高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积(一)同步训练 苏教版必修4

高中向量的数目积数学（答题时间： 40 分钟）1. 以下式子：① a 2b ＝ b； ② （ a ·b ） 2＝ a 2·b 2； ③ a ·a ·a ＝a 3 ；④ （ a ·b ） ·c ＝ a ·（b ·c ）aa此中错误的序号为 ________。

*2. （安徽高考）若非零向量 a ，b 知足 |a|＝ 3|b|＝ |a ＋ 2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为 _______。

**3. （山东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知 OA ＝（－ 1， t ）， OB ＝（ 2，2），若∠ ABO ＝ 90°，则实数 t 的值为 ________。

*4.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝ 2 BD ，CA ＝ 3 CE ，则 AD ·BE ＝ ________。

**5. 已知向量 a ＝（ 1， 2）， b ＝（－ 2，－ 4），|c|＝ 5 ，若（ a ＋ b ） ·c ＝5，则 a 与 c 的2夹角是 ________。

**6.→ →已知向量 OA ＝（ 2，2）， OB ＝（ 4，1），O 为坐标原点， 在 x 轴上取一点 P 使AP ·BP 有最小值，则点 P 的坐标是 ________。

**7. 已知 |a|＝ 5， |b|＝ 4，且 a 与 b 的夹角为60°，则当 k 为什么值时，向量 ka － b 与 a ＋ 2b 垂直？**8. 已知 |a|＝ 2 ， |b|＝ 3， a 和 b 的夹角为 45°，求当向量 a ＋λb 与 a ＋ b 的夹角为锐角时 λ的取值范围。

***9.已知 a ＝（ 3 ，－ 1）， b ＝（ 1 ，3），且存在实数 k 和 t ，使得 x ＝ a ＋（ t 2－ 3）k t 222的最小值。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若k a+b与a-3b垂直，则k的值为.2. 已知向量a=（2cos ϕ，2sin ϕ），ϕ∈(π2，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为.3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线，则必有.（填正确的序号）○1a⊥b；○2a∥b；○3|a|=|b|；○4|a|≠|b|.4. 如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sin θ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|= .5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+t b与b的夹角为45°，则t的值为.二、解答题(共70分)7.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围. 8.（20分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影.9. （15分）已知a=（-4，-3），b=（-3，-2），c=2a+λb，d=-a+2λb，当实数λ为何值时，向量c-d与a垂直？10. （20分）四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD 是什么图形？2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 19 解析：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， a -3b =（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）. 又k a +b 与a -3b 垂直，故（k a +b ）·（a -3b ）=0， 即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k =19.2. 3π2-ϕ 解析：设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ=∙a b a b=-2sinφ2=-sin ϕ=cos(π2+ϕ).∵ϕ∈（π2，π），θ∈［0，π］， ∴ cos θ=cos(π2+ϕ)=cos(3π2-ϕ).∴ θ=3π2-ϕ. 3. ○1 解析： f (x )=(x a+b )·(a-x b )=- a ·b x 2+(a 2-b 2)x+a ·b ,若函数f (x )的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a ·b =0,∴ a ⊥b .4. 4 解析：由于|a |=5，|b |=1，a ·b =|a ||b |cos θ=-3,所以cos θ=-35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ=45, 所以|a ×b |=|a ||b |sin θ=4.5. (-1,1)或（-3，1） 解析：设a =(x ,y ), 则a +b =(x+2,y-1),由题意得221,(2)(1)1,1310y x y x y =⎧++-=⎧⇒⎨⎨=---=⎩⎩或，∴ a =(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a =（4，-3），b =（2，1）， ∴ a +t b =（4+2t ，-3+t ）. ∵ a +t b 与b 的夹角为45°, ∴ （a +t b ）·b =|a +t b |·|b |·cos 45°，∴ （4+2t ）×2+（-3+t ）=222212t t ⨯+⨯22（4+2）+(-3+)， ∴ 5t+5=252252t t ++. ∴225t t ++=（t+1）.①将①式两边平方得t 2+2t-3=0，解得t =1或t =-3. 而t =-3时①式无意义，∴ t =-3舍去，取t =1.二、解答题7.解：由a +b =（3，2+m ），|a +b |≤5， 得9+（2+m ）2≤25.解得-6≤m ≤2. 8.解：∵ a ·b =2×（-3）+3×5=9， |b |=22(3)5-+=， ∴ |a |cos θ=∙a b b=93434. 9.解：因为c =2a +λb ，d =-a +2λb ，所以c -d =（2a +λb ）-（-a +2λb ）=3a -λb . 又a =（-4，-3），b =（-3，-2），所以c -d =3（-4，-3）-λ（-3，-2）=（-12+3λ，-9+2λ）.又（c -d ）⊥a ，所以（-12+3λ）×（-4）+（-9+2λ）×（-3）=0.解得λ=256. 10.解：因为a +b +c +d =0，所以a +b =-（c +d ）.所以（a +b ）2=（c +d ）2. 即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2. 由于a ·b =c ·d ，所以|a |2+|b |2=|c |2+|d |2.① 同理，有|a |2+|d |2=|c |2+|b |2.② 由①②可得|a |=|c |，且|b |=|d |， 即四边形ABCD 两组对边分别相等. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 又由a ·b =b ·c 得b ·（a -c ）=0.而由平行四边形ABCD 的性质得a =-c ， 代入上式得b ·（2a ）=0，即a ·b =0. 所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.。

