不等式解法举例

不等式的解法归类

一、简单的一元高次不等式的解法：

1.一元二次不等式的一般解法：

1）形如：（x－a） · (x－b）＞0 等价于00bxax 或

00bxax 。

2）形如：（x－a） · (x－b）＜0 等价于00bxax 或

00bxax 。

2.简单的一元高次不等式的穿针引线法：

一元高次不等式f(x)＞0(或＜0)用穿针引线法（或数轴标根法、根轴法、区间法）求解。

用此法解一元高次不等式，先将不等式化为一端为零，一端为一次因式（或二次因式不可分解因式）之积，然后求出零点，并在数轴上依次标出，再用光滑曲线从右至左，自上而下依次通过这些零点。则大于零（小于零）的不等式的解集对应着曲线在数轴上方（下方）部分的实数x的取值集合。

【注意事项】分解因式后，各因式中x的系数一定要化为正数；画线时，遇奇数次重根一次穿过，遇偶数次重根穿而不过；考查各重根是否在解集内，再决定其去留。

【典型例题】解不等式：

1) x2-2x-3＞0; 2) (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)≤0.

【解析】1）不等式x2-2x-3＞0 可化为（x-3）（x+1）＞0

它等价于0103xx 或 0103xx 即 x＞3 或x＜-1。

还可以用穿针引线法解答： 令x2-2x-3=0 ，即 （x-3）（x+1）=0. 则零点分别为 -1,3.将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示：

+ +

-1 3

因为不等式大于零，所以取X轴上方的阴影部分。则不等式的解集为：

x＞3 或x＜-1。

2）用穿针引线法解答：

令 (x+2)·(x+1)2·(x-1)3·(x-2)=0 ，则零点分别为：-2，-1,1,2，将零点依次标在数轴上，并画出光滑的曲线，如图所示：

不等式解法15种典型例题

典型例题一

解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。下面分别解两个例题：

例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜23

1）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x－3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。

2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。

典型例题二

解分式不等式时，要注意它的等价变形。当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。

1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。

2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。

解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。

例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。

分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。

解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。

一元二次等式

由此可以推导出一元二次不等式的解法

典型例题一

例1 解不等式：（1）015223xxx；（2）0)2()5)(4(32xxx．

典型例题二

例2 解下列分式不等式：

（1）22123xx； （2）12731422xxxx

当分式不等式化为)0(0)()(或xgxf时，要注意它的等价变形

①0)()(0)()(xgxfxgxf

②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(xgxfxfxgxfxgxgxfxgxf或或

典型例题三

例3 解不等式242xx

1.绝对值不等式

ax与)0(aax型不等式cbax与)0(ccbax型不等式的解法与解集： 0 0 0

二次函数

cbxaxy2

（0a）的图象 cbxaxy2

x2x1oyx cbxaxy2=x2x1oyx cbxaxy2oyx

一元二次方程

的根002acbxax 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221 无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R

的解集)0(02acbxax 21xxxx   不等式)0(aax的解集是axax;

不等式)0(aax的解集是axaxx或,；

不等式)0(ccbax的解集为 )0(|ccbaxcx；

不等式)0(ccbax的解集为 )0(,|ccbaxcbaxx或.

2.解一元一次不等式)0(abax

①abxxa,0 ②abxxa,0.

典型例题四

例4 解不等式04125622xxxx．

基本不等式的所有公式及常用解法

1.加减法不等式公式：

若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。

2.乘法不等式公式：

若a>b且c>0，则a*c>b*c；

若a>b且c<0，则a*c

3.幂次不等式公式：

对任意非零实数a和b

若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；

若a>b且0

4.倒数不等式公式：

若a>b>0，则1/a<1/b。

5.奇偶性不等式公式：

若a>0且n为正整数，则a^n>0。

若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。

常用的解基本不等式的方法有：

1.用数轴法解：

将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。 2.用代数方法解：

针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。

3.用平方差、立方差或更高次差法解：

对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。

4.用函数图像解：

对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。

5.用不等式链解：

若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。

以上是基本不等式的一些公式和常用解法。对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。希望以上内容对您有所帮助。