高等数学第九章
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1 第九章 多元函数微分学的应用
第一节 曲线的切线与法平面
设空间曲线Γ的参数方程为
(),
(),,,
(),xxt
yytt
zzt
其中x（t）,y（t）,z（t）均可导.
考虑曲线Γ上对应于t＝t
0的一点P
0（x
0,y
0,z
0）及对应于t＝t
0＋Δt的一点P（x
0＋Δx,y
0
＋Δy,z
0＋Δz），则曲线在P
0处的切线是割线P
0P的极限位置（P→P
0）.
易知割线P
0P的方程为
000xxyyzz
xyz
当P沿着Γ趋于P
0时，割线P
0P的极限位置P
0T就是曲线Γ在P
0处的切线（图9-1）.
用Δt除上式的各分母，得
图9-1
000,xxyyzz
xyz
ttt
令P→P
0（即Δt→0），有x
t
→d
dx
t, y
t
→d
dy
t, z
t
→d
dz
t，则曲线在P
0处的切线方程
为 000
000()()()xxyyzz
xtytzt
. （9-1-1）
如果x′（t
0），y′（t
0），z′（t
0）有为0的情况，则按第七章中有关内容的解释处理. 切线的方向向量称为曲线的切向量，通过点P
0而与切线垂直的平面称为曲线在P
0处的法平面，其方程为
x′（t
0）（x－x
0）＋y′（t
0）（y－y
0）＋z′（t
0）（z－z
0）＝0. （9-1-2） 2 空间曲线可视为两个曲面的交线，如果曲线由方程
(),
()yyx
zzx
表示，则等价于以x为参数的参数方程
,
(),
().xx
yyx
zzx
此时，曲线在P
0（x
0,y
0,z
0）处的切线方程为
000
001()()xxyyzz
yxzx
； （9-1-3）
法平面方程为
（x－x
0）＋y′（x
0）（y－y
0）＋z′（x
0）（z－z
0）＝0 （9-1-4）
如果曲线的方程为
(,,)0,
(,,)0,Fxyz
Gxyz
P
0（x
0,y
0,z
0）为其上一点.设F，G在P
0的某邻域内是C1类函数，且雅可比行列式
0(,)
0,
(,)pFG
yz
则方程组在此邻域内确定了一组函数y＝y（x）,z＝z（x），即以x为参数的形式.
根据隐函数求导公式，知
(,)
d(,)
(,)d
(,)FG
yzx
FGx
yz
，
(,)
d(,)
(,)d
(,)FG
zxy
FGx
yz
,
则曲线在P
0处的切线方程为 000
00,
1()()xxyyzz
yxzx
（9-1-5）
即为
000000;
(,)(,)(,)
(,)(,)(,)pppxxyyzz
FGFGFG
yzzxxy
3 曲线在P
0处的法平面方程为
0(,)
(,)pFG
yz
（x－x
0）＋
0(,)
(,)pFG
zx
（y－y0）＋
0(,)
(,)pFG
xy
（z－z
0）＝0
（9-1-6）
例1 求螺旋线
x＝acost, y＝asint, z＝amt
在t＝π
4处的切线方程与法平面方程.
解 x′＝－asint, y′＝acost, z′＝am，
则曲线在t＝π
4处的切线方程为
22π
224
112am
xayaz
m
;
法平面方程为
－（x－2
2a）＋（y－2
2a）＋2m（z－π
4am
）＝0，
即
－x＋y＋2mz
＝2
4am2π.
例2 求曲线
2229,xyz
zxy
在点M
0（1,2,2）处的切线方程与法平面方程.
解 令 F（x,y,z）＝x2＋y2＋z2－9，
G（x,y,z）＝xy－z，
于是
0(,)
(,)MFG
yz
=
022
1
Myz
x
=44
11=-80.
还可求得
0(,)
10,
(,)MFG
zx
0(,)
6.
(,)MFG
xy
则切线方程为
4 122
8106xyz
;
法平面方程为
－8（x－1）＋10（y－2）－6（z－2）＝0，
即 4x－5y＋3z＝0.
第二节 曲面的切平面与法线
设曲面Σ的方程为
F（x,y,z）＝0，
如图9-2所示，点M
0（x
0,y
0,z
0）在曲面Σ上.过M
0在Σ上任作一条曲线Γ，设Γ的参数
方程为
x＝x（t）, y＝y（t）, z＝z（t），
且M
0对应于参数t
0，假定在t＝t
0处，x（t）,y（t）,z（t）均可导，且导数不全为0，则
F（x（t）,y（t）,z（t））≡0.
在t
0处对上式关于t求导，得
图9-2
0ddd
0.
dddttFxFyFz
xtytzt
记
0,,
MFFF
xyz
n，
0ddd
,,
ddd
txyz
ttt
s.
注意到s是曲线Γ在M
0处的切向量，而
n·s＝0，
即说明不管Γ的选取方式如何，其中M
0的切向量总垂直于定向量n.所以曲面Σ上通过M
0
的一切曲线在点M
0的切线均在同一个平面内，这个平面称为曲面Σ在M
0的切平面，方程
为
F′
x（x
0,y
0,z
0）（x－x
0）＋F′
y（x
0,y
0,z
0）（y－y
0）
＋F′
z（x
0,y
0,z
0）（z－z
0）＝0 （9-2-1）
通过M
0而垂直于切平面的直线称为曲面Σ在该点的法线，方程为 5 000
000000000(,,)(,,)(,,)
xyzx-xyyzz
FxyzFxyzFxyz
==, （9-2-2）
而把n称为曲面的法向量.
若曲面Σ以显函数
z＝f（x,y）
的形式给出，则可记
F（x,y,z）＝f（x,y）－z，
则 n＝（f′
x（x
0,y
0），f′
y（x
0,y
0），－1）.
易得出切平面和法线方程分别为
f′
x（x
0,y
0）（x－x
0）＋f′
y（x
0,y
0）（y－y
0）－（z－z
0）＝0，
000
0000(,)(,)1
xyx-xyyzz
fxyfxy
==.
若曲面Σ以参数方程形式
(,),
(,),
(,)xxuv
yyuv
zzuv
给出，M
0（x
0,y
0,z
0）为曲面上一点，且对应于参数（u
0,v
0），在曲面Σ上过M
0的两条曲线为
Γ
1：0
0
0(,),
(,),
(,),xxuv
yyuv
zzuv
Γ2：0
0
0(,),
(,),
(,),xxuv
yyuv
zzuv
则Γ
1在M
0处的切线向量
s
1=
00(,),,
uvxyz
uuu
,
Γ
2在M
0处的切线向量
s
2=
00(,),,
uvxyz
vvv
,
曲面Σ在M
0处的法向量为
n＝s
1×s
2
＝
00(,)uvxyz
uuu
xyz
vvv
ijk