2.4 向量的数量积A 级 基础巩固1．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为( )A.332 B.322 C.12 D.32解析：向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝3×cos π3＝32.答案：D2．(2014·课标全国Ⅱ卷)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝6， 两式相减得：4a·b ＝4，所以a·b ＝1. 答案：A3．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由四边形ABCD 为平行四边形， 知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)， 故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5. 答案：A4．已知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－92 D ．－232解析：因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，所以(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22＝－6＋72－2＝－92.答案：C5．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53 C.53 D.32解析：c ＝a ＋kb ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ， 所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.答案：A6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝________． 解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0.所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)． 所以|a －b |＝3 5. 答案：3 57．已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋mb ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________．解析：因为3a ＋mb ＋7c ＝0，所以3a ＋mb ＝－7c ， 所以(3a ＋mb )2＝(－7c )2， 化简得9＋m 2＋6m a·b ＝49. 又a·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，所以m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8. 答案：5或－88．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________． 解析：设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)． 由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6. 所以点C 的坐标为(－2，6)． 答案：(－2，6)9．已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b 且同向，求a·b ；(2)若向量a·b 的夹角为135°，求|a ＋b |. 解：(1)若a ∥b 且同向则a 与b 夹角为0°， 此时a·b ＝|a ||b |＝ 2.(2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝ 1＋2＋22cos 135°＝1.10．设平面三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)． (1)试求向量2AB →＋AC →的模；(2)若向量AB →与AC →的夹角为θ，求cos θ. 解：(1)因为A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)， 所以AB →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， AC →＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．所以2AB →＋AC →＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)． 所以|2AB →＋AC →|＝ （－1）2＋72＝5 2. (2)由(1)知AB →＝(－1，1)，AC →＝(1，5)， 所以cos θ＝（－1，1）·（1，5）（－1）2＋12×12＋52＝21313. B 级 能力提升11．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)． 因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB . 又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB . 所以△ABC 为等腰直角三角形． 答案：C12.如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →＝________．解析：CM →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4.答案：413．(2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0， 则a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3. 答案：±314．已知向量a ＝(2，0)，b ＝(1，4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量ka ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量ka ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)， 所以a ＋b ＝(3，4)． 则|a ＋b |＝5.(2)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以ka ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)． 因为向量ka ＋b 与a ＋2b 平行， 所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12.(3)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)． 因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12.解得k >－92或k ≠12.15．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值． 解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5， 所以9a 2－6a·b －b 2＝5. 因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1， 所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203，所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ ≤180°， 所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339.。

