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高等数学第九章习题解答

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习题9.1

1. 计算曲线积分22(),LIxyds其中L是中心在(,0)R、半径为R的上半圆周.

解 由于上半圆周的参数方程为

(1cos)sinxRtyRt(0),t

所以 I22()Lxyds

22220[(1cos)sin]RtRt22(sin)(cos)RtRtdt

302(1cos)Rtdt302[sin]Rtt

32.R

2.计算半径为R, 中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度1).

解 取坐标系,则

2.LIyds

为计算方便, 利用L的参数方程

cos,xRtsinyRt().t

故 2LIyds2222sin(sin)(cos)RtRtRtd

32sinRtdt3sin222Rtt

3(2sin2)2R3(sincos).R

3. 计算Lyds, 其中积分弧段L是由折线OAB组成, 而(1,0),A (1,2).B

解 在OA上，0,y,dsdx

所以 0.OAyds 在AB上，1,x,dsdy所以

AByds20ydy2.

从而

OABydsOAABydsyds022.

4.LIxds，其中L是圆221xy中(0,1)A到11(,)22B之间的一段劣弧；

解 LAB的参数方程为：

cos,sinxy()42，于是

2422cos(sin)cosId

241cos(1)2d．

5.(1)Lxyds，其中L是顶点为(0,0),(1,0)OA及(0,1)B所成三角形的边界；

解 L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有

(1)Lxyds

(1)OAxyds(1)ABxyds (1)BOxyds，

由于OA:0y，01x，于是

2222()()10dxdydsdxdxdxdxdx，

故 103(1)(01)2xydsxdxOA，

而:AB1yx,01x，于是

2222()()1(1)2dxdydsdxdxdxdxdx．

故

xyo(1,0)A(0,1)BxyoABC 10(1)[(1)1]222ABxydsxxdx，

同理可知:BO0x（01y），2222()()01dxdydsdydydydydy，则

103(1)[01]2BOxydsydy．

综上所述 33(1)2232222Lxyds．

6.2 Lxyzds，其中L为折线段ABCD，这里(0,0,0)A，(0,0,2),B(1,0,2),C

(1,2,3)D；

解 如图所示，

2222 LABBCCDxyzdsxyzdsxyzdsxyzds．

线段AB的参数方程为 0,0,2(01)xyztt，则

222()()()dxdydzdsdtdtdt

2220022dtdt，

故

12 0 00220ABxyzdstdt．

线段BC的参数方程为,0,2(01)xtyzt，则

222100,dsdtdt

故

122 0020BCxyzdstdt，

线段CD的参数方程为1,2,2xytzt(01)t，则

2220215dsdtdt，

故

1 1222 0 0812(2)525 (2)53CDxyzdsttdtttdt，所以

2222 853LABBCCDxyzdsxyzdsxyzdsxyzds． xyz(0,0,0)A(0,0,2)B(1,0,2)C(1,2,3)D7. 设一段曲线ln(0)yxaxb上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．

解 依题意曲线的线密度为2x，故所求质量为2LMxds，其中

:ln(0)Lyxaxb．则L的参数方程为

lnxxyx (0)axb，

故

22211111dydsdxdxxdxdxxx，

所以

3222211[(1)]3bbaaxMxdxxx3322221[(1)(1)]3ba．

习题9.2

1 设L为xOy面内一直线yb（b为常数），证明

(,)0LQxydy。

证明 设L是直线yb上从点1(,)ab到点2(,)ab的一段，其参数方程可视为

()yyxb，（12axa），

于是

21(,)(,)00aLaQxydyQxbdx。

2. 计算Lxydx，其中L为抛物线2yx上从点(1,1)A到点(1,1)B的一段弧.

解 (1) 化为对x的定积分, .yx

LxydxAOOBxydxxydx

0110()xxdxxxdx

13/202xdx4.5 (2) 化为对y的定积分, 2,xyy从1变到1.

