三角函数的单调性1

三角函数的单调性一般是解答题的一个小问，

这里必须先对所给题进行化简，化为y=Asin(wx+b)的形式，然后利用

y=sinx的单调区间进行求解

一定要记住y=sinx或y=cosx的单调区间

三角函数求值域.最值和单调性的方法？？

设y=Asin（φx+b）+c

题中一般不会给出你说的那个形式，这要你先化简。在R上的最值为A+C。在闭区间内的最值求法，一般是先找出函数的周 期，若闭区间包含的范围大于1个周期，则最大值和最小值直接写就是，若闭区间包含的范围小于1个周期，则可根据信息画出草图观察。 不懂再追问。

三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;

2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;

3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;

4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.

七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;

2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);

3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.

十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.

从几个方面探讨三角函数问题的解题方法与技巧

摘要：三角函数是高中部分的一个重难点，其内容抽象，公式繁多，技巧性强，学生不易理解，掌握。探讨一下这类问题的常见错误和一般解法是非常必要的。本文列举了解决这类问题的常见错误和解决技巧，以及三角函数求最值及值域的几种方法。

关键词：三角函数 错解 值域 最值

高中将角的概念进行推广，在直角三角形中来讨论，引入正负零角，引入弧度制，进而讨论三角问题，整个这一章可分为角的概念，角的换算，诱导公式，二倍角及函数图象等几部分，但与三角函数相关的知识却非常广泛，如求值域，求最值，含三角知识的应用题等，这些知识都比较难以理解，且容易出错，下面我们来逐步探讨一下这类问题的特点及解法。

一，三角函数问题常见错误解析：

由于三角函数的性质和公式较多，变换灵活，一题多解是常有的事，正因为解题途径呈开放性，有时思维误入歧途就不容易察觉，导致误解的原因也因题而异。

忽视定义域

三角恒等变换必须使涉及的各个三角函数有意义，给定的任意角的范围不被改变，对切与割两类函数尤其需要重视定义域的考察，否则易造成错解。

[1]例1：求函数y=sinx[1+tgxtg(x/2)]的递增区间。

解： sinx[1+tgxtg(x/2)]=sinx = =tgx

所以原函数可化为y=tgx，故递减区间为（k - /2, k + /2）

致误分析：忽视了函数式中tgxtg(x/2)有意义的x的取值范围，即x≠k + /2 ,x≠2k + (k z) 由此可知递增区间为：（2k - /2，2k + /2）∪（2k + /2，2k + ）∪（2k + ，2k +3/2 ） (k z)

2，忽视单调性

已知部分三角函数值，求某一区间上的角，若不注意用三角形的单调性，则容易增解，如下例：

例2：已知cos =1/7, cos( + )=- ,且 （0， /2）， + （ /2， ），求

解：因为0<( + )+(- )< , 所以 （0， ），又有sin =sin[( + )+(- )]=sin( + )²cos -cos( + )²sin

= ²1/7+ ² = 所以 = /3 或 =2 /3。

致误分析： （0， ）时sin 不是单调函数，由sin = 求角 还须进一步讨论范围，因为 （0， ）时cos 是单调函数,所以取余弦函数求角 是合理的，因为cos =cos[( + )+(- )]=1/2, 所以 = /3。

3，忽视特殊值

有些涉及三角函数值域，参变数取值范围的问题，应注意对区间端点，最值点，零点（即图象与x轴交点）等特殊值进行讨论，以免因一点一值酿成错误，如下例：

例3：已知方程sinx+ cosx+a=0在区间（0，2 ）上有且只有两个不同的实根，求实数a的取值范围。

解：因为原方程可化为sin(x+ /3)=-a/2, x （0，2 ） 当sin(x+ /3)= 1时，只有唯一解，所以-a/2 1，即-1<-a/2<1时，得a (-2, 2).

