不等式解法举例

三元一次方程组解法举例

一、学习内容

我们知道，解二元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，事实上，在求解过程中，不

管是代入或是加减，其目的是消元，把二元转化为一元，从而求解，类似，三元一次

方程组的解法也可以设法将三元二元一元.

二、例题分析

第一阶梯

[例1]解方程组

提示：解三元一次方程，可以先消去一个未知数化为二元一次方程来解，即三元转化二元转

化一元，因此代入消元、加减消元法均可运用。

解：把①代入②得5x+3(2x-7)+2z=2

整现得11x+2z=23 ④

④×2+③得25x=50，x=2

把x=2代入①和③得

y=-3，z=

∴是原方程的解 [例2]

提示：

此方程组是一个三元一次方程组，观察方程组，①中含有两个未知数，可以变形为y=2x-7

④，把④分别代入②，③，便于消去y，得到一个关于x，z的二元一次方程组，通过求解x，z便可求出y的值，从而达到解三元一次方程组的目的。

参考答案：

解：由①得y=2x-7④

将④分别代入② ③得

⑤-⑥得12x=48

∴x=4

把x=4代入⑤得

4+z=3

∴z=-1

把x=4，z=-1代入②得

4+2y+5(-1)=1

2y=2 ∴y=1

说明：

此题也可以用代入法求解x，z，一般来说，当方程组中某个未知数为1时，用“代入法”来求解比较简，当某个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时用"加减法"消元比较容易，特别对多元一次方程组，两者可以结合起来。

第二阶梯

不等式的解法

类型一 一元二次不等式的解法

1 定义：形如 （0） ，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为x的一元二次不等式。

2

归纳与总结：设相应的一元一次方程20(0)axbxca的两根为12xx，且12xx，24bac则不等式解得情况如下表：

判别式24bac 0 0 0

20(0)axbxca

1x 2x12()xx

122bxxa 无实根

20(0)axbxca 1xxx或2xx

2bxxa

R

20(0)axbxca 12xxxx  

3 解题步骤：

（1） 化系数为正；

（2） 判别式判断，（0；0；0）

（3） 写出解集。

4 例题：

（1）260xx

（2）24410xx

（3）2230xx

4 常用结论（1）2(0)xaaaa

（2）2(0)xaaxaa或x>

(3) 2(0)bxaabbxaab或-

5 练习：

（1）2490xx （2）23710xx

（3）23710xx

（4）24(221)(4)xxxx

（5）求函数2()2log(32)fxxxx的定义域。

类型二 高次不等式的解法

方法：穿针引线，数轴标根法

口诀：从右到左、从上到下、奇穿偶回。

步骤：1、解出方程的根并在数轴上按根的大小排序；

2、穿针引线：从右到左、从上到下、奇穿偶回（具体含义在例题中讲解）；

3、不等式大于零时取数轴上方部分，小于零则取下方部分。

例1、解不等式(1)(2)(3)(4)(5)0xxxxx.

解：

12354

于是原不等式的解集为12345xxxx或或.

例2、解不等式. 2(1)(2)(3)(4)(5)0xxxxx

含参数不等式总结

一、通过讨论解带参数不等式

例1：2(1)0xxaa

例2:关于x的不等式01)1(2axaax 对于Rx恒成立，求a的取值范围。

二、已知解集的参数不等式

例3：已知集合2540Axxx|≤，2|220Bxxaxa≤，若BA，求实数a的取值范围．

三、使用变量分离方法解带参数不等式

例4：若不等式210xax＋＋对于一切1(0,)2x成立，则a的取值范围.

例5：设nannxfxxx121lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2，若xf当1,x 时有意义, 求a的取值范围。

