高等数学第九章练习题

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习题9-1 多元函数的基本概念

1.求下列各函数的定义域：

（1）22ln()+1xzyxxy；

（2）22arccoszuxy

2.求下列各极限：

（1）(,)(0,0)24limxyxyxy；

（2）(,)(2,0)tan()limxyxyy.

（3）2222()lim()xyxyxye

令22uxy，原式1limlim0uuuuuee

（4）22223,0,022sinlimxyxyxyxy

令22txy，则原式23220001sin1cos12limlimlim336tttxtttttt

习题9-2 偏导数

1.求下列函数的偏导数：

（1）2sin()cos()zxyxy； word文档 下载后可任意复制编辑

（2）(1)yzxy；

（3）arctan()zuxy.

（4）设23yzxyx，其中u可导，证明22zzxyxyxy

解 222,33zyzyyxyxxyxxyx

左边22222233zyyxyxyxyyxyxxyxx右边

2.求下列函数的22zx，22zy和2zxy.

（1）arctanyzx；

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（2）xzy.

习题9-3 全微分

1.求下列函数的全微分：

（1）yxze；

（2）yzux.

（3）sin2yzyuxe.

解 11,cos,22yzyzuuyuzeyexyz，所求的全微分为

1cos22yzyzydudxzedyyedz‘

（4）222tanzyxu

解 2222222secxxyzuxxyz， 2222222secyxyzuyxyz

第二节二重积分的计算法

• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法

• 二、二重积分在极坐标系中的计算法

• 三、小结思考题练习题

一、二重积分在直角坐标系中的计 算法

a < x <^h9 (pt(x) V y V (pAx).

[X—型]

其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:

1

1

J =

」_屮心)

1 1

a b

的值等于以。为底，以曲面z =

f(x,y)为曲顶柱体的体积.

应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,

SR cy=fdyr2>f(x,y)dx.

兴 切(丿) y =©(x)

y =^(x) A(x(J

X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.

若区域如图，则必须分割.

在分割后的三个区域上分别

使用积分公式

n 勿 +u •

D D、 D2 D、

例1 改变积分f(xyy)dy的次序.

解

例2改变积分

’/（X』）心的次序.

解积分区域如图 2 J = 2-x

X

、 »= \ 2x -

5^

• ■ 7

0.9 1 \ * ・5 3

原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.

例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.

f(x^y)dx

+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x2 =>x =a ± xa2 -y2 =\ 2ax —::2 例4求jj(x2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线

解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂

+ y)dxdy {x1 +

y)dy

D

=x - x2) + ^(x-x4)]rfx =豊・ Jo 2 140

例5 求JJx2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),

(

x2e~y dxdy =^dy^ x2e y dx D

习题九

1. 求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。

解：

2. 求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。

解：

的方向余弦为

故

3. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ，它是第三象限的角，因为

所以在点处切线斜率为

法线斜率为.

于是

∵

∴

4.研究下列函数的极值：

(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);

(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2);

(5)z=xy(a－x－y),a≠0.

解：（1）解方程组

得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

zxx=6x－6, zxy=0, zyy=6y－6

在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.

在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.

在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.

在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.

(2)解方程组

得驻点为.

在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值.

(3) 解方程组

得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Zxx=－2(4y-y2),

Zxy=4(3－x)(2－y)

Zyy=－2(6x－x2)

在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.

在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.

高等数学复习自测题 第九章 多元函数的积分学及其应用

1

一、填空题

1. 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，薄片上分布有面密度为(,)xy的电荷，且(,)xy在D上连续，则该薄片上的全部电荷可用二重积分表达为 ；

2. 设(,)fxy在有界闭区域D上连续，则由积分中值定理，在D上至少存在一点(,)，使得 ；

3. 2Dd ，其中22{(,)|1}169xyDxy；

4. 根据二重积分的几何意义,224Dxydxdy ；

其中22:4,0,0Dxyxy；

5. 将二次积分100(,)yIdyfxydx 交换积分次序，得I ；

6. 把二次积分2222200()xxdxxydy化为极坐标系中的二次积分为 ；

7.设均匀薄片（面密度为常量）占据的闭区域为{(,)|0,0}Dxyxayb，则xI ；

8. 设L是以点2303 0,0，，，，为顶点的三角形区域的正向边界，则(24)(356)Lxydxxydy ；

9.设L为圆周222xya，则22()nLxyds ；

10.设D为平面上的一个单连通区域，函数(,),(,)PxyQxy在D内有一阶连续偏导数，则(,)(,)LPxydxQxydy在D内与路径无关的充要条件是

在D内处处成立.

二、计算下列积分

1.Dxyd，其中D是由抛物线yx与2yx所围成的闭区域；

2. sin,Dydy其中D是由直线,,12xyxyy所围成的区域； 高等数学复习自测题 第九章 多元函数的积分学及其应用