相似图形复习2

图形相似全章总复习夯实基础1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、掌握黄金分割的定义、性质及应用；3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题；4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大或缩小；5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题.要点一、比例线段及黄金分割1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAPPB（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．3. 黄金矩形与黄金三角形：黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．要点二、相似图形1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.2.相似多边形各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.要点三、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点四、图形的位似及投影1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.4.平行投影在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.5.中心投影在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.一、典型例题类型一、黄金分割1.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．举一反三【变式】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．类型二、相似三角形2. 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？举一反三【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.类型三、相似三角形的综合应用3.如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．4. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．5. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．举一反三【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE 的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?类型四、图形的位似6.如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．类型五、用相似三角形解决问题7.某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？二、巩固练习一、选择题1．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④. 其中单独能够判定的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BC.A．2个B．3个 C．4个 D．5个4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( )A．①和②相似B．①和③相似 C．①和④相似D．②和④相似5．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，•⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥第4题第5题第6题6. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米第7题第8题8. 已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A.512-B.512+C. 3D. 2二、填空题9.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=____________．第9题第10题10.如图，M是ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比为___ __.11.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

一、相似图形知识点1 相似图形的概念具有相同形状的图形叫做相似图形注意：由定义易得两个圆、正方形、等边三角形，等腰直角三角形必是相似图形；而两个等腰三角形，菱形，矩形不一定是相似图形。

知识点2 在格点（或网格）图中画已知图形的相似图形即通过放大或缩小在网格中画出所需图形（按比例放大或缩小）注意：每一边放大或缩小的数量必须一样，可先定点后定边。

若无特殊说明，画出与原图形全等的图形也正确。

二、相似图形的性质知识点1 线段的比一般地，在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比注意：（1）线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时单位应统一；（2）线段的比有顺序，即a:b ≠b:a（3）比值总为正数知识点2 比例线段对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a c b d=（或::a b c d =），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时也称这四条线段成比例。

判断四条线段是否成比例：（1）按从小到大（或从大到小）排列（2）判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比知识点3 比例的基本性质交叉相乘：(,,,0)a c ad bc a b c d b d=⇔=均不等于（可用于验证等式成立，或求解成比例的未知数） ,.a c a b c d a c b d b d a b c d++===--如果，那么（可用倒数验证） 拓展：a c a nb c nd b d b d ±±==如果，那么。

（分母不变，分子加上或减去分母的倍数） 知识点4 相似多边形的性质、判断性质：两个相似多边形的对应边成比例（构造比例方程求对应边），对应角相等（根据内角和定理求内角）；判定：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似。

（两条件同时成立） 全等多边形一定是相似多边形，而相似多边形只有在对应边相等的前提下才是全等多边形。

2. ⎧⎨⎩1.全等是相似的特例：即全等必相似，可通过放大或缩小得到：即形状完全相同， 与位置，大小无关注意：两个矩形不一定相似，只有当他们的长与宽的比相等时，这两个矩形才相似。

相似图形的知识点总结（16篇）篇1：相似图形的知识点总结相似图形的知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理篇2：相似图形相似图形教学交流课教案:第四章相似图形教学目标：1、知道线段比的概念。

相似图形知识点总结一、相似图形的定义和性质1.1 相似图形的定义相似图形是指具有相同形状但大小可以不同的图形。

当两个图形的对应边成比例，并且对应的角度相等时，我们称这两个图形是相似的。

1.2 相似图形的性质相似图形具有以下性质：1) 对应角相等：相似图形中的对应角是相等的。

2) 对应边成比例：相似图形中的对应边的长度成比例。

3) 面积比例：相似图形的面积的比等于对应边的平方比。

1.3 相似图形与全等图形的区别相似图形和全等图形都具有相同的形状，但是它们之间有一个重要的区别：全等图形的对应边和对应角都相等，而相似图形的对应边成比例，对应角相等。

二、相似图形的判定条件2.1 AAA相似判定如果两个图形的对应角相等，则这两个图形是相似的。

2.2 AA相似判定如果两个图形的其中两组对应角相等，则这两个图形是相似的。

2.3 直角三角形的相似判定在直角三角形中，如两个直角三角形中对应角相等，则这两个三角形是相似的。

2.4 SSS相似判定如果两个图形的对应边成比例，则这两个图形是相似的。

2.5 SAS相似判定如果两个图形的其中两组对应边成比例，并且两组对应角相等，则这两个图形是相似的。

2.6 相似图形的判定定理在实际问题中，我们常常需要判定两个图形是否相似。

根据相似图形的性质，我们可以得到相似图形的判定定理，例如：角平分线定理、高度定理等。

三、相似图形的应用3.1 计算图形的面积相似图形的面积比例定理可以用于计算图形的面积。

根据相似图形的面积比例定理，我们可以得到如果两个图形相似，它们的面积的比等于对应边的平方比。

这个性质可以用于计算各种图形的面积，例如三角形、矩形、圆等。

3.2 计算图形的周长相似图形中的对应边成比例，这个性质可以用于计算图形的周长。

如果两个图形相似，它们的周长的比等于对应边的比例。

3.3 解决实际问题相似图形的性质和定理在解决各种实际问题中有着广泛的应用，例如解决建筑设计、地图测量、影视特效等问题。