三角函数的单调性与周期性

1.4.2 《正弦、余弦函数的单调性》教学设计

邹旭娟

一、教学目标

（一）知识与技能

（二）过程与方法

1、由观察正弦函数图像得到正弦函数的单调区间，运用类比的方法得到余弦函数的单调区间；

2、由两个函数的单调区间入手进行比较大小及求复合函数的单调区间.

（三）情感态度与价值观

培养学生直觉猜想、归纳抽象、类比推理，演绎证明的能力.

二、教学重、难点

重点：正弦函数、余弦函数的单调性及研究的方法;

难点：正弦函数、余弦函数单调性的应用.

三、教学过程

环节 教学内容 教学活动 学生活动 设计意图

复

习

提

问 （1）正弦、余弦函数图像

（2）定义域、值域、周期

（3）具有单调性函数图像特征

提出问题引导学生回忆 学生用手描绘出一个周期上正弦、余弦函数图像，回答提出的问题

为本节课的知识做铺垫

探

究

新

知 （1）观察图像得出正弦函数的单调增区间

（2）类比的方法得引导学生观察正弦函数的图像，探究正弦函数在定义域上的单调增区间的表达形学生探究正弦函数的单调增区间引导学生自主探究，有利于学生对1.能正确表示出正弦函数、余弦函数的单调区间；

2.会运用单调性，比较三角函数值的大小；

3. 会利用已知正弦函数、余弦函数的单调区间求)cos()sin(xAyxAy和的单调区间. 出正弦函数的单调减区间，以及余弦函数的单调区间

式，从而通过类比的方法归纳出正弦函数单调减区间以及余弦函数的单调区间 的表达形式从而类比出减间区间及余弦函数单调区间的形式 知识的掌握。

新

知

应

用

（1）运用单调性比较两个三角函数值的大小。

（2）利用正弦函数的单调区间求复合函数的单调区间。

(1)例1、比较两个三角函数值的大小，然后让学生模仿练习，从而总结出利用单调性比较两个三角函数值大小的规律；

(2)例2、求复合函数的单调区间，让学生反思，从而总结解题的实质，探究x系数为负数的解题的方法，总结出解决此类问题的一般思路及方法.

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1 三角函数的奇偶性、周期性、单调性

一、兴趣导入（Topic-in）:

有一天我同学问我 “你知道什么动物最爱问为什么吗？”

我老早就知道了，但是我还是配合了，我说:“不知道，是什么？”

同学:“是猪啊。”

我：“哦。” ……沉默了一会后……

同学：“你不想知道为什么吗？”

我：“不想。”

同学：“为什么？”

……自作孽不可活

二、学前测试(Testing):

1、 在下列各区间上，函数xy2cos单调递减的区间是( C )

A．4,4 B．43,4 C．2,0 D．,2

2、在下列各区间上，函数sin()4yx的单调递增区间是（ B ）

A．,2 B．0,4 C．,0 D．,42

3、在下列函数中，同时满足①在(0，2)上递增；②以2π为周期；③是奇函数的( )

A．y＝tanx B．y＝cosx C．y＝tan21x D．y＝－tanx

4、3sin(2)4yx的最小正周期是 、

单调递增区间是 、单调递减区间是 ；

5、函数2tan34yx的最小正周期是 ； 函数)sin(axy的周期为

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2 三、知识讲解(Teaching)：

知识要求：1、能正确画出sinyx，cosyx，tanyx的图象及变换的图像。

1、给定条件，能够求sinyx，cosyx，tanyx及变换的函数的周期、奇偶性、定义域、值域、单调区间、最大值和最小值；

三角函数的单调性

1、函数y=3cos（52x－6π）的单调增区间为

2、函数)42sin(xy在,0的单调减区间为

3、如果xycos是增函数，xysin是减函数，则x的终边在第 象限.

4、求下列函数的单调递增区间和单调递减区间.

（1）sin2yx （2）2cos(2)14yx

（3）sin()yx （4）cos(2)3yx

（5）xxycossin1 （6）xxxycossin3cos2

5、已知函数)(23cos3cossin)(2Rxxxxxf.

（1）求)(xf的最小正周期；

（2）求)(xf的递增区间和递减区间；

（3）当x取何值时，函数有最大值和最小值；

6、已知函数].2,4[,2cos3)4(sin2)(2xxxxf

（1）求函数)(xf的单调区间;

（2）求函数)(xf的最大值和最小值;

（3）若不等式2)(mxf在]2,4[x上恒成立，求实数m的取值范围.

1 §4.3 三角函数的图像与性质

2014高考会这样考 1.考查三角函数的图像：五点法作简图、图像变换、图像的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．

复习备考要这样做 1.会作三角函数的图像，通过图像研究三角函数的性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论其图像、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．

1． 三角函数的图像和性质

函数性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

定义域 R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}

图像

值域 [－1,1] [－1,1] R

对称性 对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(kπ＋π2，0) (k∈Z) 对称中心：kπ2，0

(k∈Z)

周期 2π 2π π

单调性 单调增区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)；单调减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2] (k∈Z) 单调增区间[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)；

单调减区间

[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

[难点正本 疑点清源]

1． 函数的周期性

若f(ωx＋φ＋T)＝f(ωx＋φ) (ω>0)，常数T不能说是函数f(ωx＋φ)的周期．因为

f(ωx＋φ＋T)＝fωx＋Tω＋φ，即自变量由x增加到x＋Tω，Tω是函数的周期．

2． 求三角函数值域(最值)的方法

2 (1)利用sin x、cos x的有界性；

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

题型一 三角函数的定义域、值域问题