例6： 已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在,0上是增函数，对于任意Rx求实

数m范围，使0cos2432cosmmff 恒成立。

思考：对于（0，3）上的一切实数x,不等式122xmx恒成立，求实数m的取值范

围。如何求解？

分离参数法适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。

四、主参换位法解带参数不等式

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。

例7：若对于任意a1,1，函数axaxxf2442的值恒大于0，求x的

取值范围。

分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值很难求出，思路

受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。

例8：已知19a,关于x的不等式: 0452xax恒成立，求x的范围。

例9： 若对一切2p，不等式pxxpx2222log21loglog恒成立，求实数x的取值范围。

非常道　（２）若（－ｚ，　）∈Ａｎｔ３，且．７Ｃ＋２ｙ的最大值为９，则　６的值是　．　霹析不等式　≥专ｊｚ～２　表示以（２，０）为折点的折线的　上方区域，不等式　≤一１ｚｉ＋　６表示以（０，６）为折点的折线　的下方区域．　一一｝．ＲＪｉ至少向　上平移１个单位才能使ＡｎＢ≠　成立，故６∈［１，＋。。）。因为　Ｎｔ　２　（ｚ，　）∈ＡｎＢ，可知当取点（Ｏ，６）时，ｚ＋２ｙ取得最大值　ｏ　９，因此２ｂ＝９，故６一丢．　从上面的举例可以看出，高考对绝对值的考查　花样多，涉及面广，而且有较高深度，希望引起同学　们对含有绝对值问题的关注，也希望能从中受到启　发　在学习中不断积累和拓展，提高复习效率和应试　技能．　

关于ｚ的方程厂　（　）＋６　（ｚ）十ｃ一０　的充要条件是（　）．　Ａ　６＜Ｏ且ｃ＞０；　Ｃ　ｂ＜Ｃ０且ｃ一０；　２。已知　∈Ｎ　，则不等式　（　）．　Ｂ　＞０且ｆ＜０；　Ｄ　６≥０且ｃ一０　２ｊ＜。．０１的解集为　ｌ　ｎ＿广ｌ　Ｉ　

摧　高二　（作者单位：山东省沂水县第一中学　山东省沂水县龙家固乡第一中学）　禽参数　等式　藤法饿　”黪　贵州　洪其强　不等式问题是历年高考的必考内容，其中含参数　的不等式问题，是同学们在学习中的难点，本文将此　问题的常规解法举例分析，供同学们学习此部分内容　时参考　§例１　解关于　ｚ的不等式　＜０．　０　原不等式等价于（ｚ～ｎ）（ｘ－－ａ　）＜ｏ－　解析　１）当ａ＜０或ｎ＞１时，有ａ＜＆　，即不　等式的解集为：｛ｚｌ＆＜ｚ＜ａ　｝；　２）当０＜ａ＜１时，不等式的解集为：｛ｚ　＜ｚ＜ａ｝；　３）当ｎ一０或口一１时，原不等式无解。　综上，当ｎ＜０或ｎ＞１时，原不等式的解集为：　｛ｚｌ　ａ＜ｚ＜ａ　｝；当Ｏ＜“＜１时，原不等式的解集为：　｛ｚ；“。＜ｚ＜ｎ｝；当ａ一０或ｎ一１时，原不等式的解集　为　。　舞　占　根据需要，选择分类标准，展开讨论，使问　夥孬　题轻松解决．　‘　薛嗥　：　例２设不等式　。一２ａｘ＋ａ＋２≤ｏ的解集为　Ｍ，如果Ｍ　［１，４］，求实数ａ的取值范围。　解Ｍ　［１，４］有：当Ｍ一　时△＜０；当Ｍ≠０　时△≥Ｏ，分３种情况计算ｎ的取值范围．　设ｆ（　）一ｚ　一２ａｘ－ｋ＆Ｊｒ－２，有　△一（一２ａ）　～４（ａ＋２）一４（ａ　一口一２）．　（１）当△＜Ｏ时，一１＜ａ＜２，／ＶＩ－－　Ｅ１，４］；　（２）当△一０时，ａ一一１或２；当ｎ：＝＝一１时Ｍ＝＝＝　｛一１）　［１，４］；当ｎ一２时，Ｍ＝＝＝｛２）　［１，４］。　（３）当△＞Ｏ时　ｎ＜一１或ｎ＞２　设方程ｆ（　）：：＝０　的２根为　ｌ，ｚ２．且ｚ１＜ｚ　２，那么Ｍ一［ｚ１，　２］，Ｍ　，４　一　≤ｚ　＜ｎ≤４　ｆ　：　。’　ｒ一“＋３＞Ｏ’　即　＞　解得２＜。＜　，０　即　解得２＜ｎ＜　，　１“＞。　Ｊｉ　ａ＜Ｚ一１或“＞２，　所以Ｍ　［１，４］时，ａ的取值范膈是（一１，　）．　生活只有在平淡无味的人看来才是空虚而平淡无味的　一车尔尼雪夫斯基　～　是一　一　＝　栅　一一一一一一　一　苎　一一一一一一　一