高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(二)学案新人教A版必修5(2021学年)
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2018版高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教A版必修5
1 2018版高中数学 第三章 不等式 ３.2 一元二次不等式及其解法（二)学案 新人教Ａ版必修5
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2018版高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教A版必修5
2 ３．２ 一元二次不等式及其解法(二)
［学习目标] 1。会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式。2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.３．掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
知识点一 分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
错误!>0(＜０） 法Ⅰ:
错误!或错误!
法Ⅱ:
f(ｘ）·ｇ(x)＞０(<0)
错误!≥０(≤0) 法Ⅰ:
错误!或错误!
法Ⅱ:
错误!
错误!>a错误! 先移项转化为上述两种形式
知识点二 简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f(x)>０常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法）求解，其步骤是:
(1）将ｆ（x)最高次项的系数化为正数;
(2）将f（x）分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积; 2018版高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教A版必修5
3 (３)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过);
（4)根据曲线显现出的f（x)值的符号变化规律,写出不等式的解集．
思考 （x－１）(x－2）(x-３）2(x-4)>0的解集为___________＿＿_.
答案 {ｘ|1
解析 利用数轴穿根法
知识点三 一元二次不等式恒成立问题
对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(１）转化为一元二次不等式解集为R的情况,即aｘ2＋bx＋ｃ>0(ａ≠0)恒成立⇔错误!
ax2＋bx＋c<０(a≠0)恒成立⇔错误!
(２）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题,即:k≥ｆ(x)恒成立⇔k≥f(x）maｘ;ｋ≤ｆ(x)恒成立⇔k≤f（x）mｉn．
题型一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)错误!＜0；(2)错误!≤2.
解 (1)由错误!＜０，得错误!>0，
此不等式等价于（x+４)（ｘ-3)>0,
∴原不等式的解集为｛x|x＜－4或x＞３｝．
(2)方法一 移项得错误!－2≤0， 2018版高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教A版必修5
4 左边通分并化简有错误!≤0,即错误!≥0,
同解不等式为错误!
∴x＜2或x≥5．
∴原不等式的解集为{ｘ|x＜２或ｘ≥5}.
方法二 原不等式可化为错误!≥０,
此不等式等价于错误!①
或错误!②
解①得x≥5,解②得ｘ＜２，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}.
反思与感悟 分式不等式的解法:先通过移项、通分整理成标准型错误!>0(＜0）或错误!≥0（≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母也可，注意不等号的方向变化.
跟踪训练1 不等式＼f(x2－2ｘ－2,x2+ｘ＋1)〈2的解集为( ）
Ａ．｛x|ｘ≠－2} B．R
C.∅ D．｛x｜x〈－２或ｘ>2}
答案 A
解析 ∵x２＋x+1＝错误!错误!＋错误!>０,∴原不等式⇔x２－2x-2〈2x2+2ｘ+２⇔x２+4ｘ＋４〉0⇔（x＋２)２＞0，
∴ｘ≠-2.∴不等式的解集为{x｜x≠－２}．
题型二 解一元高次不等式
例2 解下列不等式:
（1）ｘ4－２x3－3ｘ2＜０; 2018版高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教A版必修5
5 (2）1+x－x3－ｘ4＞0;
（3)(６x２－1７x＋1２）（２x２－5x+2）>０.
解 (１)原不等式可化为x２（x－3)(x＋1）<0,
当x≠0时，x2>0，
由(ｘ－3)(x+1）<０,得-１
当x＝0时，原不等式为0＜0，无解.
∴原不等式的解集为{ｘ|-1＜x＜3,且x≠0}．
（２)原不等式可化为(x＋1)(ｘ-1)(x2+x+1)<0，
而对于任意ｘ∈R，恒有x２＋ｘ+1＞0,
∴原不等式等价于（x+1)(x-1）<0,
∴原不等式的解集为{ｘ｜－１
(３)原不等式可化为（2x-３)(３ｘ－4)(2ｘ-１）（x-2)>0，
进一步化为错误!错误!错误!(x-2)>0,
如图所示,得原不等式的解集为
错误!.