高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积课后导练 苏教版必修4基础达标1.设a =（5，y ）,b =(-6,-4)，且a ·b =-2,则y 等于（ ）A.-5B.-7C.5D.7解析：a ·b =-30-4y=-2,y=-7.答案：B2.下面给出了四个命题，其中正确的命题有______________个（ ）①a ⊥b ⇔a ·b =0 ②若a ·b =0且a ≠0,则b =0 ③若a ≠0,b ≠0，则|a ·b |=|a |·|b | ④当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |A.1B.2C.3D.4解析：①④正确.答案：B3.在△ABC 中，=a ,=b ,且a ·b ＜0，则△ABC 是______________三角形（ ）A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角解析：因a ·b =|a ||b |cosθ<0,∴cosθ<0,∴θ>90°,∴△ABC 是钝角三角形.答案：C4.若向量a ⊥b ，则一定有（ ）A.|a +b |=|a |+|b |B.|a +b |=|a |-|b |C.|a +b |=|a -b |D.|a -b |=|a |+|b |解析：∵a ⊥b ，由平行四边形法则知，以a 、b 为邻边的四边形为矩形，∴|a +b |=|a -b |. 答案：C5.已知|m |=10,|n |=12,且(3m )·(51n )=-36，则m 与n 的夹角是（ ） A.60° B.120° C.135° D.150°解析：由(3m )·(51n )=-36,得m ·n =-60. 即10×12cosθ=-60.∴cosθ=-21,θ=120°. 答案：B6.设e 1,e 2是两个单位向量，它们的夹角是60°，则(2e 1-e 2)·(-3e 1+2e 2)等于（ ） A.-8 B.29 C.29- D.8 解析：（2e 1-e 2）·(-3e 1+2e 2)=-6e 12-2e 22+7e 1·e 2=-6-2+7×1×1×21=-29.∴选C. 答案：C7.已知a =（-1，3），b =（2，-1），且（k a +b ）⊥(a -2b )，则k 的值为______________.解析：∵(k a +b )⊥(a -2b ),∴(k a +b )·（a -2b ）=0.而k a ＋b =(2-k,3k-1),a -2b =(-5,5),∴-5(2-k)+5(3k-1)=0,解得k=43. 答案：43 8.A 、B 、C 三点的坐标分别为A （1，0），B （3，1），C （2，0），a =,b =,则a 与b 的夹角是________________.解析：∵a ==(-1,-1),b ==(-1,0).∴a ·b =1,|a |=2,|b |=1,cosθ=22||||=•b a b a .又θ∈［0°,180°］，∴θ=45°.答案：45°9.已知|a |=6,|b |=8,且a ∥b ，求a ·b .解：∵a ∥b ，∴a 与b 同向或反向.若a 与b 同向，则θ=0°.a ·b =|a ||b |cos0°=6×8×1=48;若a 与b 反向，则θ=180°.∴a ·b =|a ||b |cos180°=6×8×(-1)=-48.10.已知|a |=32,b =(2,-3),且a ⊥b ，求a 的坐标.解：设a =(x,y).由|a |=132，得x 2+y 2=52.又由a ⊥b ，得2x-3y=0.∴⎩⎨⎧=-=+.032,5222y x y x解得⎩⎨⎧==4,6y x 或⎩⎨⎧-=-=.4,6y x故a =(6,4)或a =(-6,-4).综合运用11.已知=（-3，1），=（0，5），且∥，⊥，则点C 的坐标为（）A.（-3，429-） B.(3,429) C.(-3,429) D.(3,429-)解析：设C （x,y ），则=(x+3,y-1),=(x,y-5),=(3,4).∵∥,∴x+3=0,x=-3. 又BC ⊥AB，∴3x+4(y -5)=0,y=429.∴C(-3,429).答案：C12.平面上有三个点A （2，2）、M （1，3）、N （7,k ），若∠MAN=90°，则k 的值为（）A.6B.7C.8D.9解：依题意有=（-1，1），=（5，k-2）. ∵AM ⊥AN , ∴AM ·AN =0.即-5+k-2=0,k=7.∴应选B.答案：B13.已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），则△A BC 的形状是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.正三角形解析：∵AB =（1，1），AC =（-3，3）， ∴·=-3+3=0.∴AB ⊥AC ，选A.答案：A14.若a =(1,m),b =(n,2),a ⊥b ，且|a |2+|b |2=6，则m 2=____________,n 2=____________. 解析：∵a ⊥b ,∴a ·b =0.2m+n=0.∵|a |2+|b |2=6,∴m 2+1+n 2+4=6,m 2+n 2=1,m 2=51,n 2=54. 答案：51 5415.已知向量a =（4，3），b =（-1，2）.（1）求a 与b 的夹角θ的余弦值.（2）若向量a -λb 与2a +b 垂直，求λ的值.解：（1）a ·b =4×(-1)+3×2=2,又∵|a |=2243+=5,|b |=52122=+,∴cosθ=2552555||||==•b a b a .(2)a -λb =(4+λ,3-2λ),2a +b =(7,8).∵(a -λb )⊥(2a +b )∴(a -λb )·（2a +b ）=0.∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.∴λ=952.拓展探究16.已知平面内两向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且0＜α＜β＜π.（1）证明：(a +b )⊥(a -b );(2)若两个向量k a +b 与a -k b 的模相等（k≠0），求证：a ⊥b .证明：（1）a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),∴a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β),a -b =(cos α-cos β,sin α-sin β).∴(a +b )·(a -b )=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=1-1=0.∴(a +b )⊥(a -b ).（2）∵(k a +b )2=|k a +b |2=k 2a 2+2k a ·b +b 2,|a -k b |2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,又|k a +b |=|a -k b |,∴k 2a 2+2k a ·b +b 2=a 2-2k a ·b +k 2b 2,(k 2-1)a 2+4k a ·b +(1-k 2)b 2=0.又|a |=|b |=1,∴4k a ·b =0.∵k≠0,∴a ·b =0,∴a ⊥b .。

