青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解》基础练习2

【教案】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(2)》教案一. 教材分析本节课是青岛版数学七年级下册第12.4节，主要内容是用公式法进行因式分解。

因式分解是初中数学中的重要内容，是解决一元二次方程、分式方程、不等式等问题的关键。

通过本节课的学习，让学生掌握公式法进行因式分解的步骤和技巧，提高他们的数学解题能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了因式分解的基本方法，但对公式法进行因式分解可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解公式法进行因式分解的原理，并通过例题讲解和练习，让学生熟练运用公式法进行因式分解。

三. 教学目标1.让学生掌握公式法进行因式分解的步骤和技巧。

2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。

3.提高学生分析问题、解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：公式法进行因式分解的步骤和技巧。

2.教学难点：灵活运用公式法进行因式分解。

五. 教学方法采用讲授法、例题讲解法、练习法、小组讨论法等教学方法，引导学生主动参与课堂，提高他们的数学素养。

六. 教学准备1.准备相关的PPT课件，展示公式法进行因式分解的步骤和技巧。

2.准备一些练习题，用于巩固学生对公式法的掌握。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习一元二次方程的解法，引导学生回顾因式分解的基本方法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师讲解公式法进行因式分解的步骤和技巧，让学生理解并掌握公式法。

3.操练（15分钟）教师出示一些练习题，让学生运用公式法进行因式分解。

教师及时给予指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师出示一些有一定难度的题目，让学生独立完成，检验他们对公式法的掌握程度。

5.拓展（10分钟）教师引导学生运用公式法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。

6.小结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调公式法进行因式分解的步骤和技巧。

7.家庭作业（5分钟）教师布置一些练习题，让学生课后巩固所学知识。

第 12 章 第四节用公式法进行因式分解 学案课题 用公式法进行因式分解 课型 新授课学习目标1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系； 2、使学生理解提公因式法及公式法并能熟练地运用两种方法分解因式． 重点 难点掌握提公因式法，公式法进行因式分解怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底 学习方法小组交流，合作探索 一次备课（一模）二次备课 （二模）一、知识要点1、 因式分解：把一个多项式化成几个整式_______的形式叫做因式分解因式分解区别: 多项式 整式的积整式的乘法2、因式分解的方法：①________________ ② ___________________3、重要公式：平方差公式：_________________________完全平方公式: ________________________二、典型例题例3 把下列各式进行因式分解：（1）42232;x x -+ （2）22363ax axy ay -+解：（1） （2）思考：把一个多项式进行因式分解的步骤是什么？总结：因式分解的一般步骤:①如果一个多项式各项有公因式,一般应先____________________②如果一个多项式各项没有公因式,一般应思考运用_________;如果多项式有两项应思考用___________公式,如果多项式有三项应思考用________________ ③分解因式时必须要分解到______________________为止跟踪练习1 把下列各式进行因式分解：（1）2x xy - （2） 32250a ab -（3）329189;x x x -+ （4）2232ax a x a ++例4 把下列各式进行因式分解：（1）()()2222;a b a b --+ （2）()()250202n n x y n x y --+-解：（1） （2）跟踪练习2 把下列各式进行因式分解：（1）()22254;a b c -+ （2） ()()269x y x y ++++三、当堂达标（一）分解因式：(1)20a 3x －45ay 2x （2）219x - （3)4x 2－12x ＋9(4)4x 2y 2－4xy ＋1 （5）2()6()9x y x y ++++ （6） 2222a ab b c -+-（7） (x 2＋1)2－4x 2 （8）36×3.14＋47×3.14＋17×3.14（二）、已知x ＋y=4,xy=1.5,求x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3的值四．小结：本节课你收获了什么？五、作业布置：必做 学案课后作业部分;选做课本第124页第1、2题 课后反思。

