐近线

当底数a为正数且指数n为正数时，幂函数的渐近线为y=0（x轴）；

当底数a为正数且指数n为负数时，幂函数的渐近线为x=0（y轴）；

其他情况下，幂函数没有渐近线。

三、常见变形

1. 幂函数的平移

对于幂函数 f(x) = a*x^n，当a>0时，平移y轴时，可以通过加减常数来实现；当a<0时，平移x轴时，也可以通过加减常数来实现。

1第12讲 幂函数

模块一 思维导图串知识

模块二 基础知识全梳理（吃透教材）

模块三 核心考点举一反三

模块四 小试牛刀过关测1．了解幂函数的概念；

2．结合幂函数y＝x，y＝x2

，y＝x3

，y＝x－1

，1

2yx

的图象，掌握它们的性质；

3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小.

知识点 1 幂函数的概念

1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα

叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2、幂函数的特征：（1）xα

的系数是1；（2）xα

的底数x是自变量；（3）xα

的指数α为常

数．

只有满足这三个条件，才是幂函数．

对于形如y＝(2x)α

，y＝2x5

，y＝xα

＋6

等的函数都不是幂函数．2知识点 2 幂函数的图象与性质

1、五个具体幂函数的图象当1

1,2,31

2

，，

时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2

，y＝x3

，y＝x－1

，1

2yx

，在同一

直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示．

2、五个具体幂函数的性质

观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下：

函数yx

2

yx3

yx1

2yx1

yx



定义域RRR[0,)(,0)(0,)

值域R[0,)R[0,)(,0)(0,)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

单调性增函数在(0,)

上递增，

在

(,0]

上递减增函数增函数在(,0)

和(0,)

上递减

过定点

点(1,1)

3、一般幂函数的性质

（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；

（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，

在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，

当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；

（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

知识点 3 作幂函数图象的步骤

第一步：画出第一象限的部分。幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象：3（1）当0

数学高考知识点幂函数

数学高考知识点：幂函数

幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。

一、幂函数的性质

1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。

2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。

3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。

4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0

二、幂函数的应用 1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。

2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。这一性质在求解极限时常常会被用到。

3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。

三、幂函数在高考中的常见题型解析

1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。

2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。

3. 求函数值：有时候高考会给出一个幂函数的函数式和一些具体的数值，要求求出函数的值。在解这类问题时，我们只需按照幂函数的定义进行运算即可。