高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21

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最新版高中数学 第三章 空间向量与立体几何

课标要求 1、了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及坐标表示

2、掌握空间向量的数量积及其坐标运算，会判断向量的共线（平行）与垂直

3、能用向量方法证明线面位置关系的一些定理，能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题。

4、体会向量方法在研究几何问题中的作用。

§3.1空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减运算

师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 课标要求 1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。 层次：2.1

2、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 层次：1.1 1.1

1.3

3、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 层次：1.3

4、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 层次：1.3 1.2

学习目标 1、类比平面向量掌握空间向量的线性运算及坐标运算 层次：1.2

1.3

2、掌握空间向量的数量积及坐标形式，并能运用它判断向量的共线与垂直 层次：1.3 1.2

重点 空间向量的线性运算及坐标运算

难点 空间向量的数量积，并用其判断向量的共线与垂直

课时 5课时 教具 背投、电脑 高中数学-打印版

最新版高中数学 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书）

（在黑板或背投上呈现或边说边写）

1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；

2、平面向量的表示方法：

① 几何表示法：_________________________

新高二数学教师讲义

1 第三章 空间向量与立体几何

3．1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减法

【考点同步解读】

1．理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.

2．能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律.

考点1：空间向量基本概念及理解

例1:给出下列命题：

①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；

②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

③零向量没有方向；

④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．

其中假命题的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

正解：模相等的两个向量不一定相等，①错；|m|＝|n|，|n|＝|p|，所以|m|＝|p|，又m与n同向，n与p同向，从而m与p同向，所以m＝p，②对；零向量方向任意，但并不是没有方向，③错；④错．

C

正解依据：（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．

（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同.

考点2：空间向量加减法及运算律

例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用AB→、AD→、AA1→表示向量MN→，则MN→＝________．

正解：解析 MN→＝MB→＋BC→＋CN→

＝12AB→＋AD→＋12(CB→＋BB1→)

＝12AB→＋AD→＋12(－AD→＋AA1→)

＝12AB→＋12AD→＋12AA1→.

正解依据：（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．

（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

第三章 3.1 3.1.1

3.1.2

请同学们认真完成练案[20]

A级 基础巩固

一、选择题

1．空间任意四个点A、B、C、D，则DA→＋CD→－CB→等于( D )

A．DB→ B．AC→

C．AB→ D．BA→

[解析] 解法一：DA→＋CD→－CB→＝(CD→＋DA→)－CB→

＝CA→－CB→＝BA→.

解法二：DA→＋CD→－CB→＝DA→＋(CD→－CB→)

＝DA→＋BD→＝BA→.

2．已知空间向量AB→、BC→、CD→、AD→，则下列结论正确的是( B )

A．AB→＝BC→＋CD→ B．AB→－DC→＋BC→＝AD→

C．AD→＝AB→＋BC→＋DC→ D．BC→＝BD→－DC→

[解析] 根据向量加减法运算可得B正确．

3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是( B )

A．一个球 B．一个圆

C．半圆 D．一个点

[解析] 平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．

4．如图所示，已知A、B、C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP→的为( C )

A．OA→＋2AB→＋2AC→ B．OA→－3AB→－2AC→

C．OA→＋3AB→－2AC→ D．OA→＋2AB→－3AC→

[解析] 根据A、B、C、P四点共面的条件可知AP→＝xAB→＋yAC→.由图知x＝3，y＝－2，∴OP→＝OA→＋3AB→－2AC→，故选C．

5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E→＝14A1C1→，若AE→＝xAA1→＋y(AB→＋AD→)，则( D )

§3.1.1空间向量及其运算

学习目标

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

学习过程

一、复习旧知

复习1：平面向量基本概念：

具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）；

叫零向量，记着 ； 叫单位向量.

叫相反向量， a的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，

和 共三种方法.

复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和

法则.

2. 实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝ .

(2)当λ＞0时，λa与A. ；

当λ＜0时，λa与A. ；

当λ＝0时，λa＝ .

3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

二、新课探究

探究任务：空间向量的相关概念

问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？

新知：空间向量的加法和减法运算：

空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如左图中，OB ，

AB ，