高中数学必修4-1.2.1任意角的三角函数复习讲义

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高中数学必修4-1.2.1任意角的三角函数复习讲义

复习回顾:

在初中我们是如何定义锐角三角函数的？

新课引入:

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？

探究: 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？

能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？

sincostancacbba22:OMaMPbOPrab其中cosOMaOPrsinMPbOPrtanMPbOMaOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPOPMPOOMMOPM，则若1rOP2

2.任意角的三角函数定义

(,),:Pxy任意角的终边与单位圆交于点特地时别

因为，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以点的坐标与该点到原点的距离或坐标与坐标的比值为函数值的函数，所以,我们将他们称为三角函数.

任意角的三角函数定义域

因为任意角 α 的三角函数值仅与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关.

所以,使比值有意义的角的集合就是三角函数的定义域.

三角函数的值在各象限的符号： 22,(,),0:Pxyrxyr设是一个任意角是其终边上任意一点记那么(1),sin,sin;yyrr叫做的正弦记作即(2),cos,cos;xxrr叫做的余弦记作即(3),tan,tan0;yyxxx叫做的正切记作即(1)sin;y(2)cos;x(3)tan0;yxx3

三角函数的几何表示：

1.规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段；

2.规定了正方向的直线称为有向直线；

3.有向线段与有向直线平行时，它们的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数叫做有向线段的数量；

思考：能否用有向线段来表示角α的三个三角函数值？

三角函数线：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),由于r=1,则sinx=y,cosx=x,tanx=y/x.过P作X轴的垂线,交X轴于M(x,0)

数形结合:用有向线段表示三角函数值

例1:求下列函数的定义域：

1(1)lg(sin)2yx2(2)2cos1yx2(3)lg(16)sinyxx722,66xkxkkZ,44xkxkkZ4

例2: 确定下列三角函数值的符号：

（1）250cos （2）)672tan( （3）4sin

解：（1）因为 2500 是第三象限角，所以,cos2500 <0；

（2）因为 ，-6720是第一象限角，所以tan(-6720)<0

（3）因为4是第四象限角，所以 04sin

例3、已知角θ的终边过点p(-12,5)，求θ的三个三角函数值.

练习：

(1)已知角α的终边过点P(2a，-3a), 求α的正弦、余弦、正切.

(2)已知角600°的终边上有一点P(-4，a)，求a的值.

课后巩固：

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若0sin，且0tan，则是（ ）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角 412coslg2sin3yxx40xxx或222,33xkxkkZ5

2.已知a是第二象限角,5sin,cos13aa则（）

A．1213 B．513 C．513 D．-1213

3.若是第四象限角，5tan12，则sin

A．15. B．15. C．513. D．513.

4．若角的终边经过点(1,2)P，则tan的值为（ ）

A. 2 B. 2 C. 12 D.

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5．已知角的终边上一点（），且，则的值是( )

A.

B.

C.

D.

6．【2018河北石家庄二中八月模拟】点3,Pa是角660终边上一点，则a ( )

A. 3 B. 3 C. 1 D. 1

7．已知tan=2,,则3sin2-cossin+1= ( )

A.3 B.-3 C.4 D.-4

8.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则sinsin＋coscos＋tantan的值是( )

A．1 B．－1 C．3 D．4

9．若π02，则点(cos,sin)Q位于（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

10.已知1312sin，且是第三象限的角，则tan的值为（ ）

A．512 B．512 C．125 D．125

11．设角的终边经过点(3,4)P，那么sin2cos（ ）

A．15 B．15 C．25 D．25

12.已知sin2cos5,tan3sin5cos那么的值为（ ） 6

A．－2 B．2 C．2316 D．－2316

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知角a的终边经过点)4,3(P，则asin= ；

14. 如果角的终边经过点2123，，则sin .

15. 已知54sina，且a是第二象限角，则acos

；

16. 已知_______cos3sin7,2tan22求

A. 51 B. 511 C. 521 D. 531

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；

18．已知：P(-2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= -55,求cosθ的值.

19．已知角α的终边经过点P(x，－2)，且cosα＝3x，求sinα和tanα.

20．α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝24x，求sinα的值．

21.已知tanα＝，求证：

(1)sincossincosaaaa=－；

(2)sin2α＋sinαcosα＝．

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22．已知任意角的终边经过点(3,)Pm,且,53cos

(1)求m的值．(2)求sin与tan的值．

参考答案：

1．【答案】C

【解析】根据各个象限的三角函数符号:一全二正三切四余，可知是第三象限角.

2.【答案】D

【解析】∵a是第二象限角，∴2cos1sinaa1213，故选D．

3.【答案】选D

【解析】根据22sin5tan,sincos1cos12,5sin13.

4．【答案】A

【解析】由正切函数的定义即得212tanxy.

5．【答案】B

【解析】由三角函数定义知，，当时，；

当时，，故选B

6．【答案】A

【解析】因为tan6603a，所以333aa，应选答案A。

7．【答案】A

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8.【答案】B

【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sin A>sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B>0，同理cos A－sin C<0，所以点P在第四象限，sinsin＋coscos＋tantan＝－1＋1－1＝－1.

9．【答案】D

【解析】因为02，所以cos0,sin0，则点(cos,sin)Q位于第四象限，故选D

10.【答案】A

【解析】由题意得，根据三角函数的平方关系2225cos1sin169，又因为是第三象限的角，所以5cos13，所以sin12tancos5，故选A．

11．【答案】C

12.【答案】D

【解析】sin2cossin2costan2cos53sin5cos3sin5cos3tan5cos，解得23tan16。故D正确。

13. 【答案】54

【解析】)4,3(P，5432222yxr，54sinry.

14.答案】12

【解析】依题意并结合三角函数的定义可知2222112sin231()()22yxy.

15.答案】53-

【解析】1sincos22,又因为是第二象限角，所以53sin1cos22

16. 【答案】D 9

【解析】222222227sin3costan2,7sin3cossincos7tan331tan15

17．【答案】第二象限角

【解析】因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，

所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，即00sincos，，所以θ为第二象限角．

18．【答案】552-

【解析】

试题分析：因为rxcos,横坐标为负数，所以余弦值是负数，根据同角基本关系式：1sincos22，所以2sin1cos.

试题解析：∵sinθ= -55，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（255,-55）

又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= -525.

19．【答案】255

20．【答案】104

【解析】∵OP＝25x＋，∴cosα＝25xx＋＝24x.

又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－3，∴sinα＝255x＋＝104.

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