高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运

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最新版高中数学 第三章 空间向量与立体几何

课标要求 1、了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及坐标表示

2、掌握空间向量的数量积及其坐标运算，会判断向量的共线（平行）与垂直

3、能用向量方法证明线面位置关系的一些定理，能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题。

4、体会向量方法在研究几何问题中的作用。

§3.1空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减运算

师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 课标要求 1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。 层次：2.1

2、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 层次：1.1 1.1

1.3

3、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 层次：1.3

4、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 层次：1.3 1.2

学习目标 1、类比平面向量掌握空间向量的线性运算及坐标运算 层次：1.2

1.3

2、掌握空间向量的数量积及坐标形式，并能运用它判断向量的共线与垂直 层次：1.3 1.2

重点 空间向量的线性运算及坐标运算

难点 空间向量的数量积，并用其判断向量的共线与垂直

课时 5课时 教具 背投、电脑 高中数学-打印版

最新版高中数学 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书）

（在黑板或背投上呈现或边说边写）

1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；

2、平面向量的表示方法：

① 几何表示法：_________________________

新高二数学教师讲义

1 第三章 空间向量与立体几何

3．1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减法

【考点同步解读】

1．理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.

2．能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律.

考点1：空间向量基本概念及理解

例1:给出下列命题：

①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；

②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

③零向量没有方向；

④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．

其中假命题的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

正解：模相等的两个向量不一定相等，①错；|m|＝|n|，|n|＝|p|，所以|m|＝|p|，又m与n同向，n与p同向，从而m与p同向，所以m＝p，②对；零向量方向任意，但并不是没有方向，③错；④错．

C

正解依据：（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．

（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同.

考点2：空间向量加减法及运算律

例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用AB→、AD→、AA1→表示向量MN→，则MN→＝________．

正解：解析 MN→＝MB→＋BC→＋CN→

＝12AB→＋AD→＋12(CB→＋BB1→)

＝12AB→＋AD→＋12(－AD→＋AA1→)

＝12AB→＋12AD→＋12AA1→.

正解依据：（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．

（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

§3.1.1空间向量及其运算

学习目标

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

学习过程

一、复习旧知

复习1：平面向量基本概念：

具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）；

叫零向量，记着 ； 叫单位向量.

叫相反向量， a的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，

和 共三种方法.

复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和

法则.

2. 实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝ .

(2)当λ＞0时，λa与A. ；

当λ＜0时，λa与A. ；

当λ＝0时，λa＝ .

3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

二、新课探究

探究任务：空间向量的相关概念

问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？

新知：空间向量的加法和减法运算：

空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如左图中，OB ，

AB ，

最新中小学教案、试题、试卷

§3.1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其线性运算

学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．

知识点一 空间向量的概念

思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．

答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．

梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作AB→，其模记为|a|或|AB→|.

(2)几类特殊的空间向量

名称 定义及表示

零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量 模为1的向量称为单位向量

相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

知识点二 空间向量及其线性运算

1．空间向量的线性运算

已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，AB→＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： 最新中小学教案、试题、试卷

OB→＝OA→＋AB→＝a＋c；

BA→＝OA→－OB→＝a－b＝－c.

若P在直线OA上，则OP→＝λa(λ∈R)．

2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：

(1)a＋b＝b＋a；

(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．

知识点三 共线向量(或平行向量)

1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．

2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.