人教版高中数学必修四第2讲：任意角的三角函数(学生版)

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人教版高中数学 任意角的三角函数

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1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；

2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.

（一）任意角的三角函数：

任意点到原点的距离公式：r____________________

1.三角函数定义：

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么

（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin，即sinyr；

（2）比值xr叫做α的余弦，记作cos，即cosxr；

（3）比值yx叫做α的正切，记作tan，即tanyx；

（4）比值xy叫做α的余切，记作cot，即cotxy；

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

（二）单位圆与三角函数线：

1.三角函数线的定义：当角的终边上一点(,)Pxy的坐标满足____________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

2.有向线段：____________________________ 2

规定：与坐标轴方向一致时为_____，与坐标方向相反时为______。

3．三角函数线的定义：

设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy，过P

作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有

sin1yyyMPr_________________， cos1xxxOMr_______________，tanyMPATATxOMOA_______________

我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。

5.三角函数在各象限符号：

o x y

M

T P

A

o x y

M

T P A x y

o M T

P

A

x y

o M T

P A

（Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ）

（Ⅲ） 3

任意角的三角函数符号的记忆方法：

口诀：“全正切余”可音译为“全是天才”

（三）同角三角函数的基本关系：

1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

（1）商数关系:________________ （2）平方关系:___________________

类型一：任意角的三角函数

例1．已知角α的终边经过点(2,3)P，求α的三个函数制值。

练习：已知角的终边过点0(3,4)P，求角的正弦、余弦和正切值.

例2．求下列各角的三个三角函数值：

（1）0； （2）； （3）32．

类型二：三角函数的定义与三角函数的符号

1.利用三角函数值的符号确定角的终边所在的象限

例3 确定下列三角函数值的符号

（1）ocos250； （2）sin()4； （3）otan(672)； （4）11tan3.

全正

正切正 余弦正 正弦正

x y

o 4

练习：

1.点oo(sin(20),tan280)P位于第________象限；

2.sin1，cos1，tan1的大小关系是_________________(用“<”号连接).

例4 已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3:4(且均不为零)，求2sincos的值.

练习：设角的终边过点(5,12) (0)Paaa，求sin、cos和tan的值.

类型三：同角三角函数的基本关系

例5. 已知4sin5，(,)2，求cos、tan的值．

练习：

1.已知1cos4，(,0)2，求sin、tan.

2.已知3(,)2，tan2，求cos.

例6.证明sintantan(cossin)sincotcsc

5

练习：

1.证明1sin1costancot1cos1sin

例7.已知 3sin(3)2sin()2，求下列各式的值：

（1）sin4cos;5sin2cos （2）2sinsin2

练习：1.已知tan2,则22sinsincos2cos（ ）

4.3A 5.4B 3.4C 4.5D

例8．已知1sincos5，且0．求sincos、sincos的值；

练习：

1.已知2sincos2，求2211sincos的值.

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1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A同时满足sinA>0且tanA<0，则角A的终边一定落在( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2.(理)(2012·广西田阳高中月考)若sinαtanα<0，且cosαtanα<0，则角α是( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三角限角 D．第四象限角

3．已知点P(－3,4)在角α的终边上，则sinα＋cosα3sinα＋2cosα的值为( )

A．－16 B.16

C.718 D．－1

4.(理)(2011·海口模拟)已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )

A．(π4，π2) B．(π，5π4)

C．(3π4，5π4) D．(π4，π2)∪(π，5π4)

5.(理)函数f(x)＝sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cosa＋b2＝( )

A．0 B.22

C．－1 D．1

6．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m>0)是角α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.

7．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－255，则y＝________.

8.(理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A（cosα，35），则cosα－sinα＝________.

9．已知角θ的终边上有一点M(3，m)，且sinθ＋cosθ＝－15，则m的值为________． 7

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基础巩固

一、选择题

1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( )

A．45 B．35

2．若sinθ·cosθ<0，则θ在( )

A．第一、二象限 B．第一、三象限

C．第一、四象限 D．第二、四象限

3．已知角α的终边经过点P(－b,4)，且sinα＝45，则b等于( )

A．3 B．－3

C．±3 D．5

∴b＝±3.

4．设△ABC的三个内角为A、B、C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )

A．tanA与cosB B．cosB与sinC

C．sinC与tanA D．tanA2与sinC

5．点A(sin2 014°，cos2 014°)在直角坐标平面上位于( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

6．已知角α的终边上一点P(－8m,15m)(m<0)，则cosα的值是( )

A．817 B．－817

C．817或－817 D．根据m确定

二、填空题

7．(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知角α终边上一点P(5,12)，则sinα＋cosα＝________.

8．使得lg(cosθ·tanθ)有意义的角θ是第__________象限角．

三、解答题