理论力学第六章课件

一.转动刚体上任一点M的轨迹
ω α
圆
R o φ
(-)
M0
o
φ
α ω
M0 P0
M
(+) S
P
M
二.转动刚体上任一点M的运动方程
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S Rj
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
R
o
(-) M0 (+) S
α ω
速度方向： 垂直转动半径， 与刚体转动方向一致。
B
vA
φ M
A
ω
v
运 动 学
引言 第五章 第六章 第七章 第八章 点的运动学 刚体的简单运动 点的合成运动 刚体的平面运动
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运动学
引言 第五章 第六章 第七章 第八章
点的运动学 刚体的简单运动 点的合成运动 刚体的平面运动
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第六章 刚体的简单运动
主要内容为： §6-1 刚体的平行移动 §6-2 刚体绕定轴的转动 §6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 §6-4 轮系的传动比 §6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
负端看，从固定面起按逆时
针转向计算取正值；按顺时 针转向计算取负值。并用弧 度(rad)表示。
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§6-2 刚体绕定轴的转动
当刚体转动时，角j是时间t的单值连续函数，即
j f (t )
这就是刚体绕定轴转动的运动方程。 2、角速度： 转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:
例4 下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为 Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13； (b)如果n1=3000r/min，求n3. 1 2 3
n1
n2
n3 4
n1 n1 n2 Z 2 Z 4 i13 34.8 解：求传动比： n3 n2 n3 Z1 Z3
vB
o
速度代数量：
ds dj v R Rw dt dt
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vM
C
vC
M
速度分布图
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
M点的加速度：
1.M点的切向加速度at
dv dw Ra 大小： at R dt dt
(-) M0 (+) S
φ R
α
o
ω
a
θ
an
M
v
at 方向：垂直于转动半径，指向由α决定。
w 2 0.2(4 )2 w02 w 8.221rad / s v rw 6.166m / s
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第六章 刚体的简单运动
主要内容为： §6-1 刚体的平行移动 §6-2 刚体绕定轴的转动 §6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 §6-4 轮系的传动比 §6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
主要内容为： §6-1 刚体的平行移动 §6-2 刚体绕定轴的转动 §6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 §6-4 轮系的传动比 §6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
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§6-2 刚体绕定轴的转动
1、运动方程：
如图，两平面间的夹角
用 j 表示，称为刚体的转角。 转角 j 是一个代数量，它确 定了刚体的位置，它的符号 规定如下：自z轴的正端往
dj 2t 4 dt
d j 2 2 dt
2
w
a
M v an
a
求当t=1s时，则为
O
R
w 2rad / s
v Rw 0.4m / s
a 2rad / s 2
A
ω
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
a Ra 0.4m / s 2
an Rw 2 0.8m / s 2
O

an
a r

an w v
w r
a r a a r a w v w w v an r sin a v sin 900 w 2
dj w j dt
角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s (弧度/秒) 表示。 角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转 动时角速度取正值，反之取负值。
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§6-2 刚体绕定轴的转动
3、角加速度：
角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，
用字母a表示，即
如图，在轴线上任选一点O为原点，动点的矢径用
r表示，
则点M的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示，即
v wr
速度v的大小：
ρ M
v r β ω
o1
v w r sin w
v的方向如图所示
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o
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度

dvB dv A aB aA dt dt
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§6-1 刚体的平行移动
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状 相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也 相同。 因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内 任一点的运动。
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第六章 刚体的简单运动
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第六章 刚体的简单运动
主要内容为： §6-1 刚体的平行移动 §6-2 刚体绕定轴的转动 §6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 §6-4 轮系的传动比 §6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
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§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
dw d 2j a w 2 j dt dt
角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2 (弧度/ 秒2)表示。角加速度也是代数量。 如果 w与 a 同号，则转动是加速的；如果 w与 a 异号，则 转动是减速的。
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§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体的定轴转动与点的直线运动的比较： φ → r ω → v α → a 显然，刚体作匀变速转动或匀速转动时的角 速度方程和转动方程，分别与点作匀变速运动或 匀速运动的速度方程和运动方程形式相同。
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§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度 角速度矢量 w 从转轴上任一点画出，其长度按比例尺由
决定，指向由右手法则确定。 w w j 以 k 表示Z轴的单位矢量，如图，则

z
w
z
a k
k
w wk jk
2.M点的法向加速度an 大小：an
v
2
R 方向：从M点指向转动中心
(-) M0 (+) S
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φ R

Rw
3.M点的全加速度a
2
2
Rw
a at 2 an 2 R a 2 w 4 大小：
at a tan 方向： tan(a , an ) 2 an w
2、点的加速度矢积表示：
v wr
za

将上式对时间求一阶导数，有 dv d dw dr a (w r ) r w dt dt dt dt
M
即
于是
a a r wv
a a r
a r w v a w v
w1 a1 z2 i12 w2 a 2 z1
由于 w 2 n n
60 30
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所以 i w1 a1 n1 12
w2 a2
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n2
§6-4 轮系的传动比
2) 带轮传动
w1 a1 r2 i12 w2 a 2 r1
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§6-4 轮系的传动比
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§6-1 刚体的平行移动
1、定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始 位置，这种运动称为平行移动，简称平移。
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§6-1 刚体的平行移动
2、运动方程
rB rA AB
3、速度和加速度分布 d AB 因为 0 dt drB drA vB vA 所以 dt dt
α
o
ω
a a
θ
an
M
v
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§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
B
a at a R a w
2 2 n 2
4
B
θ
A
θ
α
A
ω
at a tan 2 an w
o
C
θ
θ M
M
C
（1） 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的 大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。
（2） 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹
0 0, w0 6rad / s
θ 以rad计。若初瞬时
，其叶片半径为
0.75m 。试求叶片转过两圈（ 4 rad ）时其顶端 P 点的 P 速度。 解： a
w
dw dw d dw w 0.2 dt d dt d
4 0
α
ω
w wdw
0
0.2 d
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