高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算

新高二数学教师讲义

1 第三章 空间向量与立体几何

3．1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减法

【考点同步解读】

1．理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.

2．能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律.

考点1：空间向量基本概念及理解

例1:给出下列命题：

①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；

②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

③零向量没有方向；

④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．

其中假命题的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

正解：模相等的两个向量不一定相等，①错；|m|＝|n|，|n|＝|p|，所以|m|＝|p|，又m与n同向，n与p同向，从而m与p同向，所以m＝p，②对；零向量方向任意，但并不是没有方向，③错；④错．

C

正解依据：（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．

（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同.

考点2：空间向量加减法及运算律

例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用AB→、AD→、AA1→表示向量MN→，则MN→＝________．

正解：解析 MN→＝MB→＋BC→＋CN→

＝12AB→＋AD→＋12(CB→＋BB1→)

＝12AB→＋AD→＋12(－AD→＋AA1→)

＝12AB→＋12AD→＋12AA1→.

正解依据：（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．

（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

- 1 - 高中数学选修2-1 第一章单元测试题

《空间向量与立体几何》

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )

①AB→＋2BC→＋2CD→＋DC→；

②2AB→＋2BC→＋3CD→＋3DA→＋AC→；

③AB→＋CA→＋BD→；

④AB→－CB→＋CD→－AD→.

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

2．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )

A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝152 C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝152

3．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( )

A．(－2,2,0) B．(2，－2,0) C.－12，12，0 D.12，－12，0

4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AB→与AC→的夹角为( )

A．30° B．45° C．60° D．90°

5．在以下命题中，不正确的个数为( )

①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；

③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP→＝2OA→－2OB→－OC→，则P，A，

- 2 - B，C四点共面；

④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；

⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.

A．5 B．4 C．3 D．2

6．已知向量AM→＝0，1，12，AN→＝－1，12，1，则平面AMN的一个法向量是( )

1 《3.1. 3 空间向量的数量积运算》

一、教学内容分析

本节内容为人教版高中数学教材选修2-1《空间向量的数量积运算》，空间向量的数量积运算是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。首先，它是在平面向量学习的基础之上来学习的；其次,学习它也是为进一步更好更快的解决立体几何中的问题等内容做好准备。

二、教学目标

1、知识与技能：

（1）掌握空间向量的数量积概念，性质和计算方法及运算规律；

（2）掌握空间向量夹角的概念及表示方法。

2、过程与方法：经历概念的形成过程，体验数形结合思想的指导作用。.

3、情感态度与价值观：通过本节的探究性学习，让学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，培养学生发现、提出，解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

三、学习者特征分析

空间向量的数量积运算是在平面向量的数量积运算的基础之上进一步学习的，相对于数学一个新板块的启蒙学习，学生在理解上还较容易，但由平面向量的数量积运算类比学习空间向量的数量及运算对学生来说较难。首先在平面向量这一块，学生掌握的还不透彻，接受新知识更不言而喻，因此，对于学生来说，这节内容应用起来较难掌握透彻。

四、教学策略选择与设计

本节内容为一课时，两目标，一是数量积概念、性质和计算方法及运算规律；二是掌握空间向量夹角的概念及表示方法．

复习旧知识引出新知识，平面向量夹角定义、长度概念和数量积运算等，再由学生尝试说出空间向量的相关定义，类比归纳得出新知。

五、教学重点及难点

①重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。

②难点：用两个向量的数量积解决立体几何问题。 2 六、教学过程

教师活动 学生活动 设计意图

目标解读 两个向量数量积的计算方法及其应用 让学生明确目标这节课的学习目标

预习反馈 1，平面向量的夹角定义。

2，向量长度的概念 复习旧知识，引出新知识 3 知识梳理 1） 两个向量的夹角的定义

word

- 1 - / 9 3．1.1 空间向量及其加减运算

1．空间向量

(1)定义

□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．

(2)长度

□02向量的大小叫做向量的长度或□03模．

(3)表示方法

(4)几类特殊的空间向量

①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090.

②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量．

③相反向量：□11与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为□12－a.

④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量．

2．空间向量的加减法

(1)定义

类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： word - 2 - / 9

OB→＝OA→＋AB→＝□16a＋b；

CA→＝OA→－OC→＝□17a－b.

(2)加法运算律

①交换律：a＋b＝□18b＋a；

②结合律：(a＋b)＋c＝□19a＋(b＋c)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )

(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( )

(3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( )

(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.( )

答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1→－AB→＋BC→化简后的结果是________．

(3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式：

①AA1→－CB→＝________.

②AB1→＋B1C1→＋C1D1→＝________.

③12AD→＋12AB→－12A1A→＝________. word