高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积达标训练 苏教版必修4基础·巩固1.已知a =(3,2),b =(2,-3),则向量a 与b 的夹角为( ) A.6π B.4π C.3π D.2π 思路解析:由a ·b =3×2+2×(-3)=0,∴a ⊥b .∴两向量夹角为2π.也可通过画简图帮助分析. 答案:D2.若向量a 与b 的夹角为120°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( )A.2B.4C.6D.12思路解析:将(a +2b )·(a -3b )=-72展开,即a 2+2a ·b -3a ·b -6b 2=-72.∴|a |2-a ·b -6|b |2+72=0,即|a |2-|a ||b |cos120°-24=0.∴|a |2+2|a |-24=0,解得|a |=4或|a |=-6(舍去).故|a |=4.答案:B3.已知平面向量a =(4,2),b =(x,-4),且a ⊥b ,则x 等于( )A.2B.1C.-1D.-2思路解析:4x+2×(-4)=0得x=2.答案:A4.已知a =(1,1),b =(1,0)且k a +b 恰好与b 垂直,则实数k 的值是( )A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对思路解析:k a +b =k(1,1)+(1,0)=(1+k,k),∵k a +b 与b 垂直,∴(k a +b )·b =0,即(1+k,k)·(1,0)=0.∴(1+k)×1+k×0=0得k=-1.答案:B5.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ) A.6π B.3π C.32π D.65π 思路解析:设a 与b 的夹角是α,∵(a -2b )⊥a ,∴(a -2b )·a =0,即|a |2-2a ·b =0. ①又∵(b -2a )⊥b ,∴(b -2a )·b =0,即|b |2-2a ·b =0. ②由①②知|a |=|b |,a ·b =21|a |2=21|b |2, ∴cosα=22||||21||||a a b a ab ==21.∴a 与b 的夹角为3π. 答案:B 6.已知平面上三点A 、B 、C 满足||=6,||=8,||=10,则·+·+·的值等于___________________________.思路解析:∵||2+|BC |2=||2, ∴∠B=90°⇒cos∠ABC=0,cos∠BAC=53,cos∠BCA=54. ∴原式=6×8×0+8×10×(-54)+6×10×(-53)=-100. 答案:-1007.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a ·b )·c -(c ·a )·b =0;②|a |-|b |＜|a -b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的有____________.思路解析:①错误,因向量的数量积不满足结合律.③错误,因［(b ·c )·a -(c ·a )·b ］·c =(b ·c )·(a ·c )-(c ·a )·(b ·c )=0,则(b ·c )·a -(c ·a )·b 与c 垂直.②④都是正确的.答案:②④8.已知|a |=5,b =(-4,3),且a ⊥b ,则a 的坐标为_________________________.思路解析:设a 的坐标为(x,y),由已知则有⎩⎨⎧=+=+0.3y 4x -25,y x 22解得⎩⎨⎧==4y 3,x 或⎩⎨⎧==-4.y -3,x 答案:(3,4)或(-3,-4)9.已知|a |=8,|b |=10,当(1)a ∥b ,(2)a ⊥b ,(3)a 与b 的夹角为60°时,分别求a 与b 的数量积.思路分析:利用向量数量积的定义求解,求解时应注意两向量平行时需分两类.解:(1)a ∥b ,若a 与b 同向,则θ=0°,∴a ·b =|a ||b |cos0°=8×10=80.若a 与b 反向,则θ=180°,∴a ·b =|a ||b |cos180°=8×10×(-1)=-80.(2)当a ⊥b 时,θ=90°,a ·b =|a ||b |cos90°=0.(3)当a 与b 的夹角为60°时,a ·b =|a ||b |cos60°=8×10×21=40. 10.已知向量a =(3,4),b =(4,3),试确定能使(x a +y b )⊥a 且|x a +y b |=1成立的x 、y 的值. 思路分析:本题利用向量的模、垂直的坐标表示等基础知识.解题时由已知条件建方程组解之即可.解:由于a =(3,4),b =(4,3),所以x a +y b =x(3,4)+y(4,3)=(3x+4y,4x+3y).因为(x a +y b )⊥a 且|x a +y b |=1,所以有⎩⎨⎧=+++=+++ 1.3y)(4x 4y)(3x 0,3y)4(4x 4y)3(3x 22 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==75-y ,3524x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.75y ,3524-x 综合·应用 11.若O 为△ABC 所在平面内一点,且满足(OC OB -)·(OA OC OB 2-+)=0,则△ABC 的形状为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.A 、B 、C 均不是 思路解析:由(OC OB -)·(OA OC OB 2-+)=0,得CB ·(AC AB +)=0,又∵AC AB CB -=,∴(AC AB -)·(AC AB +)=0,即|AB |2-|AC |2=0. ∴|AB |=|AC |.∴△A BC 为等腰三角形.答案:C12.已知点A(1,0)、B(5,-2)、C(8,4)、D(4,6),则四边形是( )A.正方形B.菱形C.梯形D.矩形思路解析:如右图,=(4,-2),=(4,-2),∴DC AB =.∴四边形ABCD 为平行四边形.又AB ·AD =(4,-2)·(3,6)=4×3+(-2)×6=0,∴⊥.又||≠||,∴四边形为矩形.答案:D13.已知a =(λ,3),b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.λ＞5B.λ≥5C.λ＜5D.λ≤5思路解析:设两向量的夹角为θ,由已知可得-1＜cosθ=25993152++-λλ＜0,经验证A 项正确.答案:A14.点A(3,0)、B(-2,0),动点P(x,y)满足·=x 2,则点P 的轨迹方程是_________________.思路解析:∵=(3-x,-y),=(-2-x,-y).∴(3-x)(-2-x)+(-y)(-y)=x 2.∴y 2=x+6.答案:y 2=x+615.已知a 、b 为非零向量,当t=________________时,a +t b (t∈R )的模取最小值.思路解析:由|a +t b |2=t 2|b |2+2t a ·b +|a |2是关于t 的二次式,∴当t=-2||22b b a •时,即t=-2||b b a •. 答案:-2||b b a • 16.i 、j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量,且AB =4i +2j ,AC =3i +4j ,证明△ABC 是直角三角形,并求它的面积.思路分析:利用向量数量积的坐标运算及垂直的坐标条件.证明:=(4,2),AC =(3,4), 则=(3-4,4-2)=(-1,2),BA =(-4,-2), ∴·=(-1)×(-4)+(-2)×2=0. ∴⊥,即△ABC 是直角三角形. ||=522422=+,||=5)2()1(22=-+-,且∠B=90°,∴S △ABC =21×552⨯=5. 17.(2006四川高考)如图2-4-8,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是( )图2-4-8 A.21P P ·31P P B.21P P ·41P P C.21P P ·51P P D.21P P ·61P P 思路分析:设正六边形的边长为1,则21P P ·31P P =1×3×cos30°=23, 21P P ·41P P =1×2×cos60°=1,21P P ·51P P =1×3×cos90°=0, 21P P ·61P P=1×1×cos120°=-21. 答案:A18.(2006重庆高考)与向量a =(27,21),b =(21,27)的夹角相等,且模为1的向量是( ) A.(54,-53) B.(54,-53)或(-54,53) C.(322,-31) D.(322,-31)或(-322,31) 思路解析:设出向量的坐标,利用已知条件建立方程组求解或反代排除法求解.方法一:设所求向量的坐标为(x,y),由已知可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++=+,)27()21(2721)21()27(2127,1222222y x y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53,54y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.53,54y x方法二:(反代排除法)验证(54,-53)满足已知条件,验证(-54,53)也满足已知条件,故选择B.答案:B19.(2006江西高考)已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(a +b )·c =25,则a 与c 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°思路解析:本题利用向量数量积的坐标运算和向量数量积的性质.解题时要注意隐含条件a 与a +b 反向.∵a +b =(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2)=-a ,则a 与a +b 反向.又a +b =(-1,-2),则|a +b |=5.则由(a +b )·c =25,可得a +b 与c 的夹角为60°, ∴a 与c 的夹角为120°.答案:C20.(2006重庆高考)已知三点A(2,3)、B(-1,-1)、C(6,k),其中k 为常数.若||=||,则与的夹角为( ) A.arccos(-2524) B.2π或arccos 2524 C.arccos 2524 D.2π或π-arccos 2524 思路解析:先由已知条件求出k 的值,再利用向量数量积的坐标运算求出两向量的夹角. 由||=||可得2222)3()26()31()21(-+-=--+--k ,解得k=0或k=6. 设与的夹角为θ.当k=0时,=(-3,-4),AC =(4,-3),则cosθ=5)4()3()3()4(4)3(22⨯-+--⨯-+⨯-=0.当k=6时,=(-3,-4),AC =(4,3),则cosθ=222234)4()3(3)4(4)3(+-+-⨯-+⨯-=-2524. 所以θ的值为2π或π-arccos 2524. 答案:D21.(2006浙江高考)设向量a 、b 、c 满足a +b +c =0,且(a -b )⊥c ,a ⊥b ,若|a |=1,则|a |2+|b |2+|c |2的值是________________________.思路解析:由向量加、减法的平行四边形法则,以a 、b 对应有向线段为邻边可以构成一个正方形,则其对角线长为2,且其中一条对应向量c .答案:422.(2006天津高考)设向量a 与b 的夹角为θ,且a =(3,3),2b -a =(-1,1),则cosθ=_______________.思路解析:首先求出向量b ,再利用夹角公式求解.答案:10103 23.(2006北京高考)已知向量a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),且a ≠±b ,那么a +b 与a -b 的夹角大小是______________________.思路解析:方法一:设a +b 与a -b 的夹角为θ.∵a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),∴a +b =(cosα,sinα)+(cosβ,sinβ)=(cosα+cosβ,sinα+sinβ);a -b =(cosα,sinα)-(cosβ,sinβ)=(cosα-cosβ,sinα-sinβ). ∴cosθ=2222)sin (sin )cos (cos )sin (sin )cos (cos )sin )(sin sin (sin )cos )(cos cos (cos βαβαβαβαβαβαβαβα-+-+++-++-+ =22222222)sin (sin )cos (cos )sin (sin )cos (cos )sin (sin )cos (cos βαβαβαβαβαβα-+-+++-+-=0. ∴θ=2π.方法二:∵a =(cos α,sinα),b =(cosβ,sinβ),∴|a |=αα22sin cos +=1,|b |=ββ22sin cos +cos 2β+sin 2β=1.而(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0,∴a +b ⊥a -b ,即a +b 与a -b 的夹角大小是2π.答案:2π。

