考点4 简单的三角恒等变换

第04讲简单的三角恒等变换 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：三角函数式的化简高频考点二：三角函数求值问题角度1：给角求值型角度2：给值求值型角度3：给值求角型高频考点三：三角恒等变换的应用第四部分：高考真题感悟第五部分：第04讲简单的三角恒等变换（精练）1、半角公式（1）2cos 12sinαα-±=. （2）2cos 12cosαα+±=. （3）αααcos 1cos 12tan+-±=.2、万能公式（拓展视野）（1）,2tan 12tan2sin 2ααα+=（2）,2tan 12tan 1cos 22ααα+-=（3）,2tan 12tan2tan 2ααα-=其中2()k k Z αππ≠+∈3、和差化积公式（拓展视野）cos cos 2coscos22cos cos 2sin sin22sin sin 2sin cos22sin sin 2cos sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=-+-+=+--=4、积化和差公式（拓展视野）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--1sin scos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos ssin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1．（2022·全国·高二课时练习）若cos α＝23，α∈(0，π)，则cos 2α的值为（ ）A B C D 【答案】C 【详解】 由题(0,)απ∈,则(0,)22απ∈，∴cos 02α>， cos2α==故选：C.2．（2022·全国·高一专题练习）cos αα化简的结果可以是（ ） A ．1cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．1cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】解：1cos 2cos 2cos 23πααααα⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B.3．（2022·全国·)cos 75sin 75︒+︒的值为（ ） A ．12 B ．12-C D ． 【答案】C 【详解】)()cos 75sin 7545os 75cos30︒︒︒︒=-+=︒=故选：C.4．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高一阶段练习）已知α为锐角，且sin :sin 8:52=αα，则cos α的值为（ ） A ．45B ．825C ．1225D ．725【答案】D 【详解】 由题意知：2cos sin:sin8:5222ααα=，由α为锐角，即4cos25α=， ∴27cos 2cos 1225αα=-=. 故选：D5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）若tan ,m α=则sin 2α的值是（ ） A ．221mm ±+ B ．221mm + C ．221mm ±- D ．221mm - 【答案】B 【详解】22222sin cos 2tan 2sin 2sin cos 1tan 1mm ααααααα===+++.故选：B.6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知3,22a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos 22αα-=，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 【答案】A 【详解】sincos 22a a -=51sin 3α-=， 2sin 3α∴=-，又3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos 2παα⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭故选：A高频考点一：三角函数式的化简例题1．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：sin58sin13cos45cos13︒-︒︒=︒___________．2【详解】解：()sin4513sin13cos45sin58sin13cos45cos13cos13︒+︒-︒︒︒-︒︒=︒︒，sin45cos13cos45sin13sin13cos45cos13︒︒+︒︒-︒︒=︒，sin45cos13sin45cos13︒︒==︒=︒故答案为：2例题2．（2022=___________．【答案】4【详解】()2sin60204sin4041sin402sin20cos202︒-︒︒===︒⨯︒︒故答案为：4题型归类练1．（2022·湖北·=（）A B．C D1【答案】A【详解】cos9050︒︒︒-︒==故选：A2．（2022·海南海口·模拟预测）若tan tan2αβ⋅=，则()()coscosαβαβ-+的值为（）A．3-B．13-C．13D．3【答案】A 【详解】由题意得，()()cos cos cos sin sincos cos sin sincosαβαβαβαβαβαβ-+=-+1tan tan1231tan tan12αβαβ++===---．故选:A高频考点二：三角函数求值问题角度1：给角求值型例题1．（2022sin 40sin80cos40cos60︒︒⋅=+（）A．B．12-C D．12【答案】C【详解】因为222120sin20sin40sin80sin6020sin60202213cos40cos60cos402sin2022︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒-⋅-⋅+==++-）（）（）（）22222313cos20sin20sin2014443322sin202sin2044︒︒︒︒︒--===--（）（），所以原式=故选：C例题2．（20221sin170-=︒________.【答案】4-112sin(1030)1sin170sin10sin202︒-︒===︒︒︒4sin(20)4sin20-︒==-︒．故答案为4-．例题3．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值：(1)(2cos1023cos100sin10--(2)已知α、β均为锐角，1sin7α=，()cosαβ+=sinβ的值．【答案】(1)(1)()()2cos1023cos 1002cos1023cos 90102cos1023cos100sin101sin101sin10---+-==--()134cos10sin104cos 6010222cos1023sin10cos5sin 5sin1012sin 5cos5⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭==--)4cos504cos502245cos5sin 45cos52cos50==-．(2)解：α、β都为锐角，则0αβ<+<π，()11sin14αβ∴+===，cos α=， ()()()111sin sin sin cos sin cos 147βαβααβαααβ∴=+-=+-+==⎡⎤⎣⎦ 角度1题型归类练1．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））22sin110cos250cos 25sin 155-的值为（ ）A ．12-B ．12C D ． 【答案】A 【详解】原式2211sin140sin40sin70cos70122cos 25sin 25cos50sin402-==-=-=--. 故选：A2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列选下选项中，值为14的是（ ）A ．cos72cos36︒︒B ．1sin 50︒C ．5sinsin1212ππ D ．22cossin 1212ππ-【答案】AC 【详解】对于A 中2sin 36cos36cos72cos36cos722sin 36︒︒︒︒︒=︒2sin 72cos72sin14414sin 364sin 364︒︒︒===︒︒.对于B中原式12cos5050212sin 50cos502⎛⎫︒︒ ⎪⎝⎭==⨯︒︒2sin802sin80411sin100sin8022︒︒===︒︒. 对于C 中sin2sincos511212sinsinsin cos 121212122246πππππππ====. 对于D中22πcos sin cos12126ππ-=故选：AC.3．（2022·全国·高三专题练习）()tan30tan70sin10︒+︒︒=___________.()sin30sin70tan30tan70sin10()sin10cos30cos70︒︒︒+︒︒=+︒︒︒(sin30cos70cos30sin70)sin10cos30cos70︒︒+︒︒=︒︒===角度2：给值求值型例题1．（2022·河南商丘·三模（文））已知tan 3α=-，则sin 21cos 2αα=-（ ）A ．3B ．13C ．13-D ．-3【答案】C 【详解】2sin 22cos sin cos 111cos 22sin sin tan 3αααααααα====--．故选：C例题2．（2022·北京八中高一期中）设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________，sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.【答案】 35##0.6 2425##0.96【详解】α为锐角，则240,,cos()266365πππππααα<<<+<+=， 3sin()65πα∴+=，24sin(2)sin 22sin()cos()366625ππππαααα⎡⎤⎛⎫∴+=+=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．例题3．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1)求sin α的值；(2)求()sin cos 4cos 2παααα⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】1 (1)解：因为tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan tan421tan tan 4παπα+=-，解得1tan 3α= 因为,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得sin α=sin α= (2)解：()sin cos 4cos 2παααα⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()22cos cos sin sin sin cos 44cos sin ππαααααα⎫-⋅+⎪⎝⎭=- ()()()()cos sin sin cos 1cos sin sin cos αααααααα-⋅+==-⋅+角度2题型归类练1．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos2=α（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==-，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭。

