函数奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性练习题

1、判断下列函数的奇偶性。

（1）xxxxf11)1()(（非奇非偶）

（2）2|2|)1lg()(2xxxf（奇）

（3）33)(22xxxf（奇偶）

（4）2||)(2axxxf（a=0，偶；a≠0，非奇非偶）

（5）1212)(xxxf（奇）

（6）)1lg(2xxy（奇）

（7）1cossin()1cossinxxfxxx

（8）2211()11xxfxxx(奇)

2、设函数)(xf是定义在R上的奇函数，对于Rx，都有)23()23(xfxf成立。

（1）证明：)(xf是周期函数，并指出周期。

)()()]23(23[]23)23[()3()()(),23()23(xfxfxfxfxfxfxfxfxf

所以，)(xf是周期函数，且3T

（2）若2)1(f，求)3()2(ff的值。-2 3．设()fx是定义在R上的奇函数，当x时，()fxxx，则()f（ A ）

A．B． C．１ D．３

4．函数)(xf的定义域为,11,，且)1(xf为奇函数，当1x时，

16122)(2xxxf，则直线2y与函数)(xf图象的所有交点的横坐标之和是（ D ）

A．1 B．2 C．4 D．5

解：

f(x+1)是奇函数

所以 f(x+1)的图像关于(0,0)对称，且f(0+1)=0

f(x+1)的图像向右平移1个单位，得到f(x)

所以 f(x)的图像关于(1,0)对称, f(1)=0

则当 x>1时

（1） 2x²-12x+16=2

x²-6x+7=0

x=3±√2 两根都大于1

即x>1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为3±√2

（2） 2x²-12x+16=-2

x²-6x+9=0

x=3

所以 x=3时，y=-2

(3,-2)关于(1,0)的对称点为（-1,2）

即 x<1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为-1

所以 ，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是

3+√2+3-√2+(-1)=5

5.下面四个结论中，正确命题的个数是 (A )

①偶函数的图象一定与y轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）

A.1 B.2 C.3 D.4

6.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，)1(log)(21xxf，则函数f(x)在(1,2)上( D )

A．是增函数，且f(x)<0B．是增函数，且f(x)>0

C．是减函数，且f(x)<0D．是减函数，且f(x)>0

7．已知函数)(xfy，Rx，有下列4个命题： ①若)21()21(xfxf，则)(xf的图象关于直线1x对称；

②)2(xf与)2(xf的图象关于直线2x对称；

③若)(xf为偶函数，且)()2(xfxf，则)(xf的图象关于直线2x对称；

④若)(xf为奇函数，且)2()(xfxf，则)(xf的图象关于直线1x对称.

其中正确命题的个数为 （C ）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

分析：①先用换元法将f（1+2x）=f（1-2x）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．

②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．

③用-x换x，由题设条件和偶函数的性质得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），故f（x）的图象关于直线x=2对称．

④用-x换x，由题设条件和奇函数的性质得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的图象关于直线x=-1对称．

解答：解：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）

由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f（x）图象关于直线x=1对称

即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故①是真命题．

②由题设知y=f（2-x）=f[-（x-2）]

由于函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，

又y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象可由函数y=f（x）与y=f（-x）的图象右移动2个单位而得到，

∴y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，故②是真命题．

③f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），用-x换x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x）

∴f（x）的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．

④∵y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），用-x换x得，f（-x）=f（x-2），

∴y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，故④是假命题．

故选C．

8.设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当10x时，xxf)(，则)5.7(f等于（B ）

A.0.5 B.-0.5C.1.5D.-1.5

9．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝fx＋3x＋4的所有x之和为( C )A．－3 B．3C．－8 D．8

10.已知函数f(x)满足：f(1)＝2，)(1)(1)1(xfxfxf，则f(2011)等于( C )

A．2 B．－3 C．－12 D.13

[解析] 由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－12，f(4)＝13，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)

(x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2011)＝f(3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f(x＋2)＝1＋fx＋11－fx＋1＝－1fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为

11.函数y＝log22－x2＋x的图象( A )

A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称

C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称

12.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lgx11，那么当x∈（－1，0）时，f（x）的表达式是__________.

解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lgx11=lg（1－x）.答案：lg（1－x）

13.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为3.

14．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．

0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．(

15.已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：

①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图像关于y轴对称；

②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图像关于直线x=2对称； ③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图像关于直线x=1/2对称；

④若f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；

⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图像关于x=2对称。其中正确的命题序号为_______．

②③⑤

16．定义在,上的偶函数xf满足xfxf1，且在0,1上是增函数，下面是关于f(x)的判断：

①xf关于点P(021,)对称 ②xf的图像关于直线1x对称；

③xf在[0，1]上是增函数； ④02ff.

其中正确的判断是________________(把你认为正确的判断都填上)(1)(2)(4)

17.关于y=f(x)，给出下列五个命题：

①若f(-1+x)=f(1+x)，则y=f(x)是周期函数；

②若f(1-x)= -f(1+x)，则y=f(x)为奇函数；

③若函数y=f(x-1)的图像关于x=1对称，则y=f(x)为偶函数；

④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图像关于直线x=1对称；

⑤若f(1-x)=f(1+x)，则y=f(x)的图像关于点（1,0）对称；

其中真命题的序号是_______．①③

18.设函数)x(fy是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x对称，已知]2,2[x时，函数1x)x(f2，则]2,6[x时，)x(f.

1)4x()x(f2