反思与感悟 解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分,然后可以转化为一元二次不等式,当然也可考虑数轴穿根法.
跟踪训练2 若不等式x2+pｘ+q<0的解集是｛ｘ｜１＜x<２｝，则不等式错误!＞0的解集是( )
A.（1,2）
B．（-∞，-1）∪(6，＋∞) 2018版高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教A版必修5
6 Ｃ．(-1，1）∪(２,6)
D．（－∞，－１)∪（1，2)∪(６,+∞）
答案 D
解析 由题意知ｘ2＋px＋q＝(ｘ－1)（x－2)，则待解不等式等价于(x－1）(x-2)(x2－5x－６）＞0⇒(x－1)(x－2）（x-６）(x＋１)＞0⇒x<-1或1＜ｘ＜２或x>6.
题型三 不等式恒成立问题
例3 对任意的ｘ∈R,函数f(x）=ｘ２+(a-4）x＋(5－2a）的值恒大于0,则a的取值范围为__＿＿___＿．
答案 （-２,2)
解析 由题意知，f(x）开口向上,故要使f(x)>０恒成立，
只需Δ＜０即可,
即（a-4）2-４(５-2a)<0,
解得-2＜a<2．
反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种:
(１)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值,从而建立参数的不等式；
（２）若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解.
跟踪训练3 对任意a∈[-1，1］，函数ｆ(ｘ）=x２+(ａ－4）ｘ+4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( ）
A．1＜ｘ＜3 B．x<1或x＞３
C.１＜ｘ<２ Ｄ．ｘ<1或x＞2 2018版高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案 新人教A版必修5
7 答案 B
解析 f(ｘ)>0，∴ｘ2+(a-4)ｘ＋4－2a＞０，
即(x-2)a＋（ｘ2＋4－4x）＞0,
设ｇ（a)＝(x-２)a＋(x2-4x＋4)
由题意知,错误!即
错误!
∴x<1或ｘ>3。
题型四 一元二次不等式在生活中的应用
例4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨２００元收购某农产品,并按每100元纳税１0元（又称征税率为10个百分点)，计划可收购ａ万吨,政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低ｘ(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2ｘ个百分点．
（1）写出税收y(万元）与xﻩ的函数关系式；
(２)要使此项税收在征税率调节后,不少于原计划税收的８3.2%,试确定x的取值范围．
解 （1)降低后的征税率为（1０-x)%,农产品的收购量为a（1+2x%)万吨,收购总金额为20０a(1＋2x%）．
依题意得，y＝200a(１＋２x%)（10-ｘ)％
＝错误!a（1０0+2ｘ)(1０-x)（0
(2）原计划税收为２０0a·10%＝20a（万元).
依题意得,错误!a(1０0+2x)（10－x)≥2０ａ×83。2%，
化简得x2＋40x-8４≤0,
∴－42≤x≤２。
又∵0
8 ∴0＜x≤２。
∴x的取值范围是｛x|0＜x≤2}．
反思与感悟 不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．
跟踪训练4 在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车,但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过1０ m．又知甲、乙两种车型的刹车距离Ｓ m与车速x km/h之间分别有如下关系:S甲=0.1ｘ+０.01x2，S乙=0.05x+０.005x２。
问超速行驶谁应负主要责任?
解 由题意列出不等式S甲＝０。1ｘ＋０.01x2〉12,
S乙=0。0５ｘ＋0．0０5x2>10．
分别求解，得
x〈－40或ｘ>３0.
x＜-50或x〉40.
由于x>０,从而得x甲>30 ｋm/h，x乙>40 ｋm/h。
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
1.若集合A＝{ｘ|-１≤2x+1≤3},Ｂ={x｜错误!≤0},则A∩B等于( ）
A．{ｘ｜-１≤x＜0} B.{x|０＜x≤1}
C．｛x｜0≤x<2｝ Ｄ.｛x|0≤x≤1｝
答案 B
