高中数学人教B版学案：第3章 3.3 一元二次不等式及其解法 Word版含答案

高中数学课程

3.3 一元二次不等式及其解法

学习目标：1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．一元二次不等式的概念

一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．

2．一元二次不等式的一般形式

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．

(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

3．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．

4．三个“二次”之间的关系

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac

判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解

画函数y＝f(x)

的示意图

得等的集不式解 f(x)＞0 {x|x＜x1_或x＞x2}  xx≠－b2a R

f(x)＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅

[基础自测]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( ) 高中数学课程

(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )

(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解．( )

(4)x2－x>0为一元二次不等式．( )

[解析] (1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；

当m≠0时，它是一元二次不等式．

(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.

(3)√.因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立．故该说法正确．

(4)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有x，故该说法错误．

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

2．不等式x2≤1的解集为________.

{x|－1≤x≤1} [令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}．]

3．不等式2x≤x2＋1的解集为________．

R [2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，

∴x∈R.]

4．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________．

MN [因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0

N＝{x|x2<4}＝{x|－2

所以M N.]

5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：

x －3 －2 －1 0 1 2 3 4

y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6

则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．

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{x|x＜－2或x＞3} [可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象(图略)求解．]

[合 作 探 究·攻 重 难]

解一元二次不等式

求下列一元二次不等式的解集．

(1)x2－5x>6；

(2)4x2－4x＋1≤0；

(3)－x2＋7x>6.

[解] (1)由x2－5x>6，得

x2－5x－6>0.

∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.

∴原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}．

(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，

方程(2x－1)2＝0的根为x＝12.

∴4x2－4x＋1≤0的解集为x x＝12.

(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，

而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.

∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1

[规律方法] 1.在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集.

2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. 高中数学课程

(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.

(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.

[跟踪训练]

1．解下列不等式：

(1)2x2－x＋6>0；

(2)－12x2＋3x－5>0；

(3)(5－x)(x＋1)≥0.

[解] (1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，

函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，

与x轴无交点．

∴原不等式的解集为R.

(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，

∵Δ＝62－40＝－4<0，

∴原不等式的解集为∅.

(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，

∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．

解含参数的一元二次不等式

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解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．

[思路探究] 因式分解→比较根的大小→分类讨论求解

[解] 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.

对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.

(1)当a>0时，x1>x2，

不等式的解集为{x|－a

(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；

(3)当a<0时，x1

不等式的解集为{x|2a

综上所述，原不等式的解集为：

a>0时，{x|－a

a＝0时，x∈∅；

a<0时，{x|2a

[规律方法] 1.含参数的不等式的解题步骤

(1)将二次项系数转化为正数；

(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；

(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小).

2.解含参数的一元二次不等式

(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0与等于0进高中数学课程

行讨论；

(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；

(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.

[跟踪训练]

2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0).

[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，

化简为(x＋1)(ax－2)≥0.

∵a<0，∴(x＋1)x－2a≤0.

当－2

当a＝－2时，x＝－1；

当a<－2时，－1≤x≤2a.

综上所述，

当－2

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；

当a<－2时，解集为x －1≤x≤2a.

一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系

[探究问题]

1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？ 高中数学课程

[提示] y＝x2－2x－3的图象如图所示．

函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．

2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？

[提示] 方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．

不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．这说明：

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x －13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

[思路探究] 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．

[解] 法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集是 x－13≤x≤2，知a＜0, 又－13×2＝ca＜0，则c＞0.

又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，

∴－ba＝53.∴ba＝－53.

又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.

∴不等式变为－23ax2＋－53ax＋a＜0，

即2ax2＋5ax－3a＞0.

又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0.

所求不等式的解集为 x－3＜x＜12.

法二：由已知得a＜0 且－13＋2＝－ba，－13×2＝ca，知c＞0，

设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－bc，x1x2＝ac，

其中ac＝1－13×2，－bc＝－baca＝－13＋2－13×2＝1－13＋12，

∴x1＝1－13＝－3，x2＝12.