2.4 向量的数量积1、在四边形ABCD 中,(1,2),(4,2)AC BD ==-,则该四边形的面积为( )B. C.5 D.102、已知,a b 是非零向量,且满足(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥,则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63、若向量()()1,2,1,1a b ==-,则2a b +与a b -的夹角等于( ) A. 4π-B. 6π C. 4π D. 34π 4、已知向量,a b 的夹角为120,1a b ==,c 与1a b +=共线,则a c +的最小值为( )A. 1B.12C. 34D. 5、在ABC ∆中,若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅,则ABC ∆是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形6、若向量a 与b 的夹角为, ()()4,2?372b a b a b =+-=-,则向量a 的模为( )A.2B.4C.6D.127、已知a 与b 均为单位向量,它们的夹角为60,那么a 3b += ( )A.B.C. 13D. 4 8、1,2,a b c a b ===+且c a ⊥,则a 与b 的夹角为( )A. 30B. 60C. 120D. 1509、若向量,,a b c 满足a b 且a c ⊥,则()2c a b ⋅+= ( )A.4B.3C.2D.010、已知6a =,3b =,12a b ⋅=-,则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A. 4-B. 4C. 2-D. 211、如图,在矩形ABCD 中,2,2AB BC ==,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF ⋅=,则AE BF ⋅的值是__________.12、设向量,a b ,不平行,向量a b λ+与2a b +平行,则实数λ=__________. 13、设()()()1,2,3,1,1,1a b c =-==-则()()a b a c +⋅-等于__________14、已知O 是坐标原点,A B 是坐标平面上的两点,且向量()()1,2,3,.OA OB m =-=若AOB ∆是直角三角形,则m =__________15、已知平面上三个向量,,a b c 的模均为1,它们相互之间的夹角均为120︒.(1)求证:()a b c -⊥;(2)若1(R)ka b c k ++>∈,求k 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：(1,2)(44)0AC BD ⋅=⋅-+=,所以AC BD ⊥.所以11522S AC BD =⋅=.2答案及解析：答案：B 解析：设a 与b 的夹角为θ,由题意有22a a b =⋅,22b a b =⋅, 则a b =,则22112cos 2a a b a b aθ⋅===. 又[0,π]θ∈,则π3θ=.3答案及解析：答案：C解析：()()()221,21,13,3.a b +=+-= ()()()()()1,21,10,3,2?9a b a b a b -=--=+-=,23,3a b a b +=-=,设所求两向量夹角为α,则cos α==所以4πα=4答案及解析：答案：D解析： ∵1a b ==,c 与a b +共线.∴a 与c 的夹角为60或120. 当60θ=︒时2222132124a c a a c c c c c ⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ 1min a c ∴+=当120θ=时, 2213124a c c c c ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭min 3a c∴+=5答案及解析：答案：D解析：由2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅,得2-=AB AB AC BA BC AC BC ⋅⋅+⋅,即AB CB BC BC ⋅=⋅,得0AC CB ⋅=,2C π∠=,选D 项.6答案及解析： 答案：C 解析： 由题意知1·232a b a b cos a b a π===,()()22222?3?626472a b a b a a b b a a +-=--=--⨯=- 6a ∴=7答案及解析：答案：C解析： 222369a b a a b b +=+⋅+ 16 60913cos =+⨯︒+=,所以313a b +=8答案及解析：答案：C解析： c a ⊥,设a 与b 的夹角为θ,则()·0a b a +=,所以20a a b +⋅=, 所以2 0a a b cos θ+=,则12 0cos θ+=,所以1 2cos θ=-,所以120.θ=︒9答案及解析：答案：D解析：解法一:由题意得0a b b c ⋅=⋅=,所以()220c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅=,故选D. 解法二:∵a b , ()2a b a ∴+.又∵a c ⊥,()2a b c ∴+⊥,故()20c a b ⋅+=,故选D.10答案及解析：答案：A解析：设a 与b 的夹角为θ,因为a b ⋅为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积,而2cos 3a b a b θ⋅==-,所以2cos 643a θ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.11答案及解析：解析：解法一:以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设(,2)F x , ∴(,2)AF x =,(2,0)AB =,∴2AB AF x ⋅==∴1x =,∴(1,2)F ,∴()1BF =.∵点E 为BC 的中点,∴E , ∴()2,1AE =, ∴2AE BF ⋅=解法二:∵cos AB AF AB AF BAF ⋅=∠=2AB =∴cos 1AF BAF ∠=,即1DF =,∴21CF =,()()AE BF AB BE BC CF ⋅=+⋅+AB BC AB CF BE BC BE CF =⋅+⋅+⋅+⋅AB CF BE BC =⋅+⋅)()11121=⨯-+⨯⨯=12答案及解析： 答案：12解析：因为a b λ+与2a b +平行,所以存在实数μ,使()2,a b a b λμ+=+即()()120a b λμμ-+-= ,由于,a b 不平行,所以0{120λμμ-=-= ,解得12λ=.13答案及解析：答案：11解析：()()4,1,2,3a b a c +=--=-∴()()()()24+1311a b a c +⋅-=⨯-⨯-=14答案及解析： 答案：32或4 解析：15答案及解析：答案：(1)因为1a b c ===，且,,a b c 之间的夹角均为120︒， 所以()cos120cos1200a b c a c b c a c b c -⋅=⋅-⋅=︒-︒=.所以()a b c -⊥.(2)因为1ka b c ++>，所以2()1ka b c ++>，即22222221k a b c ka b ka c b c +++⋅+⋅+⋅>. 因为1cos1202a b a c b c ⋅=⋅=⋅=︒=-， 所以220k k ->，解得0k <或2k >.即k 的取值范围是(,0)(2,)-∞⋃+∞.解析：由Ruize收集整理。

