3.3 函数的单调性

3.3函数的单调性

【课题】 3.3函数的单调性

【教学目标】

知识目标：

⑴ 理解函数的单调性的概念；

⑵ 会借助于函数图像讨论函数的单调性；

能力目标：

⑴ 通过利用函数图像研究函数单调性，培养学生的观察能力；

⑵ 通过函数单调性的判断，培养学生的数学思维能力．

【教学重点】

⑴ 函数单调性的概念及其图像特征；

⑵ 简单函数单调性的判断

【教学难点】

定义推理函数单调性

【教学设计】

（1）用学生熟悉的主题活动将所学的知识有机的整合在一起；

（2）引导学生去感知数学的数形结合思想．通*动脑思考 探索新知

概念

函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．

类型

设函数yfx在区间,ab内有意义．

（ 一般地，对于函数在给定区间上任意两个不相等的值x1， x2，△x=x2-x1, ，△y=y2-y1, 当xy＞0时，那么就说，函数y=f(x)在这个区间上是增函数（图1）； 当

xy ＜0时，那么就说，函数y=f(x)在这个区间上是减函数（图2）。

归纳

说明

仔细

分析

讲解

关

思考

理解

记忆

领会

带领

学生

总结

上述

图像

特点

得到

增

图（1）

图（2）

如果函数fx在区间,ab内是增函数（或减函数），那么，就称函数fx在区间,ab内具有单调性，区间,ab叫做函数fx的单调区间．

几何特征

函数单调性的几何特征：在自变量取值区间上，顺着x轴的正方向，若函数的图像上升，则函数为增函数；若图像下降则函数为减函数．

判定方法 键

词语

强调

说明

理解

观察

了解

减

概念

充分

讲解

函数

图像

变化

和增

减

判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定．

引导

说明

强调

体会

了解 之

间的

关系

简单

说明

区间

端点

的问

题

数形

12第四节函数单调性的判定法

要求

⑴会用导数求函数的单调区间。

⑵会利用单调性证明不等式。

1．用导数求函数的单调区间

前面已经介绍了函数在区间上单调的概念，下面利用导数来对函数的单调性进行研究。

如果函数)(xfy

在[a,b]上单调增加（单调减少），那末它的图形是一条沿x轴正向上升

（下降）的曲线。这时，曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即

)0)((0)(







xfyxfy

。由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。

反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？

下面我们利用拉格朗日中值定理来进行讨论。

设函数)(xf

在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，在[a,b]上任取两点

1x

、

2x

（

1x

<

2x

），应

用拉格朗日中值定理，得到

)( ))(()()(

211212xxxxfxfxf



由于在上式中，0

12xx

，因此，如果在（a,b）内导数)(xf

保持正号，即0)(

xf

，

那末也有0)(

f

，于是

0))(()()(

1212

xxfxfxf

即)()(

21xfxf

表明函数)(xfy

在[a,b]上单调增加。

同理，如果在（a,b）内导数)(xf

保持负号，即0)(

xf

，那末0)(

f

，于是

0)()(

12xfxf

，即)()(

21xfxf

，表明函数)(xfy

在[a,b]上单调减少。

归纳以上讨论，即得

函数单调性的判定法设函数)(xfy

在[a,b]上连续，在（a,b）内可导。

（1）如果在（a,b）内0)(

xf

，那末函数)(xfy

在[a,b]上单调增加；

（2）如果在（a,b）内0)(

xf

，那末函数)(xfy

在[a,b]上单调减少。

如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那末结论也成立。

13例1讨论下列函数的单调性

①xxxysin

[0，2

]。

②3129223

xxxy

③32

xy

从例1中看出，有些函数在它的定义区间上不是单调的，但是当我们用导数等于零的点

函数的单调性

函数的单调性：

一、定义：

①()fx在区间I上是增函数（递增）：121212221112()(,,()())IDxxIxxxxfxffxfxx、、任意或

中文理解：函数值随着自变量的增大而增大（因变量大小与自变量大小一致）。

图像理解：从左到右，由下至上。

②()fx在区间I上是减函数（递减）：121121212212()(),,()()IDxxIxxfxxfxfxxfx任、、意或

中文理解：函数值随着自变量的增大而减小（因变量大小与自变量大小相反）。

图像理解：从左到右，由上至下。

二、知识要点：

1、单调区间I与定义域D的关系：ID

练1：根据下列函数的图像，分别写出其定义域D与单调区间增区间I，单调减区间I

直线型 指、对数型：xya与logayx

(0)ykxbk (0)ykxbk (0)ykxbk

二次曲线 幂函数：1:()0:1,0aayxyxaQayx

2()(0)yaxbca 2()(0)yaxbca 2yx 3yx 52yx

D D

I I

I I

D D

I I

I I y=x(1,0)a>1y=logaxy=axoyx(0,1)0

12yx 25yx 13yx 1yx 2yx 12yx

三角函数

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；