§4.4 简单的三角恒等变换 课标要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝____________________________.(2)公式C 2α：cos 2α＝______________________＝__________________＝________________.(3)公式T 2α：tan 2α＝________________.2．半角公式(不要求记忆) sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝±1＋cos α2；tan α2＝±1－cos α1＋cos α.符号由α2所在象限决定． 常用结论1．二倍角公式的变形公式(1)1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α2.(升幂公式) (2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22.(升幂公式) (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2， tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式) 2．半角正切公式的有理化tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k ＋1)π(k ∈Z )．( )(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )(4)sin 2π12－cos 2π12＝32.( )2．(必修第一册P226T2改编)cos 15°等于( ) A.1＋cos 30°2 B.1－cos 30°2 C ．±1＋cos 30°2 D ．±1－cos 30°2 3．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( )A ．－43 B.34 C ．－34 D.434．(必修第一册P223T2改编)若cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝－74，则cos 2θ的值为________.题型一 三角函数式的化简例1 (1)1－sin 40°＋1－cos 40°2的化简结果为( ) A ．－sin 20°B ．－cos 20°C ．cos 20°D ．sin 20°(2)化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝__________.积化和差、和差化积公式在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算．典例 化简下列各式．(1)sin 54°－sin 18°＝__________；(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝________________________.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1 (1)(2023·成都联考)已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，163cos 2θ2＝1＋cos 2θ，则tan θ等于( )A ．－53B ．－52C ．－355D ．－255(2)已知0<θ<π，则(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________. 题型二 三角函数式的求值命题点1 给角求值例2 (2024·保定模拟)黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为5－12≈0.618，这个值被称为黄金比例．若t ＝5－12，则1－2sin 227°2t 4－t 2等于( ) A.5＋14 B.5－14C.12D.14命题点2 给值求值 例3 (2023·济宁模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6等于( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.13命题点3 给值求角例4 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝________，2α－β＝________. 跟踪训练2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π10＝－45，则sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π10＝________. (2)(2023·青岛统考)已知α为锐角，1＋3tan 80°＝1sin α，则α＝__________. 题型三 三角恒等变换的综合应用例5 (2023·广州模拟)若α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是( )A ．2α＋β＝5π2B ．2α－β＝3π4C ．α＋β＝7π4D ．α－β＝π2跟踪训练3 (2024·哈尔滨模拟)已知π4<θ<π3，若a ＝tan θtan 2θ＋1，b ＝12－12cos 2θ，c ＝1cos θ－cos θ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c。

高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。