1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b ＝__________. 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于__________．3．已知a ，b ，c 是三个非零向量，则下列结论正确的个数是__________．①(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ②若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c③(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )(λ∈R )④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) ⑤a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b4．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为__________．5．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为__________．6．已知1OA =，2OB =，0OA OB ⋅=，点C 在△AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC mOA nOB =+(m ，n ∈R )，则m n＝__________. 7．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，求：AB AC ⋅和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状．8．已知(3,1)=-a ，13(,)22=b . (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t －3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )；(3)在(2)的结论中，求k 的最小值．9.如图所示，已知(2,1)OP =，(1,7)OA =，(5,1)OB =，设M 是直线OP 上的一点(其中O 点为坐标原点)．(1)求使MA MB ⋅取最小值的OM ；(2)对(1)中求出的点M ，求∠AMB 的余弦值．参考答案1. 答案：92解析：由数量积的几何意义知，39322⋅=⋅=a b . 2. 答案：49- 解析：由题知P 为△ABC 重心，则PB PC PA +=-. 则224()9PA PB PC PA PA ⋅+=-=-=-. 3. 答案：2解析：只有①③正确．∵a ·b ＝a ·c ⇒a ·b －a ·c ＝a (b －c )＝0⇒a ⊥(b －c )，或b ＝c ，∴②不正确． ∵a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )·c 与向量c 方向相反或相同，a ·(b ·c )与向量a 方向相同或相反，而a 与c 不一定共线，即使共线，a ·b ，b ·c 是不等实数时，(a ·b )·c 与a ·(b ·c )也不一定相等，∴④不正确．∵|a |2＝a 2＝b 2＝|b |2，∴|a |＝|b |.a 与b 不一定共线．∴⑤不正确．4. 答案：54解析：由题意知，212121122(2)()(21)2k k k ⋅=-⋅+=--⋅-a b e e e e e e e e 2π5(21)cos22032k k k =---=-=，∴54k =. 5. 答案：π3解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴a 2＋a ·b －2b 2＝－6， ∴1＋a ·b －2×4＝－6，∴a ·b ＝1. 11cos ,122⋅===⨯a b a b a b ， ∴π,3=a b . 6. 答案：2 解析：2()OC OA mOA nOB OA mOA nOA OB ⋅=+⋅=+⋅210cos 45m n m OC OA =⋅+⋅==⋅.①22cos 45OC OB mOA OB nOB n OC OB ⋅=⋅+==⋅.②由①②，得122OA m n OB ==，∴2m n =.7. 解：∵(3,1)AB =-，(1,3)AC =--，∴3(1)(1)(3)0AB AC ⋅=⨯-+-⨯-=.∴AB AC ⊥.又∵10tan 110AB ACB AC ∠===. ∴∠ACB ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A ＝90°.8. (1)证明：由33022⋅=-=a b ，得a ⊥b . (2)解：由x ⊥y ，得x ·y ＝[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0.－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，∴1(3)4k t t =-． (3)解：21139(3)()44216k t t t =-=--， ∴当32t =时，k 取最小值为916-. 9. 解：(1)∵M 为直线OP 上的点，∴OM 与OP 共线．设OM tOP =，∴(2,1)(2,)OM t t t ==．则(1,7)(2,)(12,7)MA OA OM t t t t =-=-=--， (5,1)(2,)(52,1)MB OB OM t t t t =-=-=--．∴MA MB ⋅＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，(3,5)MA =-，(1,1)MB =-，MA MB ⋅取最小值－8，此时，(2,)(4,2)OM t t ==．(2)当t ＝2时，(3,5)MA =-，(1,1)MB =-，∴34MA =，2MB =，且8MA MB ⋅=-. 于是，8417cos 17342MA MB AMB MA MB⋅--∠===⋅.。