LxydxABxydx1221()'yyydy1412ydy4.5

3. 计算2222 ()()Lxydxxydy，其中L是曲线11yx从对应于0x时的点到2x时的点的一段弧；

解

1L的方程为yx(01)x，则有

1 122222 02()()23Lxydxxydyxdx．

2L的方程为2yx(12)x，则

22222 ()()Lxydxxydy

222 1[(2)]xxdx 222 1[(2)](1)xxdx

22 12 2(2)3xdx．

所以 2222 4()()3Lxydxxydy．

4. 计算22Lxydyxydx，其中L沿右半圆222xya以点(0,)Aa为起点，经过点(,0)Ca到终点(0,)Ba的路径；

解 利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为:cos,sinxaya，在起点(0,)Aa处参数值取2，在终点(0,)Ba处参数值相应取2，则 y1o21L2Lx22Lxydyxydx2222cos(sin)(sin)(cos)sin(cos)aadaaada

422222sincosad44a.

5. 计算3223Lxdxzydyxydz，其中L为从点(3,2,1)A到点(0,0,0)B的直线段AB；

解 直线AB的方程为

321xyz

化成参数方程得

3xt，2yt，zt，t从1变到0。

所以

3223Lxdxzydyxydz02221[(3)33(2)2(3)2]tttttdt

03187874tdt。

6. 计算()()()LIzydxxzdyxydz，L为椭圆周221 ,2 ,xyxyz且从z轴正方向看去，L取顺时针方向。

解 L的参数方程为

cosxt，sinyt，2cossinztt，t从2变到0，

()()()LIzydxxzdyxydz

0222(3cossin2sin2cos)ttttdt2。

7. 计算Lydxxdy，其中L分别为以下路线：

(1) 直线AB；

(2) 抛物线ACB：22(1)1yx； (3) 折线ADB.

解 (1) 直线AB的方程为1,xt12.yt对于L的方向,参数t从0变到1，

于是

Lydxxdy10[(12)2(1)]ttdt10(34)tdt5.

(2) 抛物线ACB的方程为22(1)1,yx对于L的方向,参数x从1变到2,于是

Lydxxdy221[2(1)14(1)]xxxdx

221(683)xxdx

3221(243)xxx5.

(3) 在折线ADBADDB中，:AD1,yx从1变到 2; :DB2,xy从1

变到 3.

LydxxdyADDBydxxdyydxxdy23112dxdy145.

8. 求质点在力2Fxixyj的作用下沿着曲线L（图10-2-6）

cos,sinxtyt

从点(1,0)A移动到点(0,1)B时所作的功.

解 注意到对于L的方向, 参数t从0变到/2,所以

W2ABxdxxydy

/220coscoscossinsintdtttdt

/220(2cossin)ttdt

/230cos22.33t

习题9.3 1．应用格林公式计算下列积分：

(1)dd24356xyxyxy， 其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；

(2)222ddcos2sinesin2exxLxyxyxxyxyxxy，其中L为正向星形线2223330xyaa；

(3)3222dd2cos12sin3Lxyxyyxyxxy，其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；

(4)22ddsinLxyxyxy，L是圆周22yxx上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；

(5)ddesinecosxxLxyymyym，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）．

图11-4

解 (1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，

Q=3x+5y-6，3Qx，1Py，由格林公式得

dd24356dd4dd4dd1432212LDDDxyxyxyQPxyxyxyxy

(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，

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高等数学课后习题答案第九章

高等数学课后习题答案第九章

习题九

1. 求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。

解：

2. 求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。

解：

的方向余弦为

故

3. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ，它是第三象限的角，因为

所以在点处切线斜率为

法线斜率为.

于是

∵

∴

4.研究下列函数的极值：

(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);

(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2);

(5)z=xy(a－x－y),a≠0.

解：（1）解方程组

得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

zxx=6x－6, zxy=0, zyy=6y－6

在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.

在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.

在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.

在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.

(2)解方程组

得驻点为.

在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值.

(3) 解方程组

得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Zxx=－2(4y-y2),

Zxy=4(3－x)(2－y)

Zyy=－2(6x－x2)

在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.

在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.

高等数学第九章试题2

高等数学第九章试题2

1.函数xyzsin的全微分是__________________

2.设13323xyxyyxz，则yxz2_____________________________.

3.微分方程044yyy的通解为_________________________________.