第12章乘法公式与因式分解12.4用公式法进行因式分解基础过关全练知识点1用平方差公式分解因式1.(2021浙江杭州中考)因式分解:1-4y2=()A.(1+2y)(1-2y)B.(2+y)(2-y)C.(2+y)(1-2y)D.(1+2y)(2-y)2.(2023浙江绍兴柯桥期中)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是()A.x2+9y2B.3x2-9yC.-x 24+y29D.−x24−y293.(2023甘肃兰州中考)因式分解:x2-25y2=.4.【一题多变】(2023吉林长春中考)分解因式:m2-1=. [变式:先提公因式再用公式法分解因式](2022山东淄博中考)分解因式:x3-9x=.5.分解因式:(1)3x-12x3.(2)(a+b)2-c2.知识点2用完全平方公式分解因式6.给出下列多项式:①x2+2xy-y2;②-x2-y2+2xy;③x2+xy+y2;④4x2+1+4x.其中能用完全平方公式分解因式的是()A.①②B.②③C.①④D.②④7.【易错题】(2023四川眉山中考)分解因式:x3-4x2+4x=.8.(2023山东菏泽二模)若a+b=2,ab=-2,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.9.分解因式:(1)-x3y+2y2x2-xy3.(2)1-a2+2ab-b2.10.利用因式分解计算:2072-414×297+2972.11.【新独家原创】已知9a2+b2+6a-6b+10=0,求(ab)2 024的值.能力提升全练12.(2023浙江杭州中考,3,★☆☆)分解因式:4a2-1=()A.(2a-1)(2a+1)B.(a-2)(a+2)C.(a-4)(a+1)D.(4a-1)(a+1)13.(2023湖南张家界中考,10,★☆☆)因式分解:x2y+2xy+y=.14.(2023山东菏泽中考,9,★☆☆)因式分解:m3-4m=.15.(2023山东东营中考,12,★★☆)因式分解:3ma2-6mab+3mb2=.16.(2023黑龙江绥化中考,13,★★☆)因式分解:x2+xy-xz-yz=.17.【一题多解】(2022四川广安中考,12,★★☆)已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为.18.(2023山东济宁中考改编,14,★★☆)已知有理数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9=.素养探究全练19.【运算能力】【新考向·阅读理解题】(2023山东枣庄滕州期末)阅读下列材料:对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式,但是对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接应用完全平方公式,我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加一项a2,使其一部分成为完全平方式,再减去a2项,使整个式子的值不变,于是有下面的因式分解:x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).领会上述解决问题的思路、方法,认真分析完全平方式的构造,结合自己对完全平方式的理解,解决下列问题:(1)因式分解:①x2-4x+3.②(x2+2x)2-2(x2+2x)-3.(2)【拓展】因式分解:x4+4.答案全解全析基础过关全练1.A1-4y2=12-(2y)2=(1+2y)(1-2y).故选A.2.C-x 24+y29=(-x2+y3)(x2+y3).故选C.3.(x-5y)(x+5y)解析x2-25y2=x2-(5y)2=(x-5y)(x+5y).4.(m+1)(m-1)[变式]x(x+3)(x-3)解析原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3).5.解析(1)3x-12x3=3x(1-4x2)=3x(1+2x)·(1-2x).(2)(a+b)2-c2=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b+c)·(a+b-c).6.D-x2-y2+2xy=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2,4x2+1+4x=(2x+1)2.故选D.7.x(x-2)2解析本题解答过程中易只提公因式,不用公式法分解,导致分解不彻底.原式=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.8.-8解析a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,把a+b=2,ab=-2代入,得原式=-2×22=-8.故答案为-8.9.解析(1)原式=-xy(x2-2xy+y2)=-xy(x-y)2.(2)原式=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b).10.解析2072-414×297+2972=2072-2×207×297+2972=(207-297)2=(-90)2=8 100.11.解析∵9a2+b2+6a-6b+10=0,∴9a2+6a+1+b2-6b+9=0,∴(3a+1)2+(b-3)2=0,∴3a+1=0,b-3=0,解得a=-13,b=3,则(ab)2 024=[(-13)×3]2 024=1.能力提升全练12.A4a2-1=(2a)2-12=(2a-1)(2a+1).故选A.13.y(x+1)2解析x2y+2xy+y=y(x2+2x+1)=y(x+1)2.14.m(m+2)(m-2)解析原式=m(m2-4)=m(m+2)(m-2).15.3m(a-b)2解析3ma2-6mab+3mb2=3m(a2-2ab+b2)=3m(a-b)2.16.(x+y)(x-z)解析原式=(x2+xy)-z(x+y)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z).17.10解析解法一:∵a+b=1,∴a2-b2+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+9=a-b+2b+9=a+b+9=1+9=10. 解法二:a2-b2+2b+9=a2-(b2-2b+1)+10=a2-(b-1)2+10=(a+b-1)(a-b+1)+10,∵a+b=1,∴原式=0+10=10.18.8解析∵m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴2m3-3m2-m+9=(2m3-2m2)-m2-m+9=2m(m2-m)-m2-m+9=2m-m2-m+9=-m2+m+9=-(m2-m)+9=-1+9=8.素养探究全练19.解析(1)①原式=x2-4x+4-1 =(x-2)2-1=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3).②原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 =(x2+2x-1)2-4=(x2+2x-1-2)(x2+2x-1+2)=(x2+2x-3)(x2+2x+1)=(x-1)(x+3)(x+1)2.(2)原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2+2x)(x2+2-2x).。

12.4 用公式法进行因式分解一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中，a=______，b=______，c=______，则方程的根是______．6．若x1，x2分别是x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是______．14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=______．。