高一数学苏教版必修四第二章2.4向量的数量积练习填空题若非零向量a，b，满足|a＋b|＝|b|，a⊥(a＋λb)，则λ＝________．【答案】2【解析】∵|a＋b|＝|b|，∴|a＋b|2＝|b|2，a2＋2a?b＝0①.又a⊥(a＋λb)，∴a?(a＋λb)＝0，a2＋λa?b＝0②.由①②比较得λ＝2.填空题已知两单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝__________．【答案】3【解析】∵a2＝(3e1－2e2)2＝9e－12e1?e2＋4e＝9－12×＋4＝9，∴|a|＝3.解答题已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．(1) 求向量b＋c的模的最大值；(2) 若α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．【答案】（1）2（2）见解析【解析】试题分析（1）根据向量加法坐标表示以及向量模的坐标表示可得|b＋c|2＝2(1－cos β)，再根据三角函数有界性可得模的最值（2）由向量垂直可得数量积为零，根据向量数量积坐标表示可得关于β的方程，解得β值，即得cos β的值．试题解析：解：(1) b＋c＝(cos β－1，sin β)，则|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cos β＝－1时，|b＋c|取最大值2，∴向量b＋c的模的最大值为2.(2) ∵b＋c＝(cos β－1，sin β)，∴a?(b＋c)＝cos αcos β－cos α＋sin αsin β＝cos(α－β)－cos α.∵a⊥(b＋c)，∴a?(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cos α.又α＝，∴cos＝cos，β－＝2kπ±(k∈Z)，∴β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，∴cos β＝0或cos β＝1.解答题已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.(1) 求b；(2) 若c与b同向，且a与c－a垂直，求向量c的坐标．【答案】（1）(－2，6)．（2）(－1，3)【解析】试题分析（1）由向量夹角公式、向量模的坐标表示、向量数量积的坐标表示得关于n的方程，解方程可得n＝6，即得b；（2）由向量平行可设c＝λb(λ>0)，由向量垂直可得数量积为零，根据向量数量积坐标表示可得关于λ的方程，解得λ值，即得向量c的坐标试题解析：解：(1) ∵a?b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0(n>1)，∴n＝6或n＝－(舍去)，∴b＝(－2，6)．(2) 由(1)知，a?b＝10，|a|2＝5.∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)．∵a与c－a垂直，∴(c－a)?a＝0，∴λb?a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝.∴c＝b＝(－1，3)．填空题已知△ABC是正三角形，若a＝－λ与向量的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________________．【答案】(－∞，0)∪(0，2)【解析】因为－λ与向量的夹角为锐角，所以(－λ)?＞0，且－λ与不共线．由(－λ)?＞0及△ABC是正三角形，得||2－λ||?||cos 60°＞0，所以1－λcos 60°＞0，解得λ＜2.若－λ与共线，则存在实数m使－λ＝m，所以m＝1，λ＝0.所以－λ与不共线时，λ≠0.综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)∪(0，2)．填空题已知向量a，b满足(2a－b)?(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a 与b的夹角为________．【答案】【解析】∵(2a－b)?(a＋b)＝6，∴2a2＋a?b－b2＝6.又|a|＝2，|b|＝1，∴a?b＝－1，∴cos θ＝＝－.又0＜θ＜π，∴a 与b的夹角θ＝.填空题若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a? (a ＋b)＝________．【答案】2.【解析】∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，∴a?b＝|a||b|cos 120°＝－.又a?a＝|a|2＝1，∴a? (a＋b)＝a?a＋a?b＝1－＝.填空题对任意两个非零的平面向量α和β，定义新的运算“?”：α?β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a?b和b?a都在集合中，则a?b＝__________．【答案】【解析】根据新定义，得a?b＝＝＝cos θ，b?a＝＝＝cos θ.因为a?b和b?a都在集合中，设a?b＝，b?a＝(n1，n2∈Z)，那么(a?b)?(b?a)＝cos2θ＝.又θ∈，所以0<n1n2<2.所以整数n1，n2的值均为1.故a?b＝＝.填空题在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB＝1，EF＝，CD＝.若＝15，则＝__________．【答案】13【解析】2＝＋，平方并整理得?＝2，即?(－)＝?－?＝2①.由?＝15，得?(－)＝?－?＝15②，②－①，得?＝?(－)＝13.填空题给出下列命题：①0?a＝0；②a?b＝b?a；③a2＝|a|2；④(a?b)?c＝a?(b?c)；⑤|a?b|≤a?b.其中正确的命题是________．(填序号)【答案】②③【解析】②③显然正确；因为(a?b)?c 与c共线，而a?(b?c)与a 共线，故④错误；a?b可能是负数，故⑤错误；对于①0?a等于0，不等于零向量，故①也是错误的．填空题已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m 的值是________．【答案】－2【解析】a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，∴m＝－2点睛;(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：解答题已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1) 计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2) 当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?【答案】（1）①4.②16（2）k＝－7【解析】试题分析（1）①将式子先平方，转化为向量数量积，根据向量数量积定义求值，最后开方，②将式子先平方，转化为向量数量积，根据向量数量积定义求值，最后开方（2）由向量垂直得数量积为零，根据多项式法则展开向量，根据向量数量积定义求值，得关于k的关系式，解方程可得k值试题解析：解：由已知得a?b＝4×8×＝－16.(1) ①∵|a＋b|2＝a2＋2a?b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.②∵|4a－2b|2＝16a2－16a?b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.(2) ∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)?(ka－b)＝0，ka2＋(2k－1)a?b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．填空题已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ＝__________．【答案】【解析】∵⊥，∴?＝(λ＋)?(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)?＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.。