4.设两平面方程分别为0122zyx和05yx，则两平面的夹角为（ ）.

A.6 B.4 C.3 D.2

5..函数22arcsinyxz的定义域为（ ）.

A.10,22yxyx B.10,22yxyx

C.20,22yxyx D.20,22yxyx

6.函数)2ln(12222yxyxz的定义域为 ．

7.设vezusin，而yxvxyu,，求.,yzxz

8.已知隐函数yxzz,由方程05242222zxzyx确定，求.,yzxz

9.设22uvvuz，而yxvyxusin,cos，求.,yzxz

10、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3

x+7y-5z=2

11.求两平面：22zyx与42zyx交线的标准式方程。

上海大学高等数学教程课后习题答案(第九章)

上海大学高等数学教程课后习题答案(第九章)

1 《高等数学教程》第九章 向量代数与空间解析几何

习题参考答案

9－1（A）

4．;342,324mnCDmnBC

5．;}116,117,116{}116,117,116{或

6．－2 ;

7．13, 7 j ;

8．(1) 垂直于 x 轴，平行于 yoz 坐标面;

(2) 与 y 轴共线，方向与 y 轴的正向相反，垂直于 zox 坐标面;

(3) 平行于 z 轴，垂直于 xoy 坐标面。

9．模：2; 方向余弦：21,22,21;

10．434或;

11．31cos,31cos,31cos;

12．m = 4 , n = 0 .

9－1（B）

1． ;0,22,221,0,0或

3． }5,4,6{B, }10,6,9{C, }7,1,7{CA

4．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;

6． 2 .

9－2（A）

1．(1) 28 , (2) 52 ;

3．15 , 593;

4．}4,2,4{b;

5．m = 4 , n = 0 ;

6．;}2,2,3{171}2,2,3{171或

7．12 , 219;

8．5 ; 2 9．,1548)^,(sinba ,7753)^,(cosba

(1) }2,0,1{, (2) }2,10,16{, (3) 0 , (4) }24,8,0{;

10．(1) 24, (2) 60 ;

11．(1) －3, (2) 3, (3) 0 ;

13．是

14．20 , 619;

9－2（B）

1．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;

2．(1) 至 (8) 全错;

5．1328;

6．;,,,,,共线与cbdcdbdacaba

第九章查找 习题解答

第九章查找 习题解答

第九章查找 习题解答

9.5 画出对长度为10的有序表进行折半查找的判定树，并求其等概率时查找成功的平均查找长度。

解：求得的判定树如下：

57109643182

ASL成功=（1+2*2+4*3+3*4）/10 =2.9

9.9 已知如下所示长度为12的表（Jan,Feb,Mar,Apr,May,June,July,Aug,Sep,Oct,Nov,Dec）

(1)试按表中元素的顺序依次插入一查初始为空的二叉排序树，画出插入完成之后的二叉排序树，并求其在等概率的情况下查找成功的平均查找长度。

(2)若对表中元素先进行排序构成有序表，求在等概率的情况下对此有序表进行折半查找时查找成功的平均查找长度。

解：（1）求得的二叉排序树如下图所示：

JanFebMarAprAugDecJuneJulyMaySeptOctNov

在等概率情况下查找成功的平均查找长度为：

ASL成功=（1+2*2+3*3+4*3+5*2+6*1）/12=42/12=3.5

(2)

分析：对表中元素进行排序后，其实就变成了对长度为12的有序表进行折半查找了，那么在等概率的情况下的平均查找长度只要根据折半查找的判定树就很容易求出。

长度为12的有序表进行折半查找的判定树如下图所示： 681211754193210

所以可求出：

ASL成功=（1+2*2+4*3+5*4）/12=37/12

9.19 选取哈希函数H(k)=(3k) MOD 11。用开放定址法处理冲突，di=i((7k)MOD 10

+1)(i=1,2,3,…)。试在0~10的散列地址空间中对关键字序列（22，41，53，46，30，13，01，67）造哈希表，并求等概率情况下查找成功时的平均查找长度。

解：因为H(22)=0；

H(41)=2；

H(53)=5；

H(46)=6；

H(30)=2；H1(30)=3；

H(13)=6；H1(13)=8；