致误分析：对区间端点分析不够，因为sin(0+ /3)=sin(2 + /3)=sin( /3+ /3)= ，所以当-a/2= 时，方程有三个解0，2 ， /3 （0，2 ），故a的取值范围为（-2, - ）∪(- , 2)

4, 忽视隐含条件

有些三角函数问题隐含着重要的条件，必须发现和利用，才能正确解答，如下例：

例4：已知sin =(x-3)/(x+5) , cos =(4-2x)/(x+5), 试问x取何值时， 所在象限中sin ,cos 都是减函数。

解：由sin ,cos 都是减函数知2k+ /2< <2k + (k z)

所以sin >0, cos <0, 由此得x的不等式组：

0<(x-3)/(x+5)<1 和 -1〈(4-2x)/(x+5)〈0 解之得 3

致误分析：对隐含条件sin2 +cos2 =1还须应用，即〔(x-3)/(x+5)〕2+〔(4-2x)/(x+5)〕2=1 解之得x=0或x=8 ， 应舍去x=0 ， 故x=8即为所求

注：为简化运算起见，本题可先解出x=0或8,代入sin ,cos 中检验是否满足题意。

5，忽视图象变换顺序

《代数》上册第143页指出：一般地，函数y=Asin( x+ ) (A>0 , >0) x r 的图象可看作用下面的方法得到：先把y=sinx的图象上所有的点向左（ >0）或向右（ <0）平行移动 个单位，再把所得各点的横坐标缩短（ >1）或伸长（0< <1）到原来的1/ 倍，（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0

这里所强调的顺序是“平移变换—周期变换—振幅变换”，不能混同于“先周期变换再平移变换”，有些图象变换错误往往就在于此，如下例：

[5]例5：已知函数y=f(x),若将f(x)的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将整个图形沿y轴向下平移2个单位，得到的图象与函数y=sinx的图象相同，求f(x)的解析式。

解：对问题逆向思维，由函数y=sinx的图象作相对运动，变换得到y=f(x)的图象，因此将y=sinx的图象向上平移2个单位，然后使图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标缩小为原来的1/2倍，故得到f(x)=1/2sinx+2

致误分析：视sinx为y的函数，依先平移再压缩的变换过程，应得sinx=2y-2

因此答案应为y=1/2sinx+1

或者采用待定系数法求解：设y=asinx+b, 则依题意得y=2(asinx+b)-2与y=sinx为同一函数，因此得a=1/2 ,b=1 , 故y=1/2sinx+1为所求函数解析式。

6，忽视验算结果

正弦函数和余弦函数的有界性，即 ≦1， ≦1的掌握情况和应用，在综和问题的解答中，常被忽视，如下例：

例6：求函数y=cos2x-2sinx+1/3-2sinx的值域。

解：原式去分母整理得：sin2x+2(1-y)sinx+3y-2=0

由△=4(1-y)2-4(3y-2)≧0 解得函数的值域为y≧5+ /2 或y≦5- /2

致误分析：对判别式成立的条件没有检验，因为y=5+ /2时△=0，由求根公式得到sinx=-(1-y)=3+ /2 (-1, 1) ,所以△≧0求出的y的取值范围是错误的。

本题应采用图象法求解，设：

x=3-2sint, y=cos2t-2sint+1 . 消t得到：y=-1/4(x-5)2+3 (1≦x≦5)

由此转化为求k=y/x的取值范围，

两式连立消y又得：

x2+(4k-10)x+13=0,由

=0得到k=(5 )/2.

由p(1,-1)点坐标，求得k=-1，根据直线y=kx与抛物线存在的曲线相交(切)位置关系便得： -1≦k≦5- /2, 故所求函数值域为 -1≦y≦5- /2 .

二，三角函数问题求值域的几种类型

此外，在解三角函数问题时，我们还会经常遇到求含三角的函数求值域问题，解决这类题，我们必须熟练掌握三角代换公式，学会观察，分析问题，习惯用数形结合的方法等，这些问题大致可分为如下几类：

直线型

形如f(x)=asinx+b的函数，我们可以将它看作是定义在（-1，1）上的函数y=ax+b ，它的最值在端点达到，即：[f(x)]max= +b [f(x)]min=- +b