12.4 用公式法进行因式分解作业导航了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握运用公式法分解因式的方法，会利用分解因式进行简便计算与化简.一、选择题1.－(2a－b)(2a+b)是下列哪一个多项式的分解结果（）A.4a2－b2B.4a2+b2C.－4a2－b2D.－4a2+b22.多项式(3a+2b)2－(a－b)2分解因式的结果是（）A.(4a+b)(2a+b)B.(4a+b)(2a+3b)C.(2a+3b)2D.(2a+b)23.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（）A.x2+xy+y2B.x2－2x－1C.－x2－2x－1D.x2+4y24.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是（）A.10B.20C.－20D.±205.在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm的正方形，剩下部分的面积等于（）A.100 cm2B.105 cm2C.108 cm2D.110 cm2二、填空题6.多项式a2－2ab+b2，a2－b2，a2b－ab2的公因式是________.7.－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________.8.若x2－4xy+4y2=0，则x∶y的值为________.9.若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________.10.已知a+b=1，ab=－12，则a2+b2的值为________.三、解答题11.分解因式(1)3x4－12x2(2)9(x－y)2－4(x+y)2(3)1－6mn +9m 2n 2 (4)a 2－14ab +49b 2 (5)9(a +b )2+12(a +b )+4 (6)(a －b )2+4ab12.(1)已知x －y =1，xy =2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值. (2)已知a (a －1)－(a 2－b )=1，求21 (a 2+b 2)－ab 的值.13.利用简便方法计算: (1)2001×1999(2)8002－2×800×799+799214.如图，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b (b ＜2a)厘米的正方形，利用因式分解计算当a =13.2，b =3.4时剩余部分的面积.15.对于任意整数，(n +11)2－n 2能被11整除吗？为什么？参考答案一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.D二、6.a－b 7.y－x 8.2 9.1或－9 10.25三、11.(1)3x2(x+2)(x－2) (2)(5x－y)(x－5y) (3)(3mn－1)2 (4)(a－7b)2(5)(3a+3b+2)2 (6)(a+b)2112.(1)2 (2)213.(1)3999999 (2)114.128平方厘米15.略。

12.4《用公式法进行因式分解》同步训练一、基础过关1．选择题；（1）下列各式是完全平方公式的是（ ）；A ．16x ²-4xy +y ²；B ．m ²+mn +n ²；C ．9a ²-24ab+16b ²；D ．c ²+2cd +14c ²； （2）把多项式3x 3-6x ²y +3xy ²分解因式结果正确的是（ ）；A ．x(3x+y)(x-3y)；B ．3x(x ²-2xy+y ²)；C ．x(3x-y)²；D ．3x(x-y)²；（3）若x 2－px +4是完全平方式，则p 的值为（ ）；A ．2；B ．4；C ．±4；D ．±2；（4）不论x,y 取何实数，代数式x 2－4x+y 2－6y+13总是（ ）；A ．非负数；B ．正数；C ．负数；D ．非正数；（5）下列多项式不含因式a +b 的是（ ）；A ．a 2－2ab ＋b 2；B ．a 2－b 2；C ．a 2+b 2；D ．（a +b ）4；（6）下列分解因式错误的是（ ）；A ．4x 2－12x y+9y 2=（2x +3y ）2；B ．3x 2y+6x y 2+3y 3=3y （x 2+2x y+y 2）=3y （x +y ）2；C ．5x 2－125y 4=5（x －y 2）（x +y 2）；D ．－81x 2+y 2=－（9x －y ）（9x +y ）；2．填空题；（1）分解因式ab 2－4ab +4a =_______；（2）如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个无空隙的正方形，则这个正方形的边长是_______；（3）若4)3(2+-+x m x 是完全平方式，则数m 的值是_____；（4）已知3=+y x ，则222121y xy x ++=_______； （5）=+⨯-227987981600800（_______-_______2)=_______；二、综合训练1．把下列各式分解因式：（1）122++n n m m（2）222nm mn --（3）ax y ax y ax ++2232（4）22224)1(4)1(a a a a ++-+；2．利用因式分解进行计算：（1）419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯（2）2298196202202+⨯+（3）225.15315.1845.184+⨯+；三、 拓展应用1．解答题；已知n b a m b a =-=+22)(,)(，用含有m ，n 的式子表示：（1）a 与b 的平方和；（2）a 与b 的积；（3）ba ab +．参考答案一、基础过关1．解：（1）C 、（2）D 、（3）C 、（4）A 、（5）C 、（6）A ； 2．解：（1）a (b -2)2、（2）a +3b 、（3）7或-1、（4）92、（5）800,798,4； 二、综合训练1．解：（1）122++n n m m =2(1)n m +（2）222n m mn --=2()m n --（3）ax y ax y ax ++2232=22(21)ax x y xy ++=2(1)ax xy +（4）22224)1(4)1(a a a a ++-+=22(12)a a +-=4(1)a -2．解：（1）419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ =1(25.378.6 3.9)4+- =1(25.378.6 3.9)4+- =25（2）2298196202202+⨯+=2(20298)+=90000（3）225.15315.1845.184+⨯+=2(184.515.5)+=40000三、拓展应用1．解：（1）因为n b a m b a =-=+22)(,)(， 所以22222,2a ab b m a ab b n ++=-+=.即22.a b m n +=+所以a 与b 的平方和为m n +.（2）由（1）可知：1()4ab m n =-所以a 与b 的积为1()4m n - （3）由（1）（2）可知，22.a b m n +=+1()4ab m n =- 所以b a a b +=22a b ab +=1()4m n m n +-44m n m n +=-。