双基达标 (限时15分钟)1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________．解析 |a |·cos θ＝a ·b |b |＝125.答案 1252．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析 ∵|a |＝2，∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.答案 2 33．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝4，a 与c 的夹角为90°，b 与c 的夹角为60°，则(a ＋b )·c ＝________.解析 (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝|b ||c |cos 60°＝2×4×12＝4.答案 44．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.解析 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±35.答案 ±355．已知|a |＝2，|b |＝3，若a ∥b ，则a ·b ＝________；若a ⊥b ，则a ·b ＝________. 解析 当a ∥b 时，则a 与b 的夹角为0°或180°；若θ＝0°，则a ·b ＝|a ||b |＝6；若θ＝180°，则a ·b ＝－|a ||b |＝－6.当a ⊥b 时，a ·b ＝0.答案 ±6 06.如图，已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.解 (1)AB →与AC →的夹角为60°.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×－12＝－12.(3)BC →与AC →的夹角为60°.∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 综合提高 (限时30分钟)7．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6. 答案 68．下列等式中，其中正确的是________．①|a |2＝a 2；②a ·b a 2＝b a ；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.解析 ①|a |2＝a 2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；②a ·b a 2＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ≠b a ；③(a ·b )2＝(|a ||b |cos θ)2＝|a |2|b |2cos 2θ≠a 2·b 2；④(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＋b ·a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.答案 ①④9．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 解析 因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°. 答案 120°10．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为________．解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72，∴|a |＝6，|a |＝－4(舍去)．答案 611．已知向量a 与b 的夹角θ＝120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：(1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b )；(3)|3a －4b |.解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a ·(a ＋b )－2b ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b －2a ·b －2|b |2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝16－(－4)－2×4＝12.(3)因为(3a －4b )2＝9|a |2－24a ·b ＋16|b |2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，所以|3a －4b |＝(3a －4b )2＝16×19＝419.12．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n－3m 的夹角．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m ·n ＝|m ||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m ·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m ·n ＝ 4×1＋9×1－12×12＝7，a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.13．(创新拓展)在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．解 在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，从而⎩⎨⎧ (a ＋b )2＝(－c )2(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2. 因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b | ，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．。

2.4 向量的数量积(一)一、填空题1．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b ＝________.2．已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为________．3．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于________．4．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ＝________.5．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ________.6．已知|a |＝2，|b |＝10，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影是________，向量a 在向量b 方向上的投影是________．7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________.二、解答题9．已知向量a ，b 满足|a |＝12，|b |＝15，|a ＋b |＝25，求|a －b |.10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，求|b |的取值范围．11．在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求：①AB →·BC →；②AC →在AB →方向上的投影；③AB →在BC →方向上的投影．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．三、探究与拓展13．已知正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 上一动点，则AP →·AB →的最大值为________．答案1．－63 2.135° 3.－1 4.325.2 2 6．－5 －1 7.0 8.120°9．解 ∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝122＋152＋2a ·b ＝252，∴2a ·b ＝256.∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝122＋152－256＝113. ∴|a －b |＝113.10．解 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.11．解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3.∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°.∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45. ①AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16； ②|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95； ③|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4. 12．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 13．2。