12。

4 用公式法进行因式分解作业导航了解平方差公式、完全平方公式的特点,掌握运用公式法分解因式的方法,会利用分解因式进行简便计算与化简。

一、选择题1。

－(2a－b）(2a+b）是下列哪一个多项式的分解结果( ）A.4a2－b2 B。

4a2+b2C.－4a2－b2D.－4a2+b22.多项式（3a+2b）2－（a－b)2分解因式的结果是（ )A.(4a+b）（2a+b) B。

(4a+b）（2a+3b）C。

(2a+3b)2 D.(2a+b)23.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( ）A。

x2+xy+y2 B.x2－2x－1C.－x2－2x－1D.x2+4y24。

多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( ）A.10B.20 C。

－20 D.±205。

在一个边长为12。

75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm的正方形，剩下部分的面积等于（）A.100 cm2B.105 cm2C.108 cm2D.110 cm2二、填空题6.多项式a2－2ab+b2，a2－b2，a2b－ab2的公因式是________。

7.－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________。

8。

若x2－4xy+4y2=0，则x∶y的值为________。

9.若x 2+2(a +4）x +25是完全平方式，则a 的值是________.10。

已知a +b =1，ab =－12，则a 2+b 2的值为________.三、解答题11.分解因式(1)3x 4－12x 2（2）9(x －y ）2－4（x +y )2(3）1－6mn +9m 2n 2（4)a 2－14ab +49b 2(5）9(a +b ）2+12(a +b )+4(6)(a －b ）2+4ab12。

(1）已知x －y =1，xy =2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值.(2)已知a (a －1）－(a 2－b ）=1，求21 （a 2+b 2）－ab 的值. 13.利用简便方法计算:（1）2001×1999（2)8002－2×800×799+799214.如图，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角,各剪去一个边长为b （b ＜2a )厘米的正方形，利用因式分解计算当a =13.2，b =3。

12.4《用公式法进行因式分解》习题一、基础过关1．选择题；（1）下列因式分解正确的是（ ）；A ．4-x ²+3x =(2-x )(2+x )+3x ；B ．-x ²-3x +4=(x +4)(x -1)；C ．1-4x +4x ²=(1-2x )²；D ．x ²y -xy +x 3y =x (xy -y +x ²y )；（2）下列多项式①x ²+xy -y ²②-x ²+2xy -y ²③xy +x ²+y ²④1-x +x 24 其中能用完全平方公式分解因式的是（ ）；A ．①②；B ．①③；C ．①④；D ．②④；（3）a 4b -6a 3b +9a 2b 分解因式的正确结果是（ ）；A ．a ²b (a ²-6a +9)；B ．a ²b (a +3)(a -3)；C ．b (a ²-3)；D ．a ²b (a -3)²；（4）若x +y =10，xy =24则x 2+y 2的值为（ ）；A ．52；B ．148；C ．58；D ．76；（5）下列分解因式正确的是（ ）；A ．（x －3）2－y 2=x 2－6x +9－y 2；B ．a 2－9b 2=（a +9b ）（a －9b ）；C ．4x 6－1=（2x 3+1）（2x 3－1）；D ．2x y －x 2－y 2=（x －y ）2；（6）若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（ ）； A ．3或28； B ．3和－28； C ．－23和14； D ．－23和-14；2．填空题；（1）若9x 2+mxy +25y 2是完全平方式，则m =_______；（2）若（M+2ab ）2=N+12ab (a +b )+4a 2b 2,则M=_______,N=_______；（3）分解因式：16－8（x －y ）＋（x －y ）2=_______；（4）已知：x 2+4x y=3，2x y+9y 2=1,则x +3y 的值为_______；（5）若x 2－6x y+9y 2=0，则13--y x 的值为_______；二、综合训练1．把下列各式分解因式：（1）222)1(4+-a a（2）2)(4y x y x --；2．已知212=-b a ，2=ab ，求：42332444b a b a b a -+-的值；三、拓展应用1．解答题；试说明：不论为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值；2．解答题；有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：（1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义。